第03講 實際問題與二元一次方程組（知識解讀+達標(biāo)檢測）（原卷版）

第03講實際問題與二元一次方程組【題型1二元一次方程應(yīng)用】【題型2二元一次方程組應(yīng)用-雞兔同籠問題】【題型3二元一次方程組應(yīng)用-幾何問題】【題型4二元一次方程組應(yīng)用-球賽積分問題】【題型5二元一次方程組應(yīng)用-配套問題】【題型6二元一次方程組應(yīng)用-經(jīng)濟問題】【題型7二元一次方程組應(yīng)用-方案問題】考點1：二元一次方程（組）應(yīng)用的解題步驟步驟1．審題：透徹理解題意，弄清問題中的已知量和未知量，找出問題給出和涉及的相等關(guān)系；2．設(shè)元（未知數(shù)）：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)；3．列代數(shù)式和方程組：用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知數(shù)，根據(jù)題中給出的等量關(guān)系列出方程組，一般情況下，未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)是相同的；4．解方程組；5．檢驗：檢驗方程的根是否符合題意；6．作答：檢驗后作出符合題目要求的答案．二、基本公式單價×數(shù)量=總價利潤=實際售價-成本實際售價=標(biāo)價（原價）×折扣利潤率=×100【題型1二元一次方程應(yīng)用】【典例1】（2023秋?河西區(qū)期末）有m輛客車及n個人，若每輛客車乘40人，則還有10人不能上車；若每輛客車乘43人，則最后一輛車有2個空位．給出下面五個等式：①40m+10＝43m﹣2；②40m﹣10＝43m+2；③；④；⑤43m＝n+2．其中正確的是（）A．②③⑤ B．①④⑤ C．①③⑤ D．②④【變式1-1】（2023春?靖江市期末）《孫子算經(jīng)》中有個數(shù)學(xué)問題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問人與車各幾何？這道題的意思是：今有若干人乘車，每三人乘一車，最終剩余2輛車；每二人乘一車，最終剩余9人無車可乘，問有多少人，多少輛車？在用二元一次方程組解決該問題時，若已經(jīng)列出的一個方程是y＝3（x﹣2），則符合題意的另一個方程是（）A．y＝2x+9 B．y＝2x﹣9 C．x＝ D．x＝【變式1-2】（2023春?賓陽縣期末）《緝古算經(jīng)》中記載：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍幾何？”大意為：今有50只鹿進圈舍，小圈舍可以容納4頭鹿，大圈舍可容納6頭鹿，若每個圈舍都住滿，求需要多少圈舍？設(shè)需要大圈舍y間，小圈舍x間，則x與y的方程可列為（）A．4y+6x＝50 B．50+4x＝6y C． D．【變式1-3】（2023春?海淀區(qū)期末）將一個長方形的長減少5cm，寬變成現(xiàn)在的2倍，就成為了一個正方形，設(shè)這個長方形的長為xcm，寬為ycm，則下列方程中正確的是（）A．x+5＝2y B．x+5＝y(tǒng)+2 C．x﹣5＝2y D．x﹣5＝y(tǒng)+2【題型2二元一次方程組應(yīng)用-雞兔同籠問題】【典例2】（2023?綠園區(qū)開學(xué)）飼養(yǎng)場有黑兔和白兔共150只，白兔比黑兔多30只，黑兔和白兔各有多少只？【變式2-1】（2023春?宜陽縣期中）我國古代數(shù)學(xué)典籍《孫子算經(jīng)》中有著名的“雞兔同籠”問題，其原文為“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”．其大意是“現(xiàn)有若干只雞和若干只兔放在一個籠子里，從上面數(shù)共有35個頭，從下面數(shù)共有94只腳，問籠子里雞和兔各有多少？請你用所學(xué)的知識進行解答．【變式2-2】（2022秋?牡丹區(qū)期末）七年級某班現(xiàn)有班費45元，計劃購買甲、乙兩種小禮品共10件作為班級主題班會學(xué)生活動的獎品，它們的單價分別為4元、5元．若45元班費正好用完，求甲、乙兩種小禮品各購買多少件．【題型3二元一次方程組應(yīng)用-幾何問題】【典例3】（2023春?秦州區(qū)校級期中）小明在拼圖時，發(fā)現(xiàn)8個一樣大小的長方形如圖1那樣，恰好可以拼成一個大的長方形，小紅看見了，說“我來試一試．”結(jié)果小紅七拼八湊，拼成如圖2那樣的正方形，中間還留了一個洞，恰好是邊長為2cm的小正方形！試求圖2這個正方形的面積．【變式3-1】（2023秋?東莞市期末）如圖，由七個完全一樣的小長方形組成的大長方形ABCD，CD＝7，求長方形ABCD的周長．