高考數(shù)學(xué)（理）高分計(jì)劃一輪狂刷練第6章　不等式6-3a

[基礎(chǔ)送分提速狂刷練]一、選擇題1．若x＞0，則x＋eq\f(2,x)的最小值是()A．2 B．4C.eq\r(2) D．2eq\r(2)答案D解析由基本不等式可得x＋eq\f(2,x)≥2eq\r(x·\f(2,x))＝2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(2,x)即x＝eq\r(2)時(shí)取等號，故最小值是2eq\r(2).故選D.2．若函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x＞2)在x＝a處取最小值，則a等于()A．1＋eq\r(2) B．1＋eq\r(3)C．3 D．4答案C解析當(dāng)x>2時(shí)，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋eq\f(1,x－2)＋2≥2eq\r(x－2×\f(1,x－2))＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝eq\f(1,x－2)(x＞2)，即x＝3時(shí)取等號，即當(dāng)f(x)取得最小值時(shí)，即a＝3.故選C.3．(2018·河南平頂山一模)若對任意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則a的取值范圍是()A．a(chǎn)≥eq\f(1,5) B．a(chǎn)＞eq\f(1,5)C．a(chǎn)＜eq\f(1,5) D．a(chǎn)≤eq\f(1,5)答案A解析因?yàn)閷θ我鈞>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，所以對x∈(0，＋∞)，a≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,x2＋3x＋1)))max，而對x∈(0，＋∞)，eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq\f(1,2\r(x·\f(1,x))＋3)＝eq\f(1,5)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號成立，∴a≥eq\f(1,5).故選A.4．在方程|x|＋|y|＝1表示的曲線所圍成的區(qū)域內(nèi)(包括邊界)任取一點(diǎn)P(x，y)，則z＝xy的最大值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)答案C解析根據(jù)題意如圖所示，要保證z最大，則P應(yīng)落在第一或第三象限內(nèi)，不妨設(shè)P點(diǎn)落在線段AB上，故z＝xy＝x(1－x)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1－x,2)))2＝eq\f(1,4)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)，等號成立，故z的最大值為eq\f(1,4).故選C.5．(2018·福建四地六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2的值域?yàn)?－∞，0]∪[4，＋∞)，則a的值是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,2)C．1 D．2答案C解析由題意可得a>0，①當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2≥2eq\r(a)＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\r(a)時(shí)取等號；②當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2≤－2eq\r(a)＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－eq\r(a)時(shí)取等號．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－2\r(a)＝0，,2\r(a)＋2＝4，))解得a＝1.故選C.6．(2017·浙江考試院抽測)若正數(shù)x，y滿足x2＋3xy－1＝0，則x＋y的最小值是()A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(2\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(2\r(3),3)答案B解析對于x2＋3xy－1＝0可得y＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－x))，∴x＋y＝eq\f(2x,3)＋eq\f(1,3x)≥2eq\r(\f(2,9))＝eq\f(2\r(2),3)(當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(\r(2),2)時(shí)等號成立)．故選B.7．已知實(shí)數(shù)a>0，b>0，且ab＝1，若不等式(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))>m，對任意的正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．[4，＋∞) B．(－∞，1]C．(－∞，4] D．(－∞，4)答案D解析因?yàn)閍，b，x，y為正實(shí)數(shù)，所以(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2≥2eq\r(ab)＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b，eq\f(ay,x)＝eq\f(bx,y)，即a＝b，x＝y(tǒng)時(shí)等號成立，故只要m<4即可．故選D.8．(2017·忻州一中聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d，其前n項(xiàng)和是Sn，若a1＝d＝1，則eq\f(Sn＋8,an)的最小值是()A.eq\f(9,2) B.eq\f(7,2)C．2eq\r(2)＋eq\f(1,2) D．2eq\r(2)－eq\f(1,2)答案A解析an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝eq\f(n1＋n,2)，∴eq\f(Sn＋8,an)＝eq\f(\f(nn＋1,2)＋8,n)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(16,n)＋1))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(n·\f(16,n))＋1))＝eq\f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)n＝4時(shí)取等號．∴eq\f(Sn＋8,an)的最小值是eq\f(9,2).故選A.9．(2018·東北育才學(xué)校模擬)設(shè)eq\o(OA,\s\up16(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up16(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up16(→))＝(－b,0)(a>0，b>0，O為坐標(biāo)原點(diǎn))，若A，B，C三點(diǎn)共線，則eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)的最小值是()A．4 B.eq\f(9,2)C．8 D．9答案D解析∵eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＝(a－1,1)，eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＝(－b－1,2)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則有eq\o(AB,\s\up16(→))∥eq\o(AC,\s\up16(→))，∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，又a>0，b>0，∴eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))·(2a＋b)＝5＋eq\f(2b,a)＋eq\f(2a,b)≥5＋2eq\r(\f(2b,a)·\f(2a,b))＝9，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2b,a)＝\f(2a,b)，,2a＋b＝1，))即a＝b＝eq\f(1,3)時(shí)等號成立．