《導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（第2課時(shí)）》教學(xué)設(shè)計(jì)

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用第二課時(shí)（稅長(zhǎng)江）一、教學(xué)目標(biāo)1.核心素養(yǎng)通過學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，提升運(yùn)算求解、推理論證能力、體會(huì)豐富的數(shù)學(xué)思想.2.學(xué)習(xí)目標(biāo)結(jié)合函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，以及函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值、最小值（其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次）.（1）探索函數(shù)極值的定義和求法（2）運(yùn)用極值，逆向思考求參數(shù)（3）極值和最值的關(guān)系，求函數(shù)的最值3.學(xué)習(xí)重點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，以及函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值.4.學(xué)習(xí)難點(diǎn)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件與充分條件以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合應(yīng)用.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù) 任務(wù)1 閱讀教材P26－P31，思考：極值的概念是什么？極值在圖象上有什么特征？極值與最值是什么關(guān)系？ 任務(wù)2 整理求函數(shù)極值的一般步驟任務(wù)3 思考：導(dǎo)數(shù)值為是函數(shù)在這點(diǎn)取極值的什么條件？2.預(yù)習(xí)自測(cè)1.設(shè)函數(shù)，則（）A.為的極大值點(diǎn) B.為的極小值點(diǎn)C.為的極大值點(diǎn) D.為的極小值點(diǎn)解：D2.函數(shù)f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.2B.1C.0D.由a確定解：C3.函數(shù)f(x)＝x＋2cosx在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))上的最小值是（）A.－eq\f(π,2)B.2C.eq\f(π,6)＋eq\r(3)D.eq\f(π,3)＋1解：A（二）課堂設(shè)計(jì)1.知識(shí)回顧（1）函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(diǎn)處的切線的斜率.相應(yīng)的，切線方程為.（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟是什么？1.確定函數(shù)的定義域；2.求，令，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)根.3.把函數(shù)的間斷點(diǎn)（即的無(wú)定義的點(diǎn)）的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來(lái)然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間.4.確定在各小開區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)的正負(fù)判定函數(shù)在各個(gè)相應(yīng)小區(qū)間的增減性.2.問題探究問題探究一極值與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲●活動(dòng)一數(shù)形結(jié)合，探尋定義請(qǐng)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，并作出其圖象.觀察圖象上和這兩個(gè)特殊的位置，思考它們具有什么特征？★▲若函數(shù)在處的函數(shù)值比它在附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，我們就把叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極小值；函數(shù)在處的函數(shù)值比它在附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，我們就把叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極大值.極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值. 需要注意的是：極值點(diǎn)是函數(shù)取得極值時(shí)自變量的值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是一個(gè)點(diǎn).從導(dǎo)數(shù)的角度看，如果是極小值點(diǎn)，則，而且在附近的左側(cè)導(dǎo)數(shù)小于0，右側(cè)導(dǎo)數(shù)大于0；類似地，如果是極大值點(diǎn)，則，而且在點(diǎn)附近的左側(cè)導(dǎo)數(shù)大于0，右側(cè)導(dǎo)數(shù)小于0，極值點(diǎn)在導(dǎo)數(shù)上有明顯的特征，我們可以借助這一點(diǎn)來(lái)尋找函數(shù)的極值點(diǎn).例1.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.為的極大值點(diǎn)B.為的極大值點(diǎn)C.為的極大值點(diǎn)D.為的極小值點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)：極值的定義】詳解：A通過觀察，左側(cè)導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)為負(fù)，，所以為的極大值點(diǎn).點(diǎn)撥：極值點(diǎn)在導(dǎo)數(shù)圖象上具體表現(xiàn)為“變號(hào)零點(diǎn)”，判斷極值點(diǎn)時(shí)一定要高度關(guān)注左右兩邊的符號(hào).●活動(dòng)二歸納總結(jié)，探尋方法例2.設(shè)，其中為正實(shí)數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的極值點(diǎn)；（2）若為上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.