2025年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考二輪復(fù)習(xí)全等三角形解答題專題提升訓(xùn)練

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考二輪復(fù)習(xí)全等三角形解答題專題提升訓(xùn)練1．如圖，在中，，延長(zhǎng)到D，使，E是的中點(diǎn)．求證：．2．如圖，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，連接．求證：(1)；(2)垂直平分．3．如圖，在中，，，，．在上有一點(diǎn)D，恰好在的垂直平分線上．(1)求的面積；(2)連接，求的周長(zhǎng)．4．如圖，在四邊形中，，相交于點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(3)若，，求的長(zhǎng)．5．如圖，在中，是邊上的高，是邊上的中線，．(1)求證：點(diǎn)在線段的垂直平分線上；(2)①當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求；②當(dāng)，求CE．6．如圖，點(diǎn)E在正方形的邊延長(zhǎng)線上（），連接，于點(diǎn)F，交于點(diǎn)P，連接．(1)求證：；(2)求的度數(shù)；(3)以點(diǎn)A為圓心、為半徑的弧交于點(diǎn)G，連接、，證明的形狀，并求的值．7．如圖，和是等邊三角形，、交于點(diǎn)F，連接．(1)求證：；(2)求證：；(3)判斷線段、、的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．8．如圖，中，，的垂直平分線交于點(diǎn)．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，，求的周長(zhǎng)．9．如圖1，等腰中，，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)（不能經(jīng)過(guò)、）．(1)過(guò)作，交于，證明：；(2)如圖2，若，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處時(shí)，以為邊在其右側(cè)作等腰，是的中點(diǎn)，連接，求的長(zhǎng)；(3)如圖3，，以為斜邊作等腰，連接．若，請(qǐng)用含的式子表示，直接寫(xiě)出答案．10．如圖，在菱形中，連接，過(guò)B作交于點(diǎn)E，過(guò)D作交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．11．已知，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點(diǎn)，且．(1)為探究上述問(wèn)題，小王同學(xué)先畫(huà)出了其中一種特殊情況，即如圖1，當(dāng)時(shí)．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．請(qǐng)你在圖1中添加上述輔助線，并補(bǔ)全下面的思路．小明的解題思路：先證明_____；再證明了_____，即可得出，，之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)____．(2)請(qǐng)你借鑒小王的方法探究圖2，當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論是否依然成立，如果成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論，如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖3，若、分別是邊、延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其他已知條件不變，此時(shí)線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)____．（不用證明）12．如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)D，的垂直平分線交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)E，與相交于點(diǎn)O，的周長(zhǎng)為10．(1)求的長(zhǎng)；(2)試判斷點(diǎn)O是否在邊的垂直平分線上，并說(shuō)明理由．13．如圖，在中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到C時(shí)停止，點(diǎn)Q在邊上隨P移動(dòng)，且始終保持．(1)在中，，；(2)點(diǎn)P在邊上運(yùn)動(dòng)，①當(dāng)時(shí)，，；②當(dāng)時(shí)，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；③當(dāng)為等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．14．如圖，在中，，，點(diǎn)D是內(nèi)一點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交于點(diǎn)F．①依題意補(bǔ)全圖形；②若點(diǎn)F恰是的中點(diǎn)，用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．15．如圖，已知，，E、F是上兩點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案1．證明見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，全等三角形的性質(zhì)與判定．如圖所示，取的中點(diǎn)F，連接，證明是的中位線，得到，再證明，得到，即可證明．【詳解】證明：如圖所示，取的中點(diǎn)F，連接，∵，即點(diǎn)B為的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∵E、F分別是的中點(diǎn)，，∴，又∵，∴，∴，∴．2．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關(guān)鍵．