2 構(gòu)造全等三角形的六種常用方法

雙休作業(yè)(三)2構(gòu)造全等三角形的六種常用方法第1章

三角形的證明1234561．如圖，在△ABC中，BE是∠ABC的平分線(xiàn)，AD⊥BE，垂足為D．求證：∠2＝∠1＋∠C．1方法翻折法證明：如圖，延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)F(相當(dāng)于將AB邊向下翻折，與BC邊重合，A點(diǎn)落在F點(diǎn)處，折痕為BD)．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°.返回2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為BC的中點(diǎn)，CE⊥AD于點(diǎn)E，其延長(zhǎng)線(xiàn)交AB于點(diǎn)F，連接DF.求證：∠ADC＝∠BDF.2方法構(gòu)造基礎(chǔ)三角形法證明：∴△ACD≌△CBG(ASA)．∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.∵D為BC的中點(diǎn)，∴CD＝BD.∴BD＝BG.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠CBF＝∠BAC＝45°.又∵∠DBG＝90°，返回3．如圖，在正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度數(shù)．3方法旋轉(zhuǎn)法解：∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°.∵BE＋DF＝EF，∴BE＋BH＝EF，

則HE＝EF.返回4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，BQ平分∠ABC交AC于點(diǎn)Q，且AP與BQ相交于點(diǎn)O.求證：AB＋BP＝AQ＋BQ.4方法平行線(xiàn)法證明：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OD∥BC交AB于點(diǎn)D，∴∠ADO＝∠ABC.∵∠BAC＝60°，∠C＝40°，∴∠ABC＝80°.∴∠ADO＝80°.∵BQ平分∠ABC，∴∠QBC＝40°.∴∠AQO＝∠C＋∠QBC＝80°.∴∠ADO＝∠AQB.∵AP平分∠BAC，∴∠DAO＝∠QAO.又∵OA＝OA，∴△ADO≌△AQO(AAS)．∴OD＝OQ，AD＝AQ.∵OD∥BP，∴∠PBO＝∠DOB.又∵∠PBO＝∠DBO，∴∠DBO＝∠DOB.∴BD＝OD.∴BD＝OQ.∵∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，BQ平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴∠BAP＝30°，∠ABQ＝40°.∴∠BOP＝70°.∵∠BAP＝30°，∠ABC＝80°，

∴∠APB＝70°.∴∠BOP＝∠APB.∴BO＝BP.∴AB＋BP＝AD＋DB＋BP＝AQ＋OQ＋BO＝AQ＋BQ.返回5．如圖，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)．(1)求證：AB＋AC>2AD；(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范圍．5方法倍長(zhǎng)中線(xiàn)法如圖，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE.∵D為BC的中點(diǎn)，∴CD＝BD.又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB(SAS)．∴AC＝EB.∵AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD.(1)證明：返回(2)解：∵AB－BE<AE<AB＋BE，∴AB－AC<2AD<AB＋AC.∵AB＝5，AC＝3，∴2<2AD<8.∴1<AD