2025年中考數(shù)學(xué)考前沖刺：二次函數(shù)與幾何綜合題 壓軸練習(xí)題（含答案解析）

2025年中考數(shù)學(xué)考前沖刺：二次函數(shù)與幾何綜合題壓軸練習(xí)題

1.拋物線y=f-2x-3交x軸于A,3兩點(diǎn)(A在5的左邊)，C是第一象限拋物線上一點(diǎn)，直線AC交V

軸于點(diǎn)尸.

⑴直接寫出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵如圖(1),當(dāng)OP=Q4時(shí)，在拋物線上存在點(diǎn)。(異于點(diǎn)8),使8,。兩點(diǎn)到AC的距離相等，求出

所有滿足條件的點(diǎn)。的橫坐標(biāo)；

(3)如圖(2),直線交拋物線于另一點(diǎn)E,連接CE交y軸于點(diǎn)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為加.求券的值(用

含m的式子表示).

2.已知，二次函數(shù)_￥=內(nèi)2+2法->2+46+1和平面直角坐標(biāo)系xoy中的點(diǎn)A(5,0)、點(diǎn)B(0,5)

⑴若二次函數(shù)圖象經(jīng)過42兩點(diǎn),

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①求二次函數(shù)的解析式;

s

②如圖1,D在拋物線上，且在第一象限，。。與A3交于點(diǎn)E,求產(chǎn)的最大值；

3AOE

13

(2)當(dāng)。=-1時(shí)，若二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)C7%、且頂點(diǎn)在AAOB的內(nèi)部，試比較％、%的大小

3.拋物線y=f+萬元+c與x軸交于4(-1,0),B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,2).

⑴求B點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)如圖1,點(diǎn)E在第一象限的拋物線上，連接BE,CD〃BE交OB于點(diǎn)、D,連接。E,ADBE的面積為

4.

①連接CE,直接寫出四邊形COBE的面積；

②求E點(diǎn)坐標(biāo).

⑶如圖2,將直線AC繞點(diǎn)P(小，")順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后，得到的對(duì)應(yīng)直線FG與拋物線有唯一公共點(diǎn)，求

相與”的數(shù)量關(guān)系.

4.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線、=-尤2+總+4過點(diǎn)A(-4,0),與y軸交于點(diǎn)N,與x軸正半軸交于

點(diǎn)、B.直線/過定點(diǎn)A.

一.二

:二

圖1圖2

圖3

(1)求拋物線解析式；

(2)連接AN,BN,直線/交拋物線于另一點(diǎn)M,當(dāng)NM4N=N8NO時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

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⑶過點(diǎn)T（r,T）的任意直線EF（不與y軸平行）與拋物線交于點(diǎn)E、F,直線8E、8尸分別交y軸于點(diǎn)尸、

Q,是否存在f的值使得0P與。。的積為定值？若存在，求/的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

圖1圖2

（1）直接寫出點(diǎn)8的坐標(biāo)（,）和直線BC的解析式______；

（2）點(diǎn)。是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)E為拋物線上一點(diǎn)，若以8、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊

形，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)；

⑶如圖2,直線/〃BC,直線/交拋物線于點(diǎn)M、N,直線AM交y軸于點(diǎn)尸，直線AN交y軸于點(diǎn)。，點(diǎn)

p、。的縱坐標(biāo)為力、yQ,求證：％+為的值為定值.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)A（4,0）的直線AB與y軸交于點(diǎn)3（0,4）.經(jīng)過原點(diǎn)。的拋物線

y=-f+bx+c交直線AB于點(diǎn)A,C,拋物線的頂點(diǎn)為D

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（1）求拋物線y=-x2+bx+c的表達(dá)式；

⑵M是線段上一點(diǎn)，N是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)"N〃，軸且MN=2時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，。是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn).是否存在以點(diǎn)A,C,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是矩

形？若存在，直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

7.如圖，拋物線，=如2+（病+3”_（6〃7+9）與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,已知8（3,0）.

（2*為拋物線上一點(diǎn)，若SjBC=S4ABC,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（3）。為拋物線上一點(diǎn)，若/ACQ=45。，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

8.拋物線）=依2+樂+。（。H0）與天軸交于4、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,且點(diǎn)4的坐標(biāo)為A（-2,0）,點(diǎn)C

的坐標(biāo)為C（0,6）,對(duì)稱軸為直線x=l.點(diǎn)。是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為相，連接AC,

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵若/BCD=ZACO,求HI值.

