2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第1節(jié)坐標(biāo)系教學(xué)案理含解析新人教A版選修4-4

PAGE1-第一節(jié)坐標(biāo)系[考綱傳真]1.了解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的改變狀況.2.了解極坐標(biāo)的基本概念，會在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點的位置，能進行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.3.能在極坐標(biāo)系中給出簡潔圖形表示的極坐標(biāo)方程．1．平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換設(shè)點P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的隨意一點，在變換φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λ·xλ＞0，,y′＝μ·yμ＞0))的作用下，點P(x，y)對應(yīng)到點P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換．2．極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系如圖所示，在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點；自極點O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系．(2)極坐標(biāo)①極徑：設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為ρ.②極角：以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角，記為θ.③極坐標(biāo)：有序數(shù)對(ρ，θ)叫做點M的極坐標(biāo)，記為M(ρ，θ)．一般不作特別說明時，我們認為ρ≥0，θ可取隨意實數(shù)．3．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M是平面內(nèi)隨意一點，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(ρ，θ)，則它們之間的關(guān)系為：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ；))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)x≠0.))4．簡潔曲線的極坐標(biāo)方程曲線極坐標(biāo)方程圓心為極點，半徑為r的圓ρ＝r(0≤θ＜2π)圓心為(r,0)，半徑為r的圓ρ＝2rcosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)≤θ≤\f(π,2)))圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r，\f(π,2)))，半徑為r的圓ρ＝2rsinθ(0≤θ＜π)過極點，傾斜角為α的直線θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)過點(a,0)，與極軸垂直的直線ρcosθ＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＜θ＜\f(π,2)))過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,2)))，與極軸平行的直線ρsinθ＝a(0＜θ＜π)[基礎(chǔ)自測]1．(思索辨析)推斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點與坐標(biāo)能建立一一對應(yīng)關(guān)系，在極坐標(biāo)系中點與坐標(biāo)也是一一對應(yīng)關(guān)系．()(2)若點P的直角坐標(biāo)為(1，－eq\r(3))，則點P的一個極坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,3))).()(3)在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程不是唯一的．()(4)極坐標(biāo)方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲線是一條直線．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．(教材改編)在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝－2sinθ的圓心的極坐標(biāo)是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,2)))C．(1,0) D．(1，π)B[法一：由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝－2y，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋1)2＝1，圓心坐標(biāo)為(0，－1)，其對應(yīng)的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,2))).法二：由ρ＝－2sinθ＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))，知圓心的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,2)))，故選B.]3．(教材改編)若以直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線段y＝1－x(0≤x≤1)的極坐標(biāo)方程為()A．ρ＝eq\f(1,cosθ＋sinθ)，0≤θ≤eq\f(π,2)B．ρ＝eq\f(1,cosθ＋sinθ)，0≤θ≤eq\f(π,4)C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤eq\f(π,2)D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤eq\f(π,4)A[∵y＝1－x(0≤x≤1)，∴ρsinθ＝1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)，∴ρ＝eq\f(1,sinθ＋cosθ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤θ≤\f(π,2))).]4．在極坐標(biāo)系中，曲線C1和C2的方程分別為ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1.以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線C1和C2的交點的直角坐標(biāo)為________．(1,1)[由ρsin2θ＝cosθ?ρ2sin2θ＝ρcosθ?y2＝x，又由ρsinθ＝1?y＝1，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝x，,y＝1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))故曲線C1和C2交點的直角坐標(biāo)為(1,1)．]5．在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝8sinθ上的點到直線θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)距離的最大值是________．6[圓ρ＝8sinθ即ρ2＝8ρsinθ，化為直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－4)2＝16，直線θ＝eq\f(π,3)，則tanθ＝eq\r(3)，化為直角坐標(biāo)方程為eq\r(3)x－y＝0，圓心(0,4)到直線的距離為eq\f(|－4|,\r(4))＝2，所以圓上的點到直線距離的最大值為2＋4＝6.]平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換(題組呈現(xiàn))1．求橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1經(jīng)過伸縮變換eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝y(tǒng)))后的曲線方程．[解]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝y(tǒng)，))得到eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2x′，,y＝y(tǒng)′.))①將①代入eq\f(x2,4)＋y2＝1，得eq\f(4x′2,4)＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.因此橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1經(jīng)伸縮變換后得到的曲線方程是x2＋y2＝1.2．將圓x2＋y2＝1變換為橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的一個伸縮變換公式為φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(X＝axa＞0，,Y＝byb＞0，))求a，b的值．[解]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(X＝ax，,Y＝by))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,a)X，,y＝\f(1,b)Y，))代入x2＋y2＝1中得eq\f(X2,a2)＋eq\f(Y2,b2)＝1，所以a2＝9，b2＝4，即a＝3，b＝2.