湖南省邵陽市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期拔尖創(chuàng)新人才早期培養(yǎng)競賽（初賽）數(shù)學(xué)無答案

湖南省邵陽市20232024學(xué)年高一上學(xué)期拔尖創(chuàng)新人才早期培養(yǎng)競賽（初賽）數(shù)學(xué)試題一、選擇題（每題5分，共30分）1.若函數(shù)$f(x)=x^22ax+1$在區(qū)間$[1,2]$上單調(diào)遞增，則實數(shù)$a$的取值范圍是（）。A.$a<0$B.$a\geq0$C.$a>1$D.$a\leq1$2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=3n^22n$，則該數(shù)列的公差是（）。A.5B.6C.7D.83.在直角坐標(biāo)系中，點$A(1,2)$關(guān)于直線$y=x$的對稱點坐標(biāo)是（）。A.$(1,2)$B.$(2,1)$C.$(2,1)$D.$(1,2)$4.已知$\cos\alpha=\frac{3}{5}$，且$\alpha$在第二象限，則$\sin\alpha$的值是（）。A.$\frac{4}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{3}{5}$5.若復(fù)數(shù)$z$滿足$|z2i|=3$，則$z$在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）。A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限6.已知集合$A=\{x|x^23x+2=0\}$，則集合$A$的元素個數(shù)是（）。A.1B.2C.3D.4二、填空題（每題5分，共20分）7.已知等比數(shù)列$\{b_n\}$的首項$b_1=2$，公比$q=3$，則該數(shù)列的前$5$項和$S_5$等于_______。8.已知函數(shù)$g(x)=\sqrt{x^24}$，則函數(shù)$g(x)$的定義域是_______。9.已知$\tan\theta=\frac{4}{3}$，且$\theta$在第三象限，則$\cos\theta$的值是_______。10.已知點$P$在圓$x^2+y^2=25$上，且$OP$的長度為$5$，則點$P$的坐標(biāo)可能是_______。三、解答題（每題10分，共50分）11.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^21}{x+1}$，求證：$f(x)$在區(qū)間$(1,1)$上是增函數(shù)。12.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=2n^2+3n$，求該數(shù)列的通項公式。13.已知三角形$ABC$中，$AB=AC=5$，$BC=8$，求$\sinB$的值。14.已知復(fù)數(shù)$z=1+2i$，求復(fù)數(shù)$z$的共軛復(fù)數(shù)$z^$。15.已知函數(shù)$h(x)=\log_2(x^23x+4)$，求證：當(dāng)$x>1$時，$h(x)$是增函數(shù)。四、應(yīng)用題（共20分）16.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為$10$元，銷售價格為$x$元，且銷售量$y$與價格$x$滿足線性關(guān)系$y=x+100$。求：（1）當(dāng)銷售價格定為多少元時，工廠的利潤最大？（2）求最大利潤。五、證明題（共20分）17.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項$a_1=2$，公差$d=3$，求證：數(shù)列$\{a_n^2\}$是等比數(shù)列。六、開放題（共20分）18.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，求函數(shù)$f(x)$的最小值，并說明理由。選擇題答案選擇題答案如下：1.A2.B3.B4.A5.D6.C填空題答案填空題答案如下：7.38.39.210.411.5解答題答案解答題答案如下：11.證明：由于f(x)=x^22ax+1，其導(dǎo)數(shù)為f'(x)=2x2a。要證明f(x)在區(qū)間(1,1)上單調(diào)遞增，只需證明f'(x)>0。將x=1和x=1分別代入f'(x)，得到f'(1)=2a2和f'(1)=22a。由于1<x<1，要使f'(x)>0，需滿足2a2>0和22a>0，解得a<1和a<1。綜合這兩個不等式，得到a<1，因此實數(shù)a的取值范圍是a<1。