⑶點(diǎn)尸坐標(biāo)為（0,2）,連接AF,點(diǎn)P在直線A尸上，點(diǎn)。是平面上任意一點(diǎn)，當(dāng)以A、C,尸、。四點(diǎn)為

頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)，直接寫出。坐標(biāo).

9.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m,n）.

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(1)若拋物線過原點(diǎn)，〃?=2,”=-4,求其解析式.

(2)如圖(1),在(1)的條件下，直線/：y=-x+4與拋物線交于A、8兩點(diǎn)(A在8的左側(cè))，MN為

線段上的兩個(gè)點(diǎn)，MN=2在直線/下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△PMN為等腰直角三角

形？若存在，求出M點(diǎn)橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(3)如圖(2),拋物線與無軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)G,尸點(diǎn)在點(diǎn)C左側(cè)拋物線

上，。點(diǎn)在y軸右側(cè)拋物線上，直線C。交y軸于點(diǎn)尸，直線尸C交y軸于點(diǎn)”，設(shè)直線P。解析式為丫=

h

kx+t,當(dāng)SAHCQ=2S」GCQ,試證明不是否為一個(gè)定值.

圖1圖2

10.已知，如圖，拋物線y=-；/+fcv+c與x軸正半軸交于A、8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,直線y=x-2經(jīng)

過A、C兩點(diǎn).

(1)直接寫出拋物線的解析式；

(2)P為拋物線上一點(diǎn)，若點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)。落在y軸上，求尸點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點(diǎn)在直線＞=X-若平移后的拋物線與直線y=x-2交于M、N兩

點(diǎn).①求證：的長(zhǎng)度為定值；

②結(jié)合(2)的條件，直接寫出AQMN的周長(zhǎng)的最小值

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備用圖

II.拋物線>=加-26x+6（"0）與V軸相交于點(diǎn)。（0,-3）,且拋物線的對(duì)稱軸為x=3,。為對(duì)稱軸與

x軸的交點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x軸上方且平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于￡、F兩點(diǎn),若，/溺是等腰直角三角

形，求二DEF的面積；

（3）若尸（3J）是對(duì)稱軸上一定點(diǎn)，。是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值（用含f的代數(shù)式表示）.

12.如圖1,拋物線、=以2+法+。與無軸交于A,2（點(diǎn)A在點(diǎn)8左側(cè)），與y軸負(fù)半軸交于C,且滿足

OA=OB=OC=2.

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(1)求拋物線的解析式;

⑵如圖2,。為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，過。作直線/垂直于直線BC,直線/交拋物線于E,F兩點(diǎn)(點(diǎn)E在

點(diǎn)廠右側(cè))，若DF=3DE,求D點(diǎn)坐標(biāo);

(3)如圖3,點(diǎn)M為拋物線第二象限部分上一點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于y軸對(duì)稱，連接MB,尸為線段MB上一點(diǎn)

(不與M、2重合)，過P點(diǎn)做直線(/為常數(shù))交無軸于S,交直線A?于Q,求QS—PS的值(用含

f的代數(shù)式表示).

13.如圖1,已知拋物線y=#+6x+3經(jīng)過點(diǎn)。(1,5),且交x軸于A,5兩點(diǎn)，交V軸于點(diǎn)C,已知點(diǎn)

A(-LO),是拋物線在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，2。，8。于點(diǎn)。.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)？。=百時(shí)，求加的值；

(3)是否存在點(diǎn)P,使VBPQ與3OC相似？若存在，請(qǐng)求出尸點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

14.已知拋物線和：丫=皈2+公+。向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線

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⑴直接寫出拋物線G的解析式―；

⑵如圖1,已知拋物線C］與X軸交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)，點(diǎn)pg,。在拋物線C1上，

QBLPB交拋物線于點(diǎn)Q.求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)已知點(diǎn)E,也在拋物線C?上，石“〃彳軸，點(diǎn)E在點(diǎn)M的左側(cè)，過點(diǎn)M的直線與拋物線C?只有一

個(gè)公共點(diǎn)(MD與丁軸不平行)，直線QE與拋物線交于另一點(diǎn)N.若線段NE=DE,設(shè)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)

分別為加，n,直接寫出加和〃的數(shù)量關(guān)系(用含機(jī)的式子表示")為—.

