中考數(shù)學總復習資料

大緘建方?福

中考裁號總復習資料

代照都今

第一摩，實皴

基礎(chǔ)知識點：

一、實數(shù)的分類:

‘正整數(shù)'

整數(shù)零

有理數(shù)負整數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

實數(shù)正分數(shù)

分數(shù)

負分數(shù)

正無理數(shù)'

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)

負無理數(shù)

1、有理數(shù)：任何一個有理數(shù)總可以寫成K的形式，其中p、q是互質(zhì)的整數(shù)，這是有理數(shù)的

q

重要特征。

2、無理數(shù)：初中遇到的無理數(shù)有三種：開不盡的方根，如、歷、V4；特定結(jié)構(gòu)的不限環(huán)無

限小數(shù),如1.101001000100001...；特定意義的數(shù),如“、sin45°等。

3、判斷一個實數(shù)的數(shù)性不能僅憑表面上的感覺，往往要經(jīng)過整理化簡后才下結(jié)論。

二、實數(shù)中的幾個概念

1、相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。

(1)實數(shù)a的相反數(shù)是-a；(2)a和b互為相反數(shù)Qa+b=0

2、倒數(shù)：

(1)實數(shù)a(aWO)的倒數(shù)是工；(2)a和b互為倒數(shù)0ab=1；(3)注意0沒有倒數(shù)

a

3、絕對值：

(1)一個數(shù)a的絕對值有以下三種情況：

a,a0

\a\-?0,a-0

—a,aY0

(2)實數(shù)的絕對值是一個非負數(shù)，從數(shù)軸上看，一個實數(shù)的絕對值，就是數(shù)軸上表示這個

數(shù)的點到原點的距離。

(3)去掉絕對值符號(化簡)必須要對絕對值符號里面的實數(shù)進行數(shù)性(正、負)確認，

再去掉絕對值符號。

4、n次方根

(1)平方根，算術(shù)平方根：設(shè)a20,稱土丘叫a的平方根，。叫a的算術(shù)平方根。

(2)正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0：負數(shù)沒有平方根。

(3)立方根：叫實數(shù)a的立方根。

1

犬咬囊方*福****<

（4）個正數(shù)有一個正的立方根；0的立方根是0；個負數(shù)有一個負的立方根。

三、實數(shù)與數(shù)軸

1、數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線稱為數(shù)軸。原點、正方向、單位長度是數(shù)

軸的三要素。

2、數(shù)軸上的點和實數(shù)的對應關(guān)系：數(shù)軸上.的每一個點都表示一個實數(shù)，而每一個實數(shù)都可

以用數(shù)軸上的唯一的點來表示。實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應的關(guān)系。

四、實數(shù)大小的比較

1、在數(shù)軸上表示兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

2、正數(shù)大于0；負數(shù)小于0；正數(shù)大于一切負數(shù)；兩個負數(shù)絕對值大的反而小。

五、實數(shù)的運算

1、加法：

（1）同號兩數(shù)相加，取原來的符號，并把它們的絕對值相加；

（2）異號兩數(shù)相加，取絕對值大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值?？?/p>

使用加法交換律、結(jié)合律。

2、減法：

減去?個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。

3、乘法：

（1）兩數(shù)相乘，同號取正，異號取負，并把絕對值相乘。

（2）n個實數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0,積就為0；若n個非0的實數(shù)相乘，積的符號由負因

數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正；當負因數(shù)為奇數(shù)個時，積為負。

（3）乘法可使用乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律。

4、除法：

（1）兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。

（2）除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。

（3）0除以任何數(shù)都等于0,0不能做被除數(shù)。

5、乘方與開方：乘方與開方互為逆運算。

6、實數(shù)的運算順序：乘方、開方為三級運算，乘、除為二級運算，力口、減是?級運算，如

果沒有括號，在同一級運算中要從左到右依次運算，不同級的運算，先算高級的運算再算低

級的運算，有括號的先算括號里的運算。無論何種運算，都要注意先定符號后運算。

六、有效數(shù)字和科學記數(shù)法

1、科學記數(shù)法：設(shè)N>0,貝ijN=aX10"（其中l(wèi)Wa<10,n為整數(shù)）。

2、有效數(shù)字：一個近似數(shù)，從左邊第一個不是0的數(shù)，到精確到的數(shù)位為止，所有的數(shù)字,

叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。精確度的形式有兩種：（1）精確到那一位；（2）保留兒個有效數(shù)字。

