四川省樂山第一中學(xué)高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題

樂山一中高2025屆高三（下）4月月考數(shù)學(xué)測試卷命題人：彭英、陳一丁審題人：彭英、陳一丁一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.復(fù)數(shù)，則（）A.5 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算得到，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式求解即可.【詳解】，.故選：D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集的定義即可得解.【詳解】因為集合，，所以.故選：B.3.已知向量，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】利用向量線性運算的坐標(biāo)表示及共線向量的坐標(biāo)表示，列式求解.【詳解】由，得，則，由，得，所以.故選：C4.以為漸近線的雙曲線可以是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用漸近線的求法，直接求出各個選項的漸近線方程，即可求解.【詳解】對于A，由得漸近線方程為，故A錯誤；對于B，由得漸近線方程為，故B正確；對于C，由得漸近線方程為，故C錯誤；對于D，由得漸近線方程為，故D錯誤.故選：B.5.設(shè)是兩個不同的平面，是兩條直線，且.則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】通過面面平行的性質(zhì)判斷充分性，通過列舉例子判斷必要性.【詳解】，且，所以，又，所以，充分性滿足，如圖：滿足，，但不成立，故必要性不滿足，所以“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.6.已知的展開式中的系數(shù)為17．則實數(shù)的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】先找到的展開式通項為，再由乘法分配律得展開式中的系數(shù)為，即可得解.【詳解】根據(jù)題意，的展開式通項為，所以的展開式中為：，則，解得.故選：A7.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，且關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性可得出，再由函數(shù)的單調(diào)性可得出，結(jié)合參變量分離法可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)與均是增函數(shù)，所以，函數(shù)是上的增函數(shù)只需滿足，即，解得，由得，即恒成立，所以，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，所以，，即，因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.8.某藝術(shù)吊燈如圖1所示，圖2是其幾何結(jié)構(gòu)圖．底座是邊長為的正方形，垂直于底座且長度為6的四根吊掛線，，，一頭連著底座端點，另一頭都連在球的表面上（底座厚度忽略不計），若該藝術(shù)吊燈總高度為14，則球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意做出該藝術(shù)吊燈的主視圖，確定正方形的外接圓圓心為，連接，由勾股定理及球體積公式計算即可．【詳解】如圖，作出該藝術(shù)吊燈的主視圖，由已知得四邊形為正方形，則，設(shè)正方形的外接圓圓心為，連接交球面于點，如圖所示，則，所以，因為該藝術(shù)吊燈總高度為14，，所以，設(shè)球半徑為，則，在中，，解得，所以球的體積為，故選：C．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.兩個選項的每個選項3分，三個選項的每個選項2分.9.下列說法正確的為（）A.在回歸模型的殘差分析中，決定系數(shù)越接近1，意味著模型的擬合效果越好B.數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為C已知隨機(jī)變量，若，則D.在裝有3個黑球，2個紅球的袋子中隨機(jī)摸出兩個球，則摸出的兩個球“均為黑球”與“均為紅球”是對立事件【答案】ABC【解析】【分析】利用決定系數(shù)的意義可判斷A；計算的標(biāo)準(zhǔn)差可判斷B；由正態(tài)分布概率計算可判斷C；摸出的兩個球“均為黑球”的對立事件為“摸出的兩個球“不全為黑球”，可判斷D.【詳解】對于A，決定系數(shù)的值越大，殘差平方和越小，擬合的效果越好，故A正確.對于B：設(shè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，故B正確；對于C：因為隨機(jī)變量，所以，又因為，所以，所以，故C正確；對于D：在裝有3個黑球，2個紅球的袋子中隨機(jī)摸出兩個球，則摸出的兩個球“均為黑球”的對立事件為“摸出的兩個球“不全為黑球”，故D錯誤.故選：ABC.