（1）由平行線的性質(zhì)可得出，再根據(jù)點(diǎn)E是的中點(diǎn)，即得出，由對(duì)頂角相等得出，即證明，得出；（2）由，得出．根據(jù)題意又易證，結(jié)合，可證，即得出，即，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，即，∴．∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴．又∵，∴，∴；（2）證明：∵，∴．∵，∴，∴．又∵，∴，∴，即．∴垂直平分．3．(1)16(2)12【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形面積公式，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可得解；（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可得解．【詳解】（1）解：；（2）解：如圖：∵點(diǎn)D在線段的垂直平分線上，，的周長(zhǎng)為．4．(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）首先得到垂直平分線段，然后結(jié)合，即可得到；（2）首先得到，然后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可；（3）如圖，連接、過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，首先證明出，然后利用勾股定理求出，得到，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：，垂直平分線段，，又，；（2）解：垂直平分線段，∴，又，∴，，，，∵，∴，，，∴，∵，，，；（3）解：如圖，連接、過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，垂直平分線段，，又，∴，∴，∴設(shè)，則，，∴，又，，，，又，∵，，，在和中，由勾股定理得，，，∵，，解得：，（舍去），，，又，在中，．【點(diǎn)睛】此題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．5．(1)見(jiàn)解析；(2)①；②．【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，得出，即可得到結(jié)論；（2）①證明是等邊三角形，得到；②由題得到是等腰三角形，得出，求出，得到．【詳解】（1）證明：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：在中，是邊上的高，是直角三角形，是邊上的中線，是斜邊上的中線，，，，點(diǎn)在線段的垂直平分線上；（2）①解：∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，，，，是等邊三角形，；②解：，由（1）可知：，是等腰三角形，又，，在中，由勾股定理得：，在中，，由勾股定理得：．6．(1)見(jiàn)解析(2)(3)等腰直角三角形，【分析】（1）通過(guò)證明進(jìn)行分析推理；（2）通過(guò)證明四點(diǎn)共圓，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)分析求解；（3）通過(guò)證明，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)求得，從而確定的形狀，通過(guò)證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分析求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴∴，在和中∴，∴；（2）解：連接∵，∴，又∵，∴四點(diǎn)共圓，又（1）可得，且，∴；（3）證明：是等腰直角三角形，理由如下：連接∵以點(diǎn)A為圓心、為半徑的弧交于點(diǎn)G，連接、，且四邊形是正方形，由題意可得與相切于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形；∵，均為等腰直角三角形，∴,∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形的綜合題，靈活運(yùn)用圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是本題解題的關(guān)鍵．7．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟知等邊三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，再證明，進(jìn)而證明，則可證明；（2）過(guò)點(diǎn)A分別作的垂線，垂足分別為G、H，設(shè)交于M，由全等三角形的性質(zhì)得到，再證明，得到，進(jìn)而證明，得到，導(dǎo)角證明，則由平角的定義可證明結(jié)論；（3）在上取一點(diǎn)N使得，連接，證明，得到，再證明是等邊三角形，得到，據(jù)此根據(jù)線段的和差關(guān)系可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵和是等邊三角形，∴，∴，即，∴，∴；（2）解；如圖所示，過(guò)點(diǎn)A分別作的垂線，垂足分別為G、H，設(shè)交于M，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴又∵，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：，理由如下：如圖所示，在上取一點(diǎn)N使得，連接，∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴．8．(1)；(2)的周長(zhǎng)為【分析】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，以及三角形的外角定理，等腰三角形的性質(zhì)．（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解；（2）求出的周長(zhǎng)，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．