人教A版高中數(shù)學(xué)必修5培優(yōu)新方案 教師用書

解三角形

1.1.正弦定理和余弦定理

1.1.1正弦定理

讀教材—預(yù)習(xí)新知

一、預(yù)習(xí)教材?問題導(dǎo)入

預(yù)習(xí)課本P2~3,思考并完成以下問題

⑴直角三角形中的邊角之間有什么關(guān)系？

(2)正弦定理的內(nèi)容是什么？利用它可以解哪兩類三角形?

(3)解三角形的含義是什么？

二、歸納總結(jié)?核心必記

1.正弦定理

在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即總=七=舟

［規(guī)律總結(jié)］正弦定理的特點(diǎn)

(1)適用范圍：正弦定理對任意的三角形都成立.

(2)結(jié)構(gòu)形式：分子為三角形的邊長，分母為相應(yīng)邊所對角的正弦的連等式.

(3)刻畫規(guī)律：正弦定理刻畫了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)三角形中邊角

關(guān)系的互化.

2.解三角形

一般地，把三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,幺叫做三角形的元素，已知

三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.

三、基本技能?素養(yǎng)培優(yōu)

1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)正弦定理適用于任意三角形()

(2)在△ABC中，等式加inA=asin8總能成立()

(3)在△48C中，己知a,b,A,則此三角形有唯一解()

解析：(1)正確.正弦定理適用于任意三角形.

(2)正確.由正弦定理知［=一：'-%即〃sinA=asin8.

siiiAsinD

(3)錯誤.在△ABC中，已知a,b,A,此三角形的解有可能是無解、一解、兩解的情況,

具體情況由a,b,A的值來定.

答案：(1)J(2)V(3)X

2.在△ABC中，下列式子與等的值相等的是()

人b§加b

A.-B.~~7

csinA

解析：選c由正弦定理得，而7=而？，

所以*A=gC.

3.在△A8C中，已知A=30。，B=60。，a=10,則6等于()

A.5/B.1(^/3

C.呼D.5而

.R10X日

解析：選B由正弦定理得，》=%詈=-j—=1叭/1

sin/TLi

2

4.在中，4=,，b=2,以下錯誤的是()

A.若。=1,則c有一解B.若a=小,則c有兩解

4

C.若。=不則。無解D.若a=3,則。有兩解

解析：選Da=2s岐=1時，c有一解；當(dāng)a<l時，c無解；當(dāng)lva<2時，c有兩個解;

a>2時，c有一解.故選D.

細(xì)探究?——突破重難

考點(diǎn)一已知兩角及一邊解三角形

［典例］在△A5C中，已知a=8,5=60。，C=75°,求A,b,c.

［解］A=180°—(8+O=180°-(60°+75°)=45°,

b舊asinB8Xsin60°r-

由正弦定理?，得2赤廠

sinBsinA

J24-V6

,_a_____j,sasinC8Xsin75°「入4,,行」、

由^71=砧，得。=而才=sin45。=~^=4(A/3+1).

2

［類題通法］

已知三角形任意兩角和一邊解三角形的基本思路

(1)由三角形的內(nèi)角和定理求出第三個角.

(2)由正弦定理公式的變形，求另外的兩條邊.

［注意］若已知角不是特殊角時，往往先求出其正弦值(這時應(yīng)注意角的拆并，即將非特

殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差，如75。=45。+30。)，再根據(jù)上述思路求解.

［針對訓(xùn)練］

1.在8c中，若4=60。,13=45°,BC=3yf2,則AC=()

A.4小B.2y[3

灌

C幣

普=磊,即占,所以其趣義號

解析：選B由正弦定理得,

2

2巾，故選B.

2.已知在△A5C中，c=10,4=45°,C=30°,求a,b和反

解：*

?sinAsinC9

.csinA10Xsin45°r-

,,a=sinC=sin30°=10v2-

B=180°-(A+O=180o-(45o+30o)=105°.

*sinBsinC9

csinB10Xsin105°

~~去=20sin75°

b=sinC=sin30

亞詈=5(*+6

=20X

考點(diǎn)二已知兩邊及其中一邊的對角解三角形

［典例］在△ABC中，a=巾，b=y［2,5=45。，求A,C,c.

［解］由正弦定理及已知條件，有舟品,

得sinA=

2

*：a>b,???4>5=45。.???4=60?；?20°.

