第10講 不等式及其性質(zhì)（七大題型）（原卷版）

第10講不等式及其性質(zhì)（七大題型）1．了解不等式的意義，認(rèn)識(shí)不等式和等式都刻畫了現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系.2.理解不等式的三條基本性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.3.掌握不等式解集的概念并會(huì)在數(shù)軸上表示解集.知識(shí)點(diǎn)一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式．要點(diǎn)：(1)不等號(hào)“＜”或“＞”表示不等關(guān)系，它們具有方向性，不等號(hào)的開口所對(duì)的數(shù)較大．(2)五種不等號(hào)的讀法及其意義：符號(hào)讀法意義“≠”讀作“不等于”它說明兩個(gè)量之間的關(guān)系是不相等的，但不能確定哪個(gè)大，哪個(gè)小“＜”讀作“小于”表示左邊的量比右邊的量小“＞”讀作“大于”表示左邊的量比右邊的量大“≤”讀作“小于或等于”即“不大于”，表示左邊的量不大于右邊的量“≥”讀作“大于或等于”即“不小于”，表示左邊的量不小于右邊的量(3)有些不等式中不含未知數(shù)，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知數(shù)，如2x＞5中，x表示未知數(shù)，對(duì)于含有未知數(shù)的不等式，當(dāng)未知數(shù)取某些值時(shí)，不等式的左、右兩邊符合不等號(hào)所表示的大小關(guān)系，我們說不等式成立，否則，不等式不成立．知識(shí)點(diǎn)二、不等式的基本性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)1：不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號(hào)的方向不變．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性質(zhì)2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．要點(diǎn)：對(duì)不等式的基本性質(zhì)的理解應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)不等式的基本性質(zhì)是對(duì)不等式變形的重要依據(jù)，是學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ)，它與等式的兩條性質(zhì)既有聯(lián)系，又有區(qū)別，注意總結(jié)、比較、體會(huì)．(2)運(yùn)用不等式的性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行變形時(shí)，要特別注意性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別，在乘(或除以)同一個(gè)數(shù)時(shí)，必須先弄清這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向要改變．知識(shí)點(diǎn)三、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個(gè)不等式的解集．要點(diǎn)：不等式的解是具體的未知數(shù)的值，不是一個(gè)范圍不等式的解集是一個(gè)集合，是一個(gè)范圍．其含義：①解集中的每一個(gè)數(shù)值都能使不等式成立；②能夠使不等式成立的所有數(shù)值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最簡(jiǎn)的不等式表示:一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式有無數(shù)個(gè)解，其解集是一個(gè)范圍，這個(gè)范圍可用最簡(jiǎn)單的不等式來表示．如：不等式x-2≤6的解集為x≤8．(2)用數(shù)軸表示:不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來，形象地表明不等式的無限個(gè)解．如圖所示：要點(diǎn)：借助數(shù)軸可以將不等式的解集直觀地表示出來，在應(yīng)用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要注意兩個(gè)“確定”：一是確定“邊界點(diǎn)”，二是確定方向．(1)確定“邊界點(diǎn)”：若邊界點(diǎn)是不等式的解，則用實(shí)心圓點(diǎn)，若邊界點(diǎn)不是不等式的解，則用空心圓圈；(2)確定“方向”：對(duì)邊界點(diǎn)a而言，x＞a或x≥a向右畫；對(duì)邊界點(diǎn)a而言，x＜a或x≤a向左畫．注意：在表示a的點(diǎn)上畫空心圓圈，表示不包括這一點(diǎn)．題型1：判斷不等式【典例1】．在下列數(shù)學(xué)表達(dá)式中，不等式的個(gè)數(shù)是（）①；②；③；④；⑤．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【典例2】．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5題型2：不等式的含義【典例3】．高鈣牛奶的包裝盒上注明“每100克內(nèi)含鈣150毫克”，它的含義是指（）A．每100克內(nèi)含鈣150毫克B．每100克內(nèi)含鈣不低于150毫克C．每100克內(nèi)含鈣高于150毫克D．每100克內(nèi)含鈣不超過150毫克【典例4】．2021年9月20日，由中國(guó)航天科技集團(tuán)五院抓總研制的天舟三號(hào)貨運(yùn)飛船在文昌航天發(fā)射場(chǎng)成功發(fā)射．隨后，按計(jì)劃安排，將與空間站核心艙和天舟二號(hào)組合體實(shí)現(xiàn)自主快速交會(huì)對(duì)接．據(jù)悉天舟三號(hào)貨運(yùn)飛船本次運(yùn)送物資不到6噸．若用x表示貨運(yùn)飛船的載貨質(zhì)量，則對(duì)x的取值理解最準(zhǔn)確的是（

