2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級期中必刷?？碱}之解直角三角形

第22頁（共22頁）2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級期中必刷常考題之解直角三角形一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?寧強(qiáng)縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高，BC=7，AC＝3，則sin∠ACDA．74 B．73 C．34 2．（2024秋?淄川區(qū)期末）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)D，E在邊BC上，若∠DAE＝30°，tan∠EAC=A．3-3 B．3+3 C．333．（2024秋?煙臺期末）如圖是由全等的含60°角的小菱形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小菱形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，其中點(diǎn)A，B，C在格點(diǎn)上，則tan∠CAB的值為（）A．12 B．32 C．33 4．（2025?浙江一模）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則tan∠ACB的值為（）A．1 B．2 C．12 D．5．（2024秋?淄博期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AB＝5，則BC的長為（）A．5tanα B．5sinα C．5cosα D．5二．填空題（共5小題）6．（2024秋?寧強(qiáng)縣期末）如圖，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，且每個(gè)小正方形的邊長為1，那么sin∠BAC的值為．7．（2024秋?臨淄區(qū)期末）如圖，已知直線a∥b，點(diǎn)A，B分別是直線a，b上的定點(diǎn)，AB⊥b，動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)沿直線a向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)沿直線b向右運(yùn)動(dòng)，連接CD交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作CD的垂線，垂足為點(diǎn)P，連接AP．若點(diǎn)C的速度是點(diǎn)D的速度的兩倍，則當(dāng)∠BAP最大時(shí)，sin∠BAP的值為．8．（2025?浙江一模）直角三角形ADE和ABC的直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)A，∠E＝45°，∠C＝60°，DE＝AB＝2，M、N分別是邊AC、DE上的動(dòng)點(diǎn)，且DN＝AM，則AN+BM的最小值是．9．（2024秋?桓臺縣期末）如圖，在4×4的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，D是AB與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則cos∠BAC的值是．10．（2024秋?張店區(qū)期末）如圖，在3×2的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，連接AB，AC，則tan∠BAC的值為．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?桓臺縣期末）如圖，在△ABC中，已知∠B＝60°，∠C＝45°，AB=6+63，求12．（2024秋?芝罘區(qū)期末）如圖，在△ACB中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝8．（1）求AB的長；（2）點(diǎn)P在線段AB上，連接CP，且tan∠APC＝2，求tan∠BCP的值．13．（2024秋?張店區(qū)期末）如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，AB＝4，AC=33，∠A＝（1）求BD和AD的長；（2）求sinC的值．14．（2024秋?貴池區(qū)期末）如圖，已知在△ABC中，∠B為銳角，AD是BC邊上的高，cosB=513，AB＝13，BC＝（1）求AC的長；（2）求∠BAC的正弦值．15．（2024秋?舒城縣期末）如圖，在△ABC中，AC=5，BC=13，cosA=55，點(diǎn)D在BC邊上，且CD＝2BD，DE（1）求線段AB的長；（2）求∠CEA的正切值．

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級期中必刷?？碱}之解直角三角形參考答案與試題解析題號12345答案CABCB一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?寧強(qiáng)縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高，BC=7，AC＝3，則sin∠ACDA．74 B．73 C．34 【考點(diǎn)】解直角三角形；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【答案】C【分析】先由勾股定理求出AB＝4，再證出∠ACD＝∠B，然后由銳角三角函數(shù)定義求解即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB=AC2+BC2=3∵CD是斜邊AB上的高，∴CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B=AC故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵．2．（2024秋?淄川區(qū)期末）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)D，E在邊BC上，若∠DAE＝30°，tan∠EAC=A．3-3 B．3+3 C．33【考點(diǎn)】解直角三角形．