高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步學(xué)與練（人教版）第02講 向量的加法運(yùn)算（解析版）

第02講6.2.1向量的加法運(yùn)算

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1通過(guò)閱讀課本在數(shù)量加法的基礎(chǔ)上，理解向量加法與

①理解并掌握向量加法的概念。數(shù)量加法的異同；

②掌握向量加法的三角形法則和平行四邊2.熟練運(yùn)用掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形

形法則，并能熟練地運(yùn)用這兩個(gè)法則作兩個(gè)法則，并能熟練地運(yùn)用這兩個(gè)法則在題目中靈活的作兩

向量的加法運(yùn)算。個(gè)向量的加法運(yùn)算；

③了解向量加法的交換律和結(jié)合律，并能作3.在認(rèn)真學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，深刻掌握兩個(gè)或者多個(gè)相連接

圖解釋向量加法運(yùn)算律的合理性。加法的交換律和結(jié)合律，并能作圖解釋向量加法運(yùn)算律

的合理性，把運(yùn)算律的應(yīng)用范圍進(jìn)行拓廣；

知識(shí)點(diǎn)01：向量的加法

（1）向量加法的定義

求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法.兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量.對(duì)于零向量與任意向量a，我們規(guī)定

a00aa.

（2）向量加法的三角形法則(首尾相接，首尾連）

已知非零向量a,b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作ABa,BCb,則向量AC叫做a與b的和,記作ab,即

abABBCAC.這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.

（3）向量加法的平行四邊形法則（作平移,共起點(diǎn),四邊形,對(duì)角線）

已知兩個(gè)不共線向量a,b,作OAa,OBb,以O(shè)A,OB為鄰邊作OACB,則以O(shè)為起點(diǎn)的向量

OC(OC是OACB的對(duì)角線)就是向量a與b的和.這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊

形法則.

rrr

【即學(xué)即練1】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量abc．

【答案】詳見解析

【詳解】解法一：（三角形法則），如下圖所示，作AB=a，BC=b，

則ACab，再作CDc，則ADACCD=(ab)c，即ADabc.

解法二：（平行四邊形法則）因?yàn)橄蛄縜，b，c不共線，

如下圖所示，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OAa，OBb，

以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OADB，則對(duì)角線ODab，

再作OCc，以O(shè)C，OD為鄰邊作平行四邊形OCED，則OEabc.

（4）多個(gè)向量相加

已知n個(gè)向量，依次把這n個(gè)向量首尾相連，以第一個(gè)向量的始點(diǎn)為始點(diǎn)，第n個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量

叫做這n個(gè)向量的和向量，這個(gè)法則叫做向量求和的多邊形法則。如圖ODOAABBCCD.

知識(shí)點(diǎn)02：向量加法的運(yùn)算律

（1）交換律abba

（2）結(jié)合律(ab)ca(bc)

題型01求向量的和

【典例1】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量a、b，用向量加法的三角形法則作出向量ab．

(1)(2)(3)

【答案】(1)答案見解析

(2)答案見解析

(3)答案見解析

【詳解】（1）解：作OAa，ABb，abOAABOB，則OB即為所求作的向量.

（2）解：作OAa，ABb，abOAABOB，則OB即為所求作的向量.

（3）解：作OAa，ABb，abOAABOB，則OB即為所求作的向量.

【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，正六邊形ABCDEF中，BACDEF.

【答案】CF

【詳解】將CD平移到AF，EF平移到CB，

故BACDEFCBBAAFCAAFCF.

故答案為:CF.

【典例3】（2023下·山東濟(jì)寧·高一嘉祥縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，按下列要求作答．

(1)以A為始點(diǎn)，作出ab；

(2)以B為始點(diǎn)，作出cde；

(3)若圖表中小正方形邊長(zhǎng)為1，求ab、cd．

【答案】(1)圖見解析

(2)圖見解析

(3)5，1

【詳解】（1）將a,b的起點(diǎn)同時(shí)平移到A點(diǎn)，利用平行四邊形法則作出ab，如下圖所示：

（2）先將共線向量c,d的起點(diǎn)同時(shí)平移到B點(diǎn),計(jì)算出cd,再平移向量e與之首尾相接，利用三角形法則即

可作出cde，如下圖所示：

（3）由a是單位向量可知a1，根據(jù)作出的向量利用勾股定理可知，

ab12225；

由共線向量的加法運(yùn)算可知cdcc1.

【變式1】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）填空：

（1）ABBC；

【答案】AC

【詳解】（1）ABBCAC；

故答案為：（1）AC；

【變式2】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量a、b，用向量加法的平行四邊形法則作出向量ab．

(1)(2)

【答案】(1)答案見解析

(2)答案見解析

【詳解】（1）解：作OAa，OBb，以O(shè)A、OB為鄰邊作OACB，abOAOBOC，

則OC即為所求作的向量.

（2）解：作OAa，OBb，以O(shè)A、OB為鄰邊作OACB，abOAOBOC，

則OC即為所求作的向量.

【變式3】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）如圖，已知a,b，求作ab.

