第10講 不等式及其性質（七大題型）（原卷版）

第10講不等式及其性質（七大題型）1．了解不等式的意義，認識不等式和等式都刻畫了現(xiàn)實世界中的數(shù)量關系.2.理解不等式的三條基本性質，并會簡單應用.3.掌握不等式解集的概念并會在數(shù)軸上表示解集.知識點一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小關系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等關系的式子也是不等式．要點：(1)不等號“＜”或“＞”表示不等關系，它們具有方向性，不等號的開口所對的數(shù)較大．(2)五種不等號的讀法及其意義：符號讀法意義“≠”讀作“不等于”它說明兩個量之間的關系是不相等的，但不能確定哪個大，哪個小“＜”讀作“小于”表示左邊的量比右邊的量小“＞”讀作“大于”表示左邊的量比右邊的量大“≤”讀作“小于或等于”即“不大于”，表示左邊的量不大于右邊的量“≥”讀作“大于或等于”即“不小于”，表示左邊的量不小于右邊的量(3)有些不等式中不含未知數(shù)，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知數(shù)，如2x＞5中，x表示未知數(shù)，對于含有未知數(shù)的不等式，當未知數(shù)取某些值時，不等式的左、右兩邊符合不等號所表示的大小關系，我們說不等式成立，否則，不等式不成立．知識點二、不等式的基本性質不等式的基本性質1：不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性質2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性質3：不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．要點：對不等式的基本性質的理解應注意以下幾點：(1)不等式的基本性質是對不等式變形的重要依據(jù)，是學習不等式的基礎，它與等式的兩條性質既有聯(lián)系，又有區(qū)別，注意總結、比較、體會．(2)運用不等式的性質對不等式進行變形時，要特別注意性質2和性質3的區(qū)別，在乘(或除以)同一個數(shù)時，必須先弄清這個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)，如果是負數(shù)，不等號的方向要改變．知識點三、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個不等式的解集．要點：不等式的解是具體的未知數(shù)的值，不是一個范圍不等式的解集是一個集合，是一個范圍．其含義：①解集中的每一個數(shù)值都能使不等式成立；②能夠使不等式成立的所有數(shù)值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最簡的不等式表示:一般地，一個含有未知數(shù)的不等式有無數(shù)個解，其解集是一個范圍，這個范圍可用最簡單的不等式來表示．如：不等式x-2≤6的解集為x≤8．(2)用數(shù)軸表示:不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來，形象地表明不等式的無限個解．如圖所示：要點：借助數(shù)軸可以將不等式的解集直觀地表示出來，在應用數(shù)軸表示不等式的解集時，要注意兩個“確定”：一是確定“邊界點”，二是確定方向．(1)確定“邊界點”：若邊界點是不等式的解，則用實心圓點，若邊界點不是不等式的解，則用空心圓圈；(2)確定“方向”：對邊界點a而言，x＞a或x≥a向右畫；對邊界點a而言，x＜a或x≤a向左畫．注意：在表示a的點上畫空心圓圈，表示不包括這一點．題型1：判斷不等式【典例1】．在下列數(shù)學表達式中，不等式的個數(shù)是（）①；②；③；④；⑤．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【典例2】．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5題型2：不等式的含義【典例3】．高鈣牛奶的包裝盒上注明“每100克內含鈣150毫克”，它的含義是指（）A．每100克內含鈣150毫克B．每100克內含鈣不低于150毫克C．每100克內含鈣高于150毫克D．每100克內含鈣不超過150毫克【典例4】．2021年9月20日，由中國航天科技集團五院抓總研制的天舟三號貨運飛船在文昌航天發(fā)射場成功發(fā)射．隨后，按計劃安排，將與空間站核心艙和天舟二號組合體實現(xiàn)自主快速交會對接．據(jù)悉天舟三號貨運飛船本次運送物資不到6噸．若用x表示貨運飛船的載貨質量，則對x的取值理解最準確的是（

）（單位：噸）A． B． C． D．題型3：列不等式【典例5】．x與y的差為負數(shù)，用不等式表示為（

）A． B． C． D．【典例6】．下面列出的不等式中，正確的是（

）A．a(chǎn)不是負數(shù)，可表示成 B．x不大于3，可表示成C．m與4的差是負數(shù)，可表示成 D．x與2的和是非負數(shù)，可表示成題型4：列不等式表示數(shù)學語言【典例7】．用不等式表示“7與m的3倍的和是非正數(shù)”就是．【典例8】．根據(jù)數(shù)量關系列不等式：與的倍的和是負數(shù)．【典例9】．用不等式表示“a的2倍與1的和是正數(shù)”：．【典例10】．用不等式表示：(1)的2倍與4的差是正數(shù)；(2)的與的和是負數(shù)；(3)與的差是非負數(shù)；(4)的與15的和的是負數(shù)；(5)的絕對值與1的和不小于1；(6)的與的和不大于的2倍與1的差．題型5：不等式的基本性質【典例11】．按照下列條件，根據(jù)不等式的基本性質，寫出成立的不等式．(1)，兩邊同加上y．(2)，兩邊同乘．(3)，兩邊同除以．(4)，兩邊同加上，再同除以7．【典例12】．已知a＞b，用“＞”“＜”填空，并說明理由．(1)a+3________b+3．(2)a-4________b-4．(3)a_______b．(4)-2a________-2b．(5)3a-1________3b-1．(6)1-a________1-b．【典例13】．若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【典例14】．根據(jù)不等式的基本性質填空：（1）已知，則；（2）若，則．（填“”“”或“”）【典例15】．已知，試比較大?。海ㄌ睢啊被颉啊保镜淅?6】．如果，則（填“＞”、“＜”或“＝”）題型6：不等式的性質拓展【典例17】．已知x＞y．(1)比較9－x與9－y的大小，并說明理由；(2)若，求m的取值范圍．【典例18】．請解決以下兩個問題：(1)利用不等式的性質1比較與的大??；(2)利用不等式的性質2比較與的大?。镜淅?9】．根據(jù)等式的性質和不等式的性質，我們可以得到比較兩個數(shù)量大小的方法：若，則；若，則；若，則，這種比較大小的方法稱為“作差比較法”，試比較與的大小．【典例20】．根據(jù)等式和不等式的性質，我們可以得到比較兩數(shù)大小的方法：(1)①如果，那么a______b；②如果，那么a______b；③如果，那么a______b．(2)（1）中這種比較大小的方法稱為“求差法比較大小”，請運用這種方法嘗試解決下面的問題：①比較與的大小；②若，比較a，b的大?。}型7：不等式的解集【典例21】．下列說法中，正確的是（