例題：

例1、已知實數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，且網(wǎng)。

化簡：時_卜+耳一忸一《

分析：從數(shù)軸上a、b兩點的位置可以看到：a<0,b>0且同>例

所以可得：解：原式<=—。+a+/?—b+a="

分析：a=—（1）3Y—1；8=—（w）>—L目力Y0；c>0；所以容易得出:

2

大或建才*福****<

a<b<Co解：略

例3、若|。一2|與|6+2|互為相反數(shù)，求a+b的值

分析：由絕對值非負特性，可知,一2|20,卜+2|20,又由題意可知：,-2|+區(qū)+2|=0

所以只能是：a-2=0,b+2=0,即a=2,b=-2,所以a+b=0解：略

例4、已知a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，m的絕對值是1,求空辿-cd+〃/的值。

m

解：原式=0—1+1=0

rI\2z、2

e4—e—

例5、計算：(1)8I994X0.1251994(2)—幺------

22

k7\)

解：⑴原式=(8XO.125)I994=1I994=1

實數(shù)強化訓練

1.2的倒數(shù)是.

2.若向南走2m記作-2m,則向北走3m記作m.

3.8的相反數(shù)是.

4.-3的絕對值是()

、C、1,1

A.-3B.3C.—D.—

33

5.隨著電子制造技術(shù)的不斷進步，電子元件的尺寸大幅度縮小，在芯片上某種電子元件大

約只占0.0000007(毫米與，這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為()

A.7X10-6B.0.7X10-6C.7X1CT'D.70X10^8

【連接】

1.有理數(shù)的意義

⑴數(shù)軸的三要素為、和.數(shù)軸上的點與構(gòu)成一一對應.

⑵實數(shù)。的相反數(shù)為.若a,b互為相反數(shù)，則a+b=.

⑶非零實數(shù)。的倒數(shù)為.若a,b互為倒數(shù)，貝.

'(a>0)

(4)絕對值同=<(a=0).

[(?<0)

⑸科學記數(shù)法：把一個數(shù)表示成的形式，其中iw|a|<io的數(shù)，n是整數(shù).

⑹一般地，一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位.這時，從左

邊第一個不是—的數(shù)起，到止，所有的數(shù)字都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字.

2.數(shù)的開方

3

大或夏才?福?***<

（1）任何正數(shù)。都有個平方根,它們互為.其中正的平方根叫

.沒有平方根，0的算術(shù)平方根為.

⑵任何一個實數(shù)。都有立方根，記為.

⑶（0）

^=\1a\1=\（a"<-0）.

3.實數(shù)的分類和統(tǒng)稱實數(shù).

4.易錯知識辨析

（1）近似數(shù)、有效數(shù)字如0.030是2個有效數(shù)字（3,0）精確到千分位；3.14X10'是

3個有效數(shù)字；精確到千位.3.14萬是3個有效數(shù)字（3,1,4）精確到百位.

（2）絕對值卜|=2的解為％=±2；而卜2|=2,但少部分同學寫成|一2|=±2.

（3）在已知中，以非負數(shù)￡、|a|、?（a20）之和為零作為條件，解決有關(guān)問題.

【典例精析】

例1在“（、四）”,3.14,（73）3,（73）",cos60°sin45°”這6個數(shù)中，無理數(shù)的個數(shù)

是（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

例2⑴―卜2|的倒數(shù)是（）

A.2B.-C.D.-2

22

⑵若帆一3|+（“+2）2=0,則機+2〃的值為()

A.-4B.-1C.0

D.4—

⑶如圖，數(shù)軸上點P表示的數(shù)可能是

（）

A.yjlB.—\/7C.—3.2D.-J10

例3德州布2009年實現(xiàn)生產(chǎn)總值（GDP）1545.35億元，用科學記數(shù)法表示應是（結(jié)果保

留3個有效數(shù)字）

（A）1.54X108元（B）1.545x10"7C

（C）1.55xl（y0元（D）1.55x10”元

【中考演練】

1.-3的相反數(shù)是,-1的絕對值是,2'=,（-1）2008=—.

