3.9 弧長(zhǎng)及扇形的面積 練習(xí)題 2024-2025學(xué)年 北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

3.9弧長(zhǎng)及扇形的面積一、單項(xiàng)選擇題。1．已知一扇形的弧長(zhǎng)為3πcm，半徑為6cm，則此扇形的圓心角為()A．30°B．45°C．60°D．90°2．如圖，一條公路(公路的寬度忽略不計(jì))的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧，點(diǎn)O是這段弧所在圓的圓心，半徑OA＝90m，圓心角∠AOB＝80°，則這段彎路的長(zhǎng)度為()A．20πmB．30πmC．40πmD．50πm3．已知扇形的圓心角為60°，半徑是10，則該扇形的弧長(zhǎng)為()A．eq\f(2,3)πB．eq\f(3,4)πC．eq\f(4,5)πD．eq\f(6,7)π4．已知一個(gè)扇形的半徑為6，圓心角為150°，則它的面積是()A．eq\f(3,2)πB．3πC．5πD．15π5．已知一個(gè)扇形的半徑為3，弧長(zhǎng)為4，則這個(gè)扇形的面積為()A．12B．12πC．6D．6π6．如圖，在?ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半徑為3，則圖中陰影部分的面積是()A．πB．2πC．3πD．6π二、填空題。7．在圓心角為120°的扇形中，半徑OM＝3cm，則扇形的面積為_(kāi)_______cm2．8．若一個(gè)扇形的圓心角為120°，它所對(duì)的弧長(zhǎng)為6πcm，則此扇形的半徑為_(kāi)______cm.9．如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，則eq\x\to(AB)的長(zhǎng)是____________．10．一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是10πcm，其圓心角是150°，此扇形的面積為_(kāi)____cm2．11．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，以BC為直徑畫(huà)半圓，則陰影部分的面積是___．12．如圖，圖1是由若干個(gè)相同的圖形(圖2)組成的美麗圖案的一部分，圖2中，圖形的相關(guān)數(shù)據(jù)：半徑OA＝2cm，∠AOB＝120°.則圖2的周長(zhǎng)為_(kāi)_______cm.(結(jié)果保留π)13．已知一扇形的弧長(zhǎng)為3πcm，半徑為6cm，則此扇形的圓心角為_(kāi)______．三、解答題。14．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，求陰影部分的面積．15．如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，點(diǎn)C為eq\x\to(AB)上的一動(dòng)點(diǎn)，若OA＝2，求圖中陰影部分面積的最小值．16．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BD是⊙O的直徑，AB＝AC，AE∥BC，E為BD的延長(zhǎng)線與AE的交點(diǎn)．(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)若∠ABC＝75°，BC＝2，求eq\x\to(CD)的長(zhǎng)．17．如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC交于點(diǎn)D.(1)判斷直線AC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若AB＝4，求圖中陰影部分的面積．18．如圖所示的日晷是我國(guó)古代較為普遍使用的計(jì)時(shí)儀器，它的表面是以點(diǎn)O為圓心的圓形，OA為某時(shí)刻晷針的影長(zhǎng)，點(diǎn)B為日晷與底座的接觸點(diǎn)(即底座的上表面所在的直線l與⊙O相切于點(diǎn)B)，AO的延長(zhǎng)線分別交直線l和⊙O于點(diǎn)C，D，過(guò)點(diǎn)O作OG∥DB，分別交AB，⊙O及直線l于點(diǎn)E，F(xiàn)，G.(1)求證：∠A＝∠OGB；(2)若點(diǎn)F為OG的中點(diǎn)，⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．答案：一、1-6DCADCC二、7.3π8.99.eq\r(2)π10.6011.912.eq\f(8π,3)13.90°三、14.解：eq\f(2π,3)15.連接AB，要使S陰影最小，就需使S△ABC最大，也即需使點(diǎn)C到直線AB的距離最大，即需點(diǎn)C位于eq\x\to(AB)的中點(diǎn)C′處(如圖).連接AC′，BC′，OC′，設(shè)OC′交AB于點(diǎn)D，則OC′⊥AB于點(diǎn)D，則OD＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(2)，∴DC′＝OC′－OD＝2－eq\r(2)，∴S陰影的最小值為S扇形AOB－S△AOB－S△ABC′＝eq\f(90π×22,360)－eq\f(1,2)×2×2－eq\f(1,2)×2eq\r(2)×(2－eq\r(2))＝π－2eq\r(2).16.解：(1)證明：連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，連接OC，則OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA＝eq\f(180°－∠AOB,2)，∠OAC＝∠OCA＝eq\f(180°－∠AOC,2).又∵AB＝AC，∴∠AOB＝∠AOC，∴∠OAB＝∠OAC，∴AF⊥BC.又∵AE∥BC，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O的切線(2)∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝75°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝30°，∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，∴∠COD＝180°－∠BOC＝120°.又∵OB＝OC，∴△BOC是等邊三角形，，∴OC＝BC＝2，∴eq\x\to(CD)的長(zhǎng)為eq\f(120π×2,180)＝eq\f(4π,3)17.解：(1)直線AC與⊙O相切，理由如下：∵∠ABC＝45°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠BAC＝180°－2×45°＝90°，∴BA⊥AC，∵AB是⊙O的直徑，∴直線AC與⊙O相切(2)連接OD，AD，∵∠ABD＝45°，∴∠AOD＝90°，∴∠BOD＝90°，∵OB＝OD，∴△BOD是等腰直角三角形．∵AO＝OB，AB＝4，∴S△BOD＝eq\f(1,2)OB·OD＝eq\f(1,2)×2×2＝2，∴S陰影＝S△ABC－S△BOD－S扇形OAD＝eq\f(1,2)×4×4－2－eq\f(90π×22,360)＝8－2－π＝6－π18.解：(1)證明：連接OB，∵直線l與⊙O相切于點(diǎn)B，∴OB⊥l，∴∠BOG＋∠OGB＝90°.又∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°，∴∠A＋∠ADB＝90°.又∵OG∥DB，OD＝OB，∴∠BOG＝∠OBD＝∠ODB，∴∠A＝∠OGB(2)∵F為OG的中點(diǎn)，∴OG＝2OF＝4，∴cos∠BOG＝eq\f(OB,OG)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，∴∠BOG＝60°.又∵OG∥BD，∴∠OEB＝180°－∠ABD＝90°，∴BE＝OB?sin∠BOG＝2sin60°＝eq\r(3)，OE＝OB?cos∠BOG＝2c