專題16 全等模型之角平分線模型（解析版）

專題16全等模型之角平分線模型角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的?？贾R(shí)點(diǎn)，需要掌握其各類模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn)，本專題就角平分線的幾類全等模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。模型1.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）【模型解讀與圖示】條件：如圖1，為的角平分線、于點(diǎn)A時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作.結(jié)論：、≌.圖1圖2常見(jiàn)模型1（直角三角形型）條件：如圖2，在中，，為的角平分線，過(guò)點(diǎn)D作.結(jié)論：、≌.（當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，還有.）圖3常見(jiàn)模型2（鄰等對(duì)補(bǔ)型）條件：如圖3，OC是∠COB的角平分線，AC=BC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA、CE⊥OB。結(jié)論：①；②；③.例1．（2023·廣西玉林·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是的平分線，于，且三角形的面積，則線段的長(zhǎng)是.

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

平分，于點(diǎn)，，∴，∴，解得：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·廣東中山·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，中，、的角平分線、交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)、，，，則①平分；②；③；④．上述結(jié)論中正確的是（

）

A．①② B．①③ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線的判定定理和性質(zhì)定理即可判斷①結(jié)論；證明，，得出，，進(jìn)而得到，再利用四邊形內(nèi)角和，即可判斷②結(jié)論；根據(jù)角平分線的定義和三角形的外角性質(zhì)，即可判斷③結(jié)論；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可判斷④結(jié)論．【詳解】解：①如圖，過(guò)點(diǎn)作于，

平分，，，，平分，，，，，，，平分，①結(jié)論正確；②，，，，在和中，，，，同理可得，，，，，，，②結(jié)論正確；③平分，，，，，平分，，，，③結(jié)論正確；④由②可知，，，，，，，④結(jié)論正確，正確的結(jié)論是①②③④，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的平分線的判定定理和性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題關(guān)鍵．例3．（2023春·安徽宿州·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，和分別平分和，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在和上．(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)P，且與垂直，求證：；(2)如圖2，為過(guò)點(diǎn)P的任意一條線段，試猜想還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)成立，理由見(jiàn)詳解【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)M，由角平分線的性質(zhì)定理即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，證明，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)M，

∵，，．和分別是和的平分線，且，，，，．．（2）成立．理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，