2.某種零件，標明要求是。20土0.02mm（。表示直徑，單位：毫米），經(jīng)檢查，一個零件

的直徑是19.9硒，該零件.（填“合格”或“不合格”）

3.下列各數(shù)中：-3,R,0,立，V64，0.31,—，27t,2.161161161,,,,

V427

（-2005）0是無理數(shù)的是____________________________

4

犬或泰方*裾****<

4.全世界人民踴躍為四川汶川災區(qū)人民捐款，到6月3日止各地共捐款約423.64億元，用

科學記數(shù)法表示捐款數(shù)約為__________元.（保留兩個有效數(shù)字）

5.若Jx+y—1+（y+3>=0,則x-y的值為_________.

6.由四舍五入法得到的近似數(shù)8.8x103,下列說法中正確的是（）.

A.精確到十分位，有2個有效數(shù)字B.精確到個位，有2個有效數(shù)字

C.精確到百位，有2個有效數(shù)字D.精確到千位，有4個有效數(shù)字

一’的倒數(shù)是（）

7.

5

A.---B.一C.-5D.5

55

8.點A在數(shù)軸上表示+2,從A點沿數(shù)軸向左平移3個單位到點B,則點B所表示的實數(shù)是

（）

A.3B.-1C.5D.T或3

如果（2+⑸2=”+人及（“，為有理數(shù)），那么“+/,等于

9.

（A）2（B）3（C）8（D）10

10.下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）

A.2和1B.-2和一工C.-2和|-2D.正和上

22V2

11.16的算術(shù)平方根是（）

A.4B.-4C.±4D.16

12.實數(shù)a、6在數(shù)軸上的位置如圖所示，則a與6的大小關(guān)系是（）

aob

A.a>bB.a=bC.a<bD.不能判斷

13.若x的相反數(shù)是3,|y|=5,貝ijx+y的值為（）

A.-8B.2C.8或一2D.-8或2

14.如圖，數(shù)軸上/、8兩點所表示的兩數(shù)的（）

A.和為正數(shù)B.和為負數(shù)C.積為正數(shù)D.積為負數(shù)

___1__星__1___1__4___1___1__5__1_____>

-36.

實數(shù)的運算與大小比較

1.某天的最高氣溫為6°C,最低氣溫為-2°C,同這天的最高氣溫比最低氣溫高

°C.

2.計算：3-'=.3.比較大?。阂?3.（填“>,<或=”符號）

4.計算-32的結(jié)果是（）

A.-9B.9C.-6D.6

5

大或建方*福****<

5.下列各式正確的是()

A.—|—3|—3B.23——6C.—(―-3)—3D.(n-2)°=0

6.若“！”是一種數(shù)學運算符號，并且1!=1,2!=2X1=2,3!=3X2X1=6,

4!=4X3X2X1,…，則幽的值為（）

B.99!C.9900

1.數(shù)的乘方，其中。叫做,n叫做.

2.a0=_____（其中a___0且a是_________）a~p=_______（其中a___0）

3.實數(shù)應廠先算一，再算，最后算；如果有薪，先算

____________里面的，同一級運算按照從到的順序依次進行.

4.實數(shù)大小的比較

⑴數(shù)軸上兩個點表示的數(shù)，的點表示的數(shù)總比的點表示的數(shù)大.

⑵正數(shù)0,負數(shù)0,正數(shù)負數(shù)；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的

絕對值小的.

5.易錯知識辨析

在較復雜的運算中，不注意運算順序或者不合理使用運算律，從而使運算出現(xiàn)錯誤.

如54—X5.

5

【典例精析】

例1計算：

（1）V8-4sin45°+（3-7t）°+|-4|（2）槨一2卜（一2了+2sin60°.

例2計算：(；)T-23x0.125+2009°+1-1|.

*例3已知a、A互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，〃?的絕對值是2,求名彗+4〃L3cd

2m-+1

的值.

6

大或夏才?福?***<

【中考演練】

L根據(jù)如圖所示的程序計算，

若輸入x的值為1,則輸出y的值為.