【知識(shí)點(diǎn)：極值的定義和求法，二次不等式恒成立問題】詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，由得解得由得，由得，當(dāng)x變化時(shí)與相應(yīng)變化如下表：x+0-0+↗極大值↘極小值↗所以，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn).（2）因?yàn)闉樯系膯握{(diào)函數(shù)，而為正實(shí)數(shù)，故為上的單調(diào)遞增函數(shù)，恒成立，即在上恒成立，因此，結(jié)合解得.點(diǎn)撥：依據(jù)極值的概念可知：可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是，且在的左側(cè)與右側(cè)，的符號(hào)不同，所以需要對(duì)兩邊的符號(hào)加以說明，而列表是最清晰的表達(dá)方式.●活動(dòng)三總結(jié)提升求函數(shù)極值的一般步驟是什么？（1）求函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)函數(shù)，并求出在定義域內(nèi)的全部實(shí)根；（3）判斷的每一個(gè)實(shí)根左、右兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)：=1\*GB3①如果在一個(gè)實(shí)根左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)這個(gè)實(shí)根處取得極大值；=2\*GB3②如果在一個(gè)實(shí)根的左側(cè)為負(fù)，右側(cè)為正，那么函數(shù)在這個(gè)實(shí)根處取得極小值.問題探究二已知極值求參數(shù).重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲●活動(dòng)一抓住特征，逆向思考例3.若函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋a,x＋1)在x＝1處取得極值，則a＝________________.【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件】詳解：3，，回代檢驗(yàn)，x＝1處導(dǎo)數(shù)兩端異號(hào)，所以在x＝1處取得極值，點(diǎn)撥：函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為，但導(dǎo)數(shù)值為的點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn).也就是說，函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為是函數(shù)在這點(diǎn)取極值的必要而不充分條件，通過將求出的值作回代檢驗(yàn)是必須的.例4.設(shè)x＝1與x＝2是函數(shù)f(x)＝alnx＋bx2＋x的兩個(gè)極值點(diǎn).（1）試確定常數(shù)a和b的值；（2）試判斷x＝1，x＝2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并說明理由.【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件】詳解：（1）f′(x)＝eq\f(a,x)＋2bx＋1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝a＋2b＋1＝0,f′2＝\f(a,2)＋4b＋1＝0)).解得a＝－eq\f(2,3)，b＝－eq\f(1,6)，回代檢驗(yàn)，符合要求，所以a＝－eq\f(2,3)，b＝－eq\f(1,6)，(2)f′(x)＝－eq\f(2,3x)＋(－eq\f(x,3))＋1＝－eq\f(x－1x－2,3x).函數(shù)定義域?yàn)?0，＋∞)，列表x(0,1)1(1,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減∴x＝1是f(x)的極小值點(diǎn)，x＝2是f(x)的極大值點(diǎn).點(diǎn)撥：答題時(shí)注意區(qū)分是“極值點(diǎn)”還是“極值”，極值意指函數(shù)值，極值點(diǎn)意指的值.問題探究三利用極值求最值重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲●活動(dòng)一結(jié)合圖象，辨清原理結(jié)合的圖象，試求其在上的最小值，你發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？1.函數(shù)在閉區(qū)間上的最值有什么結(jié)論？般地，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.此時(shí)，函數(shù)的最大值和最小值必在極值處或區(qū)間的端點(diǎn)處取得.2.求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟是什么？（1）求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.例5.函數(shù)y＝eq\f(x3,3)＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是（）A.－eq\f(17,3)B.－eq\f(10,3)C.－4D.－eq\f(64,3)【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值】詳解：A點(diǎn)撥：極值是一個(gè)局部概念，是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的，因此端點(diǎn)絕對(duì)不是極值點(diǎn)，但最值是一個(gè)整體概念，是比較某個(gè)區(qū)間內(nèi)的所有函數(shù)值得出的；在函數(shù)的定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極大值和極小值，但若有最大值與最小值，則最大值與最小值具有唯一性；函數(shù)的極小值不一定小于極大值，但最大值一定比最小值大.例6.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f(x)在上的最大、最小值；（2）當(dāng)時(shí)，求證：時(shí)，.【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值】解：（1）當(dāng)時(shí)，，于是，令，可得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是，又，，所以.（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)F(x)＝eq\f(1,2)x2＋lnxeq\f(2,3)x3，則F′(x)＝x＋eq\f(1,x)－2x2.因?yàn)閤＞1，所以F′(x)＜0.所以函數(shù)F(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減，又F(1)＝eq\f(1,6)＜0，所以，在區(qū)間(1，＋∞)上F(x)＜0，即.