，，，，由（1）得，在和中，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．例4．（2022·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）已知OP平分∠AOB，∠DCE的頂點(diǎn)C在射線OP上，射線CD交射線OA于點(diǎn)F，射線CE交射線OB于點(diǎn)G．（1）如圖1，若CD⊥OA，CE⊥OB，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CF與CG的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，試判斷線段CF與CG的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，見(jiàn)解析【分析】（1）結(jié)論CF=CG，由角平分線性質(zhì)定理即可判斷．（2）結(jié)論：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，證明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）結(jié)論：CF=CG；證明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）；（2）CF=CG．理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120°，∴CM=CN（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），∴∠AOC=∠BOC=60°（角平分線的性質(zhì)），∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60°，∴∠MCO=90°-60°=30°，∠NCO=90°-60°=30°，∴∠MCN=30°+30°=60°，∴∠MCN=∠DCE，∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，∴∠MCF=∠NCG，在△MCF和△NCG中，∴△MCF≌△NCG（ASA），∴CF=CG（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，熟練證明三角形全等．模型2.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）【模型解讀與圖示】條件：如圖1，為的角平分線，，結(jié)論：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三線合一等。圖1圖2圖3條件：如圖2，為的角平分線，，延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F.結(jié)論：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三線合一等。例1．（2022秋·湖北黃岡·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，是的角平分線，；若的最大值為，則長(zhǎng)為．【答案】【分析】延長(zhǎng)和相交于點(diǎn)，構(gòu)造出，從而求出的值；根據(jù)當(dāng)時(shí)，有最大值求解即可；【詳解】解：延長(zhǎng)和相交于點(diǎn)，如圖：∵是的角平分線∴∵∴，當(dāng)時(shí)，有最大值；此時(shí)，即：【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義；通過(guò)角平分線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．例2．（2022·綿陽(yáng)市·九年級(jí)期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．（1）如圖1，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接AF交BD于點(diǎn)E．若AB=BF，求證：BD垂直平分AF．（2）如圖2，CE⊥BD，垂足E在BD的延長(zhǎng)線上．試判斷線段CE和BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）如圖3，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足為E，EF與AC交于點(diǎn)M．直接寫(xiě)出線段CE與線段FM的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）BD=2CE，理由見(jiàn)解析；（3）FM=2CE．【分析】(1)由BD平分∠ABC，可得∠ABE=∠FBE，可證△ABE≌△FBE（SAS），可得AE=FE，∠AEB=∠FEB=×180°=90°即可；（2）延長(zhǎng)CE，交BA的延長(zhǎng)線于G，由CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，可得GE=2CE=2GE，可證△BAD≌△CAG（ASA），可得BD=CG=2CE；（3）作FM的中垂線NH交CF于N，交FM于H，由FN=MN，MH=FH=FM，可得∠NMH=∠NBH，由∠EFC=∠ABC=22.5°，可求∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，可得NM=CM=FN，由外角∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，可求∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，可證△FNH≌△CME（AAS），可得FH=CE即可．【詳解】證明(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE，∵BA=BF，BE=BE，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴AE=FE，∠AEB=∠FEB=×180°=90°，∴BD垂直平分AF．（2）BD=2CE，理由如下：延長(zhǎng)CE，交BA的延長(zhǎng)線于G，∵CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，∴GE=2CE=2GE，∵∠CED=90°=∠BAD，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD=∠GCA，又AB=AC，∠BAD=∠CAG，，∴△BAD≌△CAG（ASA），∴BD=CG=2CE，（3）FM=2CE，理由如下：作FM的中垂線NH交CF于N，交FM于H，∴FN=MN，MH=FH=FM，∴∠NMH=∠NBH，∵∠EFC=∠ABC=22.5°，∴∠MNC=2∠NFH=2×∠ABC=∠ABC，∵AB=AC，∠BAC=90，∴∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，∴NM=CM=FN，∵∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，∴∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，∴∠NFH=∠MCE，又∵∠FHN=∠E=90°，∴△FNH≌△CME（AAS），∴FH=CE，∴FM=2FH=2CE．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，線段垂直平分線，三角形外角性質(zhì)，掌握角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，線段垂直平分線是解題關(guān)鍵．例3．（2022秋·河南信陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）情景觀察：如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分別為D、E，CD與AE交于點(diǎn)F．①寫(xiě)出圖1中所有的全等三角形；②線段AF與線段CE的數(shù)量關(guān)系是，并寫(xiě)出證明過(guò)程．問(wèn)題探究：如圖2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足為D，AD與BC交于點(diǎn)E．求證：AE=2CD．【答案】①△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②AF=2CE，詳見(jiàn)解析.【分析】情景觀察：①由AB＝AC，AE⊥BC，AE是公共邊，根據(jù)“HL”即可判斷△ABE≌△ACE；根據(jù)等腰三角形“三線合一”和∠A＝45°，可求得∠DAF＝22.5°，利用等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理求得∠B＝67.5°，在Rt△BDC中即可求得∠DCB＝22.5°，在Rt△ADC中由∠DAC＝45°可得AD＝CD，由“ASA”即可得出△ADF≌△CDB；②由①中△ADF≌△CDB得出AF＝BC，再由“三線合一”得出BC＝2CE，等量代換即可得出結(jié)論；問(wèn)題探究：延長(zhǎng)AB、CD交于點(diǎn)G，由ASA證明△ADC≌△ADG，得出對(duì)應(yīng)邊相等CD＝GD，即CG＝2CD，證出∠BAE＝∠BCG，由ASA證明△ABE≌△CBG，得出AE＝CG＝2CD即可．【詳解】解：①圖1中所有的全等三角形為△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；故答案為△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②線段AF與線段CE的數(shù)量關(guān)系是：AF＝2CE；故答案為AF＝2CE．