2、觀察式子：—=1(1-i),—=

1x3233x5235

1

由止匕計算：------1-------------1-------------F...+

1x33x55x72009X2011

3.計算:

(1)|-21+2sin300-(-73)2+(tan45°)''(2)(乃一3.14)°一|一3|+-(-I)2010

(cos60°)T+(-1)2°|°+|2-&|--3—x(mn300-l)°

(3)

V2-1

*7.有規(guī)律排列的一列數(shù)：2,4,6,8,10,12,…它的每一項可用式子2〃（〃是正整

數(shù)）來表示.有規(guī)律排列的一列數(shù)：1,一2,3,-4,5,-6,7,-8,…

（1）它的每一項你認為可用怎樣的式子來表示？

（2）它的第100個數(shù)是多少？

（3）2006是不是這列數(shù)中的數(shù)？如果是，是第幾個數(shù)？

*8.有一種“二十四點”的游戲，其游戲規(guī)則是：任取1至13之間的自然數(shù)四個，將這個

四個數(shù)（每個數(shù)用且只用一次）進行加減乘除四則運算，使其結(jié)果等于24.例如：對1,2,

3,4,可作運算：（1+2+3）X4=24.（注意上述運算與4義（2+3+1）應視作相同方法的

運算.現(xiàn)“超級英雄”欄目中有下列問題：四個有理數(shù)3,4,-6,10,運用上述規(guī)則寫出三

種不同方法的運算，使其結(jié)果等于24,

7

大或建才*福****<

(1),(2),

(3).

另有四個數(shù)3,-5,7,-13,可通過運算式(4),使其結(jié)果

等于24

代威梆令

第2幸；代照式

基礎(chǔ)知識點：

一、代數(shù)式

1、代數(shù)式：用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子，叫代數(shù)式。單獨一個數(shù)

或者一個字母也是代數(shù)式。

2、代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)里的字母，計算后得到的結(jié)果叫做代數(shù)式的值。

3、代數(shù)式的分類：

單項式

整式?

有理式多項式

代數(shù)式

分式

、無理式

二、整式的有關(guān)概念及運算

1、概念

(1)單項式：像X、7、2x2y,這種數(shù)與字母的積叫做單項式。單獨一個數(shù)或字母也是

單項式。

單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)叫做這個單項式的次數(shù)。

單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫單項式的系數(shù)。

(2)多項式：幾個單項式的和叫做多項式。

多項式的項：多項式中每一個單項式都叫多項式的項。一個多項式含有幾項，就叫幾項

式。

多項式的次數(shù)：多項式里，次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)。不含字母的

項叫常數(shù)項。

升(降)幕排列：把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小(大)到大(小)的順序排列

起來，叫做把多項式按這個字母升(降)密排列。

(3)同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項。

2、運算

(1)整式的加減：

合并同類項：把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母及字母的指數(shù)不變。

去括號法則：括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項都不變:

括號前面是“-”號，把括號和它前血的“-”號去掉，括號里的各項都變號。

添括號法則：括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變；括號前面是號，括

到括號里的各項都變號。

整式的加減實際上就是合并同類項，在運算時，如果遇到括號，先去括號，再合并同類

項。

(2)整式的乘除：

幕的運算法則：其中m、n都是正整數(shù)

同底數(shù)哥相乘：0?/=""+"；同底數(shù)哥相除：am^an=am-n；幫的乘方:

8

(〃")"=amn積的乘方:(ab)n=anbn。

單項式乘以單項式：用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對于相同的字母，用它們的指數(shù)的

和作為這個字母的指數(shù)；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個

因式。

單項式乘以多項式：就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。

多項式乘以多項式：先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的

積相加。

單項除單項式：把系數(shù)，同底數(shù)幕分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有字

母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。

多項式除以單項式：把這個多項式的每一項除以這個單項，再把所得的商相加。

乘法公式：

平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；

完全平方公式:(a+b)~—ci'+2ab+b~<(a—b)~—ci~—2ab+b2

三、因式分解

1、因式分解概念：把?個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解。

2、常用的因式分解方法：

(1)提取公因式法：ma+mb+me=+/?+c)

(2)運用公式法：

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2±2ah+h2=(a±b)2

(3)十字相乘法：x2+(a+b)x+ab-(x+a)(x+b)

(4)分組分解法：將多項式的項適當分組后能提公因式或運用公式分解。

(5)運用求根公式法：若如2+云+。=0(。。0)的兩個根是占、x2,則有：

2

ax+bx+c=a(x—x,)(x-x2)

