醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué) 二項(xiàng)分布poisson分布及其應(yīng)用2(八年制)學(xué)習(xí)資料

二項(xiàng)分布、Poisson分布及其應(yīng)用山東大學(xué)公共衛(wèi)生學(xué)院

概念及性質(zhì)

二項(xiàng)分布

應(yīng)用（率的估計(jì)與比較）

概念及性質(zhì)Poisson分布

應(yīng)用（率的估計(jì)與比較）主要內(nèi)容Poisson分布是一種重要的離散型分布，由法國數(shù)學(xué)家S.D.Poisson（1837）提出。在醫(yī)學(xué)研究中，常用于研究單位時(shí)間、人群、空間內(nèi)，某罕見事件發(fā)生次數(shù)的分布。

一、Poisson分布的概念41.模擬試驗(yàn)有一桶黃豆，其中有5/1000的黃豆被染成紅色，即紅豆的發(fā)生率為0.005，然后用茶杯作為抽樣的容器（每杯大約為500個(gè)豆子）進(jìn)行抽樣，觀察每杯內(nèi)出現(xiàn)紅豆分別為0，1，2，3，

的分布概率。其分布概率服從Poisson分布的概率函數(shù)。

Poisson分布最初是作為二項(xiàng)分布的一個(gè)特例提出來的，在n較大，較小時(shí)，Poisson分布是二項(xiàng)分布的極限形式。舉例：據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，新生兒染色體異常率為1%，試分別用二項(xiàng)分布和Poisson分布原理，求100名新生兒中發(fā)生x例染色體異常的概率。舉例：對于（n=10，20，40，100）的四種情況7在實(shí)際工作中，Poisson分布較多地用于研究單位時(shí)間、單位空間、單位人群，某罕見事件的發(fā)生數(shù)。例如某細(xì)菌在單位空氣和單位水中出現(xiàn)的情況，一定人群中某患病率很低的非傳染性疾病患病數(shù)或死亡數(shù)的分布等。Poisson分布的應(yīng)用82.Poisson分布的概率函數(shù)與累計(jì)概率概率函數(shù)式中，，為Poisson分布的總體平均數(shù)；X為某單位人群、容積、面積、時(shí)間、空間內(nèi)某事件的發(fā)生次數(shù)，稱為樣本陽性數(shù)。遞推公式：9Poisson分布的累計(jì)概率：從陽性率為的總體中隨機(jī)抽樣時(shí)，單位時(shí)間、人群、空間內(nèi)最多有k例陽性的概率最少有k例陽性的概率

Poisson分布的累計(jì)概率10例題已知某批疫苗接種后的嚴(yán)重反應(yīng)率為1‰。問用該批疫苗接種150人，有2人以上發(fā)生嚴(yán)重反應(yīng)的概率是多少？

=0.15113.Poisson分布的應(yīng)用條件條件：除π<0.05外，其余同二項(xiàng)分布。從π<0.05的兩分類資料中以固定的、足夠大的n（通常為單位人群、單位容積、單位面積、單位時(shí)間）抽樣時(shí)，樣本中出現(xiàn)陽性數(shù)X=0,1,2…的樣本的分布為Poisson分布。124.Poisson分布的圖形

=3

=513Poisson分布的圖形

=50

=20

=1014Poisson分布的圖形Poisson分布的形狀取決于的大小：很小時(shí)(如)，Poisson分布的圖形呈正偏態(tài)；隨的增大而逐漸趨于對稱；當(dāng)時(shí)，圖形近似正態(tài)分布；時(shí)，圖形為正態(tài)分布。

15Poisson分布的正態(tài)近似示意圖N(

,

)165.Poisson分布的性質(zhì)Poisson分布是單參數(shù)的離散型分布，參數(shù)為。方差等于均數(shù)，。Poisson分布可以看成二項(xiàng)分布的特例。Poisson分布的極限形式是正態(tài)分布。Poisson分布具有可加性。多個(gè)服從Poisson分布的獨(dú)立隨機(jī)樣本，其和仍服從Poisson分布。利用Poisson分布的可加性，可通過擴(kuò)大樣本含量n

，使，即可利用正態(tài)分布原理進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。17Poisson分布的可加性若x1，x2，…，xk相互獨(dú)立，且它們分別服從參數(shù)

1，

2，…，

k的Poisson分布，則x1+

x2+…+

xk

也服從Poisson分布，其參數(shù)為

1+

2…+

k

。例：設(shè)某車間平均每升空氣中的粉塵顆粒數(shù)為25，現(xiàn)考慮3升空氣中的粉塵顆粒數(shù)，則它服從參數(shù)為75的Poisson分布。18二、總體平均數(shù)的估計(jì)點(diǎn)值估計(jì)：以X作為為μ的點(diǎn)值估計(jì)。由于抽樣誤差的存在，X往往不等于μ