15.已知拋物線>=以2+桁-2與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),B(4,0),與y軸交于C點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,直線％=根(0<m<4)交拋物線于"點(diǎn)，交BC于N點(diǎn)、,豆CM//ON,求機(jī)的值；

(3)如圖2,若點(diǎn)尸為拋物線工軸下方一點(diǎn)，直線AP交y軸于M點(diǎn)，直線3尸交y軸于N點(diǎn)，且OM?ON

25

=—求P點(diǎn)坐標(biāo).

4f

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16.二次函數(shù)產(chǎn)的圖象與x軸交于A(2,0),B(6,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為E.

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出點(diǎn)E的坐標(biāo).

(2)如圖1,。是該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拇怪逼椒志€恰好經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求點(diǎn)。的

坐標(biāo).

(3)如圖2,尸是該二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接尸C、PE、CE,當(dāng)?shù)拿娣e為30時(shí)，求點(diǎn)尸

的坐標(biāo).

圖2

17.在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=o^+6x+c與X軸交于點(diǎn)A(-I,o)和點(diǎn)B,與V軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)。

的坐標(biāo)為(1,-4).

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(1)直接寫出拋物線的解析式；

(2)如圖1,若點(diǎn)尸在拋物線上且滿足NPCB=NCBD,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)如圖2,M是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MNLx軸交拋物線于點(diǎn)N,。是直線AC上一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，當(dāng)-QWN為等腰直角三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)M及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)。的坐標(biāo)

18.如圖1,拋物線y=o?+2x+c(aw0)與無軸,V軸分別交于點(diǎn)A(TO),B點(diǎn),C(0,3)三點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)。(m,3)在拋物線上，連接BC,BD.在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,滿足

NPBC=NDBC?如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)/在拋物線上，當(dāng)以M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)用的坐標(biāo).

19.如圖1,拋物線、=：石+公-4交x軸于A,8兩點(diǎn)(A在8的左側(cè))，與了軸交于點(diǎn)C,且

OC=2OB.

圖1圖2

(1)求拋物線的解析式；

(2)連接AC,2C,點(diǎn)P在拋物線上，且滿足/P3C=NACB,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,直線/：y=x+K-4<f<0)交y軸于點(diǎn)E,過直線/上的一動(dòng)點(diǎn)〃作加〃丫軸交拋物線于點(diǎn)

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N,直線CM交拋物線于另一點(diǎn)O,直線QN交y軸于點(diǎn)尸，試求OE+O尸的值.

20.拋物線C：y=-/+2]+3與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)比

圖1圖2

(1)寫出的長(zhǎng)；

(2)如圖1,已知C(0,2),點(diǎn)E是x軸正半軸上的點(diǎn)，OE的垂直平分線MN,交OE于點(diǎn)凡交CE于

點(diǎn)",交拋物線C于點(diǎn)N,若MN=2,求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)如圖2.將拋物線C向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移6(b>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線C/,點(diǎn)。

是拋物線C/的頂點(diǎn)，點(diǎn)尸是拋物線C/在第一象限上的動(dòng)點(diǎn)，尸軸，交拋物線。于點(diǎn)P,直線尸。交

拋物線C/于點(diǎn)°,直線QP交y軸于求證：HD=OD.

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2x+10與無軸，y軸相交于A,5兩點(diǎn).點(diǎn)C的坐標(biāo)是(8,4),

連接AC,BC.

(1)求過。，A,C二點(diǎn)的拋物線的解析式，并判斷ABC的形狀；

(2)拋物線上是否存在著一點(diǎn)尸，使的面積為25?若存在，求出尸的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理

由；

(3)在拋物線上，是否存在著一點(diǎn)河，使一為以A8為斜邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出M

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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22.如圖，已知拋物線y=/+bx+c與x軸相交于A(TO),3(〃?,0)兩點(diǎn)，與V軸相交于點(diǎn)C(0,-3),拋

物線的頂點(diǎn)為。.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)E在x軸上，且在點(diǎn)B左側(cè)、NECB=NCBD,求點(diǎn)E的坐標(biāo).

(3)若P是直線BC下方拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作叨，龍軸于點(diǎn)H,與BC交于點(diǎn)

①求線段尸河長(zhǎng)度的最大值.

②在①的條件下，若歹為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，求尸4+即+正CF的最小值.