加inC由sin750#+也

當(dāng)4=60。時,C=180°-45o-60o=75°,

-sin3-sin45°一2

_加inC__2s^2sin_152_V6222j2

當(dāng)4=120。時，C=180°-45°-120°=15°,c=sinB=sin45°=2，

_.y[6+y[2..#—也

綜上可知：A=60°,C=75°,c=、,Y或A=120。,C=15°,c=、5、一.

［類題通法］

已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形的方法

(1)首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值.

(2)如果已知的角為大邊所對的角時，由三角形中大邊對大角、大角對大邊的法則能判斷

另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一.

(3)如果已知的角為小邊所對的角時，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦值

可求兩個角，要分類討論.

［針對訓(xùn)練］

在△A8C中，c=祈，C=60°,a=2,求A,B,b.

asinC\[2

解.；一=—5^/?sinA—

,sinAsinCr2?

，A=45?；駻=135°.

又：.OA.：.A=45°.

.R_”。csin_B_^sin752

H,b-s.nc-或1^。。73+1.

考點(diǎn)三三角形形狀的判斷

［典例］在△A3C中，acose一A)=反os住一8),判斷△A5C的形狀.

解：［法一化角為邊］

■:acosg-A)=bcos住一8),

.".asinA=6sinB.由正弦定理可得：

LKLK.

???。2="，：.a=b9???△ABC為等腰三角形.

［法二化邊為角］

,:4cos?！狝)=力cose—3),

AasinA=Z>sinB.

由正弦定理可得：2/?sin2A=2Ksin28,即sinA=sin8,

：.A=B.（A+B=n不合題意舍去）

故△ABC為等腰三角形.

［類題通法］

利用正弦定理判斷三角形的形狀的兩條途徑

（1）化角為邊.將題目中的所有條件，利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)多項(xiàng)式的有關(guān)知識

（分解因式、配方等）得到邊的關(guān)系，如a=b,出+從=。2等，進(jìn)而確定三角形的形狀.利用

Qb￡

的公式為：sinA=灰，sin8=赤，sinC=森.

（2）化邊為角.將題目中所有的條件，利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知

識得到三個內(nèi)角的關(guān)系，進(jìn)而確定三角形的形狀.利用的公式為：a=2RsinA,b=2RsinB,

c=2RsinC.

［針對訓(xùn)練］

在△ABC中，已知acosA=bcos8,試判斷△ABC的形狀.

解：由正弦定理,sjn4=§汨c=2&所以“cosA=Acos3可化為sinAcosA=sin

sinA

5cos僅sin2A=sin2B,又3c中，A,B9CE(0,n)9所以24=23或24+23=冗，即

yr

A=5或4+5=3，所以△ABC的形狀為等腰或直角三角形.

多練悟力——素養(yǎng)提升

A級——學(xué)考水平達(dá)標(biāo)

1.在△4BC中，a=5,b=3,則sinA：sin8的值是（）

,5?3

A.§B.g

解析：選A根據(jù)正弦定理得鬻

2.在△ABC中，a=bsinA,則△43C一定是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

解析：選B由題意有肅合,則sin3=1,

即角5為直角，故△A8C是直角三角形.

3.在△A8C中，若吟9=用，則c的值為（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

解析：選B由正弦定理得，呼=喈=喑,

則cosC=sinC,即C=45°,故選B.

4.△ABC中，A弋，b=y[29則〃等于()

A.1B.2

C#D.2^3

解析：選A由正弦定理得一與=△￡,

?九.加

sm^sin^

故選A.

5.在△ABC中，角A,。所對的邊分別是a,b,c,且〃=小加而4則sin5=()

A.^3B坐

解析：選B由正弦定理得〃=2RsinA,b=2RsinB,所以sin4=q§sinbsinA,故sin

6.下列條件判斷三角形解的情況，正確的是(填序號).

①a=8,i=16,A=30°,有兩解；

②)=18,c=20,6=60。，有一解；

③〃=15,b=2,A=90。，無解；

④。=40,*=30,4=120°,有一解.

解析：①中〃=AsinA,有一解；②中csinB<b<c,有兩解；③中4=90。且。>心有一

解；④中心。且4=120。，有一解.綜上，④正確.

答案：④

7.在△A3C中，若(sinA+sinB)(sinA-sinB)=sin2C,則△ABC的形狀是.