證明：∵△BCD≌△FAD，∴AF＝BC，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴BC＝2CE，∴AF＝2CE；問(wèn)題探究：證明：延長(zhǎng)AB、CD交于點(diǎn)G，如圖2所示：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠GAD，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ADG＝90°，在△ADC和△ADG中，，∴△ADC≌△ADG（ASA），∴CD＝GD，即CG＝2CD，∵∠BAC＝45°，AB＝BC，∴∠ABC＝90°，∴∠CBG＝90°，∴∠G＋∠BCG＝90°，∵∠G＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠BCG，在△ABE和△CBG中，，∴△ABE≌△CBG（ASA），∴AE＝CG＝2CD．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．模型3.角平分線構(gòu)造軸對(duì)稱模型（角平分線+截線段相等）【模型解讀與圖示】條件：如圖，為的角平分線，A為任意一點(diǎn)，在上截取，連結(jié).結(jié)論：≌，CB=CA。條件：如圖，分別為和的角平分線，，在上截取，連結(jié).結(jié)論：≌，≌，AB+CD=BC。例1．（2023·廣西八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在中，BE，CD為的角平分線，BE，CD交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）已知．①如圖1，若，，求CE的長(zhǎng)；②如圖2，若，求的大?。敬鸢浮浚?）證明見(jiàn)解析；（2）2.5；（3）100°．【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理和角平分線得出的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理可求出的度數(shù)，（2）在BC上取一點(diǎn)G使BG=BD，構(gòu)造（SAS），再證明，即可得，由此求出答案；（3）延長(zhǎng)BA到P，使AP=FC，構(gòu)造（SAS），得PC=BC，，再由三角形內(nèi)角和可求，，進(jìn)而可得．【詳解】解：（1）、分別是與的角平分線，，，，（2）如解（2）圖，在BC上取一點(diǎn)G使BG=BD，由（1）得，，，∴，在與中，，∴（SAS）∴，∴，∴，∴在與中，，，，，；∵，，∴（3）如解（3）圖，延長(zhǎng)BA到P，使AP=FC，，∴，在與中，，∴（SAS）∴，，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，，∴，【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．例2．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分線，延長(zhǎng)BD至E，使DE＝AD，求證：∠ECA＝40°．【答案】見(jiàn)解析【分析】在BC上截取BF＝AB，連DF，根據(jù)SAS可證明△ABD≌△FBD，得出DF＝DA＝DE，證明△DCE≌△DCF，故∠ECA＝∠DCB＝40°．【詳解】證明：在BC上截取BF＝AB，連DF，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠FBD，在△ABD和△ＦBD中，，∴△ABD≌△FBD（SAS），∴DF＝DA＝DE，又∵∠ACB＝∠ABC＝40°，∠DFC＝180°﹣∠A＝80°，∴∠FDC＝60°，∴∠EDC＝∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠A＝180°﹣20°﹣100°＝60°，在△DCE和△DCF中，，∴△DCE≌△DCF（SAS），∴∠ECA＝∠DCB＝40°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3．（2022·北京九年級(jí)專題練習(xí)）在四邊形中，是邊的中點(diǎn)．（1）如圖（1），若平分，，則線段、、的長(zhǎng)度滿足的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；（直接寫(xiě)出答案）；（2）如圖（2），平分，平分，若，則線段、、、的長(zhǎng)度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出結(jié)論并證明．【答案】（1）AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋BD，證明見(jiàn)解析．【分析】（1）在AE上取一點(diǎn)F，使AF＝AB，由三角形全等的判定可證得△ACB≌△ACF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，根據(jù)三角形全等的判定證得△CEF≌△CED，得到EF＝ED，再由線段的和差可以得出結(jié)論；（2）在AE上取點(diǎn)F，使AF＝AB，連結(jié)CF，在AE上取點(diǎn)G，使EG＝ED，連結(jié)CG，根據(jù)全等三角形的判定證得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性質(zhì)證得CF＝CG，進(jìn)而證得△CFG是等邊三角形，就有FG＝CG＝BD，從而可證得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖（1），在AE上取一點(diǎn)F，使AF＝AB．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．在△ACB和△ACF中，∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF．∵C是BD邊的中點(diǎn)，∴BC＝CD．∴CF＝CD．∵∠ACE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°．∴∠ECF＝∠ECD．在△CEF和△CED中，∴△CEF≌△CED（SAS）．∴EF＝ED．∵AE＝AF＋EF，∴AE＝AB＋DE．故答案為：AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋BD．證明：如圖（2），在AE上取點(diǎn)F，使AF＝AB，連結(jié)CF，在AE上取點(diǎn)G，使EG＝ED，連結(jié)CG．∵C是BD邊的中點(diǎn)，∴CB＝CD＝BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．在△ACB和△ACF中，∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴CF＝CB，∠BCA＝∠FCA．同理可證：△ECD≌△ECG∴CD＝CG，∠DCE＝∠GCE．∵CB＝CD，∴CG＝CF．∵∠ACE＝120°，∴∠BCA＋∠DCE＝180°?120°＝60°．∴∠FCA＋∠GCE＝60°．∴∠FCG＝60°．∴△FGC是等邊三角形．∴FG＝FC＝BD．∵AE＝AF＋EG＋FG，∴AE＝AB＋DE＋BD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，能熟練應(yīng)用三角形全等的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．例4．（2023·浙江·九年級(jí)期中）（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD為∠BAC的平分線交BC于D，求證：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，連接DE）（2）如圖2，當(dāng)∠C≠90°時(shí)，其他條件不變，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)果，不需要證明．（3）如圖3，當(dāng)∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B，AD為△ABC的外角∠CAF的平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的猜想，并加以證明．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）AB＝AC＋CD；（3）AB＝CD﹣AC【分析】（1）在AB上截取AE=AC，連接DE，根據(jù)角平分線的定義得到∠1=∠2．推出△ACD≌△AED（SAS）．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AED=∠C=90，CD=ED，根據(jù)已知條件得到∠B=45°．求得∠EDB=∠B=45°．得到DE=BE，等量代換得到CD=BE．即可得到結(jié)論；（2）在AC取一點(diǎn)E使AB=AE，連接DE，易證△ABD≌△AED，所以∠B=∠AED，BD=DE，又因?yàn)椤螧=2∠C，所以∠AED=2∠C，因?yàn)椤螦ED是△EDC的外角，所以∠EDC=∠C，所以ED=EC，BD=EC，進(jìn)而可證明AB+BD=AE+EC=AC；（3）在AB的延長(zhǎng)線AF上取一點(diǎn)E，使得AE=AC，連接DE．證明△ACD≌△AED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DE=BE，BE=CD，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：在AB上取一點(diǎn)E，使AE=AC∵AD為∠BAC的平分線∴∠BAD=∠CAD．