3、因式分解的?一般步驟：

(1)如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；

(2)提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法；

(3)對二次三項式，應先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。

(4)最后考慮用分組分解法。

四、分式

1、分式定義：形如色?的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含有字母。

B

(1)分式無意義：B=0時，分式無意義；BHO時，分式有意義。

(2)分式的值為0：A=O,B#0時，分式的值等于0。

(3)分式的約分：把一個分式的分子與分母的公因式約去叫做分式的約分。方法是把

分子、分母因式分解，再約去公因式。

(4)最簡分式：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫做最簡分式。分式運算的最

終結(jié)果若是分式，一定要化為最簡分式。

(5)通分：把幾個異分母的分式分別化成與原來分式相等的同分母分式的過程，叫做

分式的通分。

(6)最簡公分母：各分式的分母所有因式的最高次幕的積。

(7)有理式：整式和分式統(tǒng)稱有理式。

2、分式的基本性質(zhì)：

9

大或建才*福****<

(1)4=4”(加是—0的整式)：(2)4="."(M是H0的整式)

BBMBB^M

(3)分式的變號法則：分式的分子，分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分

式的值不變。

3、分式的運算：

(1)力口、減：同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減；異分母的分式相加減，

先把它們通分成同分母的分式再相加減。

(2)乘：先對各分式的分子、分母因式分解，約分后再分子乘以分子，分母乘以分母。

(3)除：除以一個分式等于乘上它的倒數(shù)式。

(4)乘方：分式的乘方就是把分子、分母分別乘方。

五、二次根式

1、二次根式的概念：式子JZ(a?O)叫做二次根式。

(1)最簡二次根式：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，被開方數(shù)中不含能開得盡

方的因式的二次根式叫最簡二次根式。

(2)同類二次根式：化為最簡二次根式之后，被開方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二

次根式。

(3)分母有理化：把分母中的根號化去叫做分母有理化。

(4)有理化因式：把兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式,

我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式(常用的有理化因式有：石與a4b+c4d

與?！?-。妍)

2、二次根式的性質(zhì)：

(1)(V?)2=>0)；(2)V?==<"("一°)；(3)y[ah=4a-4b

(a

11[-o(a<0)

[a_y[a

20,b^O)；(4)匕=而(a>0,b>0)

3、運算：

(1)二次根式的加減：將各二次根式化為最簡二次根式后，合并同類二次根式。

(2)二次根式的乘法：4a-4b=4ab(a)0,b20)。

(3)二次根式的除法：^=yl^(a>0,b>0)

y］bvb

二次根式運算的最終結(jié)果如果是根式，要化成最簡二次根式。

例題：

一、因式分解：

1、提公因式法：

例1、24a2(x—y)+6b2(y—x)

分析：先提公因式，后用平方差公式解：略

［規(guī)律總結(jié)］因式分解本著先提取，后公式等，但應把第?個因式都分解到不能再分解為

止，往往需要對分解后的每一個因式進行最后的審查，如果還能分解，應繼續(xù)分解。

2、十字相乘法：

例2、(1)x4—5x2—36；(2)(x+y)?—4(x+y)—12

10

分析：可看成是丁和(x+y)的二次三項式，先用十字相乘法，初步分解。解：略

［規(guī)律總結(jié)］應用卜字相乘法時，注意某?項可是單項的一字母，也可是某個多項式或整

式，有時還需要連續(xù)用十字相乘法。

3、分組分解法：

例3、x'+2x~-X-2

分析：先分組，第一項和第二項一組，第三、第四項一組，后提取，再公式。解：略

［規(guī)律總結(jié)］對多項式適當分組轉(zhuǎn)化成基本方法因式分組，分組的目的是為了用提公因式,

十字相乘法或公式法解題。

4、求根公式法：

例4、x~+5x+5解：略

二、式的運算

巧用公式

1,1,

例5、計算：(1一——)2-(1+—!—)2

a-ba-b

分析：運用平方差公式因式分解，使分式運算簡單化。解：略

［規(guī)律總結(jié)］抓住三個乘法公式的特征，靈活運用，特別要掌握公式的幾種變形，公式的

逆用，掌握運用公式的技巧，使運算簡便準確。

2、化簡求值：

例6、先化簡，再求值：5x2—(3x2+5x2)+(4y2+7xy),其中x=-ly=1--ypl

［規(guī)律總結(jié)］一定要先化到最簡再代入求值，注意去括號的法則。

3、分式的計算：

例7、化簡■^二*■十(工一一。一3)