）A．不等式的解集是 B．是不等式的一個解C．不等式的整數(shù)解有無數(shù)個 D．不等式的正整數(shù)解有4個【典例22】．如果是某不等式的解，那么該不等式可以是（

）A． B． C． D．【典例23】．下列說法錯誤的是（）A．是不等式的解 B．是不等式的解C．的解集是 D．的解集就是、、【典例24】．在四個數(shù)中，滿足不等式的有（

）A．－2 B．－3 C． D．1【典例25】．已知數(shù)軸上兩點，表示的數(shù)分別為，1，那么關于的不等式的解集，下列說法正確的是（）A．若點在點左側，則解集為B．若點在點右側，則解集為C．若解集為，則點必在點左側D．若解集為，則點必在點右側【典例26】．如果關于的不等式的解集為，則的值是（

）A． B． C． D．一、單選題1．有下列數(shù)學表達式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．下列說法中，正確的是（

）A．a(chǎn)不是正數(shù)，則 B．b是小于0的數(shù)，則C．c不大于-1，則 D．d是負數(shù)，則3．由，得到，應滿足的條件是（

）A． B． C． D．4．、是實數(shù)，且，，則下列判斷中正確的是（

）A．， B．， C．， D．，5．如圖，甲、乙、丙玩蹺蹺板(支點在中點處)，則甲、乙、丙三人體重最重的是()A．甲 B．乙 C．丙 D．無法確定6．據(jù)淮安日報報道，2013年5月28日淮安最高氣溫是，最低氣溫是，則當天淮安氣溫的變化范圍是（）A． B． C． D．7．若、是有理數(shù)，則下列說法中正確的是（

）A．若則 B．若則C．若則 D．若則8．下列各式中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，且，則 D．若，則9．下列說法正確的是（）．A．x=1是不等式2x＜1的解 B．x=3是不等式-x＜1的解集C．x＞-1是不等式-2x＜1的解集 D．x＞-1是不等式-x＜1的解集10．下列說法中，錯誤的是(

)A．不等式的解集是B．不等于的正數(shù)解有有限個C．不是不等式的解D．若，則11．關于x的不等式－x+a≥1的解集如圖所示，則a的值為（）A．－1 B．0 C．1 D．212．下列四個不等式：；；；,一定能推出的有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題13．給出下列表達式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中屬于不等式的是．（填序號）14．“a，b兩數(shù)同號“，可用一個不等式表示為．15．設“▲”“■”表示兩種不同的物體,現(xiàn)用天平稱量,情況如圖所示.設一個“▲”的質量為Akg,一個“■”的質量為Bkg,則可得A與B的關系是AB．16．用不等式表示下列各語句所描述的不等關系：（1）是正數(shù)：；（2）是負數(shù)：；（3）不小于4：；（4）是非負數(shù)：；（5）的2倍比9大：；（6）的一半與8的和是負數(shù)：；（7）的3倍與5的和大于的：；（8）相反數(shù)是非正數(shù)：；17．設，用“”或“”填空：（1）；（2）．18．在，，，0，1，3中，是不等式的解的有，是不等式的解的有．19．已知關于x的不等式的解集為，則a的取值范圍為．20．若，，，，，則、、之間的大小關系是．三、解答題21．用不等式表示（1）a的與一1的差是非正數(shù)．

（2）a的平方減去b的立方大于a與b的和．（3）a的減去4的差不小于-6．（4）x的2倍與y的和不大于5．（5）長方形的長與寬分別為4、，它的周長大于20．22．在公路上，同學們常能看到如圖所示的幾種不同交通標志圖形，它們有著不同的意義，如果設汽車載重為x，速度為y，寬度為l，高度為h，請你用不等式表示圖中各種標志的意義．23．a(chǎn)、b、c表示的數(shù)在數(shù)軸上如圖所示，試填入適當?shù)?gt;”“<”或“=”．（1）______．（2）________0．（3）__________．（4）________．（5）________．（6）_______．（7）________．（8）_______．24．用不等式的性質解下列不等式，并在數(shù)軸上表示解集：（1）；（2）；（3）；（4）．25．若，試比較下列各式的大小并說明理由．（1）與；（2）與．26．在－4，－2，－1，0，，1.5，2中，哪些數(shù)能使不等式x－1>－2成立？27．把如圖所示的關于的不等式的解集表示出來：（1）

（2）

（3）

（4）