【詳解】（1）解的垂直平分線交于點(diǎn)，，，；（2）解：的周長(zhǎng)，，，的周長(zhǎng)．9．(1)見(jiàn)解析(2)(3)或【分析】（1）利用角的等量代換證明即可；（2）連接，通過(guò)比值關(guān)系求出的長(zhǎng)，利用判定出，，，推出，通過(guò)比值關(guān)系求出和的長(zhǎng)，再通過(guò)勾股定理運(yùn)算求解即可；（3）分類討論點(diǎn)的位置，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和勾股定理列出方程運(yùn)算即可．【詳解】（1）證明：∵在等腰中，，∴，在中，，∴，∴，∴；（2）連接，如圖所示：在等腰中，，∴，∵點(diǎn)是靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，∴，；∵是等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，，∴，過(guò)作于點(diǎn)，則，∵是中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，，∴，在中，；（3）∵，∴，∵是以為斜邊的等腰直角三角形，∴，，①當(dāng)點(diǎn)在右側(cè)時(shí)，如圖，過(guò)作交于點(diǎn)，則，由（1）知，∴，∴，，過(guò)作于點(diǎn)，則為等腰直角三角形，∴，∴，在中，；②當(dāng)點(diǎn)在左側(cè)時(shí)，如圖，過(guò)作交于點(diǎn)，則，此時(shí)，同理可得，∴，∴，，過(guò)作于點(diǎn)，則為等腰直角三角形，∴，∴，在中，；綜上，或．【點(diǎn)睛】本題為幾何綜合題，涉及到了相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，合理作出輔助線和利用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．10．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，綜合應(yīng)用上述知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）由菱形的性質(zhì)可得，，，由可得，再證，即可證明；（2）連接交于O，由菱形的性質(zhì)可得，，結(jié)合可證，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出，，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，，，∴，∵，∴，∴，在與中，，∴；（2）解：連接交于O，則，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，同理，在中，，∴，∴，∴，∴．11．(1)圖見(jiàn)解析，，，(2)成立，證明見(jiàn)解析(3)【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用截長(zhǎng)補(bǔ)短法，構(gòu)造全等三角形．（1）根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，先證明，再證明，即可得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，先證明，再證明，即可得出結(jié)論；（3）在上取一點(diǎn)，使，先證明，再證明，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：補(bǔ)全圖形，如圖：解題思路為：先證明，再證明，即可得出之間的數(shù)量關(guān)系為；故答案為：，，；（2）解：成立，證明如下：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，則，∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，即：，∴，又，∴，∴，∵，∴；（3）解：在上取一點(diǎn)，使，∵，，∴，又，∴，∴，，∴，∴，又，∴，∴．故答案為：．12．(1)(2)點(diǎn)在邊的垂直平分線上，理由見(jiàn)解析【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，同理，于是得到結(jié)論；（2）連接，，，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)與判定即可得到結(jié)論．【詳解】（1）垂直平分，，同理，；（2）點(diǎn)在邊的垂直平分線上，理由：連接，，，與是，的垂直平分線，，，，點(diǎn)在邊的垂直平分線上．13．(1)，45(2)①15，60；②，理由見(jiàn)解析；③或3【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)及分類等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是分類討論．（1）根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)“等角對(duì)等邊”得出的值；（2）①根據(jù)，，得出，進(jìn)一步得出結(jié)果；②可證得，從而得出；③分三種情形討論：當(dāng)時(shí)，可推出，從而得出，，進(jìn)一步得出結(jié)果；當(dāng)時(shí)，可得出，進(jìn)一步得出結(jié)果；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q和點(diǎn)C重合，點(diǎn)P和B點(diǎn)重合，故此種情況不存在．【詳解】（1）解：∵，，∴，，故答案為：，45；（2）解：①∵，，，∴，∵，，∴，故答案為：15，60；②，理由如下：由①知，，∵，，∴，∴；③分以下三種情況：如圖，當(dāng)時(shí)，由②知，，，∴，∴，，∴；如圖，當(dāng)時(shí)，∴，∴，∴，∴；當(dāng)時(shí)，，∴，，∴點(diǎn)Q和點(diǎn)C重合，點(diǎn)P和B點(diǎn)重合，故此種情況不存在，綜上所述：或3．14．(1)見(jiàn)詳解(2)①見(jiàn)詳解；②【分析】（1）設(shè)，則，即可得解．（2）①根據(jù)題意作圖即可；②過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，證得，再證，得到，得