[規(guī)律方法]平面上的曲線y＝fx在變換φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λxλ＞0，,y′＝μyμ＞0))的作用下的變換方程的求法是將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x′,λ)，,y＝\f(y′,μ)))代入y＝fx，得\f(y′,μ)＝f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x′,λ)))，整理之后得到y(tǒng)′＝hx′，即為所求變換之后的方程.易錯警示：應(yīng)用伸縮變換時，要分清變換前的點的坐標(biāo)x，y與變換后的點的坐標(biāo)x′，y′.極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的互化(例題對講)【例1】(2024·合肥質(zhì)檢)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝1(0≤θ＜2π)，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點．(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程，并求M，N的極坐標(biāo)；(2)設(shè)MN的中點為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程．[解](1)由ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝1得ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosθ＋\f(\r(3),2)sinθ))＝1.從而曲線C的直角坐標(biāo)方程為eq\f(1,2)x＋eq\f(\r(3),2)y＝1，即x＋eq\r(3)y－2＝0.當(dāng)θ＝0時，ρ＝2，所以M(2,0)．當(dāng)θ＝eq\f(π,2)時，ρ＝eq\f(2\r(3),3)，所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，\f(π,2))).(2)M點的直角坐標(biāo)為(2,0)，N點的直角坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3))).所以P點的直角坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，則P點的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，\f(π,6))).所以直線OP的極坐標(biāo)方程為θ＝eq\f(π,6)(ρ∈R)．[規(guī)律方法]極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化方法1直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程：將公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ干脆代入直角坐標(biāo)方程并化簡即可.2極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：通過變形，構(gòu)造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再應(yīng)用公式進行代換.其中方程的兩邊同乘以或同除以ρ及方程兩邊平方是常用的變形技巧.已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝2，ρ2－2eq\r(2)ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝2.(1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標(biāo)方程．[解](1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圓O1的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4.因為ρ2－2eq\r(2)ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝2，所以ρ2－2eq\r(2)ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθcos\f(π,4)＋sinθsin\f(π,4)))＝2，即ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ＝2.所以圓O2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減，得經(jīng)過兩圓交點的直線方程為x＋y＝1.化為極坐標(biāo)方程為ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2).極坐標(biāo)方程的應(yīng)用(例題對講)【例2】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點為M，N，求△C2MN的面積．[解](1)因為x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝－2，C2的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)將θ＝eq\f(π,4)代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3eq\r(2)ρ＋4＝0，解得ρ1＝2eq\r(2)，ρ2＝eq\r(2).故ρ1－ρ2＝eq\r(2)，即|MN|＝eq\r(2).由于C2的半徑為1，所以△C2MN的面積為eq\f(1,2).[規(guī)律方法]在用方程解決直線、圓和圓錐曲線的有關(guān)問題時，將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，有助于增加對方程所表示的曲線的相識，從而達到化生疏為熟識的目的，這是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.(2024·廣州調(diào)研)在極坐標(biāo)系中，求直線ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝2被圓ρ＝4截得的弦長．[解]由ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝2，得eq\f(\r(2),2)(ρsinθ＋ρcosθ)＝2，可化為x＋y－2eq\r(2)＝0.圓ρ＝4可化為x2＋y2＝16，圓心(0,0)到直線x＋y－2eq\r(2)＝0的距離d＝eq\f(|－2\r(2)|,\r(2))＝2，由圓中的弦長公式，得弦長l＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(42－22)＝4eq\r(3).故所求弦長為4eq\r(3).1．(2024·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程．[解](1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐標(biāo)方程為(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓．由題設(shè)知，C1是過點B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線．記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點．當(dāng)l1與C2只有一個公共點時，點A到l1所在直線的距離為2，所以eq\f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝2，故k＝－eq\f(4,3)或k＝0.經(jīng)檢驗，當(dāng)k＝0時，l1與C2沒有公共點；當(dāng)k＝－eq\f(4,3)時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點．當(dāng)l2與C2只有一個公共點時，A到l2所在直線的距離為2，所以eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝2，故k＝0或k＝eq\f(4,3).經(jīng)檢驗，當(dāng)k＝0時，l1與C2沒有公共點；當(dāng)k＝eq\f(4,3)時，l2與C2沒有公共點．綜上，所求C1的方程為y＝－eq\f(4,3)|x|＋2.2．(2024·全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝4.(1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿意|OM|·|OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點A的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值．[解](1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)(ρ>0)，M的極坐標(biāo)為(ρ1，θ)(ρ1>0)．由題設(shè)知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝eq\f(4,cosθ).由|OM|·|OP|＝16得C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ(ρ＞0)．因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)設(shè)點B的極坐標(biāo)為(ρB，α)(ρB>0)．由題設(shè)知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面積S＝eq\f(1,2)|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)