解析：由已知得sii^A—sin23=sin2c,根據(jù)正弦定理知sinA=必，sinsinC=

ZK乙K

C

2R9

所以閡2-閡『㈤2，

即標(biāo)一方2=。2,故從+c2=a2.所以3c是直角三角形.

答案：直角三角形

8.在銳角△ABC中，BC=1,B=2A,則一J=_______.

COSA

1ArAC

解析：由正弦定理及已知得而工=而五，二3=2.

答案：2

9.已知一個三角形的兩個內(nèi)角分別是45。，60。，它們所夾邊的長是1,求最小邊長.

解：設(shè)△A8C中，4=45。，8=60。，

則。=180。一(4+5)=75。.

因?yàn)镃>B>A,所以最小邊為a.

又因?yàn)閏=l,由正弦定理得，

csinA11sin45°r-_

a=sinC=sin75°=v3-b

所以最小邊長為小一1.

10.在△ABC中，已知a=2巾,A=30°,5=45。，解三角形.

鋌.??---~~——￡—

除?,sinA-sinB-sinC

.,asinBiVlsin45°2V^X^2~

?"=sin4=sin30°=1-=4

2

.?.C=180°—(4+5)=180°—(30°+45°)=105°,

.asinC2visin1()5°2點(diǎn)sin75°

**c-sinA-sin30°-1

2

=Wisi11(30°+45°)=2+2W.

B級——高考能力達(dá)標(biāo)

1.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,h,c,如果c=45a,8=30。，那么

角C等于()

A.120°B.105°

C.90°D.75°

解析：選A,:c=W，：.sinC=V3sinA=V5sin(180°-30°-O=V3sin(30°+0=^3

曾sinC+|cosc),即sinC=-小cosC,：.tanC=一黃.又0°<C<180°,

.?.C=120°.故選A.

2.已知a,A,c分別是△A5C的內(nèi)角A,B,C的對邊，若△ABC的周長為4(6+1),

且sinB+sinC=[isinA,則a=()

A.y/2B.2

C.4D.2V2

解析：選C根據(jù)正弦定理，sin8+sinC=qisinA可化為6+。=也%

?.?△ABC的周長為4(V2+1),

(a+b+c=4(yl2+l),

.?.<廠解得a=4.故選C.

[b+c=^2a,

3-在△AM中，A=6。。，。=回，則/提%小于（）

A.苧

B.嚕

r26y/3

3

A-.,…a-ri)~rca

解析：選B由a=2Rsin4,b=2Rsin8,c=2RsinC得.A+sin8+sin

_V13_2^39

=sin60o=3?

4.在△ABC中，若4<8<C,且A+C=2B,最大邊為最小邊的2倍，則三個角A：5：

C=()

A.1：2：3B.2：3：4

C.3：4：5D.4：5：6

解析：選A由4<8<C,SLA+C=2B,A+B+C=n,可得8出，又最大邊為最小邊

的2倍，所以C=2Q,所以sinC=2sinA,即sin(y—Aj=2sinA=tan4=方~,又OVAVTT,

所以4=3，從而C=7，則三個角A：B：C=1：2：3,故選A.

01

5.在△ABC中，A=60°,8=45。，a+b=12,則a=,b=.

解析：因?yàn)槎?=/^,所以「扁=「展，

sinAsinBsin60sm45

所以坐》=申明①

又因?yàn)閍+6=12,②

由①②可知a=12（3—黃），b=12（V6-2）.

答案：12（3—水）12（木一2）

6.在△ABC中，若4=120。，AB=5,BC=7,則sin3=.

解析：由正弦定理，得靛=煞，

AB*sinA

即C=

sinBC

5sin120°5^3

=7=14*

可知C為銳角，，cosC=yj1—sin2C=1^.

:.sinB=sin(l80°一120。一O=sin(60°-C)

3\[3

=sin60°-cosC-cos60°*sinC=.

口榮，14

7.在△ABC中，角4,B,C的對邊分別為a,心。且高■=7亡

⑴求角C的大?。?/p>

(2)如果市方=4,求△A5C的面積.

a_____c

sinAsinC'

解：⑴由＜a?得sinC=^/3cosC,

、sin4一巾cosC'

故tanC=小，又CG(0,：r),所以C=g.

(2)^~CA-~CB=\CA||CB|cosC=^ba=4得ab=S,

所以SA4BC=1?/?sinC=3x8X乎=2小.

|拓廣探索|

8.在△A5C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bcosC+由bsin

⑴求8；

(2)若b=小,求a+c的取值范圍.