【專題】等腰三角形與直角三角形；解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【答案】A【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠BAC＝60°，再由AH⊥BC，可得∠BAD+∠DAH＝30°，再根據(jù)∠BAD+∠EAC＝30°，可得∠DAH＝∠EAC，從而可得tan∠DAH＝tan∠EAC=13，利用銳角三角函數(shù)求得AH＝ABsin60°＝3【解答】解：過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°，∵AH⊥BC，∴∠BAH=12∠BAC＝∴∠BAD+∠DAH＝30°，∵∠DAE＝30°，∴∠BAD+∠EAC＝30°，∴∠DAH＝∠EAC，∴tan∠DAH＝tan∠EAC=1∵BH=12AB＝∵AH＝ABsin60°＝6×32=∴DHAH∴DH=3∴BD＝BH﹣DH＝3-3故選：A．【點(diǎn)評】本題考查銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)證明∠DAH＝∠EAC是解題的關(guān)鍵．3．（2024秋?煙臺期末）如圖是由全等的含60°角的小菱形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小菱形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，其中點(diǎn)A，B，C在格點(diǎn)上，則tan∠CAB的值為（）A．12 B．32 C．33 【考點(diǎn)】解直角三角形．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】如圖，連接BE，交AC于點(diǎn)D，由菱形的性質(zhì)可得，BE⊥AC，設(shè)菱形的邊長為a，則BD＝3a，DE＝2a，AE＝4a，勾股定理求得AD，進(jìn)而根據(jù)tan∠【解答】解：如圖所示，連接BE，交AC于點(diǎn)D設(shè)菱形的邊長為a，∴BD＝3a，DE＝2a，AE＝4a，AD=∴tan∠故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，正切等知識．熟練掌握以上知識點(diǎn)是關(guān)鍵．4．（2025?浙江一模）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則tan∠ACB的值為（）A．1 B．2 C．12 D．【考點(diǎn)】解直角三角形．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】過點(diǎn)B作AC邊的垂線，構(gòu)造出直角三角形即可解決問題．【解答】解：過點(diǎn)B作AC的垂線，垂足為M，根據(jù)勾股定理得，BM=1CM=2在Rt△BCM中，tan∠ACB=BM故選：C．【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，過點(diǎn)B作AC的垂線構(gòu)造出直角三角形及熟知正切的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2024秋?淄博期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AB＝5，則BC的長為（）A．5tanα B．5sinα C．5cosα D．5【考點(diǎn)】解直角三角形．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)正弦的定義解答即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝α，AB＝5，∴sinA=∴BC＝5sinα．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形，熟知在直角三角形中，正弦值等于對邊比斜邊是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?寧強(qiáng)縣期末）如圖，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，且每個(gè)小正方形的邊長為1，那么sin∠BAC的值為22【考點(diǎn)】解直角三角形．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】22【分析】根據(jù)網(wǎng)格求出三角形△ABC的三邊，得到△ABC是直角三角形，再進(jìn)行求解．【解答】解：連接BC，由勾股定理可得，AB2＝12+22＝5，BC2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴sin∠故答案為：22【點(diǎn)評】此題主要考查正弦的求解，解題的關(guān)鍵熟知勾股定理的運(yùn)用．7．（2024秋?臨淄區(qū)期末）如圖，已知直線a∥b，點(diǎn)A，B分別是直線a，b上的定點(diǎn)，AB⊥b，動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)沿直線a向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)沿直線b向右運(yùn)動(dòng)，連接CD交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作CD的垂線，垂足為點(diǎn)P，連接AP．若點(diǎn)C的速度是點(diǎn)D的速度的兩倍，則當(dāng)∠BAP最大時(shí)，sin∠BAP的值為15【考點(diǎn)】解直角三角形；平行線的性質(zhì)．