2

23.如圖，已知拋物線丁=加+。過點(diǎn)(-2,2),(4,5),過定點(diǎn)—0,2)的直線>=爪+。與拋物線交于A、B

兩點(diǎn)，點(diǎn)5在點(diǎn)A的右側(cè)，過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為C.

(1)直接寫出拋物線的解析式.

(2)求證：BF=BC.

(3)若左=1,在直線>=乙+。下方拋物線上是否存在點(diǎn)。，使得一尸的面積最大？若存在，求出點(diǎn)。的

坐標(biāo)及.沙廠的最大面積；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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24.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線>=依2+法+。(。>0)與苫軸交于人、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左

側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)若A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)

①求拋物線的解析式；

②若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為拋物線上一點(diǎn)，ACPQ是以CQ為斜邊的等腰直角三角形，求出點(diǎn)P的坐

標(biāo)；

(2)如圖2,若直線、=云+/?>。)與拋物線交于點(diǎn)乂、點(diǎn)N(點(diǎn)M在對(duì)稱軸左側(cè)).直線AM交y軸于

點(diǎn)E,直線AN交y軸于點(diǎn)D.試說明點(diǎn)C是線段DE的中點(diǎn).

25.拋物線>=加一2辦一3°(a<0)交x軸于點(diǎn)A、B,交y軸于點(diǎn)C,它的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)瓦

(1)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)為

(2)如圖，直線y=x與拋物線交于點(diǎn)M、N,求OMON的值.

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（3）如圖2,過點(diǎn)C作CZ）〃x軸交拋物線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)尸，交拋物線于點(diǎn)G.直線

AF交CD于點(diǎn)H,交拋物線于點(diǎn)K,連接〃￡、GK,求證：HE//GK.

26.如圖1,已知：拋物線,=奴2+法+。過點(diǎn)。,0）、（4,3）、（5,8）,交x軸于點(diǎn)C,點(diǎn)B（C在5左邊），交

y軸于點(diǎn)A.

（D求拋物線的解析式；

（2）。為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，ZABD=ZCAB+ZABC,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）如圖2,/:y=丘-3左+7（左W0）交拋物線于M,N兩點(diǎn)（不與重合），直線MC,NC分別交y

軸于點(diǎn)/,點(diǎn)J,試求此時(shí)O/.Q7是否為定值？如果是，請(qǐng)求出它的值；如果不是，請(qǐng)說明理由.

27.如圖，拋物線過點(diǎn)A（0,1）和C,頂點(diǎn)為D,直線AC與拋物線的對(duì)稱軸BD的交點(diǎn)為B（行,

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0),平行于y軸的直線EF與拋物線交于點(diǎn)E,與直線AC交于點(diǎn)E點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為空，四邊形BDEF

為平行四邊形.

(1)求點(diǎn)F的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC上方，當(dāng)^PAB面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及4PAB面積

的最大值；

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上取一點(diǎn)Q,同時(shí)在拋物線上取一點(diǎn)R,使以AC為一邊且以A,C,Q,R為頂

點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)Q和點(diǎn)R的坐標(biāo).

脩用圖)

28.如圖1,已知拋物線y=a(x—1)2與y軸交于點(diǎn)B(0,3)，點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn).

(1)直接寫出該拋物線的解析式.

(2)點(diǎn)A在拋物線上，且ACLBC,求點(diǎn)A的坐標(biāo).

(3)如圖2,在(2)的條件下，作線段AC的垂直平分線交拋物線于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)M,點(diǎn)F在直線

DM上，求AFBC的最小周長(zhǎng)，直接寫出當(dāng)△FBC周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo).

3).已知對(duì)稱軸為x=l.

(1)求拋物線的解析式.

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(2)P為拋物線上的點(diǎn)，P點(diǎn)到直線BC的距離為0,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)將拋物線向左平移至對(duì)稱軸為y軸(如圖2).交x軸于M,N.D為頂點(diǎn)，E是線段ON上一動(dòng)點(diǎn),

EF〃y軸交拋物線于F,DE交拋物線于Q,求直線QF與y軸的交點(diǎn)H的坐標(biāo).