在△ACD和△AED中∴△ACD≌△AED（SAS）．∴∠AED=∠C=90°，CD=ED，又∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，∴∠B=45°．

∴∠EDB=∠B=45°．∴DE=BE，

∴CD=BE．∵AB=AE＋BE，

∴AB=AC＋CD．（2）證明：在AB取一點(diǎn)E使AC=AE，在△ACD和△AED中，,∴△ACD≌△AED，∴∠C=∠AED，CD=DE，又∵∠C=2∠B，∴∠AED=2∠B，∵∠AED是△EDC的外角，∴∠EDB=∠B，∴ED=EB，∴CD=EB，∴AB=AC+CD；（3）猜想：AB=CD﹣AC

證明：在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使得AE=AC，連接DE，在△ACD和△AED中，∴△ACD≌△AED（SAS），∴∠ACD=∠AED，CD=DE，∴∠ACB=∠FED，又∵∠ACB=2∠B

∴∠FED=2∠B，又∵∠FED=∠B＋∠EDB，

∴∠EDB=∠B，∴DE=BE，

∴BE=CD，∵AB=BE-AE

∴AB=CD﹣AC．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)于線段和差關(guān)系的證明，通常采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法.課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·江蘇常州·一模）如圖，已知四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，且，，．過(guò)頂點(diǎn)C作于E，則的值為（

）A． B．9 C．6 D．7．2【答案】B【分析】要求值，主要求出AE和BE的長(zhǎng)即可，注意到AC是角平分線，于是作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，可以證得兩對(duì)全等三角形，結(jié)合已知數(shù)據(jù)可以求得AE和BE的長(zhǎng)，從而解決問(wèn)題．【詳解】解：作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則∠CFD=90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠CFD=∠CEB=90°，∵∠BAC=∠DAC，∴AC平分∠BAD，∴CE=CF，∵四邊形ABCD對(duì)角互補(bǔ)，∴∠ABC+∠ADC=180°，又∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠CBE=∠CDF，在△CBE和△CDF中，，∴△CBE≌△CDF（AAS），∴BE=DF，在△AEC和△AFC中，，∴△AEC≌△AFC（AAS），∴AE=AF，設(shè)BE=a，則DF=a，

∵AB=15，AD=12，∴12+2a=15，得，∴AE=12+a=，BE=a=，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是巧妙構(gòu)造全等三角形進(jìn)而得出等量關(guān)系．2．（2021·四川成都·二模）已知，如圖，BC=DC，∠B+∠D=180°．連接AC，在AB，AC，AD上分別取點(diǎn)E，P，F(xiàn)，連接PE，PF．若AE=4，AF=6，△APE的面積為4，則△APF的面積是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】作于點(diǎn)，于點(diǎn)，延長(zhǎng)，取，連接，先證明，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等，得到，結(jié)合等邊對(duì)等角得到，再由角平分線的性質(zhì)證得，最后根據(jù)三角形面積公式解題即可.【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，延長(zhǎng)，取，連接，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊對(duì)等角、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，作出正確的輔助線、掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.3．（2023春·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平分，，，，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由可證明和，從而得到和，利用即可得到答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