12.解：由等差數(shù)列前n項和公式Sn=n/2(2a1+(n1)d)，代入Sn=2n^23n和a1=2，d=3，得到2n^23n=n/2(4+3n3)。化簡得4n6=2n^23n，整理后得n^25n+6=0，解得n=2或n=3。由于n為正整數(shù)，因此n=3。將n=3代入Sn=2n^23n得到Sn=9。因此，數(shù)列的通項公式為an=2+3(n1)=3n1。13.解：根據(jù)余弦定理，cosB=(a^2+c^2b^2)/2ac。代入a=5，b=8，c=5，得cosB=(25+2564)/50=1/10。由于B是銳角，sinB=sqrt(1cos^2B)=sqrt(1(1/10)^2)=3sqrt(6)/10。14.解：復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z是將z中的虛部取相反數(shù)，即z=12i的共軛復(fù)數(shù)為1+2i。15.解：求h(x)=log2(x^23x+4)的最小值，需要確定函數(shù)的定義域。由于對數(shù)函數(shù)的定義域為正數(shù)，需解不等式x^23x+4>0。解得x<1或x>2。當(dāng)x>2時，h(x)=log2(x^23x+4)。對h(x)求導(dǎo)得h'(x)=2x3/(x^23x+4)。要使h(x)單調(diào)遞增，需h'(x)>0。解不等式2x3>0得x>3/2。結(jié)合定義域x>2，得到x>2。因此，當(dāng)x>2時，h(x)單調(diào)遞增。由于h(x)在x>2時單調(diào)遞增，最小值發(fā)生在x=2，代入得h(2)=log2(46+4)=log2(2)=1。應(yīng)用題答案應(yīng)用題答案如下：16.解：（1）利潤函數(shù)為P(x)=(x10)(x100)=x^2110x+1000。求導(dǎo)得P'(x)=2x110。令P'(x)=0，解得x=55。因此，當(dāng)銷售價格為55元時，利潤最大。（2）將x=55代入P(x)，得最大利潤為P(55)=55^211055+1000=1225。證明題答案證明題答案如下：17.證明：等差數(shù)列an的通項公式為an=a1+(n1)d。已知a1=2，d=3，則an=2+3(n1)=3n1。數(shù)列an^2的通項公式為(an)^2=(3n1)^2。展開得(an)^2=9n^26n+1。由于9n^26n+1是一個二次多項式，其相鄰項之比為常數(shù)，因此數(shù)列an^2是等比數(shù)列。開放題答案開放題答案如下：18.解：函數(shù)f(x)=1/x^2+1的最小值可通過求導(dǎo)數(shù)找到。對f(x)求導(dǎo)得f'(x)=2x^(3)。令f'(x)=0，解得x=0。由于x=0時f(x)無定義，需考慮x≠0的情況。當(dāng)x≠0時，f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)<0，說明f(x)在x≠0時單調(diào)遞減。因此，f(x)在x=0附近取得局部最小值。但由于f(x)在x=0時無定義，最小值需在x≠0時尋找。當(dāng)x趨向于正無窮或負無窮時，f(x)趨向于0。因此，f(x)的最小值為0。一、選擇題知識點：1.函數(shù)的單調(diào)性2.等差數(shù)列的前n項和公式3.平面直角坐標(biāo)系中的對稱問題4.三角函數(shù)的基本性質(zhì)5.復(fù)數(shù)的幾何意義6.集合的表示與運算二、填空題知識點：7.函數(shù)的奇偶性8.等差數(shù)列的通項公式9.函數(shù)的周期性10.對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)11.函數(shù)的最值問題三、解答題知識點：12.函數(shù)的增減性證明13.等差數(shù)列的通項公式14.三角函數(shù)的求解15.函數(shù)的極值問題四、應(yīng)用題知識點：16.利潤最大化問題17.等比數(shù)列的判定18.函數(shù)的最小值求解五、開放題知識點：19.函數(shù)的性質(zhì)與極值問題各題型知識點詳解及示例1.選擇題：主要考察學(xué)生對基礎(chǔ)數(shù)學(xué)概念的理解和運用能力。例如，第一題通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，第二題通過等差數(shù)列的前n項和公式求解公差。2.填空題：重點考察學(xué)生對數(shù)學(xué)公式的記憶和運用能力。例如，第七題考察奇偶性，第九題考察周期性。3.解答題：綜合考察學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和證明能力。例如，第1