故選D.10．(2018·河南洛陽統(tǒng)考)設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)．若?x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，則eq\f(b2,a2＋2c2)的最大值為()A.eq\r(6)＋2 B.eq\r(6)－2C．2eq\r(2)＋2 D．2eq\r(2)－2答案B解析由題意得f′(x)＝2ax＋b，由f(x)≥f′(x)在R上恒成立得ax2＋(b－2a)x＋c－b≥0在R上恒成立，則a>0且Δ≤0，可得b2≤4ac－4a2，則eq\f(b2,a2＋2c2)≤eq\f(4ac－4a2,a2＋2c2)＝eq\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)－1)),2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋1)，且4ac－4a2≥0，∴4·eq\f(c,a)－4≥0，∴eq\f(c,a)－1≥0，令t＝eq\f(c,a)－1，則t≥0.當(dāng)t＞0時(shí)，eq\f(b2,a2＋2c2)≤eq\f(4t,2t2＋4t＋3)＝eq\f(4,2t＋\f(3,t)＋4)≤eq\f(4,2\r(6)＋4)＝eq\r(6)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)且僅當(dāng)t＝\f(\r(6),2)時(shí)等號成立))，當(dāng)t＝0時(shí)，eq\f(b2,a2＋2c2)＝0，故eq\f(b2,a2＋2c2)的最大值為eq\r(6)－2.故選B.二、填空題11．(2014·福建高考)要制作一個(gè)容積為4m3，高為1m的無蓋長方體容器．已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是________(單位：元)．答案160解析設(shè)底面的相鄰兩邊長分別為xm，ym，總造價(jià)為T元，則V＝xy·1＝4?xy＝4.T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2eq\r(xy)＝80＋20×4＝160.(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號)故該容器的最低總造價(jià)是160元．12．(2018·河南百校聯(lián)盟模擬)已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝4，則eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,b＋3)的最小值為________．答案eq\f(1,2)解析∵a＋b＝4，∴a＋1＋b＋3＝8，∴eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,b＋3)＝eq\f(1,8)[(a＋1)＋(b＋3)]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a＋1)＋\f(1,b＋3)))＝eq\f(1,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(b＋3,a＋1)＋\f(a＋1,b＋3)))≥eq\f(1,8)(2＋2)＝eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1時(shí)取等號，∴eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,b＋3)的最小值為eq\f(1,2).13．(2018·泰安模擬)正實(shí)數(shù)a、b滿足eq\f(2,a＋2b)＋eq\f(1,2a＋b)＝6，則4a＋5b的最小值是________．答案eq\f(3,2)解析正實(shí)數(shù)a、b滿足eq\f(2,a＋2b)＋eq\f(1,2a＋b)＝6，令a＋2b＝m,2a＋b＝n，則正數(shù)m，n滿足eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)＝6，則4a＋5b＝2m＋n＝eq\f(1,6)(2m＋n)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,m)＋\f(1,n)))＝eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(2n,m)＋\f(2m,n)))≥eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(2n,m)·\f(2m,n))))＝eq\f(3,2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2n,m)＝eq\f(2m,n)即m＝n＝eq\f(1,2)時(shí)取等號，此時(shí)a＝b＝eq\f(1,6)，故4a＋5b的最小值為eq\f(3,2).14．已知x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋2y≥0，,2x－y－2≤0，))且目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a，b＞0)的最大值為4，則eq\f(4,a)＋eq\f(2,b)的最小值為________．答案3＋2eq\r(2)解析畫區(qū)域如圖，易知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,2x－y－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))所以2a＋2b＝4，即a＋b＝2，所以eq\f(4,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(2a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＝2＋eq\f(2b,a)＋eq\f(a,b)＋1＝3＋eq\f(2b,a)＋eq\f(a,b)≥3＋2eq\r(\f(2b,a)·\f(a,b))＝3＋2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2b,a)＝eq\f(a,b)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4－2\r(2)，,b＝2\r(2)－2))時(shí)，取等號．故eq\f(4,a)＋eq\f(2,b)的最小值為3＋2eq\r(2).三、解答題15．(2017·太原期末)如圖，圍建一個(gè)面積為100m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻(舊墻需維修)，其余三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口，已知舊墻的維修費(fèi)用為56元/米，新墻的造價(jià)為200元/米，設(shè)利用的舊墻長度為x(單位：米)，修建此矩形場地圍墻的總費(fèi)用y(單位：元)．(1)將y表示為x的函數(shù)；(2)求當(dāng)x為何值時(shí)，y取得最小值，并求出此最小值．解(1)由題意得矩形場地的另一邊長為eq\f(100,x)米，∴y＝56x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2·\f(100,x)－2))×200＝256x＋eq\f(40000,x)－400(x＞0)．(2)由(1)得y＝256x＋eq\f(40000,x)－400≥2eq\r(256x·\f(40000,x))－400＝6000，當(dāng)且僅當(dāng)256x＝eq\f(40000,x)時(shí)，等號成立，即當(dāng)x＝eq\f(25,2)米時(shí)