【變式3-2】（2022秋?薛城區(qū)期末）列二元一次方程組解應(yīng)用題：某居民小區(qū)為了綠化小區(qū)環(huán)境，建設(shè)和諧家園．準(zhǔn)備將一塊周長為76米的長方形空地，設(shè)計成長和寬分別相等的9塊小長方形，如圖所示．計劃在空地上種上各種花卉，經(jīng)市場預(yù)測，綠化每平方米空地造價210元，請計算，要完成這塊綠化工程，預(yù)計花費多少元？【變式3-3】（2022春?連山區(qū)期中）如圖，在大長方形ABCD中，放入六個相同的小長方形．（1）求小長方形的長和寬；（2）求陰影部分的面積．【題型4二元一次方程組應(yīng)用-球賽積分問題】【典例4】（2022春?思明區(qū)校級期中）某次籃球聯(lián)賽積分榜如表所示：隊名比賽場次勝場負場積分前進1410424東方149523遠大147721恒大1441018藍天1401414（1）通過觀察積分表，填空：勝一場得分，負一場得分．（2）雄鷹隊也參加了本次籃球聯(lián)賽，獲得積分25分，問雄鷹隊的勝、負場次情況．（3）聯(lián)賽中還有一個隊伍，隊長電話向當(dāng)?shù)亟M織者匯報，說隊伍在比賽中獲得勝場和負場的積分一樣多，請你通過數(shù)學(xué)計算判斷該隊長是否說謊．【變式4-1】（2020春?下陸區(qū)期末）有40支隊520名運動員參加籃球、足球比賽，其中每支籃球隊10人，每支足球隊18人，每名運動員只能參加一項比賽．籃球隊、足球隊各有多少支參賽？【變式4-2】（2023?皇姑區(qū)開學(xué)）甲、乙兩人進行射擊比賽，他們約定：每射中一發(fā)記20分，脫靶一發(fā)扣12分．兩個人各打10發(fā)，共得208分，其中甲比乙多得64分．（1）求甲、乙兩人各得多少分（2）求甲、乙兩人各射中多少發(fā)．【變式4-3】（2023秋?蘭州期末）在一次有12個隊參加的足球循環(huán)賽（每兩隊之間必須比賽一場）中，規(guī)定勝一場記3分，平一場記1分，負一場記0分．某隊在這次循環(huán)賽中所勝場數(shù)比所負場多兩場，結(jié)果積18分，問該隊?wèi)?zhàn)平幾場？【題型5二元一次方程組應(yīng)用-配套問題】【典例5】（2022春?沐川縣期末）某工廠生產(chǎn)如圖1所示的長方形和正方形紙板，做成如圖2所示的豎式與橫式兩種長方體形狀的無蓋紙盒，其中豎式紙盒由4個長方形和1個正方形紙板做成，橫式紙盒由3個長方形和2個正方形紙板做成（給定的長方形和正方形紙板都不用裁剪，也不考慮接縫）．（1）現(xiàn)有長方形紙板340張，正方形紙板160張，做成上述兩種紙盒，紙板恰好用完，求兩種紙盒生產(chǎn)個數(shù)．（2）紙板車間共有78名工人，每個工人一天能生產(chǎn)70張長方形紙板或者100張正方形紙板，已知一個豎式紙盒與一個橫式紙盒配套，要求紙板車間一天生產(chǎn)的紙板由其它車間做成豎式紙盒與橫式紙盒配套，問紙板車間應(yīng)該如何安排工人生產(chǎn)兩種紙板？【變式5-1】（2023秋?南崗區(qū)校級月考）某機械廠加工車間平均每人每天加工甲種零件10個或乙種零件16個，已知3個甲種零件和2個乙種零件配成一套，共有85名工人全員參加生產(chǎn)，問怎樣安排人員才能使每天加工的甲、乙零件數(shù)剛好配套？、【變式5-2】（2022秋?會寧縣期末）紅星服裝廠要生產(chǎn)一批某種型號的學(xué)生服裝，已知3米長的布料可做上衣2件或褲子3條，一件上衣和一條褲子為一套，計劃用600米長的這種布料生產(chǎn)，應(yīng)分別用多少布料生產(chǎn)上衣和褲子才能恰好配套？共能生產(chǎn)多少套？【變式5-3】（2022秋?全椒縣期末）在手工制作課上，老師組織班級同學(xué)用硬紙制作圓柱形茶葉筒．全班共有學(xué)生50人，其中男生x人，女生y人，男生人數(shù)比女生人數(shù)少2人．已知每名同學(xué)每小時剪筒身40個或剪筒底120個．（1）求這個班男生、女生各有多少人？（2）原計劃男生負責(zé)剪筒底，女生負責(zé)剪筒身，若要求一個筒身配兩個筒底，請說明每小時剪出的筒身與筒底能否配套？如果不配套，請說明如何調(diào)配人員，才能使每小時剪出的筒身與筒底剛好配套？【題型6二元一次方程組應(yīng)用-經(jīng)濟問題】【典例6】（2023秋?敦煌市期末）如圖，A，B兩地由公路和鐵路相連，在這條路上有一家食品廠，它到B地的距離是到A地距離的2倍，現(xiàn)該食品廠從A地購買原料，全部制成食品（制作過程中有損耗）賣到B地，兩次運輸（第一次：A地→食品廠，第二次：食品廠→B地）共支出公路運費15600元，鐵路運費20600元．已知公路運費為1.5元/（千米?噸），鐵路運費為1元/（千米?噸）．（1）求該食品廠到A地，B地的鐵路距離分別是多少千米？