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】15【分析】由“動(dòng)點(diǎn)C與動(dòng)點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)，且點(diǎn)C的速度是點(diǎn)D的速度的兩倍”可得AC＝2BD，即ACBD=2，由直線a∥b可證得△ACE∽△BDE，于是可得AEBE=ACBD=2，則AE=23AB，BE=13AB，進(jìn)而可得點(diǎn)E為AB上的定點(diǎn)，由BP⊥CD可得∠BPE＝90°，由90度的圓周角所對的弦是直徑可得點(diǎn)P在以BE為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取線段BE的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OB的長為半徑畫圓，則點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AP與⊙O相切時(shí)，∠BAP最大，連接OP，由切線的性質(zhì)可得OP⊥AP，即∠OPA【解答】解：由條件可知AC＝2BD，即ACBD∵直線a∥b，∴△ACE∽△BDE，∴AEBE∴AE=23∴點(diǎn)E為AB上的定點(diǎn)，∵BP⊥CD，∴∠BPE＝90°，∴點(diǎn)P在以BE為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，取線段BE的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OB的長為半徑畫圓，則點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)AP與⊙O相切時(shí)，∠BAP最大，連接OP，則OP⊥AP，即∠OPA＝90°，∵OP=OA=∴sin∠故答案為：15【點(diǎn)評】本題主要考查了求角的正弦值，相似三角形的判定與性質(zhì)，90度的圓周角所對的弦是直徑，切線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，推出點(diǎn)E為AB上的定點(diǎn)以及點(diǎn)P在以BE為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)是解題的關(guān)鍵．8．（2025?浙江一模）直角三角形ADE和ABC的直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)A，∠E＝45°，∠C＝60°，DE＝AB＝2，M、N分別是邊AC、DE上的動(dòng)點(diǎn)，且DN＝AM，則AN+BM的最小值是10．【考點(diǎn)】解直角三角形．【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】10．【分析】過點(diǎn)A作AF⊥DE于F，則DF＝EF＝AF＝1，設(shè)DN＝AM＝x，則AN=AF2+FN2=12+(1-x)2，BM=AB2+AM2=22+x2，進(jìn)而得AN+BM=12+(1-x)2+22+x2，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)H（x，0），P（1，1），Q（0，2），則HP+HQ=12+(1-x)2+22+x2，因此要求【解答】解：過點(diǎn)A作AF⊥DE于F，如圖1所示：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∠E＝45°，∠C＝60°，DE＝AB＝2，∴△ADE為等腰直角三角形，∠ABC＝30°，∴DF＝EF＝AF=12DE＝設(shè)DN＝AM＝x，∴FN＝DF﹣DN＝1﹣x，在Rt△ANF中，由勾股定理得：AN=A在Rt△ABM中，由勾股定理得：BM=A∴AN+BM=1在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)H（x，0），P（1，1），Q（0，2），則HP=12+(1-x∴HP+HQ=1因此要求AN+BM的最小值，只需求出HP+HQ的最小值即可，作點(diǎn)Q（0，2）的對稱點(diǎn)Q'（0，﹣2），連接PQ'交x軸于R，連接HQ'，如圖2所示：∴HQ＝HQ'，∴HP+HQ＝HP+HQ'根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得：HP+HQ'≥PQ'，∴當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)R重合時(shí)，HP+HQ'為最小，最小值為線段PQ'的長，即HP+HQ的最小值為線段PQ'的長，∵PQ'=(1-0∵HP+HQ的最小值10，即AN+BM的最小值10．【點(diǎn)評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，利用軸對稱求最短路線，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，利用軸對稱求最短路線是解決問題的關(guān)鍵．9．（2024秋?桓臺縣期末）如圖，在4×4的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，D是AB與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則cos∠BAC的值是55【考點(diǎn)】解直角三角形；勾股定理．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】55【分析】由勾股定理計(jì)算出AB＝5，AC=5，BC=25，再由勾股定理逆定理判斷出△ABC為直角三角形，∠【解答】解：由勾股定理可得：AC=12+2∵AC2+BC2＝5+20＝25，AB2＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC為直角三角形，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，cos∠故答案為：55【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理、勾股定理逆定理、余弦的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2024秋?張店區(qū)期末）如圖，在3×2的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，連接AB，AC，則tan∠BAC的值為2．【考點(diǎn)】解直角三角形．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】2．【分析】連接BC，利用勾股定理求出AB2，BC2，AC2，證明△ABC是直角三角形，再根據(jù)正切的定義解答即可．