，通常用區(qū)間估計(jì)。區(qū)間估計(jì)：根據(jù)樣本陽性數(shù)X是否大于50，可用查表法和正態(tài)近似法。19區(qū)間估計(jì)----查表法當(dāng)樣本陽性數(shù)時(shí)，用查附表8Poisson分布的可信區(qū)間，可得總體平均數(shù)的95%或99%可信區(qū)間。例3.8將一個(gè)面積為100cm2的培養(yǎng)皿置于病房中，1h后取出，培養(yǎng)24h，查得8個(gè)菌落，試估計(jì)該病房平均每100cm2細(xì)菌數(shù)的95％CI。本例，查附表8，得的95%下限為3.4，上限為15.8，即該病房平均每100cm2細(xì)菌數(shù)的95％可信區(qū)間為3.4

15.8。20區(qū)間估計(jì)----正態(tài)近似法當(dāng)樣本陽性數(shù)時(shí)，可按正態(tài)近似法估計(jì)

的可信區(qū)間：

21例題---正態(tài)近似法用計(jì)數(shù)器測得某放射性物質(zhì)1小時(shí)內(nèi)發(fā)出的脈沖數(shù)為200個(gè),據(jù)此估計(jì)該放射性物質(zhì)平均每小時(shí)發(fā)出的脈沖數(shù)的95%可信區(qū)間。22樣本陽性數(shù)與總體平均數(shù)的比較兩樣本陽性數(shù)的比較三、率的比較23（一）樣本陽性數(shù)與總體平均數(shù)的比較目的：推斷樣本所代表的未知總體平均數(shù)μ與已知總體平均數(shù)μ0是否相等。根據(jù)資料的具體情況，可選用：

1.

直接計(jì)算概率法

2.正態(tài)近似法24應(yīng)用條件：μ0<20，且樣本陽性數(shù)X較小作單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)。例7已知接種某疫苗時(shí)，一般嚴(yán)重反應(yīng)率為1‰?，F(xiàn)用某批號的該種疫苗接種150人，有2人發(fā)生嚴(yán)重反應(yīng)，問該批號疫苗的嚴(yán)重反應(yīng)率是否高于一般？1.直接計(jì)算概率法樣本陽性數(shù)與總體平均數(shù)的比較H0(

＝0.001)成立時(shí)150人中發(fā)生嚴(yán)重反應(yīng)人數(shù)的概率分布25

H0：

=

0，即該批疫苗的嚴(yán)重反應(yīng)率不高于一般

H1：

>

0，即該批疫苗的嚴(yán)重反應(yīng)率高于一般

=0.05

本例

0=0.001，n=150，

0=n0=0.15，x=2，根據(jù)題意需計(jì)算最少有2例發(fā)生嚴(yán)重反應(yīng)的概率，P<0.05，按

=0.05水準(zhǔn)拒絕H0，接受H1，可認(rèn)為該批疫苗的嚴(yán)重反應(yīng)率高于一般。樣本陽性數(shù)與總體平均數(shù)的比較----直接計(jì)算概率法26

例8

衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定,生活飲用水大腸桿菌數(shù)不得超過3個(gè)/ml?，F(xiàn)對某飲用水進(jìn)行抽檢，抽取1ml水樣培養(yǎng)得到5個(gè)大腸桿菌。問該水樣中的大腸桿菌是否超標(biāo)？H0(

=3)成立時(shí),每毫升水中大腸桿菌數(shù)的概率分布樣本陽性數(shù)與總體平均數(shù)的比較----直接計(jì)算概率法27

H0：

=

0，即該水樣中大腸桿菌數(shù)不超標(biāo)

H1：

>0

，即該水樣中大腸桿菌數(shù)超標(biāo)

=0.05

本例

0=3，x=5，根據(jù)題意需計(jì)算每毫升水有5個(gè)以上大腸桿菌的概率，

P>0.05，按

=0.05水準(zhǔn)不拒絕H0，尚不能認(rèn)為該水樣中大腸桿菌超標(biāo)。樣本陽性數(shù)與總體平均數(shù)的比較----直接計(jì)算概率法28當(dāng)μ0≥20時(shí)，，可利用Poisson分布的正態(tài)近似原理做檢驗(yàn)。2.正態(tài)近似法樣本陽性數(shù)與總體平均數(shù)的比較29

例9

質(zhì)量控制標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定某裝置平均每小時(shí)發(fā)出質(zhì)點(diǎn)數(shù)不超過50個(gè)。今抽查一次，在1小時(shí)內(nèi)測得該裝置發(fā)出的質(zhì)點(diǎn)數(shù)為58個(gè)，問該裝置是否符合要求？樣本陽性數(shù)與總體平均數(shù)的比較----直接計(jì)算概率法H0(=0=50)成立時(shí),1小時(shí)內(nèi)該裝置發(fā)出的質(zhì)點(diǎn)數(shù)的概率分布30

