2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練 8.3橢圓（含解析）

2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練8.3橢圓本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。注意事項(xiàng):1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。2.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。3.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的．請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1．已知點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，，是C的左，右焦點(diǎn)，則()A. B. C. D.2．如圖，已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)H.若，H是線段的三等分點(diǎn)，則的周長為()A.20 B.10 C. D.3．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯，在其著作《圓錐曲線論》中提出了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì).光線從橢圓的一個焦點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)過橢圓反射，反射光線經(jīng)過另一個焦點(diǎn).已知點(diǎn)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓上一點(diǎn)M反射，反射光線交橢圓于另一點(diǎn)N.若點(diǎn)、N關(guān)于的角平分線對稱，且，則橢圓C的離心率為().A. B. C. D.4．如圖,過原點(diǎn)O的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)A分別作x軸、的垂線,,且分別交橢圓C于點(diǎn)P,Q,連接交于點(diǎn)M,若,則橢圓C的離心率為()A. B. C. D.5．若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B. C. D.6．蒙日是法國著名的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個圓被稱為“蒙日圓”.已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，A，B為橢圓上任意兩點(diǎn)，動點(diǎn)P在直線上.若恒為銳角，根據(jù)蒙日圓的相關(guān)知識得橢圓C的離心率的取值范圍為()A. B. C. D.7．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),,為橢圓的左,右兩個焦點(diǎn),點(diǎn)R在C上,點(diǎn)E是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),若,則()A. B. C. D.8．已知是橢圓的左焦點(diǎn)，過橢圓上一點(diǎn)P作直線與圓相切，切點(diǎn)為Q，則的取值范圍是()A. B.C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9．已知曲線，下列結(jié)論正確的有()A.若，則C是橢圓 B.若C是圓，則C.若，則C是雙曲線 D.若，則C是兩條平行于y軸的直線10．下列說法正確的有()A.已知F是橢圓的一個焦點(diǎn)，若直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且，記橢圓的離心率為e，則的取值范圍是B.設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，，為左右焦點(diǎn)，若，則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為C.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.過作直線l交雙曲線C的右支于A，B兩點(diǎn)，若H，G分別為與的內(nèi)心，則的取值范圍為D.過橢圓的左、右焦點(diǎn)，作傾斜角分別為和的兩條直線，.若兩條直線的交點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為11．已知，，若的周長為6，則的最大值為___________，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為___________.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12．直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________.13．已知圓和點(diǎn)，點(diǎn)P是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與線段相交于點(diǎn)Q，記點(diǎn)Q的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)點(diǎn)D在直線上運(yùn)動，過點(diǎn)D的動直線l與曲線C相交于點(diǎn)M，N.(i)若線段上一點(diǎn)E，滿足，求證：當(dāng)D的坐標(biāo)為時，點(diǎn)E在定直線上；(ii)過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為G，設(shè)直線，的斜率分別為，當(dāng)直線l過點(diǎn)時，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.14．橢圓的焦距為4，則___________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知動點(diǎn)P在橢圓上,且C的左、右焦點(diǎn)分別為,.設(shè)直線,A,B為l上不重合的兩點(diǎn).(1)求C的離心率;(2)已知;（i）證明：點(diǎn)A,B在x軸的異側(cè);（ii）證明：當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時,存在常數(shù)使得,并求的值.16．已知橢圓的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別為，，過作直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且的周長為.設(shè)線段AB的中點(diǎn)為P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP與直線相交于點(diǎn)Q.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）是否存在直線l使得為等腰三角形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.（3）求的正弦值的最大值.17．已知橢圓的焦距為4,其短軸的兩個端點(diǎn)與長軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）設(shè)F為C的左焦點(diǎn),T為直線上任意一點(diǎn),過F作TF的垂線交C于點(diǎn)P,Q.（i）證明:OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）;（ii）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M,若與面積之積是,求點(diǎn)T的縱坐標(biāo).18．已知橢圓的離心率為,且C過點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),A為橢圓C的右頂點(diǎn).（1）求C的方程;（2）過點(diǎn)P斜率為的直線交橢圓C于另一點(diǎn)Q,求的面積;（3）在（2）的條件下,若點(diǎn)M為橢圓上不與點(diǎn)A重合的點(diǎn),且的面積與的面積相等,求點(diǎn)M的坐標(biāo).19．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),,是橢圓的左、右焦點(diǎn),C的離心率為,點(diǎn)M是C上一點(diǎn),的最小值為1.(1)求橢圓C的方程;(2)已知A,B是橢圓C的左、右頂點(diǎn),不與x軸平行或重合的直線l交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),記直線的斜率為,直線的斜率為,且.①證明：直線l過定點(diǎn);②設(shè)的面積為S,求S的最大值.

