第四章變量之間的關(guān)系導(dǎo)學(xué)案

第四章變量之間的關(guān)系§4．1用表格表示的變量間關(guān)系學(xué)習(xí)目標：了解變量、自變量和因變量的意義，了解可以表格表示兩個變量之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力與歸納思維的能力。學(xué)習(xí)重點：能從表格的數(shù)據(jù)中分清什么是變量，自變量、因變量以及因變量隨自變量的變化情況。學(xué)習(xí)難點：對表格所表達的兩個變量關(guān)系的理解。一、預(yù)習(xí)1、思考：什么是變量？什么是自變量？什么是因變量？2、課堂上，學(xué)生對概念的接受能力與老師提出概念的時間（單位：分）之間有如下關(guān)系：時間/分02101213141624接受能力4347．85959．859．959．85947．8（1）表中反映了哪兩個變量之間的關(guān)系，哪個是自變量？哪個是因變量？（2）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你認為老師在第____分鐘提出觀念比較適宜？說出你的理由．二、學(xué)習(xí)過程：（一）要點引導(dǎo)1、在一個變化過程中數(shù)值保持不變的量叫做______可以取不同數(shù)值的量叫做______，如果一個量隨著另外一個量的變化而變化，那么把這個量叫做______，另一個量叫做______．2、本節(jié)是通過______形式來表示兩個變量之間的關(guān)系的．（二）例題例1王波學(xué)習(xí)小組利用同一塊木板，測量了小車從不同高度下滑的時間．他們得到如下數(shù)據(jù)：支撐物高度/厘米102030405060708090100小車下滑時間/秒4.233.002.452.131.891.711.591.501.411.35（1）支撐物高度為70厘米時，小車下滑時間是多少？（2）如果用h表示支撐物高度，t表示小車下滑時間，隨著h逐漸變大，t的變化趨勢是什么？（3）h每增加10厘米，t的變化情況相同嗎？（4）估計當(dāng)h=110時，t的值是多少，你是怎樣估計的？變式：一輛小汽車在高速公路上從靜止到啟動10秒后的速度經(jīng)測量如下表：時間（秒）012345678910速度（米/秒）00.31.32.84.97.611.014.118.424.228.9（1）上表反映了哪兩個變量之間的關(guān)系？哪個是自變量？哪個是因變量？（2）如果用t表示時間，v表示速度，那么隨著t的變化，v的變化趨勢是什么？（3）當(dāng)t每增加1秒時，v的變化情況相同嗎？在哪1秒鐘內(nèi)，v的增加最大？（4）若高速公路上小汽車行駛速度的上限為120千米/時，試估計大約還需幾秒這輛小汽車速度就將達到這個上限？（三）拓展：1、如圖，是一個形如六邊形的點陣，它的中心是一個點，算第一層；第二層每邊兩個點；第三層每邊有三個點，依此類推：（1）填寫下表：層數(shù)123456……該層的點數(shù)……所有層的點數(shù)……（2）每層點數(shù)是如何隨層數(shù)的變化而變化的？所有層的總點數(shù)是如何隨層數(shù)的變化而變化的？（3）此題中的自變量和因變量分別是什么？（4）寫出第n層所對應(yīng)的點數(shù)，以及n層的六邊形點陣的總點數(shù)；（5）如果某一層的點數(shù)是96，它是第幾層？（6）有沒有一層，它的點數(shù)是100？為什么？2、下表是明明商行某商品的銷售情況，該商品原價為560元，隨著不同幅度的降價（單位：元），日銷量（單位：件）發(fā)生相應(yīng)變化如下表：降價（元）5101520253035日銷量（件）780810840870900930960（1）上表反映了哪兩個變量之間的關(guān)系？其中那個是自變量，哪個是因變量？（2）每降價5元，日銷量增加多少件？請你估計降價之前的日銷量是多少？（3）如果售價為500元時，日銷量為多少？§4．2用關(guān)系式表示的變量間的關(guān)系學(xué)習(xí)目標：1、經(jīng)歷探索某些圖形中變量之間的關(guān)系的過程，進一步體會一個變量對另一個變量的影響，發(fā)展符號感。2、能根據(jù)具體情景，用關(guān)系式表示某些變量之間的關(guān)系。