2。-6CL—3

a2-9

分析：-a-3可看成-------解：略

a-3

［規(guī)律總結(jié)］分式計算過程中：(1)除法轉(zhuǎn)化為乘法時，要倒轉(zhuǎn)分子、分母；(2)注意負號

4、根式計算

例8、已知最簡二次根式J赤方和J7萬是同類二次根式，求b的值。

分析：根據(jù)同類二次根式定義可得：2b+l=7-b。解：略

［規(guī)律總結(jié)］二次根式的性質(zhì)和運算是中考必考內(nèi)容，特別是二次根式的化簡、求值及性

質(zhì)的運用是中考的主要考查內(nèi)容。

代抵梆臺

第三幸，方程和方程俎

基礎(chǔ)知識點：

一、方程有關(guān)概念

1、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫方程的解，含有一個未知數(shù)的

方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判斷方程無解的過程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程變形時，產(chǎn)生的不適合原方程的根叫做原方程的增根。

二、一元方程

1、一元一次方程

11

犬咬囊方?福

(1)一元一次方程的標準形式：ax+b=O(其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，a/0)

(2)一玩一次方程的最簡形式：ax=b(其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，aWO)

(3)解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項和系數(shù)化為1。

(4)一元一次方程有唯一的一個解。

2、一元二次方程

(1)一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=O(其中x是未知數(shù)，a、b、c是已知

數(shù)，aWO)

(2)一元二次方程的解法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法

(3)一元二次方程解法的選擇順序是：先特殊后一般，如沒有要求，一般不用配方法。

(4)一元二次方程的根的判別式：A=/-4ac

當A>0時0方程有兩個不相等的實數(shù)根；

當△=0時=方程有兩個相等的實數(shù)根；

當△<0時=方程沒有實數(shù)根，無解；

當A20時=方程有兩個實數(shù)根

(5)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：

若X],》2是一元二次方程“廣+bx+c=0的兩個根，那么：Xy+x=——，

2a

c

X1-x2=—

a

(6)以兩個數(shù)為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)是：

2

X—(X1+x2)x+xtx2=0

三、分式方程

(1)定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

(2)分式方程的解法：

一般解法：去分母法，方程兩邊都乘以最簡公分母。

特殊方法：換元法。

(3)檢驗方法：一般把求得的未知數(shù)的值代入最簡公分母，使最簡公分母不為0的就

是原方程的根；使得最簡公分母為0的就是原方程的增根，增根必須舍去，也可以把求得的

未知數(shù)的值代入原方程檢驗。

四、方程組

1、方程組的解：方程組中各方程的公共解叫做方程組的解。

2、解方程組：求方程組的解或判斷方程組無解的過程叫做解方程組

3、一次方程組：

(1)二元一次方程組：

,,[a,x+b.y-c,.

一般形式：(%,%,4,%,C],C2不全為0)

a2x+b2y=c2

解法：代入消遠法和加減消元法

解的個數(shù)：有唯一的解，或無解，當兩個方程相同時有無數(shù)的解。

(2)三元一次方程組：

解法：代入消元法和加減消元法

4、二元二次方程組：

(1)定義：由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組以及由兩個二元二

12

犬咬我方?福?***<

次方程組成的方程組叫做二元二次方程組。

(2)解法：消元，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程，或者降次，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組。

考點與命題趨向分析

例題：

一、一元二次方程的解法

例1、解下列方程：

(1)1(x+3)2=2；(2)2X2+3X=1；(3)4(x+3)2=25(x-2)2

分析：(1)用直接開方法解；(2)用公式法；(3)用因式分解法解：略

［規(guī)律總結(jié)］如果一元二次方程形如(x+加/20),就可以用直接開方法來解；利用公

式法可以解任何一個有解的一元二次方程，運用公式法解一元二次方程時，一定要把方程化

成一般形式。

例2、解下列方程：

(1)/—&(3x-2a+b)=0(x為未知數(shù))：(2)x2+2ax-Sa2=0

分析：(1)先化為一般形式，再用公式法解；(2)直接可以十字相乘法因式分解后可求解。

［規(guī)律總結(jié)］對于帶字母系數(shù)的方程解法和一般的方程沒有什么區(qū)別，在用公式法時要注意判

斷△的正負。

二、分式方程的解法：

例3、解下列方程：

,、21,、X?+26x.