點(diǎn)撥：若連續(xù)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)只有唯一一個(gè)極值點(diǎn)，則這個(gè)極值點(diǎn)一定就是最值點(diǎn).3.課堂總結(jié)【知識(shí)梳理】1.極值點(diǎn)和極值的概念：設(shè)函數(shù)在處的函數(shù)值比它在附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，我們就把叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極小值；函數(shù)在處的函數(shù)值比它在附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，我們就把叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極大值.2.求函數(shù)極值的一般步驟：（1）求函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)函數(shù)，并求出在定義域內(nèi)的全部實(shí)根；（3）判斷的每一個(gè)實(shí)根左、右兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)：=1\*GB3①如果在一個(gè)實(shí)根左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)這個(gè)實(shí)根處取得極大值；=2\*GB3②如果在一個(gè)實(shí)根的左側(cè)為負(fù)，右側(cè)為正，那么函數(shù)在這個(gè)實(shí)根處取得極小值3.求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.【重難點(diǎn)突破】（1）可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為，但導(dǎo)數(shù)值為的點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn).也就是說，函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為是函數(shù)在這點(diǎn)取極值的必要而不充分條件.（2）可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是，且在的左側(cè)與右側(cè)，的符號(hào)異號(hào).因此，若函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有極值，則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)一定不是單調(diào)函數(shù).也就是說在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)函數(shù)沒有極值.（2）在函數(shù)的定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極大值和極小值，但若有最大值與最小值，則最大值與最小值具有唯一性；函數(shù)的極小值不一定小于極大值，但最大值一定比最小值大.4.隨堂檢測(cè)1.函數(shù)的極大值為__________________.【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值】解：2.當(dāng)函數(shù)y＝x·2x取極小值時(shí)，x＝（）A.eq\f(1,ln2)B.－eq\f(1,ln2)C.－ln2D.ln2【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值】解：B由y＝x·2x，得y′＝2x＋x·2x·ln2.3.若f(x)＝2x3－6x2＋m在[－2,2]上有最大值3，則f(x)在[－2,2]上的最小值為______________.【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值】解：－374.已知f(x)＝2x3－6x2＋3，對(duì)任意的x∈[－2,2]都有f(x)≤a，則a的取值范圍為________.【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，恒成立問題】解：由f′(x)＝6x2－12x＝0，得x＝0，或x＝2，又f(－2)＝－37，f(0)＝3，f(2)＝－5，∴f(x)max＝3，又f(x)≤a，∴a≥3，答案：[3，＋∞)5.已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m、n∈[－1,1]，則f(m)＋f′(n)的最小值是()A.－13 B.－15C.10 D.15【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件】解：求導(dǎo)得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函數(shù)f(x)在x＝2處取得極值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，∴當(dāng)m∈[－1，1]時(shí)，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的圖象開口向下，且對(duì)稱軸為x＝1，∴當(dāng)n∈[－1,1]時(shí)，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值為－13.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.函數(shù)f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是（）A.0B.eq\f(1,e)C.eq\f(4,e4) D.eq\f(2,e2)【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值】解：Bf′(x)＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令f′(x)＝0，∴x＝1.又f(0)＝0，f(4)＝eq\f(4,e4)，f(1)＝e－1＝eq\f(1,e)，∴f(1)為最大值.2.已知f(x)＝eq\f(1,2)x2－cosx，x∈[－1,1]，則導(dǎo)函數(shù)f′(x)是（）A.僅有最小值的奇函數(shù)B.既有最大值，又有最小值的偶函數(shù)C.僅有最大值的偶函數(shù)D.既有最大值，又有最小值的奇函數(shù)【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值】解：Df′(x)＝x＋sinx，顯然f′(x)是奇函數(shù)，令h(x)＝f′(x)，則h(x)＝x＋sinx，求導(dǎo)得h′(x)＝1＋cosx.當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，h′(x)>0，所以h(x)在[－1,1]上單調(diào)遞增，有最大值和最小值.