H0：

=

0，即該裝置符合質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)

H1：≠0

，即該裝置不符合質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)

=0.05

u=1.1314<1.96，p>0.05，按

=0.05水準(zhǔn)不拒絕H0，尚不能認(rèn)為該裝置不符合質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)。樣本陽性數(shù)與總體平均數(shù)的比較----直接計(jì)算概率法31

例10

某省肺癌死亡率為35.2/10萬，在該省某地抽查10萬人，進(jìn)行三年死亡回顧調(diào)查，得肺癌死亡數(shù)為82人。已知該地人口年齡別構(gòu)成與全省基本相同。問該地肺癌死亡率與全省有無差別？樣本陽性數(shù)與總體平均數(shù)的比較----直接計(jì)算概率法32H0:該地肺癌死亡率與全省相同，即

=

0=35.23=105.6

H1:該地肺癌死亡率與全省不同，即

0

=0.05

本例X=82，

0=105.6>20，可用正態(tài)近似法進(jìn)行檢驗(yàn)。

P<0.05，按

=0.05的檢驗(yàn)水準(zhǔn)拒絕H0,接受H1,

可認(rèn)為該地居民肺癌死亡率低于全省。樣本陽性數(shù)與總體平均數(shù)的比較----直接計(jì)算概率法33（二）兩樣本陽性數(shù)的比較目的：推斷兩個(gè)樣本各自代表的兩總體平均數(shù)是否相等。當(dāng)兩個(gè)樣本陽性數(shù)X1,X2均大于20時(shí)，可用u檢驗(yàn)。

34兩樣本陽性數(shù)的比較----u檢驗(yàn)1.兩樣本觀察單位(時(shí)間、面積、容積等)相同

或35

例11

某省腫瘤研究所分別在甲、乙兩縣隨機(jī)抽查10萬育齡婦女，進(jìn)行追蹤觀察。三年中甲縣死于宮頸癌的有28人，乙縣死于宮頸癌者47人。問甲乙兩縣宮頸癌死亡率有無差別？

兩樣本陽性數(shù)的比較36

H0：

1=

2，即甲乙兩縣宮頸癌死亡人數(shù)/10萬相等

H1：

1

2，即甲乙兩縣宮頸癌死亡人數(shù)/10萬不等

=0.05

本例1.96<u=2.1939<2.58，故0.01<P<0.05，按

=0.05的水準(zhǔn)拒絕H0，接受H1，可認(rèn)為兩縣育齡婦女宮頸癌死亡率不同。兩樣本陽性數(shù)的比較37

例12

某車間在改革生產(chǎn)工藝前，隨機(jī)測量三次車間空氣中的粉塵濃度，每次取1升空氣，分別測得有38、29、36顆粉塵；改革生產(chǎn)工藝后又測量3次，每次取1升空氣，分別測得有25、18、21顆粉塵。問工藝改革前后粉塵濃度是否有變化？

兩樣本陽性數(shù)的比較38H0:

1=

2,工藝改革前后平均每3升空氣中的粉塵顆粒數(shù)相同H1:

1

2,工藝改革前后平均每3升空氣中的粉塵顆粒數(shù)不同

=0.05

本例u>2.58，故P<0.01，按

=0.05的水準(zhǔn)拒絕H0，接受H1，認(rèn)為改革生產(chǎn)工藝前后平均每3升空氣中的粉塵顆粒數(shù)不同，改革生產(chǎn)工藝后粉塵濃度降低了。兩樣本陽性數(shù)的比較39兩樣本陽性數(shù)的比較----u檢驗(yàn)2.

兩樣本觀察單位(時(shí)間、面積、容積等)不同需先將觀察單位化為相等，即分別計(jì)算出兩樣本陽性數(shù)的平均數(shù)。

40

例13

某縣防疫站從甲水井取樣7次，每次取1ml水培養(yǎng)，測得菌落數(shù)分別為30、70、120、50、80、60、40；乙水井取水樣5次，每次取1ml水培養(yǎng)，測得菌落數(shù)分別為70、90、130、40、80。問兩水井的細(xì)菌污染狀況有無差別？

H0:

1=

2，即兩水井平均每毫升水中細(xì)菌個(gè)數(shù)相同

H1:

1

2，即兩水井平均每毫升水中細(xì)菌個(gè)數(shù)不同

=0.05兩樣本陽性數(shù)的比較41

本例，甲、乙水井中平均每毫升水中的菌落數(shù)分別為兩樣本陽性數(shù)的比較42

本例u>2.58，故P<0.01，按

=0.05的水準(zhǔn)拒絕H0，接受H1，認(rèn)為兩水井的細(xì)菌污染狀況不同，乙水井的污