河南省安陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)試卷（附答案）

河南省安陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)試卷考生注意：1．本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4．本試卷為通用版試卷，本月練習(xí)卷無(wú)地區(qū)卷。命題范圍：高考范圍。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1．若集合，則（）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足且，則（）A．5 B． C． D．103．已知等差數(shù)列的前8項(xiàng)和為48；，則的公差為（）A．1 B．2 C．4 D．84．已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是C上的一點(diǎn)，點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是（）A． B． C． D．5．已知平面向量滿足，且，則（）A．2 B． C． D．16．把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，則的圖象的一條對(duì)稱軸方程為（）A． B． C． D．7．已知三棱錐各個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為的球的球面上，且，，，則球心到平面的距離為（）A． B． C．3 D．8．已知是定義域?yàn)榈姆浅Ｖ岛瘮?shù)，且，，是的導(dǎo)函數(shù)，且的定義域?yàn)椋粼O(shè)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列條件使一定為等比數(shù)列的是（）A． B． C． D．10．斜率為2的直線l與雙曲線的兩條漸近線交于，兩點(diǎn)，與雙曲線交于C，D兩點(diǎn)，P是線段的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．是雙曲線兩條漸近線所構(gòu)成的“X”形圖象的方程B．P也是線段的中點(diǎn)C．若l過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)，則直線的斜率是D．若l過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)分別在棱上（與端點(diǎn)不重合），過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，則下列說(shuō)法正確的是（）A．可能為直角三角形B．若為的外接圓的圓心，則三棱錐為正三棱錐C．若，則四面體的棱與面所成角的正弦值的集合是D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．甲同學(xué)自進(jìn)入高三以來(lái)，前四次數(shù)學(xué)考試的分?jǐn)?shù)逐次遞增，第一次的分?jǐn)?shù)為116，第四次的分?jǐn)?shù)為132，且中位數(shù)為120，則甲同學(xué)這四次數(shù)學(xué)考試的平均分為．13．若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.14．記，若，則實(shí)數(shù)．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）已知函數(shù)在處的切線為.(1)求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最大值.16．（15分）如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且是正三角形，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值．17．（15分）口袋中有編號(hào)分別為1，2，3，…，10的10個(gè)小球，所有小球除了編號(hào)外無(wú)其他差別．(1)從口袋中任取3個(gè)小球，求取到的小球編號(hào)既有奇數(shù)又有偶數(shù)的概率；(2)從口袋中任取5個(gè)小球，設(shè)其中編號(hào)的最小值為，求的分布列及期望．18.（17分）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且的最小值為4.(1)求的方程；(2)設(shè)過(guò)的另一直線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上.（i）證明：直線過(guò)定點(diǎn)；（ii）對(duì)于（i）中的定點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求直線的方程.（17分）數(shù)列是特殊的函數(shù)，可以利用函數(shù)工具研究數(shù)列性質(zhì).比如，為了研究數(shù)列的性質(zhì)，對(duì)通項(xiàng)公式取對(duì)數(shù)得，，則可通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)，得到數(shù)列的性質(zhì)，進(jìn)而得到的性質(zhì).請(qǐng)根據(jù)以上材料，解決如下問(wèn)題：(1)若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明：；(2)是否存在常數(shù)，使得：有，？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）數(shù)學(xué)答案1．D【分析】先求出集合A和B，由集合的交集運(yùn)算即可求解．【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以．故選：D．2．B【分析】設(shè)，則可得，結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算可得，再計(jì)算出后結(jié)合模長(zhǎng)定義計(jì)算即可得．【詳解】設(shè)，則，即，則，則，則．故選：B．3．B【分析】根據(jù)題意求出首項(xiàng)和公差即可．【詳解】依題意，即，假設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，則，解得，故選：B．4．C【分析】過(guò)點(diǎn)P作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，結(jié)合拋物線定義及三角形的性質(zhì)有求周長(zhǎng)最小值．