所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函數(shù).3.函數(shù)f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍為（）A.0≤a<1 B.0<a<1C.－1<a<1 D.0<a<eq\f(1,2)【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值】解：B∵y′＝3x2－3a，令y′＝0，可得：a＝x2.又∵x∈(0,1)，∴0<a<1.4.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍為（）A.－1＜a＜2B.－3＜a＜0C.a＜－1或a＞2D.a＜－3或a＞6【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件】解：D5.若f(x)＝xsinx＋cosx，則f(3)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，f(2)的大小關(guān)系為______________.【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性】解：6.已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m為常數(shù))在[－2,2]上有最大值3，那么此函數(shù)在[－2，2]上的最小值為________.【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值】解：－37能力型師生共研7.若函數(shù)f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）A.(0,1)B.(－∞，1)C.(0，＋∞)D.(0，eq\f(1,2))【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件】解：Df′(x)＝3x2－6b，∵f(x)在(0,1)內(nèi)有極小值，∴在(0,1)內(nèi)存在點(diǎn)x0，使得在(0，x0)內(nèi)f′(x)<0，在(x0,1)內(nèi)f′(x)>0，由f′(x)＝0得，x2＝2b>0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b>0,\r(2b)<1，))∴0<b<eq\f(1,2).8.設(shè)直線x＝t與函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝lnx的圖象分別交于點(diǎn)M，N，則當(dāng)|MN|取到最小時(shí)t的值為________.【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值】解：eq\f(\r(2),2)當(dāng)x＝t時(shí)，f(t)＝t2，g(t)＝lnt，∴y＝|MN|＝t2－lnt(t＞0).所以y′＝2t－eq\f(1,t)＝eq\f(2t2－1,t).當(dāng)0＜t＜eq\f(\r(2),2)時(shí)，y′＜0；當(dāng)t＞eq\f(\r(2),2)時(shí)，y′＞0.∴y＝|MN|＝t2－lnt在t＝eq\f(\r(2),2)時(shí)有最小值.9.設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，，且g(－3)＝0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是（）A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)：構(gòu)造新函數(shù)，數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】解：D∵[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，∴當(dāng)x<0時(shí)，[f(x)g(x)]′>0，∴f(x)g(x)在(－∞，0)上是增函數(shù).又g(－3)＝0，∴f(－3)g(－3)＝0.又∵f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，∴f(x)g(x)在R上是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.∴x∈(－∞，－3)時(shí)，f(x)g(x)<0，當(dāng)x>0且x∈(0,3)時(shí)，f(x)g(x)<0.10.設(shè)函數(shù)在處取得極值，且曲線在點(diǎn)處的切線垂直于直線.（1）求的值；（2）若函數(shù)，討論的單調(diào)性.【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性】解：（1）因，又在x=0處取得極限值，故從而.由曲線y=在（1，f（1））處的切線與直線相互垂直可知該切線斜率為2，即.（2）由（1）知，，則，令=1\*GB3①當(dāng)；=2\*GB3②當(dāng)，故K=1時(shí)，g（x）在R上為增函數(shù)；=3\*GB3③方程有兩個(gè)不相等實(shí)根當(dāng)函數(shù)當(dāng)時(shí)，故上為減函數(shù)時(shí)，故上為增函數(shù).探究型多維突破11.設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－eq\f(k,2)x2－x.（1）若k＝0，求f(x)的最小值；（2）若k＝1，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性】解：（1）k＝0時(shí)，f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1.當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.故f(x)的最小值為f(0)＝1.（2）若k＝1，則f(x)＝ex－eq\f(1,2)x2－x，定義域?yàn)镽.∴f′(x)＝ex－x－1，令g(x)＝ex－x－1，則g′(x)＝ex－1，由g′(x)≥0得x≥0，所以g(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，由g′(x)<0得x<0，所以g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減.∴g(x)min＝g(0)＝0，即f′(x)min＝0，故f′(x)≥0.所以f(x)在R上單調(diào)遞增.12.設(shè)函數(shù).（1）求的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).【知識(shí)點(diǎn)：零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性】解：（1）由題知：的定義域?yàn)椋伊?，得，解得：或（舍），于?當(dāng)時(shí)，；時(shí)，.