3、能根據(jù)關(guān)系式求值，初步體會自變量和因變量的數(shù)值對應(yīng)關(guān)系。學(xué)習(xí)重點：1、找問題中的自變量和因變量。2、根據(jù)關(guān)系式找自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系。學(xué)習(xí)難點：根據(jù)關(guān)系式找自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系。一、預(yù)習(xí)會議廳共有30排座位，第一排有20個座位，后排每排比前一排多一個座位．（1）你知道第九排有多少個座位嗎？第26排呢？（2）每排的座位數(shù)y可用排數(shù)x來表示嗎？（3）可不可能某一排的座位數(shù)是52？為什么？二、學(xué)習(xí)過程：（一）要點引導(dǎo)1、通過表格可表示兩個變量之間的關(guān)系，本節(jié)中利用_______也可表示兩個變量之間的關(guān)系．2、確定關(guān)系式的步驟：先找出題目中關(guān)于________與________的相等關(guān)系，再用_____________的代數(shù)式表示________3、半徑為R的圓面積S=___________，當(dāng)R=3時，S=______________方法小結(jié)：1、涉及到圖形的面積或體積時，寫關(guān)系式的關(guān)鍵是利用面積或體積公式寫出等式；2、一定要將表示因變量的字母單獨寫在等號的左邊；3、已知一個變量的值求另一個變量的值時，一定要分清已知的是自變量還是因變量，千萬不要代錯了．（二）例題ACB例1、如圖，ACB（1）在這個變化過程中，自變量、因變量各是什么？（2）如果三角形的底邊長為x（厘米），那么三角形的面積y（厘米）可以表示為_________（3）當(dāng)?shù)走呴L從12厘米變化到3厘米時，三角形的面積從____厘米變化到____厘米84x變式184x（1）求梯形面積y與x的關(guān)系；（2）用表格表示，當(dāng)x從3到7（每次增加1）時，y的相應(yīng)值；（3）當(dāng)x每增加1時，y如何變化？（4）當(dāng)y=50時，x為多少？（5）當(dāng)x=0時，y等于多少？此時它表示的是什么？1010220例2、將若干張長為20cm、寬為10cm的長方形白紙，按下圖所示的方法粘合起來，粘合部分的寬為2cm．（1）求4張白紙粘合后的總長度；（2）設(shè)x張白紙粘合后的總長度為ycm，寫出y與x之間的關(guān)系式；（3）并求當(dāng)x=20時，y的值變式2、 聲音在空氣中傳播的速度y（米/秒）與氣溫之間有如下關(guān)系：（1）在這一變化過程中，自變量是________、因變量是________；（2）當(dāng)氣溫時，聲音速度y=________米/秒；（3）當(dāng)氣溫時，某人看到煙花燃放5秒后才聽到聲響，那么此人與燃放煙花所在地約相距________米；（三）拓展ABCP1、如圖，在中，已知，邊AC=4cm，BC=5cm，點P為CB邊上一動點，當(dāng)點P沿CB從點C向點B運動時，的面積發(fā)生了變化．ABCP（1）在這個變化過程中，自變量和因變量各是什么？（2）如果設(shè)CP長為，的面積為，則y與x的關(guān)系可表示為__________；（3）當(dāng)點P從點D（點D為BC的中點）運動到點B時，則的面積從______變到______§4．3用圖象表示的變量間關(guān)系學(xué)習(xí)目標：1、經(jīng)歷從圖象中分析變量之間關(guān)系的過程，進一步體會變量之間的關(guān)系。2、結(jié)合具體情境，理解圖象上的點所表示的意義。3、能從圖象中獲取變量之間關(guān)系的信息，并能用語言進行描述。學(xué)習(xí)重點：結(jié)合具體情境，理解圖象上的點所表示的意義。并能從圖象中獲取變量之間關(guān)系的信息，學(xué)習(xí)難點：能從圖象中獲取變量之間關(guān)系的信息，并能用語言進行描述。一、預(yù)習(xí)1、如圖，是某地某年月平均氣溫隨時間變化的圖像．