【詳解】由題知，準(zhǔn)線方程為，過(guò)點(diǎn)P作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線的定義知，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，故周長(zhǎng)的最小值是．故選：C5．A【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律及垂直關(guān)系的向量表示列式計(jì)算即可．【詳解】由，得，則，由，得，因此，所以．故選：A6．C【分析】利用二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用平移變換求出，進(jìn)而求出其對(duì)稱軸方程得解．【詳解】依題意，，則，由，解得，因此函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為，取，得，C正確，不存在整數(shù)k使得成立．故選：C7．A【分析】過(guò)點(diǎn)P作底面的射影H，利用條件推理證明點(diǎn)H為的中點(diǎn)，利用求出即得．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)P作底面的射影H，因，則點(diǎn)H為的外心，又因，故點(diǎn)H為的中點(diǎn)，連接，則三棱錐的外接球的球心O必在上，連接，則，在中，，因平面，故球心O到平面的距離為．故選：A．8．D【分析】取，得到函數(shù)的對(duì)稱中心．令，求得，然后令，求得函數(shù)對(duì)稱軸．由兩個(gè)等量關(guān)系求出函數(shù)的周期，由求出．然后由函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心得到其導(dǎo)數(shù)的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸，同理由求出，然后寫出切線方程．【詳解】令，則，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，令，則，則或，當(dāng)時(shí)，令，則，即，不合題意，舍去．故，則令，即，即函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，，令，則，又，，則，即函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱和y軸對(duì)稱，∴導(dǎo)數(shù)關(guān)于對(duì)稱和點(diǎn)中心對(duì)稱，同理可得，，切線方程為：，即．故選：D關(guān)鍵點(diǎn)睛，本題有兩個(gè)解題關(guān)鍵：（1）由對(duì)稱軸和對(duì)稱中心得到函數(shù)的周期；（2）由函數(shù)的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸得到其導(dǎo)數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心．9．AD【分析】利用等比數(shù)列定義，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】對(duì)于A，由等比數(shù)列定義知，一定為等比數(shù)列，A是；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，成立，不成等比數(shù)列，B不是；對(duì)于C，由，得不成等比數(shù)列，C不是；對(duì)于D，由，得是公比為1的等比數(shù)列，D是．故選：AD10．ABD【分析】由雙曲線漸近線求法即可判斷A；分別聯(lián)立直線l與雙曲線和漸近線方程結(jié)合韋達(dá)定理即可判斷B；由點(diǎn)差法即可求解判斷CD．【詳解】對(duì)于A．或，這恰為雙曲線兩條漸近線，故A正確；對(duì)于B．設(shè)直線方程為，分別聯(lián)立與，得和，這兩式的兩根之和都是，所以中點(diǎn)為同一個(gè)，故B正確；對(duì)于C．因?yàn)?，所以，所以直線的斜率是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D．由C選項(xiàng)可知，即，故D正確．故選：ABD．11．BCD【分析】對(duì)于A，結(jié)合余弦定理判斷即可；對(duì)于B，由外心得到，再結(jié)合勾股定理說(shuō)明，進(jìn)而可判斷，對(duì)于C，分類討論以為定點(diǎn)，E為定點(diǎn)的情況即可判斷；對(duì)于D，設(shè)，利用等體積法，結(jié)合正余弦定理、三角形面積公式、錐體體積公式化簡(jiǎn)即可判斷．【詳解】對(duì)于A，設(shè)，其中，所以，由余弦定理得，所以為銳角，同理其它兩角也是銳角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)镠為的外心，所以，再由平面，結(jié)合勾股定理易知，又三個(gè)側(cè)面都是直角三角形，易證全等，所以，故三棱錐為正三棱錐，正確；對(duì)于C，若棱在面內(nèi)，則棱與面所成的角為0，正弦值為0；若棱不在面內(nèi)，考察側(cè)棱與底面所成的角，以為例，（一樣），設(shè)，則，則的面積為，由等體積，三棱錐的體積，所以，所以，即以為頂點(diǎn)，為底面的三棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為，以E或F或G為頂點(diǎn)的三棱錐的側(cè)棱與底面所成角，以E點(diǎn)為例，（F或G一樣），因?yàn)槠矫?，所以與平面所成角為，正弦值為1，由線面角的定義可知：為與平面所成角，易知，正弦值為，所四面體的棱與面所成角的正弦值的集合是故C正確；對(duì)于D，若，又，即，所以，則，即，所以，即，D正確；故選：BCD關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)，利用，即判斷；12．122【分析】利用中位數(shù)求出第二、第三次分?jǐn)?shù)和，再利用平均數(shù)的定義計(jì)算得解．【詳解】設(shè)甲第二、第三次的分?jǐn)?shù)分別為，由中位數(shù)為120，得，即，所以甲同學(xué)這四次數(shù)學(xué)考試的平均分為．故12213．【分析】函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)，利用號(hào)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，作出函數(shù)圖象通過(guò)數(shù)形結(jié)合求解．