【解答】解：連接BC，∵AB2＝12+12＝2，BC2＝22+22＝8，AC2＝12+32＝10，∴△ABC是直角三角形，∴tan∠故答案為：2．【點(diǎn)評】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟練掌握以上知識點(diǎn)是關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?桓臺縣期末）如圖，在△ABC中，已知∠B＝60°，∠C＝45°，AB=6+63，求【考點(diǎn)】解直角三角形．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】92【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系求出AD，然后根據(jù)∠C＝45°，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系，即可得出答案．【解答】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵∠B＝60°，AB=6+6∴AD=在Rt△ACD中，∠C＝45°，sinC=∵sin45∴AC=【點(diǎn)評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．12．（2024秋?芝罘區(qū)期末）如圖，在△ACB中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝8．（1）求AB的長；（2）點(diǎn)P在線段AB上，連接CP，且tan∠APC＝2，求tan∠BCP的值．【考點(diǎn)】解直角三角形．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】（1）43（2）13【分析】（1）作CD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)正弦和余弦的定義分別求出CD和AD，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出∠BCD＝90°﹣45°＝45°＝∠B，再根據(jù)等角對等邊得出BD＝CD＝4，最后根據(jù)線段的和差關(guān)系即可得出答案．（2）作PE⊥BC于點(diǎn)E，則∠B＝∠EPB＝45°，PE＝PB，根據(jù)正切的定義得出PD＝2，進(jìn)而可得出PB，再根據(jù)sinB=CDBC=PEPB，進(jìn)而可得出【解答】解：（1）作CD⊥AB于點(diǎn)D，由條件可知CD＝AC?sinA＝8×sin30°＝4，∴AD=在Rt△BCD中，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝90°﹣45°＝45°＝∠B，∴BD＝CD＝4，∴AB（2）作PE⊥BC于點(diǎn)E，則∠B＝∠EPB＝45°，∴PE＝PB，由條件可知PD＝2，∴PB＝BD﹣PD＝4﹣2＝2，∵sinB=∴BC=PE=由題意，BE=∴CE=∴tan∠【點(diǎn)評】本題主要考查了解直角三角形的相關(guān)計(jì)算．直角三角形兩銳角互余，等角對等邊等知識．熟練掌握以上知識點(diǎn)是關(guān)鍵．13．（2024秋?張店區(qū)期末）如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，AB＝4，AC=33，∠A＝（1）求BD和AD的長；（2）求sinC的值．【考點(diǎn)】解直角三角形；含30度角的直角三角形；勾股定理．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【答案】（1）2；23（2）27【分析】（1）在Rt△ADB中，運(yùn)用30°角所對的直角邊是斜邊的一半得到BD的值，有勾股定理可得AD的值；（2）在Rt△BCD中，由勾股定理得BC=DC2+B【解答】解：（1）在Rt△ADB中，AB＝4，∠A＝30°，∴BD=在Rt△ADB中，由勾股定理得：∴AD=（2）∵AC=33，∴CD＝33-23在Rt△BCD中，由勾股定理得：∴BC=在Rt△BCD中，sinC=【點(diǎn)評】本題主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，求角的正弦值，掌握勾股定理，銳角三角函數(shù)的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．14．（2024秋?貴池區(qū)期末）如圖，已知在△ABC中，∠B為銳角，AD是BC邊上的高，cosB=513，AB＝13，BC＝（1）求AC的長；（2）求∠BAC的正弦值．【考點(diǎn)】解直角三角形．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；幾何直觀．【答案】（1）20；（2）6365【分析】（1）由∠B的余弦求出BD長，得到DC長，由勾股定理即可解決問題；（2）過C作CH⊥AB于H，由三角形的面積公式求出CH的長即可解決問題．【解答】解：（1）∵cosB=BDAB=513∴BD＝13×513∴CD＝BC﹣BD＝21﹣5＝16，∵AD=AB∴AC=AD（2）作CH⊥AB于H，∵△ABC的面積=12AB?CH=12∴13CH＝21×12，∴CH=252∴∠BAC的正弦值是CHAC【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，關(guān)鍵是過C作CH⊥AB于H，由三角形的面積公式求出CH的長．15．（2024秋?舒城縣期末）如圖，在△ABC中，AC=5，BC=13，cosA=55，點(diǎn)D在BC邊上，且CD＝2BD，DE（1）求線段AB的長；（2）求∠CEA的正切值．【考點(diǎn)】解直角三角形．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】（1）4；（2）1．【分析】（1）過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，根據(jù)余弦的定義，求得AF＝1，勾股定理求得CF＝2，解Rt△BCF得出BF＝3，即可求解；（2）先求得BD=133，進(jìn)而根據(jù)cosB=EBDB=FBCB【解答】解：（1）如圖所示，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，∵AC=5，∴AF＝1∴CF在Rt△BCF中，