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由于函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，故在上有兩個(gè)不同的根，由（1）知：在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，于是時(shí)，，又，當(dāng)，且時(shí)，，故.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.自助餐1.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點(diǎn)（）A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件】解：A2.函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋2在區(qū)間[－1,1]上的最大值是（）A.－2 B.0 C.2 D.4【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值】解：C3.已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸相切于(1,0)，則極小值為（）A.0B.－eq\f(4,27)C.－eq\f(5,27)D.1【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值】解：Af′(x)＝3x2－2px－q，由題知f′(1)＝3－2p－q＝0.又f(1)＝1－p－q＝0，解得p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，解得x＝1或x＝eq\f(1,3).經(jīng)檢驗(yàn)知x＝1是函數(shù)的極小值點(diǎn).∴f(x)極小值＝f(1)＝0.4.設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝eax＋3x，x∈R有大于零的極值點(diǎn)，則（）A.a>－3B.a<－3C.a>－eq\f(1,3)D.a<－eq\f(1,3)【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件】解：By′＝aeax＋3，由條件知，方程aeax＋3＝0有大于零的實(shí)數(shù)根，∴0<－eq\f(3,a)<1，∴a<－3.5.已知a≤eq\f(1－x,x)＋lnx對(duì)任意x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))恒成立，則a的最大值為（）A.0B.1C.2D.3【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值】解：A6.設(shè)函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)內(nèi)有定義，對(duì)于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)，若函數(shù)，恒有，則（）A.K的最大值為eq\f(1,e)B.K的最小值為eq\f(1,e)C.K的最大值為2D.K的最小值為2【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值】解：B由f(x)＝eq\f(lnx＋1,ex)，令f′(x)＝，得x＝1.當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，所以f(x)＝eq\f(lnx＋1,ex)在x＝1時(shí)取得最大值eq\f(1,e)，而f(x)≤K恒成立，所以eq\f(1,e)≤K，故K的最小值為eq\f(1,e)，選B.7.設(shè)函數(shù)f(x)＝x·(x－c)2在x＝2處有極大值，則c＝________________.【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件】解：68.函數(shù)f(x)＝x2＋aln(1＋x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1＜x2，則a的取值范圍為____________.【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，根分布問題】解：f(x)的定義域?yàn)?－1，＋∞)，f′(x)＝2x＋eq\f(a,1＋x)＝eq\f(2x2＋2x＋a,1＋x)(x＞－1)，由題意知2x2＋2x＋a＝0在(－1，＋∞)上有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2且x1＜x2，令g(x)＝2x2＋2x＋a(x＞－1)，利用根的分布可解得9.已知函數(shù)f(x)＝x2＋eq\f(2,x)，g(x)＝(eq\f(1,2))x－m.若?x1∈[1,2]，?x2∈[－1,1]使f(x1)≥g(x2)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_____.【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值】解：[－eq\f(5,2)，＋∞)要使?x1∈[1,2]，?x2∈[－1,1]，使f(x1)≥g(x2)，只需f(x)＝x2＋eq\f(2,x)在[1,2]上的最小值大于等于g(x)＝(eq\f(1,2))x－m在[－1,1]上的最小值.10.設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0).（1）若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處與直線y＝8相切，求a，b的值；（2）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn).【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性】解：（1）由已知可得f′(x)＝3x2－3a.因?yàn)榍€y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處與直線y所以，即，解得a＝4，b＝24.（2）f′(x)＝3(x2－a)(a≠0).當(dāng)時(shí)，f′(x)0，故函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，此時(shí)f(x)沒有極值點(diǎn).當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)＝0，得x＝±eq\r(a).當(dāng)x∈(－∞，－eq\r(a))時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(－eq\r(a)，eq\r(a))時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(eq\r(a)，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.此時(shí)x＝－eq\r(a)是f(x)的極大值點(diǎn)，x＝eq\r(a)是f(x)的極小值點(diǎn).11