第4章 三角形-問題解決策略：特殊化 北師版七年級數(shù)學(xué)下冊教案

☆問題解決策略：特殊化教學(xué)目標(biāo)課題問題解決策略：特殊化授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.經(jīng)歷探究用特殊情形下獲得的結(jié)論或方法解決一般性問題的過程，掌握解決復(fù)雜問題的特殊化策略和方法。2.體會從一般到特殊，從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，提升抽象能力和推理能力。教學(xué)重點(diǎn)把一般問題轉(zhuǎn)化為特殊問題的思路和方法。教學(xué)難點(diǎn)如何找到一般問題中的特殊情形。教學(xué)活動教學(xué)步驟師生活動活動一：創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課【情境引入】數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在研究數(shù)列F=22n+1著名的前五項：F0=3，F(xiàn)1=5，F(xiàn)2=17，F(xiàn)3=257，F(xiàn)4=65537時，發(fā)現(xiàn)它們都是素數(shù)，于是費(fèi)馬就猜想：形如Fn=22n+1的數(shù)都是素數(shù)?？赡軞W拉有點(diǎn)看不慣這種“隨意”的猜想，歐拉計算了一下n=5時的情況，發(fā)現(xiàn)：4294967297=641*6700417。于是，費(fèi)馬的猜想被這個“特殊的5”否認(rèn)掉！20世紀(jì)被譽(yù)為“數(shù)學(xué)屆中的亞歷山大”數(shù)學(xué)家希爾伯特說：“在討論數(shù)學(xué)問題時，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用?！眰ゴ蟮臄?shù)學(xué)家華羅庚教授也說：“善于‘退’，一直‘退’到原始而不失重要性的地方，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個訣竅。而特殊化思考就是一種‘退一步’的策略！”今天這節(jié)課就讓我們一起來探討一下如何用特殊化的策略解決問題?！窘虒W(xué)建議】教師可以讓學(xué)生用科學(xué)計算器驗證一下n=5時，是不是Fn就不是素數(shù)。設(shè)計意圖以數(shù)學(xué)家的趣味數(shù)學(xué)為引入點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的興趣，為引出本課內(nèi)容做鋪墊。活動二：實踐探究，獲取新知探究點(diǎn)采用特殊化的策略解決問題師：首先理解特殊化這個概念。舉個例子：師：什么是特殊化策略呢？面對一般性的問題時，可以先考慮特殊情形，借助特殊情形下獲得的結(jié)論或方法解決一般性的問題，這就是特殊化策略。師：我們可以感受到在特殊情形下，問題變得具體、簡單、易于解決。因此，從特殊情形出發(fā)，有助于我們發(fā)現(xiàn)解決問題的思路?！窘虒W(xué)建議】教師還可以多舉幾個例子說明特殊化的含義，也可以讓學(xué)生模仿舉例。設(shè)計意圖通過實例讓學(xué)生經(jīng)歷探究用特殊情形找到解決一般問題的思路的過程，提教學(xué)步驟師生活動高學(xué)生的推理能力和抽象能力。下面我們來看看這個問題。問題如圖，有兩個邊長為1的正方形，其中正方形EFGH的頂點(diǎn)E與正方形ABCD的中心重合。在正方形EFGH繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)的過程中，兩個正方形重疊部分的面積是多少？【理解問題】(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，兩個正方形的重疊部分會呈現(xiàn)出哪些情形？(2)對于這些不同情形，如何求兩個正方形重疊部分的面積？你遇到的困難是什么？重疊部分隨著繞頂點(diǎn)E的旋轉(zhuǎn)是在變化的，所求重疊部分的面積有很多情形，不規(guī)則的情形下無法利用已知條件求出面積……【擬訂計劃】哪些特殊情形下，兩個正方形重疊部分的面積容易求出？如下圖這樣，重疊部分是規(guī)則圖形的時候容易求出。其他情形能轉(zhuǎn)化為容易求解的特殊情形嗎？能?！緦嵤┯媱潯繉懗瞿愕慕鉀Q方案，并說明道理。小明是這樣思考的：（1）先考慮特殊情形。如圖①、圖②，這兩種情形下，重疊部分的面積容易求出，都是。（2）將一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形。如圖③，連接EB，EC，兩個正方形重疊部分的面積記作S重疊，則S重疊=S△BEC+S△CEN-S△BEM?？梢园l(fā)現(xiàn)，△BEM≌△CEN，這時，圖③的情形就轉(zhuǎn)化為圖①的情形，S重疊=S△BEC=。因此，一般情形下，重疊部分的面積也是?！窘虒W(xué)建議】兩個正方形重疊的部分教師可以用多媒體展示，讓學(xué)生有個形象的認(rèn)識。教學(xué)步驟師生活動【回顧反思】(1)回顧本題的解決過程，你有哪些感悟？可由學(xué)生自由作答，教師再總結(jié)。師：在這個問題中，正方形EFGH的位置是變化的，所求重疊部分的面積有很多情形，因此，小明嘗試從特殊情形入手，并借助特殊情形的經(jīng)驗解決了一般情形下的問題。(2)具有什么特點(diǎn)的問題，可以從特殊情形入手？如何尋找特殊情形？與同伴進(jìn)行交流?？捎蓪W(xué)生自由作答，教師再總結(jié)。師：因為某些因素(如形狀、位置或數(shù)值等)不確定，使得問題有多種情形時，可以限制這個引起變化的因素，考慮最為特殊的情形，采用從特殊情形入手的策略解決問題。活動三：典例精講，升華提高例1一個三位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商最大是多少？（1）特殊值法分析題意（2）將一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形解：設(shè)這個三位數(shù)為100a+10b+c，可得(100a+10b+c)÷(a+b+c)=[(10a+10b+10c)+(90a-9c)]÷(a+b+c)=10+9(10a-c)÷(a+b+c)要使商最大，那么被除數(shù)應(yīng)最大，除數(shù)應(yīng)最小，可得c=0，b=0，此時商的最大值為：10+9×10a÷a=10+90=100。例2如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P向三邊作垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)。小穎從特殊情形入手，認(rèn)為AF+BD+CE等于△ABC周長的一半。你知道她是怎么做的嗎？解：小穎是從以下特殊情形入手，P為等邊三角形ABC三條高的交點(diǎn)，如圖所示。容易得到，△ABD≌△ACD，所以BD=CD。同理可得AF=BF，AE=CE。因此，容易得到AF+BD+CE等于△ABC周長的一半。【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P115第2，3題?！窘虒W(xué)建議】教師提示學(xué)生當(dāng)遇到光看題意無從下手的代數(shù)類題時，可先取特殊值分析題意，這樣有助于找到解題思路。設(shè)計意圖通過例題和對應(yīng)訓(xùn)練加深對特殊化解題策略的理解，拓展學(xué)生的思維?；顒铀模弘S堂提問，課堂總結(jié)【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：1.什么是特殊化策略？采用特殊化策略有什么好處？2.如何從一般問題中找特殊的情形？教學(xué)步驟師生活動板書設(shè)計☆問題解決策略：特殊化1.考慮特殊情形。2.將一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形。教學(xué)反思本節(jié)課難度較大