解：(1)由正弦定理知：sin8cosc+巾sin8sinC—sinA-sinC=0,

VsinA=sin(B+C)=sin3cosC+cosBsinC代入上式得：

小sinBsinC-cosBsinC—sinC=0.

VsinOO,.?./sinB—cosB—1=0,

即sin(TH,

7T

VBG(0,7i),1B=].

(2)由(1)得：2R=^~^=2,a+c=2R(sinA+sinO

=2\/5sin(c+/.

?.?CG(O,y),：.2y[3sin(c+^G(^3,2回

.,.a+c的取值范圍為(6，25].

1.1.2余弦定理

讀教材:?---預(yù)習(xí)新知

一、預(yù)習(xí)教材?問題導(dǎo)入

預(yù)習(xí)課本P5~6,思考并完成以下問題

(1)余弦定理的內(nèi)容是什么？

(2)已知三角形的兩邊及其夾角如何解三角形？

(3)已知三角形的三邊如何解三角形？

二、歸納總結(jié)?核心必記

余弦定理

=萬2+?—2-CC0S_A，

余弦定理公式表達(dá))2=。2+。2-2accos_3,

/=必+-2-2a-cos_C

三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這

語言敘述

兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍

余弦定理b2+c2-a2a2+c2—b2

cosA_2bc'cosb—2ac'

推論

a2+Z>2—c2

cosC-lab

[規(guī)律總結(jié)]余弦定理的特點(diǎn)

(1)適用范圍：余弦定理對任意的三角形都成立.

(2)揭示的規(guī)律：余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個角的余弦之間的關(guān)系，它含

有四個不同的量，知道其中的三個量，就可求得第四個量.

三、基本技能?素養(yǎng)培優(yōu)

1.判斷下列命題是否正確.（正確的打“J”，錯誤的打“X”）

（1）余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系，因此，它適應(yīng)于任何三角形（）

（2）在△ABC中，若標(biāo)＞"+。2,則△ABC一定為鈍角三角形（）

（3）在△A8C中，已知兩邊和其夾角時，△ABC不唯一（）

解析：（1）正確.余弦定理反映了任意三角形的邊角關(guān)系，它適合于任何三角形.

62+。2—“2

⑵正確.當(dāng)。2＞方2+。2時，COSA=TT＜0.

乙DC

因?yàn)?＜4＜兀，故4一定為鈍角，△45C為鈍角三角形.

（3）錯誤.當(dāng)AABC已知兩邊及其夾角時可利用余弦定理求得第三邊長且唯一，因此△

ABC唯一確定.

答案：（1）7（2）V（3）X

2.在△ABC中，已知a=9,b=2小，C=150°,則c等于（）

A.A/39B.85

C.1072D.7市

解析：選D由余弦定理得：

?792+（2?。疽?X9X2巾Xcos150。

=7147

=7小.

3.在△A8C中，已知a2=/?2+c2+加，則角A等于（）

A.60°B.45°

C.120°D.30°

1

解析：選C由cosA=-----示---=-5'，4=120Q.

4.在△A5C中，已知》2=歐且c=2a,貝！1cos〃等于（）

解析：選B由〃2=℃且c=2〃得cos6=

層+4。2—2。23

=4.故選B.

2a*2a

細(xì)探究突破重難

考點(diǎn)一已知兩邊與一角解三角形

［典例］(1)在△A8C中，己知8=60cm,c=6(h/3cm,4=^,貝!］“=cm；

(2)在△ABC中，若AB=/,AC=5,且cosC=*,貝lj8C=.

［解析］（1）由余弦定理得:

=^/4X602-3X602=60(cm).

(2)由余弦定理得：(由)2=52+30—2X5X8C><V，

所以BG-gSC+ZOnO,解得BC=4或8c=5.

［答案］(1)60(2)4或5

［類題通法］

已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法

先利用余弦定理求出第三邊，其余角的求解有兩種思路：一是利用余弦定理的推論求出

其余角；二是利用正弦定理（已知兩邊和一邊的對角）求解.

若用正弦定理求解，需對角的取值進(jìn)行取舍，而用余弦定理就不存在這些問題（在（0,n）

上，余弦值所對角的值是唯一的），故用余弦定理求解較好.

［針對訓(xùn)練］

在△4BC中，a=2部,c=y［6+yfl,8=45。，解此三角形.