）（單位：噸）A． B． C． D．題型3：列不等式【典例5】．x與y的差為負(fù)數(shù)，用不等式表示為（

）A． B． C． D．【典例6】．下面列出的不等式中，正確的是（

）A．a(chǎn)不是負(fù)數(shù)，可表示成 B．x不大于3，可表示成C．m與4的差是負(fù)數(shù)，可表示成 D．x與2的和是非負(fù)數(shù)，可表示成題型4：列不等式表示數(shù)學(xué)語(yǔ)言【典例7】．用不等式表示“7與m的3倍的和是非正數(shù)”就是．【典例8】．根據(jù)數(shù)量關(guān)系列不等式：與的倍的和是負(fù)數(shù)．【典例9】．用不等式表示“a的2倍與1的和是正數(shù)”：．【典例10】．用不等式表示：(1)的2倍與4的差是正數(shù)；(2)的與的和是負(fù)數(shù)；(3)與的差是非負(fù)數(shù)；(4)的與15的和的是負(fù)數(shù)；(5)的絕對(duì)值與1的和不小于1；(6)的與的和不大于的2倍與1的差．題型5：不等式的基本性質(zhì)【典例11】．按照下列條件，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，寫出成立的不等式．(1)，兩邊同加上y．(2)，兩邊同乘．(3)，兩邊同除以．(4)，兩邊同加上，再同除以7．【典例12】．已知a＞b，用“＞”“＜”填空，并說明理由．(1)a+3________b+3．(2)a-4________b-4．(3)a_______b．(4)-2a________-2b．(5)3a-1________3b-1．(6)1-a________1-b．【典例13】．若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【典例14】．根據(jù)不等式的基本性質(zhì)填空：（1）已知，則；（2）若，則．（填“”“”或“”）【典例15】．已知，試比較大?。海ㄌ睢啊被颉啊保镜淅?6】．如果，則（填“＞”、“＜”或“＝”）題型6：不等式的性質(zhì)拓展【典例17】．已知x＞y．(1)比較9－x與9－y的大小，并說明理由；(2)若，求m的取值范圍．【典例18】．請(qǐng)解決以下兩個(gè)問題：(1)利用不等式的性質(zhì)1比較與的大??；(2)利用不等式的性質(zhì)2比較與的大?。镜淅?9】．根據(jù)等式的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，我們可以得到比較兩個(gè)數(shù)量大小的方法：若，則；若，則；若，則，這種比較大小的方法稱為“作差比較法”，試比較與的大小．【典例20】．根據(jù)等式和不等式的性質(zhì)，我們可以得到比較兩數(shù)大小的方法：(1)①如果，那么a______b；②如果，那么a______b；③如果，那么a______b．(2)（1）中這種比較大小的方法稱為“求差法比較大小”，請(qǐng)運(yùn)用這種方法嘗試解決下面的問題：①比較與的大小；②若，比較a，b的大?。}型7：不等式的解集【典例21】．下列說法中，正確的是（

）A．不等式的解集是 B．是不等式的一個(gè)解C．不等式的整數(shù)解有無數(shù)個(gè) D．不等式的正整數(shù)解有4個(gè)【典例22】．如果是某不等式的解，那么該不等式可以是（

）A． B． C． D．【典例23】．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．是不等式的解 B．是不等式的解C．的解集是 D．的解集就是、、【典例24】．在四個(gè)數(shù)中，滿足不等式的有（

）A．－2 B．－3 C． D．1【典例25】．已知數(shù)軸上兩點(diǎn)，表示的數(shù)分別為，1，那么關(guān)于的不等式的解集，下列說法正確的是（）A．若點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，則解集為B．若點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，則解集為C．若解集為，則點(diǎn)必在點(diǎn)左側(cè)D．若解集為，則點(diǎn)必在點(diǎn)右側(cè)【典例26】．如果關(guān)于的不等式的解集為，則的值是（