圖1圖2

30.如圖1,已知拋物線>=加+a+。的頂點(diǎn)為尸(1,9),與無軸的交點(diǎn)為A(-2,0),B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)M為x軸上方拋物線上的一點(diǎn)，MB與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)C,若/COB=2NCBO,求點(diǎn)M的坐

標(biāo)；

(3)如圖2,將原拋物線沿對(duì)稱軸平移后得到新拋物線為丫=辦2+云+6E,尸新拋物線在第一象限內(nèi)互不

重合的兩點(diǎn)，EGLx軸，F(xiàn)HXxft,垂足分別為G,H,若始終存在這樣的點(diǎn)E,F,滿足

&GEO咨AHOF,求的取值范圍.

圖1

第16頁共97頁

31.如圖1,已知拋物線丁=0?+桁+0的頂點(diǎn)為尸。,9),與x軸的交點(diǎn)為A(-2,0),B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)M為x軸上方拋物線上的一點(diǎn)，MB與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)C,若/COB=2/CBO,求點(diǎn)〃的坐

標(biāo)；

(3)如圖2,將原拋物線沿對(duì)稱軸平移后得到新拋物線為>=辦2+%+/?,E,尸是新拋物線在第一象限

內(nèi)互不重合的兩點(diǎn)，EGJ_x軸，可，無軸，垂足分別為G,H,若始終存在這樣的點(diǎn)E,F,滿足

一GEg.HOF,求〃的取值范圍.

32.已知拋物線乙：y=x2-2mx+^m2-2(m>0)的頂點(diǎn)為M,交y軸于點(diǎn)G.

3

(1)如圖，若點(diǎn)G坐標(biāo)為(0,-])

①直接寫出拋物線。解析式；

②點(diǎn)Q在y軸上，將線段QM繞點(diǎn)Q逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得線段QN,若點(diǎn)N恰好落在拋物線。上，求點(diǎn)Q

的坐標(biāo).

第17頁共97頁

(2)探究：將拋物線4沿唯一的定直線x=a對(duì)稱得拋物線七，記拋物線七交y軸于點(diǎn)P(0,—2m),

求a的值.

33.拋物線＞=-/+0-1)苫+加交x軸于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，交》軸正半軸于點(diǎn)C.

(1)如圖1,當(dāng)根=3時(shí).

圖1圖2

①直接寫出點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)；

②若拋物線上有一點(diǎn)P,使NACP=NB4C,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(2)如圖2,平移直線CB交拋物線于M,N兩點(diǎn)，直線MC與直線N3交于點(diǎn)G,若點(diǎn)G在定直線x=l

上運(yùn)動(dòng)，求加的值.

34.已知拋物線y=a(尤-1了過點(diǎn)(3,1),。為拋物線的頂點(diǎn).直線/：y=履+4-4經(jīng)過定點(diǎn)A.

第18頁共97頁

(1)直接寫出拋物線的解析式和點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)如圖，直線/與拋物線交于P,。兩點(diǎn).

①求證：/尸。。=90。；

②求AP。。面積的最小值.

35.如圖，已知直線y=-x+4分另ij交x軸、y軸于點(diǎn)A、B,拋物線過y=ax?+bx+c經(jīng)過A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)

P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC^x軸于點(diǎn)C,交拋物線于點(diǎn)D.

(1)若拋物線的解析式為y=-；x2+x+4,設(shè)其頂點(diǎn)為M,其對(duì)稱軸交AB于點(diǎn)N.

①求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；

②是否存在點(diǎn)P,使四邊形MNPD為菱形？并說明理由；

(2)當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)，是否存在這樣的拋物線，使得以B、P、D為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？

若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由.

第19頁共97頁

參考答案：

1.（1）A（-1,O）,B（3,0）；

（2）0.三匣或1±叵；

22

⑶

（1）解：令/_2尤_3=0,解得：％=T,方=3,

A（-l,0）,3（3,0）.

⑵解：?；OP=OA=1,

：.P（0,l）,

直線AC的解析式為y=x+L

①若點(diǎn)。在AC下方時(shí)，

過點(diǎn)8作AC的平行線與拋物線的交點(diǎn)即為Q.

；3（3,0）,BD,//AC,

；?BA的解析式為y=x-3.

聯(lián)立二一3’

解得，占=0,X2=3（舍）.

第1頁共97頁

???點(diǎn)2的橫坐標(biāo)為o.

②若點(diǎn)。在AC上方時(shí)，點(diǎn)D,(O,-3)關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為G(o,5).