解：根據(jù)余弦定理得，

Z>2=a2+c2-2accosB=(2V3)2+(V6+V2)2-2X2V3X(V6+V2)Xcos45。=8,

：.b=2yj2.

ft2+c2—a28+(#+啦)2-(2小>1

又.cosA=-—=2義23義(而+圾=2>

，A=60°,C=180°-（A+B）=75°.

考點(diǎn)二已知三角形的三邊解三角形

［典例］在8c中，已知a=2幣，b=*,c=3+S，解此三角形.

［解］法一：由余弦定理的推論得

b2+c2-a2（的2+（3+啊2一（25）2正

C0SA：詼—=2X加><（3+?。?2，

...A=45°.同理可求3=30°,故C=1800-A-B=180o-45o-30o=105°.

法二：由余弦定理的推論得

fe2+c2-a2(#>+(3+^)2—(2小Ay［2

cos4=2bc=2X,X(3+5)=2'AA=45°.

由正弦理版sin3知sin45°-sinB,

徨..在sin45。1

4s，nB-2小-2-

由a>b知A>B,.\B=30°.

故。=180°—4-8=180°—45°—30°=105°.

［類題通法］已知三邊解三角形的策略

(1)已知三邊求角的基本思路是：利用余弦定理的推論求出相應(yīng)角的余弦值，值為正，角

為銳角；值為負(fù)，角為鈍角，其思路清晰，結(jié)果唯一.

(2)若已知三角形的三邊的關(guān)系或比例關(guān)系，常根據(jù)邊的關(guān)系直接代入化簡或利用比例性

質(zhì)，轉(zhuǎn)化為已知三邊求解.

［針對訓(xùn)練］

已知a,b,c是△A5C三邊之長，若滿足等式(a+b-c)?(a+)+c)=ab,則C的大小為

()

A.60°B.90°

C.120°D.150°

解析：選C'J(a+b—c)(a+b+c)=ab,

'.c2—a2+b2+ab,

層+從一。2

由余弦定理可得，cosC=—說一

。2+/>2—⑷+小+就)ab工

lab-2ab~V

V0o<C<180o,.\C=120°,故選C.

考點(diǎn)三利用余弦定理判斷三角形形狀

[典例]在△48C中，若於sin2C+c2sin28=2AccosBcosC,試判斷△A5C的形狀.

解：［法一化角為邊］

將已知等式變形為

/>2(1—cos2C)+c2(1—cos2B)=Ibccos8cosC.

由余弦定理并整理，得

b2+c2-b

02+〃2-。2

2ab

[(層+52—。2)+(〃2+。2-52)]24〃4

22

：.b+c=4層

???A=90"??ZkA3C是直角三角形.

［法二化邊為角］

由正弦定理，已知條件可化為

sin2Csin2B+sin2Csin2B=2sinBsinCeos3cosC.

又sinBsinC#0,

/.sinBsinC=cosBcosC,即cos(8+C)=().

又,.,0°<B+C<180°,；.B+C=90°,.-.A=90°.

.,.△ABC是直角三角形.

［類題通法］判斷三角形形狀的兩條途徑

(1)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)

關(guān)系；

(2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變

形，得出內(nèi)角的關(guān)系，此時要注意應(yīng)用A+B+C=TT這個結(jié)論.

［針對訓(xùn)練］

在△ASC中，acosA+bcos￡?=ccosC,試判斷△ABC的形狀.

皿.A-iZ>2+<?2-a2c2+a2-Z>2a2+h2-c2

解：由余弦A理知cosA=痂，cos3=菊，cosC=茄，代入已知

條件得

i2+c2-a2c2+a2—ft2c2~a2-b2

a'-2bc-+b'-lea—十，?一茄一=0,

通分得a2(ft2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)+c2(c2—a2—62)=0,

展開整理得(。2—)2)2=°4.，42一方2=±七即?2=ft2+c2或b2=a2+c2.

根據(jù)勾股定理知△ABC是直角三角形.

考點(diǎn)四正、余弦定理的綜合應(yīng)用

［典例］在8c中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知加inA=acos(B-g.

(1)求角B的大?。?/p>

(2)設(shè)a=2,c=3,求占和sin(2A-B)的值.

［解］⑴在△48C中，

由正弦定理二=可得bsinA=asinB.

sm/isina

又因?yàn)閎sinA=acos^B—

所以osinB=acos^B-

石］

即sinB=,cosB+zsinB,

所以tanB=木.