平分，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，在和中，，，，在和中，，，，，，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用全等三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)解答．4．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)P為定角的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且與互補(bǔ)，若在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，其兩邊分別與相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：①恒成立；②的值不變；③四邊形的面積不變；其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】作于E，于F，根據(jù)平分可知，結(jié)合即可證明．根據(jù)圖中各角的數(shù)量關(guān)系可得，進(jìn)而還可證明；利用全等三角形的性質(zhì)可以得到多組相等的邊，由此判斷①的正誤．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，據(jù)此可得定值，還可判斷③的正誤；【詳解】解：如圖，作于E，于F．

∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，于E，于F，∴．在和中，∴，∴．在和中，∴，∴，故①正確．∴定值，故③正確．∴定值，故②正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題側(cè)重考查角平分線的題目，需要掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，和的平分線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，有下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③點(diǎn)到各邊的距離相等；④設(shè)，，則，其中正確的結(jié)論有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和與角平分線的性質(zhì)可得，可判斷①和②；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，可判斷③；將的面積轉(zhuǎn)化成的面積與的面積之和，可判斷④．【詳解】解：在中，，∵，∴，∵和的平分線相交于點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴結(jié)論①不正確，結(jié)論②正確；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，∵平分，OC平分，∴，又∵，∴，∴，∴結(jié)論③正確，∵，，∴，設(shè)，，∴，∴結(jié)論④正確，∴正確的結(jié)論有：②③④，故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和，熟練掌握角平分線的性質(zhì)并且靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．6．（2023秋·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，，，對(duì)角線平分，則的面積為（