(2)-=--------1；(2)----------1—------=5

1—xx+1xx~+2

分析：(1)用去分母的方法；(2)用換元法解：略

［規(guī)律總結(jié)］一般的分式方程用去分母法來解，一些具有特殊關(guān)系如：有平方關(guān)系，倒數(shù)關(guān)系

等的分式方程，可采用換元法來解。

三、根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系

例4、已知關(guān)于x的方程：(p-l)x2+2px+p+3=0有兩個相等的實數(shù)根，求p的值。

分析：由題意可得△=(),把各系數(shù)代入△=()中就可求出p，但要先化為一般形式。

［規(guī)律總結(jié)］對于根的判別式的三種情況要很熟練，還有要特別留意二次項系數(shù)不能為0

例5、已知a、b是方程工2一行工一1二0的兩個根，求下列各式的值：

(1)(2)—I—

ab

分析：先算出a+b和ab的值，再代入把(1)(2)變形后的式子就可求出解。

［規(guī)律總結(jié)］此類題目都是先算出兩根之和和兩根之積，再把要求的式子變形成含有兩根之和

和兩根之積的形式，再代入計算。但要注意檢驗一下方程是否有解。

例6、求作一個一元二次方程，使它的兩個根分別比方程5=0的兩個根小3

分析：先出求原方程的兩根之和天+￡和兩根之積x/2再代入求出(為-3)+(馬-2)和

(匹-3)(馬-3)的值，所求的方程也就容易寫出來。解：略

［規(guī)律總結(jié)］此類題目可以先解出第一方程的兩個解，但有時這樣又太復雜，用根與系數(shù)的關(guān)

系就比較簡單。

三、方程組

例7、解下列方程組：

13

大或建方*福****<

x+y—2z=l

\2x+3y=3

(2)<2尤—y—z=5

x—2y=5

x+y+3z=4

分析：(1)用加減消元法消x較簡單；(2)應該先用加減消元法消去y,變成二元一次方程

組，較易求解。解：略

［規(guī)律總結(jié)］加減消元法是最常用的消元方法，消元時那個未知數(shù)的系數(shù)最簡單就先消那個未

知數(shù)。

例8、解下列方程組：

Jx+y=7J3x2-xy-4y2-3x+4y-0

［xy=12'⑵1—+y2=25

分析：(1)可用代入消遠法，也可用根與系數(shù)的關(guān)系來求解；(2)要先把第一個方程因式分

解化成兩個二元一次方程，再與第二個方程分別組成兩個方程組來解。解：略

［規(guī)律總結(jié)］對于一個二元一次方程和?個二元二次方程組成的方程組?般用代入消元法，對

于兩個二元二次方程組成的方程組，一定要先把其中一個方程因式分解化為兩個一次方程再

和第二個方程組成兩個方程組來求解。

整式及其運算訓練

L的系數(shù)是——，次數(shù)是一

2.計算：(-2a)~+a-.

3.下列計算正確的是()

A.x5+x5=x10B.x5-x5=x10C.(x5)5=x10D.x20-J-X2=.x10

4.計算(-x)2/所得的結(jié)果是()

A.B.-C.x6D.-x6

5.a,b兩數(shù)的平方和用代數(shù)式表示為)

A.a2+b2B.(a+b)2C.a+b2D.ci~+b

6.某工廠一月份產(chǎn)值為a萬元，二月份比一月份增長5%,則二月份產(chǎn)值為()

A.(a+1)?5%萬元B.5%a萬元c.(1+5%)a萬元D.(1+5%)2a

【連接】

1.代數(shù)式：用運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)把或表示

連接而成的式子叫做代數(shù)式.

2.代數(shù)式的值：用代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式里的運算關(guān)系，計算后所

得的叫做代數(shù)式的值.

