2025年中考數(shù)學(xué)第一次模擬考試（長(zhǎng)春卷）（全解全析）

2025年中考數(shù)學(xué)第一次模擬考試（長(zhǎng)春卷）

全解全析

第I卷

一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題

目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）

1.《九章算術(shù)》中注有“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”.意思是：今有兩數(shù)若其意義相反，則分別叫做

正數(shù)和負(fù)數(shù).若升高30米記作+30米，那么-5米表示（）

A.上升5米B.下降35米C.上升25米D.下降5米

【答案】D

【分析】本題考查了具有相反意義的量，理解相反數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)具有相反意義的量求解即

可.

【詳解】解：?.?升高30米記作+30米,

???-5米表示下降5米，故D正確.

故選：D.

2.如圖是物理中經(jīng)常使用的。型磁鐵，其主視圖為（）

U

【答案】A

【分析】本題主要考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，根據(jù)主視圖是從正面看到的圖形進(jìn)行求解即可

【詳解】

解：根據(jù)三視圖的概念，可知。型磁鐵的主視圖為，

故選A.

3.下列運(yùn)算中，正確的有()

A.a1-a6=asB.(/)=x9C.(2a)3=6a3D.x6-i-x2=x3

【答案】AC

【分析】本題考查了塞的相關(guān)運(yùn)算，涉及了同底數(shù)塞的乘除法、積的乘方，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：/"6=/+6=〃，故A正確；

(X3)2=X3X2=X6,故B錯(cuò)誤；

(2a)=8a3,故C錯(cuò)誤；

X6-J-X2=X6-2=X4,故D錯(cuò)誤；

故選:A

4.長(zhǎng)春南溪濕地公園總占地面積約為3100000平方米.3100000這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為()

A.3.1xl05B.3.1xl06C.0.31X107D.3.1xl07

【答案】B

【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法，關(guān)鍵是理解運(yùn)用科學(xué)記數(shù)法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為4X10"的形式，其

中1W忖＜10,"為整數(shù).確定"的值時(shí)，要看把原數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小

數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，據(jù)此求解即可.

【詳解】3100000這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為3.1X106.

故選：B.

5.根據(jù)圖中作圖痕跡進(jìn)行判斷，下列說(shuō)法一定正確的是()

B.OC平分

C.MV垂直平分線段OCD.構(gòu)造AMOCGANOC的依據(jù)是SAS

【答案】B

【分析】本題考查尺規(guī)作圖一作角平分線，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)作圖得到OM=ON,MC=NC,

結(jié)合OC=OC,推出AMOC也ANOC,進(jìn)而得到440c=Z8OC,得到OC平分進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：由作圖可知：OM=ON,MC=NC,

OC=OC,

.MMOC%NOC(SSS),

ZAOC=NBOC,

.?.OC平分N/OB；

無(wú)法得到MN=NC,MN垂直平分線段OC；

故只有選項(xiàng)B正確；

故選B.

6.如圖，以正六邊形48CDM的48邊向內(nèi)作一個(gè)長(zhǎng)方形連接BE交GH于點(diǎn)、I,則N3/G=()

【答案】B

【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和定理、正多邊形的軸對(duì)稱性質(zhì).利用正六邊形的軸對(duì)稱性質(zhì)，可得

/ABE=NCBE,然后根據(jù)正多邊形內(nèi)角的求法，可得出443E=60。，再根據(jù)長(zhǎng)方形對(duì)邊平行的特點(diǎn)可得

AB〃GH,利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求解.

【詳解】解：由正六邊形/8CDE尸的軸對(duì)稱性質(zhì)可知，3E為對(duì)稱軸，

ZABE=ZCBE,

由多邊形的內(nèi)角和定理可求得：伍一2)xl8?！?120。,

6

.?./ABE=/CBE=-NABC=60°,

2

由長(zhǎng)方形484G的性質(zhì)可知，AB〃GH,

???N8/G=180°-/ABE=120°.

故選：B.

7.如圖是冬奧會(huì)首鋼滑雪大跳臺(tái)賽道的剖面圖，剖面圖的一部分可抽象為線段已知坡長(zhǎng)48為加米,

【答案】B

【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而計(jì)算得出答案.

A/-/AH

【詳解】解：由題意可得：sin?=—=—,

ABm

則坡/8的鉛垂高度///為///=僅$111￡（米）.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，合理選擇三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、8在函數(shù)y=：（后>0,x>0）的圖象上，分別以A、2為圓心，1為

半徑作圓，當(dāng)。/與x軸相切、。臺(tái)與V軸相切時(shí)，連結(jié)48,AB=4①，貝蛛的值為（）

【答案】C

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用.依據(jù)題意，可得/（左/），B（l,k）,再由/8=4加,

從而2（左-Ip=32,進(jìn)而得解.

【詳解】解：由題意，得稱1）,B（l,k）.

?「AB=472，

???由兩點(diǎn)距離公式可得：2（后-1）2=32.

(fc-1)2=16.

=-3或5.

又左>0,

:.k=5.

故選：C.