請回答下列問題：（1）二月份平均氣溫是______，十月份平均氣溫______；（2）這一年中，月平均氣溫最高的是______月，溫度大約是______；（3）月平均最高氣溫與最低氣溫大約相差______（4）月平均最高氣溫為的月份是______月，它可能是______季節(jié)；（5）上述變化中，自變量是______，因變量是______；（6）估計明年一月份的平均氣溫會低于嗎？二、學(xué)習(xí)過程：（一）要點引導(dǎo)1、圖像是表示________之間關(guān)系的一種方法，它的特點是更________、更________地反映了因變量隨自變量變化的情況．2、用圖像表示變量之間的關(guān)系時，通常用水平方向的數(shù)軸（橫軸）上的點表示________，用豎直方向的數(shù)軸（縱軸）上的點表示________（二）例題例1、某山區(qū)今年６月中旬的天氣情況是：前５天小雨，后５天暴雨，那么反映該地區(qū)某河流水位變化的圖像大致是（）A B C D變式1、為節(jié)約用水，利民學(xué)校沖廁水箱經(jīng)改造后，當(dāng)水箱水滿后就按一定的速度放掉水箱的一半水，隨后立即按一定的速度注水，等水箱的水滿后，又立即按一定的速度放掉水箱一半的水，下面的圖像可以刻畫水箱的存水量v（立方米）與放水或注水時間t（分鐘）之間的關(guān)系的是（）A B C D例2、新成藥業(yè)集團研究開發(fā)了一種新藥，在實驗藥效時發(fā)現(xiàn)，如果兒童按規(guī)定劑量服用，那么2小時的時候血液中含藥量最高，接著逐步衰減，每毫升血液中含藥量y（微克）隨時間x（小時）的變化如圖所示．當(dāng)兒童按規(guī)定劑量服藥后：（1）何時血液中含藥量最高？是多少微克？（2）A點表示什么意義？（3）每毫升血液中含藥量為2微克以上時在治療疾病時是有效的，那么這個有效期是多長？（4）你建議該兒童首次服藥后幾小時再服藥？為什么？變式2、如圖，是表示某天小明上學(xué)從家到學(xué)校時，離家的距離與時間的關(guān)系的圖像。（1）小明從家到學(xué)校有多遠？他一共用了多長時間到校？（2）中途小明停下來子啊路邊的商店買了一些練習(xí)本，圖中那一段曲線表示這一過程？（3）你能想象小明從離家到第4min時的情況嗎？（三）拓展1、王大爺帶了若干千克自產(chǎn)的土豆進城出售，為了方便，他帶了一些零錢備用，按市場價出售一些后，又降價出售，售出土豆的千克數(shù)x與他手中持有的錢數(shù)y（含備用零錢）的關(guān)系如圖所示。根據(jù)圖像回答下列問題：（1）王大爺自帶的零錢是多少？（2）降價前他每千克土豆出售的價格是多少？（3）降價后他按每千克0.4元將剩余土豆售完，這時他手中的錢（含備用零錢）是26元，問他一共帶了多少千克土豆？2、如圖中的折線ABC是甲地向乙地打長途電話所需要付的電話費y（元）與通話時間t（分鐘）之間的關(guān)系的圖像。（1）通話1分鐘，要付電話費多少元？通話5分鐘要付多少電話費？（2）通話多少分鐘以內(nèi)，所支付的電話費不變？（3）如果通話3分鐘以上，電話費y（元）與時間t（分鐘）的關(guān)系式是，那么通話4分鐘的電話費是多少元？§4．4速度的變化學(xué)習(xí)目標：通過速度隨時間變化的實際情境，進一步經(jīng)歷從圖中分析變量之間關(guān)系的過程，加深對圖象表示的理解，進一步發(fā)展從圖象中獲得信息的能力及有條理地進行語言表達的能力。學(xué)習(xí)重點：通過速度隨時間變化的實際情境，能分析出變量之間關(guān)系。學(xué)習(xí)難點：現(xiàn)實中變量的變化關(guān)系，判斷變化的可能圖象。一、預(yù)習(xí)1、如圖，是某人騎自行車的行駛路程s（千米）與行駛時間t（時）的函數(shù)圖像，下列說法不正確的是（）A.從0時到3時，行駛30千米B.從1時到2時勻速前進速度/v時間/t速度/v時間/tadcb0D.從出發(fā)地到1時與從2時到3時的行駛速度相同二、學(xué)習(xí)過程：（一）要點引導(dǎo)1、觀察右圖回答下列問題：（1）a代表物體從____________開始____________運動；路程/S時間/t路程/S時間/tacb0（3）c代表物體________________運動；（4）a表示的速度________d表的速度（填“>”、“=”或“<”）2、觀察右圖回答下列問題：（1）a代表物體____________運動；（2）b代表物體____________；（3）c代表物體______運動直至回到______；（二）例題例1、汽車在行駛的過程中，速度往往是變化的。