（2）求該食品廠買進原料及賣出食品各多少噸？（3）若該食品廠此次買進的原料每噸花費5000元，要想該批食品銷售完后工廠共獲利863800元，求賣出的食品每噸售價是多少元？（利潤＝總售價﹣總成本﹣總運費）【變式6-1】（2023秋?光明區(qū)期末）足球是世界第一運動，2022年世界杯足球賽再一次點燃了人們對足球運動的熱情．世界杯期間光明區(qū)某文具店用14400元購進了甲、乙兩款足球，一共200個．兩款足球的進價和標(biāo)價如下表：類別甲款足球乙款足球進價/（元/個）8060標(biāo)價/（元/個）12090（1）求該文具店的甲、乙兩款足球分別購進多少個？（2）該文具店為了加快銷售，回籠資金，決定對甲款足球打8折銷售，乙款足球打9折銷售，若所購的足球全部售出，則該文具店能獲利多少元？【變式6-2】（2023秋?羅湖區(qū)期末）為進一步落實“德、智、體、美、勞”五育并舉工作，有效開展“陽光體育”活動，某中學(xué)計劃從體育用品商場購買乒乓球拍和乒乓球用于學(xué)生社團活動．若購買2副球拍和3盒乒乓球則共需75元；若購買3副球拍和2盒乒乓球則共需100元．（1）求每副乒乓球拍和每盒乒乓球的價格．（2）學(xué)校計劃采購乒乓球拍20副和乒乓球30盒．元旦期間，商場搞促銷活動：甲商場全部商品打9折出售，乙商場買2副乒乓球拍送一盒乒乓球，請問在哪個商場采購合算？請說明理由．【變式6-3】（2022秋?阜新縣校級期末）某中學(xué)用1000元資金為全校在大型藥店購進普通醫(yī)用口罩、N95口罩兩種口罩共350個，該大型藥店的普通醫(yī)用口罩、N95口罩成本價和銷售價如表所示：類別/單價成本價（元/個）銷售價（元/個）普通醫(yī)用口罩0.82N95口罩48（1）該校在大型藥店購進普通醫(yī)用口罩、N95口罩各多少個？（2）銷售完這350個普通醫(yī)用口罩、N95口罩，該大型藥店共獲得多少利潤？【題型7二元一次方程組應(yīng)用-方案問題】【典例7】（2022秋?鄆城縣期末）2020年2月，“新冠“疫情日趨嚴重，“雷神山“醫(yī)院急需新型救護車，某企業(yè)為了向醫(yī)院捐獻救護車，派人到汽車銷售公司了解到，新型救護車共有A、B兩種型號，2輛A救護車、3輛B型救護車的進價共計80萬元；3輛A型救護車、2輛B型救護車的進價共計95萬元．（1）求A、B兩種型號的救護車每輛進價分別為多少萬元？（2）若該企業(yè)計劃正好用200萬元購進以上兩種型號的新型救護車（兩種型號的救護車均購買），該企業(yè)共有哪幾種購買方案？【變式7-1】（2022秋?新城區(qū)校級期末）已知：用2輛A型車和1輛B型車載滿貨物一次可運貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車載滿貨物一次可運貨11噸，某物流公司現(xiàn)有26噸貨物，計劃A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都載滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）1輛A型車和1輛車B型車都載滿貨物一次可分別運貨多少噸？（2）請你幫該物流公司設(shè)計租車方案；（3）若A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次．請選出最省錢車方案，并求出最少租車費．【變式7-2】（2023春?集美區(qū)校級期中）今年疫情期間某物流公司計劃用兩種車型運輸救災(zāi)物資，用2輛A型車和1輛B型車裝滿物資一次可運10噸；用1輛A型車和2輛B型車一次可運11噸．某物流公司現(xiàn)有31噸貨物資，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都裝滿．（1）1輛A型車和1輛B型車都裝滿物資一次可分別運多少噸？（2）請你幫該物流公司設(shè)計租車方案，并把符合要求的租車方案都列出來；（3）若A型車每輛需租金每次100元，B型車每輛租金每次120元，請從（2）中的方案里選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費．【變式7-3】（2023秋?彰武縣期末）2023上海國際車展于2023年4月18日正式開幕，新能源汽車成為本次車展的亮點．某汽車銷售公司計劃購進一批新能源汽車嘗試進行銷售，據(jù)了解1輛A型新能源汽車、3輛B型新能源汽車的進價共計55萬元；4輛A型新能源汽車、2輛B型新能源汽車的進價共計120萬元．（1）求A、B兩種型號的新能源汽車每輛的進價分別為多少萬元；（2）若該公司計劃正好用200萬元購進以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的新能源汽車均購買），請你通過計算幫該公司求出全部的購買方案．