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.方程的解為，【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，求出周期及、、，進(jìn)而求出解析式，再根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】對于A，由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，故A正確；對于B，由，所以，因為，則，則，因為，則，所以，故B正確；對于C，，由，得，而，即時，沒有意義，故C錯誤；對于D，，則，方程，得，即，即，所以或，因為，，所以或，解得或，故D正確.故選：ABD.11.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點為，為坐標(biāo)原點，，是上兩點，則下列說法正確的是（）A.點的坐標(biāo)為B.若，則的中點到軸距離的最小值為8C.若直線過點，則以為直徑的圓過點D.若直線與的斜率之積為，則直線過點【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線求得焦點坐標(biāo)判斷A，設(shè)直線方程為，，直線方程代入拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理得，求出中點坐標(biāo)得中點到軸距離，求得最小值后判斷B，計算的長和中點到原點的距離，比較后判斷C，由斜率之積求出為常數(shù)，可得直線過定點判斷D．【詳解】A．拋物線準(zhǔn)線方程是，，，則焦點為，A正確；B．顯然斜率存在，設(shè)直線方程為，，由得，，，，所以，化簡得，線段中點的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為為中點到軸的距離，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，因此B中結(jié)論最小值為8是錯誤的．B錯；C．設(shè)方程為（），由上述討論知，又中點為，即中點為，中點到原點的距離為，所以以為直徑的圓不過點，C錯；D．，則，由上得，，方程為，必過點，D正確．故選：AD．【點睛】本題考查求拋物線的方程，考查直線與拋物線相交，解題方法是設(shè)而不求的思想方法，即設(shè)交點坐標(biāo)，設(shè)，設(shè)直線方程為，直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組且消元，應(yīng)用韋達(dá)定理得，然后把這個結(jié)論代入各個條件求解．三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.12.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的值為__________.【答案】4【解析】【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)可求得的值，結(jié)合計算即可.【詳解】由題得，解得，所以當(dāng)時，，所以.故答案為：4.13.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的面積為______.【答案】【解析】【分析】由正弦定理角化邊可得，再結(jié)合余弦定理可得，根據(jù)三角形面積公式即可求解.【詳解】解：因為，由正弦定理可得：，即，又，所以，由，所以，故答案為：.14.甲、乙、丙、丁、戊五人完成A，B，C，D，E五項任務(wù)所獲得的效益如下表：ABCDE甲1113101311乙2526242323丙1014151311丁7911911戊1416151612現(xiàn)每項任務(wù)選派一人完成，其中甲不承擔(dān)C任務(wù)，丁不承擔(dān)A任務(wù)的指派方法數(shù)有________種；效益之和的最大值是________.【答案】①.78②.80【解析】【分析】第一空，由間接法求解，5人的全排列減去甲承擔(dān)C任務(wù)，丁承擔(dān)A任務(wù)的排列，再加上重復(fù)減去的情況即可；第二空，通過討論B項工作由甲承擔(dān)還是乙承擔(dān)，進(jìn)行求解；【詳解】依據(jù)乘法原理，選派方法共有，由表可知，五項工作獲得的效益值總和最大為，但不能同時取得；要使總和最大、甲可以承擔(dān)B或D項工作，丙只能承擔(dān)C項工作，則丁不可以承擔(dān)C項工作，所以丁承擔(dān)E項工作；乙若承擔(dān)B項工作，則甲承擔(dān)D項工作，戊承擔(dān)A項工作，此時效益值總和為：，乙若不承擔(dān)B項工作，則乙承擔(dān)A項工作，甲承擔(dān)B項工作，則戊承擔(dān)D項工作，此時，效益值總和為：，所以，完成五項工作后獲得的效益值總和最大是80.故答案為：78；80四?解答題：共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列中，，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）設(shè)，為數(shù)列的前n項和，證明：.