二項式系數(shù)的性質(zhì)課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性

6.3.2二項式系數(shù)的性質(zhì)新課引入

被譽為“世界七大奇跡”之一的古埃及的金字塔，以其宏偉的氣勢、嚴(yán)密的結(jié)構(gòu)、精美絕倫的整體外觀讓世界嘆服.而數(shù)學(xué)上也有“金字塔”，這就是二項式(a＋b)n的展開式在n＝1,2，…時的二項式系數(shù)而壘成的金字塔，稱為楊輝三角，它是我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝首先發(fā)現(xiàn)的，比歐洲的帕斯卡早發(fā)現(xiàn)了500年左右.1、理解二項式系數(shù)的性質(zhì)；2、會用賦值法求展開式系數(shù)的和；3、會用二項式定理及其性質(zhì)解決有關(guān)的簡單問題。學(xué)習(xí)目標(biāo)新知探究

1112113311464

1151010511615201561探究1

：用計算工具計算(a＋b)n的展開式的二項式系數(shù)，并填入下表中.楊輝三角形通過計算，填表，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？為了便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律,上表還可以寫成如下所示的形式:觀察上圖，你還能發(fā)現(xiàn)哪些規(guī)律?①在同一行中,每行兩端都是1,與這兩個1等距離的項的系數(shù)相等.即：②在相鄰的兩行中,除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和.

即：16152015611510105114641133112111③同一行中，系數(shù)先增后減，兩端的系數(shù)小，中間的系數(shù)大.新知探究

新知探究

二項式系數(shù)的前半部分是遞增的，后半部分是遞減的：在中間項取得最大值.

1.對稱性由此我們可得二項式系數(shù)有以下性質(zhì)：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等．rf(r)O1235101520456

圖象的對稱軸為

2.增減性與最大值

rf(r)O1235101520456

1.二項展開式的系數(shù)和（賦值法）練習(xí):P34練習(xí)14

若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0，求：(1)a1+a2+…+a7；例

3令x=0，得a0=-1.令x=1，得a0+a1+…+a7=27=128，

①∴a1+a2+…+a7=129.(2)a1+a3+a5+a7；(3)|a0|+|a1|+…+|a7|.(2)a1+a3+a5+a7；令x=-1，則a0-a1+…+a6-a7=(-4)7，

②由①-②得2(a1+a3+a5+a7)=128-(-4)7，∴a1+a3+a5+a7=8

256.(3)|a0|+|a1|+…+|a7|.

二項展開式中系數(shù)和的求法(1)對形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和,常用賦值法,只需令x=1即可;對(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展開式各項系數(shù)之和,只需令x=y=1即可.(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1),2.在(2x-3y)9的展開式中,求:(1)二項式系數(shù)之和;(2)各項系數(shù)之和;(3)所有奇數(shù)項系數(shù)之和.(2)各項系數(shù)之和為a0+a1+a2+…+a9,令x=1,y=1,所以a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.(3)令x=1,y=-1,可得a0-a1+a2-…-a9=59,又a0+a1+a2+…+a9=-1,即所有奇數(shù)項系數(shù)之和為976562.

例

1-640兩個二項式積與三項展開式問題

求解兩個二項式積的問題時，分別對每個二項展開式進(jìn)行分析，找到構(gòu)成展開式中特定項的組成部分，分別求解再相乘，求和即得；求解三項展開式時，應(yīng)根據(jù)式子的特點，轉(zhuǎn)化為二項式(或二項式積)來解決.

反思感悟

跟蹤訓(xùn)練

1

(2)在(x2+x+y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為

.

30(1)實數(shù)1.9965的近似值為

.(精確到0.001)

例

2

31.681整除和余數(shù)問題及近似值問題(2)求證：32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.(2)求證：32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.

反思感悟

例

3√二項展開式中的系數(shù)最值問題

5

反思感悟(1)求二項式系數(shù)的最大值，依據(jù)(a+b)n中n的奇偶及二項式系數(shù)的性質(zhì)求解.(2)求展開式中項的系數(shù)的最大值，設(shè)展開式各項的系數(shù)分別為A1，A2，…，An+1，且第k項系數(shù)最大，因此在系數(shù)均為正值的前提下，求展開式中項的系數(shù)的最大值只需解不等式組求解二項展開式中系數(shù)的最值策略

跟蹤訓(xùn)練

3√√

1.知識清單：(1)兩個二項式積與三項展開式問題.(2)整除和余數(shù)問題及近似值問題.(3)二項展開