）．A． B．12 C．8 D．6【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，利用角平分線的性質(zhì)，得到，利用，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，∵，∴，∵平分，∴，∴；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)．熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，射線為的平分線，點(diǎn)M，N分別是邊，上的兩個(gè)定點(diǎn)，且，點(diǎn)P在上，滿足的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)P作，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定即可得出結(jié)果．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作，，如圖所示：∵射線為的平分線，∴，當(dāng)DM=EN時(shí)，此時(shí)∴滿足條件的點(diǎn)P只有1個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．（2023秋·山東濰坊·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，，平分，下列結(jié)論中不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)E作于F，證明，得到，判斷D；證得，判斷B；進(jìn)而判斷C；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求出，即可判斷A．【詳解】過(guò)E作于F，如圖，∵，平分，∴，，，；∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，故D錯(cuò)誤；∵，，，故B正確；∴，故C正確；∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，故A正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．9．（2023·福建·福州立志中學(xué)一模）如圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于點(diǎn)B，交CD于點(diǎn)F，H是BC邊的中點(diǎn)，連接DH交BE于點(diǎn)G，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①△ACD≌△FBD；②AE=CE；③△DGF為等腰三角形；④S四邊形ADGE=S四邊形GHCE．其中正確的有_________（寫(xiě)出所有正確結(jié)論序號(hào)）．【答案】①②③【分析】證明△ACD≌△FBD（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AC＝BF．則①正確；證明△ABE≌△CBE（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出AE＝CE，則可得出②正確；證出∠DGF＝∠DFG，由等腰三角形的判定可得出③正確．過(guò)G作GM⊥BD于點(diǎn)M，由直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)得出S四邊形ADGE＜S四邊形GHCE，故④錯(cuò)誤．【詳解】解：①∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDF＝90°，∠DBF＋∠DFB＝180°?∠BDF＝90°，又∵BE⊥AC，∴∠BEA＝90°，∴∠DBF＋∠DAC＝180°?∠BEA＝90°，∴∠DAC＝∠DFB，又∵∠ABC＝45°，∴∠DCB＝180°?∠ABC?∠BDF＝45°，△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD，∴在△ACD和△FBD中，，∴△ACD≌△FBD（AAS），故①正確；②∵BE平分∠ABC，BE⊥AC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BEA＝∠BEC＝90°，∴在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE，故②正確；③∵∠HBG＋∠BGH＝180°?∠GHB＝90°，∠DBF＋∠DFG＝180°?∠BDF＝90°，∠HBG＝∠DBF，∴∠BGH＝∠DFG，∵∠BGH＝∠DGF，∴∠DGF＝∠DFG，∴△DGF為等腰三角形．故③正確；④如圖所示，過(guò)G作GM⊥BD于點(diǎn)M，∵H為等腰直角△BCD斜邊BC的中點(diǎn)，∴DH⊥BC，即∠GHB＝90°，又∵BE平分∠ABC，GM⊥BD，∴GM＝GH，又∵BD＞BH，∴S△BDG＞S△BGH，又∵△ABE≌△CBE，∴S△ABE＝S△CBE，∴S四邊形ADGE＝S△ABE?S△BDG，S四邊形GHCE＝S△CBE?S△BGH，∴S四邊形ADGE＜S四邊形GHCE，故④錯(cuò)誤；綜上所述：正確的有①②③．故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，證明△ABE≌△CBE是解題的關(guān)鍵．10．（2023·江蘇八年級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若BD＝4，則CE＝________．【答案】2【分析】根據(jù)題意延長(zhǎng)BA、CE相交于點(diǎn)F，利用“角邊角”證明△BCE和△BFE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CE=EF，根據(jù)等角的余角相等求出∠ABD=∠ACF，然后利用“角邊角”證明△ABD和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BD=CF，然后求解即可．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)BA、CE相交于點(diǎn)F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE=EF，∵∠BAC=90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF，∵CF=CE+EF=2CE，∴BD=2CE=4，∴CE=2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)和等角的余角相等的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形并得到與BD相等的線段CF．11．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，平分，，，下列結(jié)論：①平分；②；③若，，則；④．其中正確的是（填寫(xiě)序號(hào)）．【答案】①②③【分析】由角平分線的性質(zhì)可得：，由可得，由三角形內(nèi)角和為可知，由，等量代換得，即，故①正確；由“”可證≌，可得，由“”可證≌，可得，，可得，故②正確；由全等三角形的性質(zhì)可得，，故③正確；由三角形的面積公式可得，故④錯(cuò)誤，即可求解．【詳解】解：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴平分，故①正確；∵，，，∴≌（），∴，，又∵，∴，又∵，∴≌（），∴，，∴，故②正確；∵，，∴，∴，故③正確；∵平分，∴點(diǎn)D到的距離相等，設(shè)為h，∵，，∴，故④不正確．故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．12．（2022·自貢市九年級(jí)月考）根據(jù)圖片回答下列問(wèn)題．(1)如圖①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC．(2)如圖②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求證：DB=DC．【答案】（1）=；（2）見(jiàn)解析；【分析】（1）利用HL判斷出△ADC≌△ADC，即可得出結(jié)論；（2）先構(gòu)造出△ACD≌△AED，得出DC=DE，∠AED=∠C，在判斷出DE=DB，即可得出結(jié)論；【詳解】解：證明：（1）∵∠B+∠C=180°，∠B=90°，∴∠C=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠BAD，∵AD=AD，∴△ACD≌△ABD（AAS），∴BD=CD；（2）如圖②，在AB邊上取點(diǎn)E，使AC=AE，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠EAD，∵AD=AD，AC=AE，∴△ACD≌△AED（SAS），∴DC=DE，∠AED=∠C，∵∠C+∠B=180°，∠AED+∠DEB=180°，∴∠DEB=∠B，∴DE=DB，∴DB=DC；【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考?？碱}型．13．（2023·廣東惠州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且平分．

(1)求證：．(2)求證：平分．(3)判斷之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求得證；（2）根據(jù)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，從而求出，然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證明；（3）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，，然后證明即可．【詳解】（1）證明：∵，平分．∴，在和中，，∴，∴；（2）證明：，平分，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，又，，平分．（3）結(jié)論：．理由：，，同理可得，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記角平分線的性質(zhì)構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．14．（2022·安徽蕪湖·九年級(jí)期中）如圖，已知，是的平分線，且交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，可以證明，再證明，得到，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：如圖，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵是的平分線，∴．在和中，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，能夠想到延長(zhǎng)CE、BA相交于點(diǎn)F，構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵．15．（2022秋·山西臨汾·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）【教材呈現(xiàn)】下面是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材96頁(yè)的部分內(nèi)容：已知：如圖，是的平分線，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)．，，垂足分別為點(diǎn)和點(diǎn)．求證：．

分析：圖中有兩個(gè)直角和，只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可證得．(1)【問(wèn)題解決】請(qǐng)根據(jù)教材分析，結(jié)合圖①寫(xiě)出證明過(guò)程．(2)【類比探究】如圖②