過點(diǎn)G作AC的平行線/,則/與拋物線的交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)D.

直線/的解析式為y=x+5.

y=x+5

聯(lián)立得12—3%—8=0,

y=xz—2x—3

解得，%=三普，%=言畫.

.?.點(diǎn)2的橫坐標(biāo)分別為匕曳，也畫.

22

???符合條件的點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為：0,士且或1±巫.

22

(3)

解：設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為〃.過點(diǎn)P的直線解析式為丁=丘+以

y=kx+b

聯(lián)立得兀2—（2+左）%—3—/?=0.

y=x2-2x-3

設(shè)巧，4是方程％2—(2+%)工一3—人=0兩根，貝!Jx/2=—3—6.(*)

/.xAxc=xBxE=-3-b,

??F=T，

xc=3+b,

m=3+b.

xB=3,

■x__1_^

3

,[b

??〃=-1——.

3

設(shè)直線CE的解析式為y=PX+q,

同（*）得m幾=-3-q,

/.q=—mn—3.

2

<?=-（3+Z?）|-l-||-3=1/?+2&.

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1

:.OF=-b92+2b.

3

?：OP=b,

1

???FP=-b91+b.

3

,FP1.l-?1

??=—/7?+1=—(zm-3)+1=-m.

OP333

2.(1)y=-x2+4x+5

i114

(2)b=；時(shí)，%=%;0<Z?<-,%〉％;-<b<-,

’225

(1)解：①把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得：

j0=25a+10Z?-Z?2+4&+l

[5=孑+46+1

[a=-1

解這個(gè)方程組得：7。，

I.所求二次函數(shù)的解析式為：y=-x2+4x+5；

②過。作。軸于點(diǎn)尸，交A3于點(diǎn)尸，如圖所示：

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為P，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為(p,-p2+4p+5),

0=5m+n

設(shè)直線A3的解析式為，=如+〃，把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入此解析式得:

5=n

=-1

[n=5'

直線AB的解析式為：y=-x+5,

.??點(diǎn)下的坐標(biāo)為Cp,-p+5),

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OB=5,DF=—p1+4/9+5-(-p+5)=—p2+5p,

2

..DE：DF-p+5p1(5?5

FOEOEOB5512)4,

V-1<0,

???有最大值，最大值為2.

4

(2)

*.*a=-l,

y=-x2+2bx-b2+4b+l=-Cx-b)2+4b+l,

?..頂點(diǎn)坐標(biāo)為(b,4Z?+1),

；.x=b,y=4Z7+l,

???y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=4x+l,

4

設(shè)直線y=4x+l與y軸交于點(diǎn)與直線AB交于點(diǎn)N,則點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(0,1),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(彳,

:拋物線的開口向下，頂點(diǎn)在AAOB的內(nèi)部，

???頂點(diǎn)只能在線段MN上(不含M、N)

4

；.0<6<-；

5

①如圖1,當(dāng)CD〃x軸時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸垂直平分CD,%=%，

此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸x=6=：,即：匕=1■時(shí)，%=%；

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)C離對(duì)稱軸較近時(shí)，。＜6＜；,此時(shí)必＞必；

第4頁共97頁

,止匕時(shí)

圖3

圖1圖2

3.（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,0）

⑵①8；②點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2,3)

(3)n=6-3m

(D解：把A(-L0),C(0,2)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入到＞=-；/+云+。中，得：

2

_J_X(_1)—b+c=0b--13

,2IJ,解得2,???拋物線的解析式為y=-+2,令＞=0,即

、c=2[c=222

13

。二-尤+2,解得再=-1,x2=4f.??點(diǎn)3的坐標(biāo)為(4,0)；

(2)①連接3C,CD//BE,SBDE=SBCE，VB(4,0),C(0,2),.,.O8=4,OC=2,/.SAOBD

=lx2x4=4S△皿=4,四邊形COBE的面積=S△。皿+S△皿=4+4=8則四邊形COBE的面積；8,

二

②連接OE,BC,如圖：'：CD//EB,S△DBE一冒4SACBE=89此=4,設(shè)點(diǎn)