(1)(2)

【答案】(1)答案見解析

(2)答案見解析

【詳解】（1）在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，如圖所示

作OAa,ABb,則OBab.

（2）在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，如圖所示

作ABa,BCb,則ACab.

題型02向量的加法運(yùn)算

【典例1】（2022下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，

則OABCABDO等于（）

A．CDB．DC

C．DAD．DO

【答案】B

【詳解】OABCABDODOOAABBCDC.

故選：B

【典例2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知下列各式：①ABBCCA；②(ABMB)BOOM；

③OAOCBOCO；④ABCABDDC.其中結(jié)果為0的是.(填序號(hào))

【答案】/

uuuruuuruuruuuruurr

【詳解】①④AB④B①CCAACCA0;

②(ABMB)BOOM(ABBO)(OMMB)AOOBAB0;

③OAOCBOCOOABOBA0;

④ABCABDDC(CAAB)(BDDC)CBBC0.

故答案為：①④.

【變式1】（2022下·浙江·高一階段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，則OAOCOE（）

A．0B．0C．AED．EA

【答案】A

【詳解】連接OB.

由正六邊形的性質(zhì)，可知OAB與△OBC都是等邊三角形，

OAABBCOC

∴四邊形OABC是平行四邊形，

OAOCOB，

OAOCOEOBOE0，

故選:A.

【變式2】（2022下·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期中）向量ABCBBDBEDC化簡(jiǎn)后等于（）

A．AEB．ACC．ADD．AB

【答案】A

【詳解】由ABCBBDBEDCACCBBEAE,

故選：A

題型03向量加法的運(yùn)用

【典例1】（2023下·安徽淮北·高一淮北師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，

DADBDC，且DADCDB，則ABC．

【答案】120

【詳解】因?yàn)镈ADCDB，所以由向量的加法的幾何意義可知四邊形ABCD是平行四邊形，

又因?yàn)镈ADBDC，所以四邊形ABCD是菱形，

且DAB60，所以ABC120．

故答案為：120

uuuruuur

【典例2】（2023下·河南鄭州·高一?？茧A段練習(xí)）若AB8，AC5，則BC的取值范圍是（）

A．3,8B．0,8C．3,13D．3,13

【答案】C

【詳解】BCACAB，當(dāng)AB，AC同向時(shí)，BC853；當(dāng)AB，AC反向時(shí)，BC8513；

當(dāng)AB，AC不共線時(shí)，3BC13；

故選：C.

【變式1】（2023·高一單元測(cè)試）如圖，在ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，F(xiàn)為線段DE延長(zhǎng)線

uuuruuuruuuruuur

上一點(diǎn)，DE//BC,AB//CF，連接CD，那么ABDF；ADFC.

【答案】ACAB

【詳解】因?yàn)镈E//BC,AB//CF，

所以四邊形DFCB為平行四邊形，由向量加法的運(yùn)算法則可知：

uuuruuuruuuruuuruuur

ABDFABBCAC；

uuuruuuruuuruuuruuur

ADFCADDBAB.

故答案為：AC；AB.

【變式2】（2022下·廣東湛江·高一校考階段練習(xí)）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，

(1)化簡(jiǎn)向量ADDCCB；

(2)求向量ABADCD的模.

【答案】(1)AB

(2)2

【詳解】（1）ADDCCBACCBAB

（2）由向量的平行四邊形法則與三角形法則，ABADCDACCDAD2

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1．（2023下·天津紅橋·高一統(tǒng)考期末）化簡(jiǎn)：ABCABD（）

A．BCB．DCC．CDD．DA

【答案】C

【詳解】ABCABDCAABBDCBBDCD.

故選：C.

2．（2023下·海南省直轄縣級(jí)單位·高一?？计谥校┤鐖D，在正六邊形ABCDEF中，AFFE（）

．．．．

AAEBBEC0DCF

【答案】A

【詳解】由向量的加法法則，得AFFEAE.

故選：A.

3．（2023下·云南迪慶·高一統(tǒng)考期末）四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，則OABCAB等于（）

A．CDB．OCC．DAD．CO

【答案】B

【詳解】OABCABOAABBCOBBCOC,

故選：B

4．（2013下·山西晉中·高一統(tǒng)考期中）在四邊形ABCD中，若ACABAD，則四邊形ABCD是（）

A．平行四邊形B．菱形C．矩形D．正方形

【答案】A

【詳解】由平面向量加法的平行四邊形法則可知，四邊形ABCD為平行四邊形.

故選：A

5．（2022下·云南·高一統(tǒng)考期末）如圖，一個(gè)人騎自行車由A地出發(fā)到達(dá)B地，然后由B地出發(fā)到達(dá)C地，

則這個(gè)人由A地到C地位移的結(jié)果為（）

A．ABB．BCC．ACD．CA

【答案】C

【詳解】由題意ABBCAC,

故這個(gè)人由A地到C地位移的結(jié)果為AC，

故選：C

6．（2023下·廣西·高一統(tǒng)考期末）在矩形ABCD中，AB2，BC1，則ABADAC等于（）

A．25B．23C．3D．4

【答案】A

【分析】在矩形ABCD中，由AB2，BC1可得AC5，

又因?yàn)锳BADAC，故ABADAC2AC，故ABADAC25．

故選：A.