【詳解】令，得，即，令，所以函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)的圖象與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且時(shí)時(shí)，所以的圖象如圖所示，設(shè)l是經(jīng)過(guò)點(diǎn)的的圖象的切線，切點(diǎn)為，則切線斜率為，所以l的方程為，又l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，解得或，或，所以由圖可知，當(dāng)或，即或時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是．故．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是將函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求解．14．8【分析】根據(jù)給定條件，利用二倍角的正切公式裂項(xiàng)變換，再求和比對(duì)即可得解．【詳解】當(dāng)均不為0時(shí)，由，得，由，因此，即，所以．故8關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將二倍角的正切公式取倒數(shù)變形，利用裂項(xiàng)相消法求和是求解問(wèn)題的關(guān)鍵．15．（1）（2）在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，【分析】（1）由條件結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，列方程求即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性求最值．【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線為，所以，又函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，所以，所以；（2）由（1）知當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，又，．16．（1）證明見解析：（2）．【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定推理得證．（2）以E為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量法求解．【詳解】（1）在四棱錐中，連接，由四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，，得是正三角形，又E為的中點(diǎn)，則，而是正三角形，則，于是，，又平面，所以平面．（2）由（1）知，直線兩兩垂直，以E為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，，，所以二面角的正弦值為．17．（1）；（2）分布列見解析，期望為．【分析】（1）利用古典概率的概率公式即可解出；（2）求出X的可能值及各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望．【詳解】（1）從口袋中任取3個(gè)小球有種方法，編號(hào)全為奇數(shù)的取法有種，全為偶數(shù)的取法有種，因此編號(hào)既有奇數(shù)又有偶數(shù)的取法種數(shù)為，所以取到的小球編號(hào)既有奇數(shù)又有偶數(shù)的概率為．（2）依題意，X的所有可能值為，從口袋中任取5個(gè)小球有種取法，，，所以X的分布列為X123456P期望為．18．（1）（2）（i）證明見解析；（ii）或．【分析】（1）借助弦長(zhǎng)公式構(gòu)造方程，結(jié)合二次函數(shù)得到最值計(jì)算即可；（2）（i）設(shè)直線方程：．直曲聯(lián)立．另外，由前問(wèn)求出．進(jìn)而得到直線方程，化簡(jiǎn)得到．即可求出定點(diǎn)．（ii）先求出和直線方程，還求出點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)面積公式計(jì)算出A點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出直線方程．【詳解】（1）設(shè)直線方程：，代入中，消去x得．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，有的最小值為．，故E的方程為．（2）（i）設(shè)直線方程：．由消去x得．①又由（1）知，同理．∴當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)此時(shí)；當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，直線的斜率．直線方程為，化簡(jiǎn)得②由①②得，即．由得，直線過(guò)定點(diǎn)；所以直線過(guò)定點(diǎn)；（ii）由（i）知，直線方程為：，點(diǎn)到直線的距離，，解得或6．所以A點(diǎn)坐標(biāo)為，或．且或．直線方程為或．方法點(diǎn)睛：處理定點(diǎn)問(wèn)題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為k），（2）利用條件得到有關(guān)k與的等式，（3）所謂定點(diǎn)，是指存在一個(gè)特殊的點(diǎn)，使得無(wú)論k的值如何變化，等式恒成立，此時(shí)要將關(guān)于k與的等式進(jìn)行變形，直至找到定點(diǎn)，①若等式的形式為整式，則考慮將含k的式子歸為一組，讓系數(shù)等于0，求出定點(diǎn)；②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關(guān)系，可消去k變?yōu)槌?shù)．19．（1）；證明見解析（2）存在，【分析】（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，；當(dāng)時(shí)，可化為，令，利用導(dǎo)數(shù)方法判新其單調(diào)性，結(jié)合洛必達(dá)法則即可求出c的范圍；得出以，將代入整理，即可證明不等式成立；（2）先由題意得到；由推出，結(jié)合（1）的結(jié)果，可求出；對(duì)于，當(dāng)或時(shí)，于顯然恒成立；當(dāng)時(shí)，推出以，同（1）構(gòu)造函數(shù)．求出；從而可求出結(jié)果．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，顯然恒成立，；當(dāng)時(shí)，可化為，令，則，令，則在上恒成立，因此在上單調(diào)遞減，所以，即在上恒成立．所以在上單調(diào)遞減，又由洛必達(dá)法則可得：，所以恒成立，因此，為使對(duì)任意恒成立，只需；綜上