E的坐標(biāo)為加+，"+2,SB(4,0),C(0,2),.?.08=4,

OC=2,

SAOCE+S.BE-S&OBC=S△CBE，￡“2根+Jx4?(—J根？+9機(jī)+2)—Jx2x4=4,解得仍=乃=2,當(dāng)m=2

第5頁共97頁

i3

時(shí)，y=--x22+-x2+2=3,?,?點(diǎn)￡的坐標(biāo)為(2,3)；

(3)過尸作FPJ_A尸且"uAP,作MTV〃y軸，交x軸于N,過戶作尸于：.ZM=/PNA

ZM=ZPNA

=ZFPA=90°ZFPM=90°-APN=ZNAPA\ZFPM=ZNAPZ^ANP^/\PMF,：.AN=MP=m+lf

AP=PF

NP—FM—n,.??尸點(diǎn)坐標(biāo)為(m-n,m+n+1):?設(shè)旋轉(zhuǎn)后得△尸GQ,則△ACO之△FGQ,???尸Q=AO=

(<m-njk+b=m+n+1

1,GQ=CO=2,???G點(diǎn)坐標(biāo)為(m-〃+2,加+〃)設(shè)直線廠G解析式為>=履+)則解

^m-n+2^k+b=m+n

k=-Ly=——x+—m+—n+l

2222

得???直線/G解析式為丁=龍+9m+十九+1J由,得

731113c

b=—m+—n+1y=——x2+—x+2

2222

⑶存在，r=T

⑴解：(1)將點(diǎn)A(-4,0)代入丁=-爐+心+4,

得一16—4〃+4=0,解得”=一3,

第6頁共97頁

y=-12-3%+4；

(2)

令y=0,則一%2一3%+4=0,

解得x=—4或x=l,

：.B(1,0),

令x=0,貝力=4,

：.N(0,4),

：.ON=4,OB=1,

：.tmZBNO=-

4f

如圖1,當(dāng)M點(diǎn)在AN上方時(shí)，過點(diǎn)N作N”,4V交于“點(diǎn)，過點(diǎn)”作胸，》軸交于K點(diǎn),

VA(-4,0),N(0,4),

??OA—ON,A/V=4V2，

NANO=45。，

/HNA=90。,

NHNK=45。,

：.HK=KN,

ZHAN=ZONB,

.HN1

??菽―"

:?HN=4^,

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：.KN=HK=1,

：.H(-1,5),

設(shè)直線AM的解析式為y=kx+b,

k=-

-4k+b=03

,解得

-k+b=5

3

520

y——x-----

聯(lián)立方程組'33

y=-X2-3X+4

2

解得％=-§或x=—4(舍),

250、

如圖2,當(dāng)M點(diǎn)在AN下方時(shí)，過點(diǎn)N作NG,4V交AM于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作軸交于點(diǎn)W,

???NANO=45。，ZANG=90°,

AZWG=45°,

：.NW=WG,

八，…NG

?.?tan/NAM=1-=——NG

4AN4V2

NG=C，

：.WG=WN=1,

：.G(1,3),

第8頁共97頁

3I?

則直線AM的解析式為y=|x+y,

312

v=-x2

聯(lián)立方程組"55,解得x或》=—4(舍),

y=—X2—3無+4

綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為或［m］；

(3)

存在f的值使得OP與OQ的積為定值，理由如下:

設(shè)E(e,-e2-3e+4),F(/,-/2-3/+4),

設(shè)直線BE的解析式為(x-1),

將點(diǎn)E代入y=%(尤-1),得上=—e—4,

y=-(e+4)(x-l),

令x=0,則y=e+4,

：.P(0,e+4),

：.OP=e+4,

設(shè)直線BE的解析式為y=w(x—1),

點(diǎn)尸代入y=A(x-l),得加=-/-4,

y=-(/+4)(x-l),

令x=0,則y=/+4,

???2(0,/+4),

???OQ=-f-4,

：.OP-O2=(e+4)(-/-4)=-ef-4e-4f-16,

設(shè)直線EF的解析式為y=K(%-?)-1，

y=k^x—k^—1

聯(lián)立方程組

y=_%2_3%+4

+((+3)x—k,-5—0,

c+f———3,cf——kj—5,

第9頁共97頁

OP-OQ="+4kl+l=%(/+4)+l,

當(dāng)f+4=0時(shí)，OP。。為定值，

???/=T,OPOQ=1.