7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）a、b為非零向量，且abab，則（）

A．a(chǎn)與b方向相同B．a(chǎn)bC．a(chǎn)bD．a(chǎn)與b方向相反

【答案】A

【詳解】由向量模長(zhǎng)的三角不等式可得abab，當(dāng)且僅當(dāng)a、b的方向相同時(shí)，等號(hào)成立，

因?yàn)閍bab，所以a與b方向相同，

故選：A．

uuur

8．（2023下·甘肅天水·高一天水市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在矩形ABCD中，設(shè)AB=4，BC2，則ABAD

的模為（）

A．25B．45C．12D．6

【答案】A

uuur

【詳解】已知在矩形ABCD中，AB=4，BC2，

因?yàn)锳BADABBCAC，

22

根據(jù)勾股定理ACABBC422225．，

所以ABAD的模為25.

故選：A.

二、多選題

9．（2022下·高一單元測(cè)試）下列結(jié)論中正確的是（）

A．000

B．對(duì)任一向量a，0//a

C．對(duì)于任意向量a,b，abba

D．對(duì)于任意向量a,b，ab0

【答案】BC

rrr

【詳解】對(duì)A，000，故A不正確；

對(duì)B，根據(jù)零向量的方向是不確定的，則其和任何向量共線B正確；

對(duì)C，根據(jù)向量加法交換律，C正確；

對(duì)D，ab時(shí)，ab0，D不正確.

故選：BC.

10．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）已知向量AB,BC,AC，那么下列命題中正確的有（）

A．AB+BC=ACB．ABBCAC

C．ABBCACD．ABBCAC

【答案】AD

【詳解】解：由向量的加法法則可得：AB+BC=AC，故A正確，C錯(cuò)誤；

當(dāng)點(diǎn)B在線段AC上時(shí)，ABBCAC，否則ABBCAC,故B錯(cuò)誤，D正確．

故選：AD.

三、填空題

11．（2023下·上海浦東新·高一?？茧A段練習(xí)）化簡(jiǎn)AEEBBC.

【答案】AC

【詳解】AEEBBCABBCAC.

故答案為：AC

12．（2023下·高一單元測(cè)試）若有以下命題：

①兩個(gè)相等向量的模相等；②若a和b都是單位向量，則ab；

rrrrrr

③相等的兩個(gè)向量一定是共線向量；④a//b，c//b，則a//c；

⑤零向量是唯一沒(méi)有方向的向量；⑥兩個(gè)非零向量的和可以是零．

其中正確的命題序號(hào)是．

【答案】①③

【詳解】①長(zhǎng)度相等，方向相同的向量為相等向量，故①正確；

②單位向量為長(zhǎng)度為1的向量，方向不確定，故②錯(cuò)誤；

③相等向量的方向相同，所以一定是共線向量，故③正確；

④若b0，則a和c不一定平行，故④錯(cuò)誤；

⑤零向量的長(zhǎng)度為0，方向?yàn)槿我夥较?，即零向量有方向，故⑤錯(cuò)誤；

⑥向量的和仍然是向量，不會(huì)是一個(gè)數(shù)，故⑥錯(cuò)誤.

故答案為：①③.

13．（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）已知OA3，OB3，AOB＝60，則OAOB等于．

【答案】33

【詳解】如圖，由|OA||OB|3，∴四邊形OACB為菱形．

連接OC、AB，則OCAB，設(shè)垂足為D．

33

∵AOB＝60，AB|OA|3，∴在RtBDC中，CD．

2

33

∴OCOAOB233

2

故答案為：33

14．（2017上·山東濟(jì)南·高三濟(jì)南外國(guó)語(yǔ)學(xué)校階段練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，ABC120，AB2，

則BCDC．

【答案】23

【詳解】如圖所示，設(shè)菱形對(duì)角線交點(diǎn)為O,BCDCADABAC．

因?yàn)锳BC120，所以BAD60，

所以△ABD為等邊三角形．

又ACBD，AB2，

所以O(shè)B1．

22

在Rt△AOB中，AOABOB3，

所以BCDCAC2AO23．

故答案為:23

四、解答題

15．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）如圖，無(wú)彈性的細(xì)繩OA，OB的一端分別固定在A，B處，同樣的細(xì)繩OC

下端系著一個(gè)稱盤，且使得OBOC，試分析OA，OB，OC三根繩子受力的大小，并判斷哪根繩受力最大.

【答案】分析答案見解析，OA受力最大

【詳解】設(shè)OA，OB，OC三根繩子所受的力分別為a，b，c，則abc0.

因?yàn)閍，b的合力為cab，所以cc.

如圖在平行四邊形OBCA中，

因?yàn)镺BOC，BCOA，

所以O(shè)AOB，OAOC，即ab，ac.

故細(xì)繩OA受力最大.

16．（2022·高一課前預(yù)習(xí)）如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)

下列各式：

(1)DGEACB；

(2)EGCGDAEB