下面的圖像表示一輛汽車的速度隨時間變化而變化的情況。（1）汽車從出發(fā)到最后停止共經(jīng)過了多少時間？它的最高時速是多少？（2）汽車在哪些時間段保持勻速行駛？時速分別是多少？（3）出發(fā)后8分到10分之間可能發(fā)生了什么情況？（4）用自己的語言大致描述這輛汽車的行駛情況。變式1（1）一列火車從青島站出發(fā)，加速行駛一段時間開始勻速行駛。過了一段時間，火車到達下一個車站。乘客上下車后，火車又加速，一段時間后再次開始勻速行駛，下面可以近似地刻畫出火車在這段時間內(nèi)的速度變化情況的圖是下圖中的（）A． B． C． D．（2）小李騎車沿直線旅行，先前進了a千米，休息了一段時間，又原路返回b千米（b<a），再前進c千米，則他離起點的距離s與時間t的關(guān)系示意圖是（）例2、小明某天上午9時騎自行車離開家，15時回家，他有意描繪了離家的距離與時間的變化情況（如圖所示）（1）圖像表示了哪兩個變量的關(guān)系？哪個是自變量？哪個是因變量？（2）10時和13時，他分別離家多遠？（3）他到達離家最遠的地方時什么時間？離家多遠？（4）11時到12時他行駛了多少千米？（5）他可能在哪段時間內(nèi)休息，并吃午餐？（6）由他離家最遠的地方返回時的平均速度是多少？變式2、（1）如圖，是自行車行駛路程與時間的關(guān)系圖，則整個行駛過程的平均速度是（）A．20 B．40 C．15 D．25（2）如圖所示，OA、BA分別表示甲、乙兩名學(xué)社運動的路程與時間的關(guān)系圖像，圖中S和t分別表示運動路程和時間，根據(jù)圖像判斷快者的速度比慢者的速度每秒快（）A．2.5m B．2m C．1.5m D．1m（三）拓展1、某單位急需用車，但又不準備買車，他們準備和一家個體車主或一家國有出租車公司簽訂租車合同，合同中規(guī)定所付月租金的多少與出租車每月行駛的距離有關(guān)。下圖表示出租車每月行駛的距離與所付月租金的關(guān)系，（表示個體車主，表示國有出租車）觀察圖像回答下列問題（1）每月行駛路程在什么范圍內(nèi)時租國有公司的車合算？（2）租個體車主的車，租來的車如果沒有行駛，是否也要繳租金？繳多少租金？租國有公司的車呢？（3）每月行駛路程等于多少時，租兩家車的費用相同？（4）如果這個單位估計每月行駛的路程2300米，那么這個單位租哪家的車合算？2、甲、乙兩地相距80千米，A騎自行車，B騎摩托車沿相同路線由甲地到乙地行駛，兩人行駛的路程y（千米）與時間x（時）的關(guān)系如圖所示，請你根據(jù)圖像回答或解決下面的問題：（1）誰出發(fā)較早？早多長時間？誰到達乙地較早？早多長時間？（2）兩人在途中行駛的速度分別是多少？（3）請你分別求出表示自行車和摩托車行駛過程的路程y（千米）與時間x（小時）的關(guān)系。第4章變量之間的關(guān)系復(fù)習(xí)一、知識導(dǎo)航1、主要概念：變量是；自變量是；因變量是。2、變量之間關(guān)系的三種表示方法：。其特點是：列表：對于表中自變量的每一個值，可以不通過計算，直接把的值找到，查詢方便；但是欠，不能反映變化的全貌，不易看出變量間的對應(yīng)規(guī)律。關(guān)系式：簡明扼要、規(guī)范準確；但有些變量之間的關(guān)系很難或不能用關(guān)系式表示。圖像：形象直觀?？梢孕蜗蟮胤从吵鍪挛镒兓倪^程、變化的趨勢和某些特征；但圖像是近似的、局部的，由圖像確定因變量的值欠準確。3、主要數(shù)學(xué)思想方法：類比和比較的方法（舉例說明）；數(shù)形結(jié)合和數(shù)學(xué)建模思想（舉例說明）。二、學(xué)習(xí)導(dǎo)航1、有關(guān)概念應(yīng)用例1下列各題中，那些量在發(fā)生變化？其中自變量和因變量各是什么？用總長為60的籬笆圍成一邊長為L（m），面積為S（m2）的矩形場地；②正方形邊長是3，若邊長增加x，則面積增加為y.2、利用表格尋找變化規(guī)律例2研究表明，固定鉀肥和磷肥的施用量，土豆的產(chǎn)量與氮肥的施用量有如下關(guān)系：施肥量（千克/公頃）03467101135202259336404471土豆產(chǎn)量(噸/公頃)15.1821.3625.7232.2930.0339.4543.1543.4640.8330.75上表中反映了哪兩個變量之間的關(guān)系？