因?yàn)锽￡(0,n),所以34.

(2)在△ABC中,由余弦定理及Q=2,C=3,B=1,

得b2=a2+c2—2accos5=7,故b=木.

由bsinA=acos^B-可得sin4=夸.

2

因?yàn)閍Vc,所以cos4=訴.

所以sin2A=2sinAcosA=邛^,

cos2A=2cos24—l=y.

所以sin(2A—B)=sin2Acoscos2AsinB

401、亞3^/3

=7X2-7X2=14-

［類題通法］

(1)正、余弦定理是解決三角形問題的兩個重要工具，這類題目往往結(jié)合基本的三角恒等

變換，同時注意三角形中的一些重要性質(zhì)，如內(nèi)角和為180。、大邊對大角等.

(2)解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，則要考慮用余弦定理；如果式

子中含有角的正弦或邊的一次式時，則要考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮

兩個定理都有可能用到.

［針對訓(xùn)練］

1.在△A3C中，求證島in2B+"sin2A=2“加inC.

證明：法一：(化為角的關(guān)系式)

a2sin2B+Z>2sin24=(2/?-sinA)2-2sinB-cosB+(2/?-sinB)2-2sinA,cosA=8/?2sinA-sin

B(sinA-cos￡?+cosAsinB)=8Zf2sinAsinBsinC=2?2KsinA-2/fsinB-sinC=2absinC.

原式得證.

法二：(化為邊的關(guān)系式)

,..,.,2ba2+c2~b2,,2ab2+c2~a2ah,,,

左邊=q2.2sin8cosB+Z>2-2sinAcosA=a2'^----+〃■獲.---------2bc

—b2+b2+c2—a2)=^~-2c2=2ab-^=2absinC=右邊，

LK.CLK

...原式得證.

2.已知△ABC的周長為4(g+l),角A,B,C所對的邊分別為a,h,c,且有sinB

+sinC="\/2sinA.

(1)求邊長a的值；

(2)若△48C的面積為S=3sinA,求48?AC的值.

解：(1)由正弦定理，得b+c=ga.①

又a+萬+c=4(g+l),②

聯(lián)立①②，解得a=4.

(2)VSAABC=3sinA,A^csinA=3sinA,即be=6.

義,:b+c=^a=4版

二由余弦定理得

b2+c2—a1(b+c)2—2〃c一標(biāo)j

cos4=TZZ=m=7?

AB,AC=bccosA=2.

多練悟?——素養(yǎng)提升

A級——學(xué)考水平達(dá)標(biāo)

1.在△A〃C中，已知(〃+8+C)(0+C-G)=3AC,則角A等于()

A.30°B.60°

C.120°D.150°

22222

解析：選BV(b+c)—a=b-￥c-{-2bc—a=3bc9

?\62+c2-a2=ic,

b2+c2-a21

???cosA=2>bc=2,**?A=60°.

2.在△ABC中，若〃=8,b=7,COSC=TT,則最大角的余弦值是()

1111

--c---

5B.67D.8

解析：選C由余弦定理，得

13

c2=a2+b2~2abcosC=82+72-2X8X7X-^=9,

所以c=3,故a最大，

所以最大角的余弦值為

加+c2—“272+32—821

cosA=_2bc-=2X7X3=~T

C2—a2—廬

3.在△A5C中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,若一。->0,則△ABC(

A.一定是銳角三角形B.一定是直角三角形

C.一定是鈍角三角形D.是銳角或直角三角形

解析：選C由前>0得一cosC>0,

所以cosC<0,從而C為鈍角，因此△ABC一定是鈍角三角形.

4.若△ABC的內(nèi)角4,B,C所對的邊a,b,c滿足3+與2—。2=4,且。=60。，則M

的值為（）

A3B.8-4^3

D.|

C.1

解析:選A由(a+8)2—c?=4,得a2+ft2—c2+2aft=4,由余弦定理得a2+ft2—c2=2afecos

4

C=2abcos60°=ab,則。方+2a5=4,Aab=y

5.（2018?全畫卷ni）2^A3C的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為小b,c.若△A5C的面積為

a2+62-c2

一4一，貝。（）

A.]B?W

C4D6

回a_1a2+ft2-c2labcosC10

解析：選CVS=Tfl6sinC==^fecosC,AsinC=cosC,即tan

C=l.

VCe(0,：.C=^.