5.(1)4,0,y=-x—2

(2)一|■或?■或I"；

⑶證明見解析

(D解：對(duì)拋物線與》=2爐—5%一2來說，

13

當(dāng)y=0時(shí)，—%2——%—2=0,

解得玉=4,x2=-l

由圖像可知，點(diǎn)5的橫坐標(biāo)大于0,

???點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,0),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-1,0)

當(dāng)x=0時(shí)，得y=-2,即點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,-2),

設(shè)直線3。的表達(dá)式是>=區(qū)+乩將5、。兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，得

(O=4k+b

1-2=b

k=l

解得,2

b=-2

；?直線BC的解析式為y=gx-2

故答案為：4,0；y=#2

(2)

解：由題意和(1)可知，拋物線的對(duì)稱軸為》=告1=1,設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(g，%)，

當(dāng)四邊形CBE。是平行四邊形時(shí)，

CBDES.CB=DE,

則點(diǎn)C(0,-2)向右平移4個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位到點(diǎn)B(4,0),

.??點(diǎn)D向右平移4個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位到點(diǎn)E,

-311

???點(diǎn)E坐標(biāo)是(—+4,%+2)即(—,>o+2)

第10頁共97頁

???點(diǎn)￡在拋物線上,

113911

；?點(diǎn)E坐標(biāo)是（苛，蕓），即點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是9；

282

當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，

CBEDS.CB=ED,

則點(diǎn)8（4,0）向左平移4個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位到點(diǎn)C（0,-2）,

.?.點(diǎn)D向左平移4個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位到點(diǎn)E,

35

，點(diǎn)E坐標(biāo)是（,一4,%—2）即（--,y0—2）

:點(diǎn)E在拋物線上，

y0-2=；x』昌一2T

228

.55

.?%=石

...點(diǎn)￡坐標(biāo)是（-g5,蕓39），即點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是5

2o2

當(dāng)四邊形CEBD是平行四邊形時(shí)，BC是對(duì)角線時(shí),

DBCES.DB=CE,

33

則點(diǎn)。%）向左平移5個(gè)單位到，向下平移（%+2）個(gè)單位，到點(diǎn)C（0,-2）,

3

...點(diǎn)3（4,0）向左平移萬個(gè)單位到，向下平移（Jo+2）個(gè)單位，到點(diǎn)￡（/，yE），

???點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是g

:點(diǎn)E在拋物線上，

.,_1,5、23.5.021

.?yE一一x（一）—x（一）—2=-----

22228

???點(diǎn)七的坐標(biāo)是（彳5，-221）即點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是5；；

282

綜上所述，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是或昔或g;

第11頁共97頁

解：由（1）知，直線BC的解析式為y=點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1,0）

設(shè)直線/的表達(dá)式為>=“

1

y=—x+n

2

聯(lián)立得方程組1q得％2_4%-4_2〃=0

y=—x2—x-2

22

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（X”，加），點(diǎn)N的坐標(biāo)是（/，yN）

由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得%+xN=4,xM?xN=-4-2n,

?.?點(diǎn)M、N在直線/上

.1,1,

??加=斗+〃，yN=-xN+n

設(shè)直線AM的解析式為y=k{x+bl,

fQ=_k+b

1

把點(diǎn)A、點(diǎn)“坐標(biāo)坐標(biāo)代入，并聯(lián)立得7\

1％="+瓦

解得々=勺=弋7

XM+1

即直線AM的表達(dá)式y(tǒng)=弋7尤

XM+1XM+1

令x=0,得尸”,即力=’21

%+1尤M+1

0——k，2+b?

同理，設(shè)直線期的解析式為y=+把點(diǎn)A、點(diǎn)N坐標(biāo)坐標(biāo)代入，并聯(lián)立得

yN=k2xN+b2

得瓦=h=上^

即直線即直線AN的表達(dá)式>=77工+七7

XN'1%N+1

第12頁共97頁

N

令x=0,得y="：],BPyQ="

+1uXN+1

故孫+

與+1XR+1

_%(0+1)+%(無“+1)

(%M+1)(XN+1)

+〃]國(guó)+1)+&XN+"]國(guó)+1)

xMxN+(xM+xN)+l

XMXN+\(X“+XN)+n(XM+XN)+2H

XMXN+(XM+%N)+1

?%M+%N=4,//，％N=4—2〃f

—

.?.%+I%,,4=—2HH—2x4+4〃+2〃=C2i+/4幾=。2/(1l。2力可、

-4-2n+4+1l-2nl-2n

即yP+yQ=-2

：?力+