參考答案1．答案：D解析：由題知，由橢圓定義知.2．答案：D解析：設(shè)，，H是線段的三等分點(diǎn)，，，分別代入橢圓方程得，，消去h得，解得，根據(jù)定義可得，，則的周長為，故選D.3．答案：A解析：由題意可得M，N，共線，因?yàn)辄c(diǎn)、N關(guān)于的角平分線對稱，所以，設(shè)，則，故，由，得，在中，由余弦定理得，，即，即，解得或（舍去），所以，在中，由余弦定理得，，即，解得，即橢圓C的離心率為.故選：A.4．答案：D解析：設(shè),,則,,由,則,即,①由B,M,Q三點(diǎn)共線,則,即,②又因?yàn)?,即..,③將①②代入③得,則.故選：D.5．答案：A解析：方程變形得：，該方程要表示橢圓，則需要滿足，解得：，故選：A.6．答案：B解析：因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)在x軸上，所以，易知直線，均與橢圓相切，所以直線，圍成的矩形的外接圓即為橢圓的蒙日圓，其方程為，由A，B是橢圓上任意兩點(diǎn)，恒為銳角，可知點(diǎn)P在蒙日圓外.又點(diǎn)P在直線上，所以直線與圓相離，將問題轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的蒙日圓相離，即，解得，所以，所以.故選B.7．答案：C解析：設(shè),由題意可得,則,則,,由,則,由R在C上,則有,即,即有,整理得,即,故或,由可知,不符,故舍去,即有,則.故選:C.8．答案：A解析：是橢圓的左焦點(diǎn)，設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，由題可得：圓的圓心即為，由題知，，，故，因?yàn)?，，?dāng)令，，因?yàn)楫?dāng)時，函數(shù)，均單調(diào)遞增，故單調(diào)遞增，所以.故選：A.9．答案：CD解析：對于A選項(xiàng)，若且，則C是橢圓；對于B選項(xiàng)，則C是圓，則；對于C選項(xiàng)，若，則C是雙曲線；對于D選項(xiàng)，若，方程為，則C是兩條平行于y軸的直線.故選：CD.10．答案：BCD解析：對于A，設(shè)為橢圓的另一焦點(diǎn)，如圖，連接，，，根據(jù)橢圓和直線的對稱性，可得四邊形為平行四邊形，又因?yàn)?，所?在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即，又因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，故，故A錯誤；對于B，由，得，，，則，，，，由余弦定理得，，則，則，即，所以，設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為h，則，則，即，故B正確；對于C，在中，其中一條漸近線方程為，即，由題意，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則，即，又，解得：，則，所以雙曲線的方程為.記的內(nèi)切圓在邊，，上的切點(diǎn)分別為M，N，E，則H，E橫坐標(biāo)相等，，，由，即，得，即，記H的橫坐標(biāo)為，則，于是，得，同理內(nèi)心G的橫坐標(biāo)也為a，故軸.設(shè)直線的傾斜角為，則，（Q為坐標(biāo)原點(diǎn)），在中，，由于直線l與C的右支交于兩點(diǎn)，且C的一條漸近線的斜率為，傾斜角為，所以，即，所以的范圍是，故C正確；對于D，在中，由正弦定理可得所以，所以該橢圓的離心率，故D正確.故選：BCD.11．答案：8；解析：由，，可得，又的周長為6，所以，所以的軌跡為是以，為焦點(diǎn)的橢圓除去與x軸的交點(diǎn)，所以，，，所以橢圓方程式，又代入得，所以在橢圓外，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由，，得，所以AC的方程為，，故答案為：8；12．