）A． B． C． D．一、單選題1．有下列數(shù)學(xué)表達(dá)式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．下列說法中，正確的是（

）A．a(chǎn)不是正數(shù)，則 B．b是小于0的數(shù)，則C．c不大于-1，則 D．d是負(fù)數(shù)，則3．由，得到，應(yīng)滿足的條件是（

）A． B． C． D．4．、是實(shí)數(shù)，且，，則下列判斷中正確的是（

）A．， B．， C．， D．，5．如圖，甲、乙、丙玩蹺蹺板(支點(diǎn)在中點(diǎn)處)，則甲、乙、丙三人體重最重的是()A．甲 B．乙 C．丙 D．無法確定6．據(jù)淮安日?qǐng)?bào)報(bào)道，2013年5月28日淮安最高氣溫是，最低氣溫是，則當(dāng)天淮安氣溫的變化范圍是（）A． B． C． D．7．若、是有理數(shù)，則下列說法中正確的是（

）A．若則 B．若則C．若則 D．若則8．下列各式中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，且，則 D．若，則9．下列說法正確的是（）．A．x=1是不等式2x＜1的解 B．x=3是不等式-x＜1的解集C．x＞-1是不等式-2x＜1的解集 D．x＞-1是不等式-x＜1的解集10．下列說法中，錯(cuò)誤的是(

)A．不等式的解集是B．不等于的正數(shù)解有有限個(gè)C．不是不等式的解D．若，則11．關(guān)于x的不等式－x+a≥1的解集如圖所示，則a的值為（）A．－1 B．0 C．1 D．212．下列四個(gè)不等式：；；；,一定能推出的有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題13．給出下列表達(dá)式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中屬于不等式的是．（填序號(hào)）14．“a，b兩數(shù)同號(hào)“，可用一個(gè)不等式表示為．15．設(shè)“▲”“■”表示兩種不同的物體,現(xiàn)用天平稱量,情況如圖所示.設(shè)一個(gè)“▲”的質(zhì)量為Akg,一個(gè)“■”的質(zhì)量為Bkg,則可得A與B的關(guān)系是AB．16．用不等式表示下列各語(yǔ)句所描述的不等關(guān)系：（1）是正數(shù)：；（2）是負(fù)數(shù)：；（3）不小于4：；（4）是非負(fù)數(shù)：；（5）的2倍比9大：；（6）的一半與8的和是負(fù)數(shù)：；（7）的3倍與5的和大于的：；（8）相反數(shù)是非正數(shù)：；17．設(shè)，用“”或“”填空：（1）；（2）．18．在，，，0，1，3中，是不等式的解的有，是不等式的解的有．19．已知關(guān)于x的不等式的解集為，則a的取值范圍為．20．若，，，，，則、、之間的大小關(guān)系是．三、解答題21．用不等式表示（1）a的與一1的差是非正數(shù)．

（2）a的平方減去b的立方大于a與b的和．（3）a的減去4的差不小于-6．（4）x的2倍與y的和不大于5．（5）長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬分別為4、，它的周長(zhǎng)大于20．22．在公路上，同學(xué)們常能看到如圖所示的幾種不同交通標(biāo)志圖形，它們有著不同的意義，如果設(shè)汽車載重為x，速度為y，寬度為l，高度為h，請(qǐng)你用不等式表示圖中各種標(biāo)志的意義．23．a(chǎn)、b、c表示的數(shù)在數(shù)軸上如圖所示，試填入適當(dāng)?shù)?gt;”“<”或“=”．（1）______．（2）________0．（3）__________．（4）________．（5）________．（6）_______．（7）________．（8）_______．24．用不等式的性質(zhì)解下列不等式，并在數(shù)軸上表示解集：（1）；（2）；（3）；（4）．25．若，試比較下列各式的大小并說明理由．（1）與；（2）與．26．在－4，－2，－1，0，，1.5，2中，哪些數(shù)能使不等式x－1>－2成立？27．把如圖所示的關(guān)于的不等式的解集表示出來：（1）

（2）

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（4）