6.已知a,b,c為△ABC的三邊，8=120°,貝lj滔+02+或一》2=,

解析：Vft2=a2+c2—2accosi?=a2+c2—2?ccos120°

=a2+c2+ac,

?\a2+c2+ac—Z>2=0.

答案：0

7.在△A〃C中，若b=l,c=小,。=苧，則a=.

解析：Vc2=a2+h2-labcosC,

A(-\/3)2=a2+l2—2aXIXcos季

Aa2+a—2=0,即(a+2)(a—1)=0,

，a=l,或〃=—2(舍去).

答案：1

8.在△A3C中，若a=2,b+c=l9cos3=一：,則力=

解析：因?yàn)榱?c=7,所以c=7一尻

222

由余弦定理得：Z>=a+c-2accosB9

即。2=4+(7—b)2—2X2X(7—6)義(一二)，

解得b=4.

答案：4

9.在△ABC中，A+C=2B,a+c=8,ac=15,求反

解：在△A8C中，,：A+C=2B,A+B+C=180。，

...3=60°.

由余弦定理，

得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2—2ac-2accosB

=82-2X15-2X15X1=19.

：.b=y[19.

10.在△ABC中，已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sinC.

解：?.,a>c>6,為最大角.

由余弦定理的推論，得

"+c2一層32+52-72]_

cosA=_2bc-=2X3X5=-2*

5CV0°<A<180°,

/.4=120°,

A

AsinA=sin120。=與

亞

缶T檜…訶坦.?「csinA_____25小

由正弦無理，得sinC—@—7—乂?

二最大角A為120°,sinC=等.

B級—高考能力達(dá)標(biāo)

1.在△ABC中，有下列關(guān)系式：

?asinB=hsinA；?a=bcosC+ccosB；?a2+b2—c2=2abcosC；④/>=csinA+asinC.

一定成立的有()

A.1個B.2個

C.3個D.4個

解析：選C對于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立.對于②，由正弦定理及sin4

=sin(B+C)=sinBcosC+sinCeosB,知顯然成立.對于④，利用正弦定理，變形得sin8

=sinCsinA+sinAsinC=2sinAsinC,又sinB=sin(A+C)=cosCsinA+cosAsinC,與上

式不一定相等，所以④不一定成立.故選C.

2.在△A5C中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,若C=120。，，=也。，則a,b

的大小關(guān)系為()

A.a>bB.a<b

C.a=bD.不能確定

解析：選A在△ABC中，。2=〃2+62—2。反0§120。=*+"+。〃.*.2Q2=Q2

222

+b+ab,，區(qū)一）2=〃b>0,a>b9：.a>b.

a■|'c

3.在△A8C中，“5弓=不-,則△48。是（）

A.正三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

5..、Ba+ccos8+1a+c

=

解析：選Bcos2=2C?'22c'

aa2+c2-b2a,,,,

.?.cos8=]:.2ac=1???/+，2—。2=2區(qū),

即，+/=c2,.?.△ABC為直角三角形.

r

4.（2018?全國卷口）在△ABC中，cosj=^-,BC=1,AC=S,貝！JAB=（）

A.4A/2B.V30

C.^29D.2A/5

解析：選AVcosf=^,

cosc=2cos2j—1=2X1=—1.

在△ABC中，由余弦定理，得C=52+12-2X5X1X

=32,

；.AB=4巾.

3

5.在aA5c中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別是小b,c,已知c=2尻若sin。=不則

sinB—；若b2+bc=2a2,貝！JcosB=.

33

解析：因?yàn)閏=2瓦所以sinC=2sin3=1，所以sin.因?yàn)閏=2瓦所以力2+兒=3〃2

(4o

=2層，所以〃=乎力.

〃+c2T2_*+4廬一從

_3^6

所以cosB=

2ac-2y[6b2=8,

3￥

-

8

6.在8c中，4=120°,AB=5,5c=7,則黑常的值為

解析：由余弦定理可得49=Aa+25—2X5XACXcos120°,整理得:

AC2+5-AC-24=0,

解得AC=3或AC=-8(舍去)，

w上一、以R-ve亞旦AC3

再由正弦無理可得嬴7=同=總

答案建

rnw/I——0

7.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知-：3-二丁。

⑴求鵲的值;

(2)若cos3=:,△ABC的周長為5,求b的長.

解：⑴由正弦定理可設(shè)急=熹=漆=心

2