【答案】（1）證明見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）通過等式左右兩側(cè)取倒數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列的定義可證明結(jié)論.（2）根據(jù)（1）可得數(shù)列的通項公式，由此可得結(jié)果.（3）利用裂項相消法可求得，分析性質(zhì)可證明結(jié)論.【小問1詳解】∵，∴，即，∴是以為首項，2為公差的等差數(shù)列.【小問2詳解】由（1）得，，∴.【小問3詳解】由（2）得，，∴，∵，∴，且隨著增大而減小，∴，當(dāng)時，，∴.16.如圖，是邊長為的正三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形.已知.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（3）求平面與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由是等腰直角三角形，可得和長度，再由是邊長為的正三角形和勾股定理可證，最后由面面垂直的判定定理得證；（2）根據(jù)垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，求得相應(yīng)直線的方向向量，再得到平面的法向量，利用向量法求得直線與平面所成角的正弦值；（3）利用向量法求得平面的法向量，進(jìn)而可求二面角的余弦值.【小問1詳解】取線段中點為，鏈接與，因為是以為斜邊的等腰直角三角形，所以，且,又因為是邊長為的正三角形，則，則在中有，則，又因為，平面，所以平面，且平面，所以平面平面；【小問2詳解】由（1）知兩兩垂直，所以以為坐標(biāo)原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，則．設(shè)是平面的一個法向量，則，取，則．則，故直線與平面所成角的正弦值為；【小問3詳解】由（2）可知，設(shè)平面的一個法向量分別為，則，令，則，即，所以平面與平面所成角的余弦值為.17.已知和為橢圓上兩點.（1）求的離心率；（2）若過點的直線交于另一點，且的面積為12，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓上兩點列方程可求出，即可得出離心率；（2）分直線斜率不存在，存在討論，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，由根與系數(shù)的關(guān)系得出弦長，再由點到直線距離得出高，求出三角形面積，解方程即可得解.【小問1詳解】由題意得，解得，所以.【小問2詳解】如圖，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，，，到距離，此時不滿足條件.當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，設(shè)，則，消可得，當(dāng)時，，又，所以，，又點到直線的距離，所以，整理可得或(無解），即，解得或，此時代入檢驗，均滿足，或，即或.18.國產(chǎn)動畫電影《哪吒之魔童鬧?！窇{借其獨特的藝術(shù)魅力與深刻的故事情節(jié)吸引了無數(shù)觀眾的目光，電影中的人物哪吒也深得觀眾喜愛.某公司適時推出10種款式不同的哪吒玩偶隨機(jī)購活動，購買規(guī)則及概率如下：每次購買一個，且買到任意一種款式是等可能的.小王特別喜歡10種款式中的一種.（1）若10種款式的玩偶各有一個.（i）求小王第二次才買到特別喜歡的款式的概率；（ii）設(shè)小王買到特別喜歡的款式所需次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.（2）若每種款式的玩偶數(shù)量足夠多，每次玩偶被買后公司都會補(bǔ)充被買走的款式.為了滿足客戶的需求，引進(jìn)了保底機(jī)制：在購買前指定一個款式，若前6次未買到指定款式，則第7次必定買到指定款式.設(shè)為小王買到某指定款式所需的次數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）（i）；（ii）分布列見解析，（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）（i）根據(jù)條件，利用條件概率公式，即可求解；（ii）由題知的可能取值為，利用古典概率公式求出相應(yīng)取值對應(yīng)的概率，即可求出分布列，再利用期望的計算公式，即可求解；（2）根據(jù)條件，求出的分布列，進(jìn)而求出，再利用錯位相減法，即可求解.【小問1詳解】（i）設(shè)小王第次買到特別喜歡的款式為事件.則小王第二次才買到特別喜歡的款式的概率為.（ii）依題意的可能取值為，則，所以的分布列為12910則；【小問2詳解】記，又的可能取值為.因為前6次（包含第6次）沒有保底，則，其中，又，所以的分布列為1267則.記，則，兩式相減，得，所以.19.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；（2）若恒成立，求的取值范圍；（3）若有兩個零點，證明：.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可；（2）先分類討論單調(diào)性，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為的最值問題分析求解可得；（3）由有兩