一．選擇題（共8小題）1．（2023春?通河縣期末）某年級學(xué)生共有246人，其中男生人數(shù)y比女生人數(shù)x的2倍多2人，則下面所列的方程組中符合題意的是（）A．B．C．D．2．（2023春?天山區(qū)校級期末）我國古典數(shù)學(xué)文獻《增刪算法統(tǒng)宗?六均輸》中有一個“隔溝計算”的問題：“甲乙隔溝牧放，二人暗里參詳．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙說得甲九只，兩家之?dāng)?shù)相當(dāng)，二人閑坐惱心腸，畫地算了半晌”其大意為：甲，乙兩人一起放牧，兩人心里暗中數(shù)羊．如果乙給甲9只羊，那么甲的羊數(shù)為乙的2倍；如果甲給乙9只羊，那么兩人的羊數(shù)相同．請問甲，乙各有多少只羊？設(shè)甲有羊x只，乙有羊y只，根據(jù)題意列方程組正確的為（）A． B． C． D．3．（2023秋?龍泉驛區(qū)期中）大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個有趣的問題．書中是這樣敘述的：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數(shù)，有35個頭，從下面數(shù)，有94只腳．問籠中各有多少只雞和兔？設(shè)雞有x只，兔有y只，列方程組得（）A． B． C． D．4．（2023春?開封期末）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：“今有木，不知長短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺，問木長多少尺．設(shè)木長為x尺，繩子長為y尺，則下列符合題意的方程組是（）A．B．C．D．5．（2023秋?歷城區(qū)校級期中）母親節(jié)來臨，小明去花店為媽媽準(zhǔn)備節(jié)日禮物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明將20元錢全部用于購買這兩種花（兩種花都買），小明的購買方案共有（）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種6．（2022秋?榆次區(qū)校級期末）一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的和是7，若十位上的數(shù)與個位上的數(shù)對換，得到的兩位數(shù)與原來的兩位數(shù)的差是9，則現(xiàn)在的兩位數(shù)是（）A．43 B．34 C．25 D．527．（2023春?巴州區(qū)期中）如圖是一塊在電腦屏幕上出現(xiàn)的長方形色塊圖，由6個不同顏色的正方形組成，已知中間最小的一個正方形的邊長為1，那么這個長方形色塊圖的周長為（）A．42 B．48 C．44 D．508．（2023春?淅川縣期中）已知∠A、∠B互余，∠A比∠B大30°，設(shè)∠A、∠B的度數(shù)分別為x°、y°，下列方程組中符合題意的是（）A．B．C．D．二．填空題（共5小題）9．（2023秋?鐵嶺期末）小明從郵局買了面值0.5元和0.8元的郵票共9枚，花了6.3元，小明買了兩種郵票各多少枚？若設(shè)買了面值0.5元的郵票x枚，0.8元的郵票y枚，則根據(jù)題意可列出方程組為．10．（2023?永康市一模）《水滸傳》中關(guān)于神行太保戴宗有這樣一段描述：程途八百里，朝去暮還來．某日，戴宗去180里之外的地方打探情報，去時順風(fēng)，用了2小時；回來時逆風(fēng)，用了6小時，則戴宗的速度為里/小時．11．（2023?二道區(qū)校級模擬）我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載了一道題，大意是：100匹馬恰好拉了100片瓦，已知1匹大馬能拉3片瓦，3匹小馬能拉1片瓦，問有多少匹大馬、多少匹小馬？若設(shè)大馬有x匹，小馬有y匹，那么可列方程組為．12．（2023春?欽南區(qū)校級期中）東辰中學(xué)利用課外活動時間進行班級籃球比賽，每場比賽都要決出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分，已知七年級一班在8場比賽中得到13分，問七年級一班勝了場．13．（2023?德惠市模擬）方程術(shù)是《九章算術(shù)》最高的數(shù)學(xué)成就，其中“盈不足”一章中曾記載“今有大器五小器一容三斛（“斛”是古代的一種容量單位），大器一小器五容二斛，問大小器各容幾何？”譯文：有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小