3.整式

(1)單項式：由數(shù)與字母的組成的代數(shù)式叫做單項式(單獨一個數(shù)或

也是單項式).單項式中的叫做這個單項式的系數(shù)；單項式中的所有字母的

叫做這個單項式的次數(shù).

(2)多項式：幾個單項式的叫做多項式.在多項式中，每個單項式叫

做多項式的,其中次數(shù)最高的項的叫做這個多項式的次數(shù).不含字母的

項叫做.

(3)整式：與統(tǒng)稱整式.

14

大或建方*福****<

4.同類項：在一個多項式中，所含相同并且相同字母的_____也分別相等的項叫

做同類項.合并同類項的法則是.

5.塞的運算性質(zhì)：a"-a"=；(a)"=；a"+a"=；(ab)n=.

6.乘法公式：

(1)(a+b)(c+d)-；(2)(a+b)(a—b)=；

(3)(a+b)2=；(4)(a—b)2=.

7.整式的除法

⑴單項式除以單項式的法則：把、分別相除后，作為商的因式;

對于只在被除武里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式.

⑵多項式除以單項式的法則：先把這個多項式的每一項分別除以,再把

所得的商.

【典例精析】

例1若。>0且優(yōu)=2,加=3,則0"的值為()

23

A.—1B.1C.—D.一

32

例2按下列程序計算，把答案寫在表格內(nèi)：

n——>平方------?+n------?+n——?-n------A答案

⑴填寫表格:

]_

輸入n3—2—3.??

2

輸出答案11…

⑵請將題中計算程序用代數(shù)式表達出來，并給予化簡.

例3先化簡，再求值:

(1)x(x+2)—(x+l)(x—1),其中x=一工

2

(2)(X+3)2+(X+2)(X-2)-2X2,其中x=-;.

15

犬咬囊方*福****<

【中考演練】

1.計算(-3a，)2?1的結(jié)果是()

A.-9aB.6a1C.9a2D.9a'

2.下列運算中，結(jié)果正確的是()

A.x3-x3=x6B.3/+2/=5x“c.(x2)3=/D.(x+y)2=x2+/

cn4

*3.已知代數(shù)式3x2-4x+6的值為9,則/——x+6的值為()

3

A.18B.12C.9D.7

4.若2x3/"與一3x"y2是同類項，則m+n=

5.觀察下面的單項式：x,-2x,4x\-8x4,…….根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，寫出第7個式子

是.

6.先化簡，再求值：

(1)(a-2b)(a+2b)+ah3-s-(—ab),其中a=b=—l；

(2)(x-y)?+2y(x-y),其中x=l,y=VI.

*7.大家一定熟知楊輝三角(I),觀察下列等式(H)

1

11(a+b)'=a+b

121222

1331(a+b)=a+2ab+b

1根據(jù)前9各式規(guī)徵則sf?(4+。)'.=/+3/b+3ab-+b3

因式分解強化訓練.......................(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+W+b4

1.若X—y=3,則2f—2y=.

2.分解因式：3x2_27=.II

3,若/=(冗+3)(1一4),則a=,b=.

4.簡便計算：20082-2009x2008=.

16

犬咬囊方*福****<

5.下列式子中是完全平方式的是()

A.6('+cib+b~B.a~+2a+2C.u~—2b+b~D.a~+2ci+1

【連接】

1.因式分解：就是把一個多項式化為幾個整式的的形式.分解因式要進行到每一個因式都

不能再分解為止.

2.因式分解的方法：⑴_____________,(2)________________,

(3),(4).

3.提公因式法：ma+mb+me=.

4.公式法：(1)a2-h2=(2)a2+2ab+b2=,

(3)u~—lub+b~—.

5.十字相乘法：x2+(7?+q)x+pq=.

6.因式分解的一般步驟:一“提”(取公因式)，二''用"(公式).

7.易錯知識辨析

(1)注意因式分解與整式乘法的區(qū)別；

(2)完全平方公式、平方差公式中字母，不僅表示一個數(shù)，還可以表示單項式、多項式.

【典例精析】

例1分解因式：

(1)ax3y+axy3-2ax2y2=.⑵3y'—27=,

(3)x2+4x+4=.(4)

2x--12x+18=.

例2已知a-b=5,帥=3,求代數(shù)式一2a2〃+帥3的值

【中考演練】

1.簡便計算：