哪個是自變量？哪個是因變量？根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，你認為氮肥的使用量是多少時比較適宜？變式（湖南）一輛小汽車在高速公路上從靜止到起動10秒后的速度經(jīng)測量如下表：時間/秒012345678910速度/米/秒00.31.32.84.97.611.014.118.424.228.9①上表反映了哪兩個變量之間的關(guān)系？哪個是因變量？②如果用t表示時間，v表示速度，那么隨著t的變化，v的變化趨勢是什么？③當(dāng)t每增加1秒時，v的變化情況相同嗎？在哪1秒中，v的增加最大？④若高速公路上小汽車行駛的速度的上限為120千米/時，試估計大約還需要幾秒小汽車速度就將達到這個上限？3、用關(guān)系式表示兩變量的關(guān)系例3.、①設(shè)一長方體盒子高為10，底面積為正方形，求這個長方形的體積v與底面邊長a的關(guān)系。②設(shè)地面氣溫是20℃，如果每升高1km，氣溫下降6℃，求氣溫與t高度h的關(guān)系。變式（江西）如圖，一個矩形推拉窗，窗高1.5米，則活動窗扇的通風(fēng)面積A（平方米）與拉開長度b（米）的關(guān)系式是：.4、用圖像表示兩變量的關(guān)系例4、（桂林）今年，在我國內(nèi)地發(fā)生了“非典型肺炎”疫情，在黨和政府的正確領(lǐng)導(dǎo)下，目前疫情已得到有效控制．下圖是今年5月1日至5月14日的內(nèi)地新增確診病例數(shù)據(jù)走勢圖（數(shù)據(jù)來源：衛(wèi)生部每日疫情通報）．從圖中，可知道：

（1）5月6日新增確診病例人數(shù)為人；

（2）在5月9日至5月11日三天中，共新增確診病例人數(shù)為人；

（3）從圖上可看出，5月上半月新增確診病例總體呈趨勢．例5、（陜西）星期天晚飯后，小紅從家里出去散步，下圖描述了她散步過程中離家的距離s（米）與散步所用時間t（分）之間的函數(shù)關(guān)系．依據(jù)圖象，下面描述符合小紅散步情景的是（）.A.從家出發(fā)，到了一個公共閱報欄，看了一會兒報，就回家了B.從家出發(fā)，到了一個公共閱報欄，看了一會兒報后，繼續(xù)向前走了一段，然后回家了C.從家出發(fā)，一直散步（沒有停留），然后回家了D.從家出發(fā)，散了一會兒步，就找同學(xué)去了，18分鐘后才開始返45變式(成都)右圖表示甲騎電動自行車和乙駕駛汽車沿相同路線行駛45千米，由A地到B地時，行駛的路程y（千米）與經(jīng)過的時間x（小時）之間的關(guān)系．請根據(jù)這個行駛過程中的圖象填空：汽車出發(fā)小時與電動自行車相遇；電動自行車的速度為千米/時；汽車的速度為千米/時；汽車比電動自行車早小時到達B地．三、一試身手1、（貴陽）小明根據(jù)鄰居家的故事寫了一首小詩：“兒子學(xué)成今日返，老父早早到車站，兒子到后細端詳，父子高興把家還．”如果用縱軸y表示父親與兒子行進中離家的距離，用橫軸表示父親離家的時間，那么下面的圖象與上述詩的含義大致吻合的是（）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0 A B C D2、在一次蠟燭燃燒實驗中，甲、乙兩根蠟燭燃燒時剩余部分的高度y（厘米）與燃燒時間x（小時）之間的關(guān)系如圖所示．請根據(jù)圖象所提供的信息解答下列問題：（1）甲、乙兩根蠟燭燃燒前的高度分別是，從點燃到燃盡所用的時間分別是；（2）燃燒多長時間時，甲、乙兩根蠟燭的高度相等（不考慮都燃盡時的情況）？在什么時間段內(nèi)，甲蠟燭比乙蠟燭高？在什么時間段內(nèi)，甲蠟燭比乙蠟燭低？3、（2006宿遷課改）小明從家騎車上學(xué)，先上坡到達A地后再下坡到達學(xué)校，所用的時間與路程如圖所示．如果返回時，上、下坡速度仍然保持不變，那么他從學(xué)校回到家需要的時間是（）Ａ．8.6分鐘 Ｂ．9分鐘 Ｃ．12分鐘 Ｄ．16分鐘4、某機動車出發(fā)前油箱內(nèi)有油42l，行駛?cè)舾尚r后，途中在加油站加油若干升．油箱中余油量Q（L）與行駛時間t（L）之間的關(guān)系如圖8所示．回答問題：（1）機動車行駛幾小時后加油？（2）中途中加油_________L；（3）已知