答案：解析：直線方程可化為，故該直線恒過定點(diǎn)，因?yàn)橹本€與橢圓恒有公共點(diǎn)，則點(diǎn)在橢圓內(nèi)或橢圓上，所以，，解得且，所以，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故答案為：.13．答案：(1)(2)(i)證明見解析(ii)解析：(1)由題意知圓心，半徑為4，且，，則，所以點(diǎn)Q的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)曲線的方程為，則，，解得，所以，所以曲線C的方程為；(2)(i)因?yàn)橹本€l的斜率一定存在，設(shè)直線l的方程為，因?yàn)樵趌上，所以，由得，，設(shè)，，則，由得，化簡得，則，化簡得，又因?yàn)椋?，所以點(diǎn)E在定直線上.(ii)因?yàn)橹本€過，所以，直線方程為，從而得，，由(i)知，，，，所以，所以存在實(shí)數(shù)，使得.14．答案：8解析：當(dāng)時，橢圓的焦距為，得，不符合題意；當(dāng)時，橢圓的焦距為，得，符合題意.故答案為：8.15．答案：(1)(2)（i）證明見解析;（ii）證明見解析,2解析：(1)由題設(shè),,.則,即,且,即.則C的離心率為.(2)（i）由(1)可得,設(shè),.則,.由,得,即0.故必存在一點(diǎn)在第一象限,另一點(diǎn)在第四象限,即點(diǎn)A,B在x軸的異側(cè).（ii）記的面積為S,點(diǎn)P到l的距離為d,則.要使S最小,則必須使d與同時達(dá)到最小值.顯然當(dāng)P運(yùn)動至C的右頂點(diǎn)時d最小,此時,而,當(dāng)且僅當(dāng)或時取等號,最小值為.此時.且,故,解得.16．答案：（1）（2）或（3）解析：（1）由題意得解得所以，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解法一：若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為，則，由對稱性不妨取，又，則，，所以不為等腰直角三角形，不滿足題意，故直線l的斜率存在.顯然l的斜率存在且不為0，故可設(shè)l的方程為，，，聯(lián)立得，所以，，所以，所以，所以，則直線OP的方程為，從而.所以，，所以若為等腰三角形，則，又，，所以，所以，，所以存在直線l使得為等腰三角形，此時直線l的方程為或.解法二：若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為，則，由對稱性不妨取，又，則，，所以不為等腰直角三角形，不滿足題意，故直線l的斜率存在.設(shè)，，，由兩式作差，得，即，所以，所以，即.顯然直線l的斜率不為0，設(shè)，所以，直線OP的方程為，從而.以下同解法一.（3）由題解題思路知，直線l的斜率可以不存在.由（2）知，，，，，所以，同理，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時直線l的斜率不存在.所以，即的正弦值的最大值為.17．答案：（1）（2）（3）解析：（1）,又,,.（2）橢圓方程化為.（i）設(shè)PQ的方程為,代入橢圓方程得:.設(shè),,的中點(diǎn)為,則,,,,又TF的方程為,則得,所以,即OT過PQ的中點(diǎn),即OT平分線段PQ.（ii）所以,解得或（舍去）,所以,點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為.18．答案：（1）（2）（3）解析：（1）由已知:,解得:,橢圓.（2）直線PQ方程為:,令得:,記,由,得:.的面積.（3