第n卷

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）

9.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)（-1,3）在第象限.

【答案】二

【分析】根據(jù)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)，進(jìn)行判斷即可得出答案.

本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，記住各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)是解本題的關(guān)鍵.四個(gè)象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)特點(diǎn)分別

是：第一象限（正，正）；第二象限（負(fù)，正）；第三象限（負(fù)，負(fù)）；第四象限（正，負(fù)）.

【詳解】解：???一1<0,3>0,

???點(diǎn)（T3）在第二象限.

故答案為：二

10.若每支中性筆3元，則購(gòu)買(mǎi)機(jī)支中性筆需元.

【答案】3m

【分析】本題考查了列代數(shù)式，根據(jù)題意列出代數(shù)式即可求解，理解題意是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意得

購(gòu)買(mǎi)加支中性筆需3加元，

故答案為：3m.

11.分解因式：中-x=.

【答案】x（y-l）

【分析】利用提取公因式法分解即可.

本題考查了因式分解，熟練掌握提取公因式法分解因式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：xy-x=x{y-\）.

故答案為：x（y-l）.

12.如果關(guān)于工的一元二次方程辦2+反-1=0的一個(gè)解是工=1,則2025-a-b=.

【答案】2024

【分析】本題主要考查了一元二次方程解的定義，根據(jù)一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)

的值，把x=l代入原方程求出。+6=1,據(jù)此利用整體代入法求解即可.

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程辦2+6無(wú)-1=0的一個(gè)解是尤=1,

.?.把x=1代入爾+6x-l=0中得：.+6-1=0,

a+6=1,

2025-a-6=2025-（。+6）=2025-1=2024,

故答案為：2024.

13.如圖，己知零件的外徑為acm,現(xiàn)用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長(zhǎng)/C和5D相等）測(cè)量零件的內(nèi)孔直徑

AB.如果。4:。。=。8:。。=3,且量得CD=5cm,則48為.cm.

【答案】15

【分析】本題考查相似三角形的實(shí)際應(yīng)用，證明即可.

【詳解】解：???。/：。。=。8：。。=3,NCOD=NAOB,

:.ACODSAAOB,

AB:CD=3,

CD=5cm,

AB=15cm,

故答案為：15.

14.如圖，在正方形48c中，48=1,把正方形/BCD繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到正方形/B'C'。'，其中

點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑為弧CC',則圖中陰影部分的面積為

DC

【答案】，2+五

【分析】連接CD,BC',根據(jù)正方形性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得/C4C'=/D4C=/C'OB=/COD'=45。，計(jì)算得

到/C,。'的長(zhǎng)，求出J”。和邑?0,利用扇形面積公式減上述兩三角形面積即可.

【詳解】解：連接CZ)',8C',如圖

由正方形性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，NC4C'=ADAC=ZC'OB=ZCOD'=45°,

4。',C在同一條直線上，4民C'在同一條直線上，

?.?四邊形N2CD為正方形，AB=1,

AC=>/2，ADf=1

；?CD，=DO=?-1，

則反⑺。=；8'?GT=；x(血一,

那么圖中陰影部分的面積為45,萬(wàn)(a)3-2痣、」.6

360224

故答案為：:-2+加.

4

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、勾股定理和扇形面積公式，熟練掌握旋轉(zhuǎn)性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

三、解答題(本大題共10個(gè)小題，共78分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

15.（本題6分）先化簡(jiǎn)，再求值：1一紇1+上二L,其中a=2.

aa+2a

【答案】-----,--

。+13

【分析】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵；先根據(jù)分式的加減乘除運(yùn)行

進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再代值求解即可.

（2—1〃（a+2）

【詳解】解：原式=1—XI，

a+2

=1-------

a+1

_1

Q+1

當(dāng)。=2時(shí)，貝握式=-上=二.

2+13

16.（本題6分）如圖所示，小明繪制了一個(gè)安全用電的標(biāo)識(shí)，點(diǎn)4F、C、。在同一條直線上，且

AF=DC,BC=EF,BC\\EF.若Z8=84°,求一E的度數(shù).

4A

n

D

【答案】/￡=84°

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定,證明△&C絲得出NE=NB,即可求解;

【詳解】證明：???BC〃所，

ZACB=ZDFE；

又：AF=DC,

AF+FC=CD+FC,

：.AC=DF；

在與AZJEF中，

EF=BC

<NACB=ZDFE,

DF=AC

AABC^DEF(SAS)；

ZE=NB=84°.

17.（本題6分）長(zhǎng)春北湖國(guó)家濕地公園是以自然生態(tài)、科普教育、休閑娛樂(lè)為主要功能的大型濕地公園,

公園內(nèi)“湖水泛金波，飛鳥(niǎo)映霞光”，呈現(xiàn)出一派人與自然和諧共生的景象.小力和小旺約定本周日從學(xué)校出

發(fā)，騎行去長(zhǎng)春北湖濕地公園游玩.已知從學(xué)校到長(zhǎng)春北湖濕地公園的騎行路線有工、5、C三條，小力和

小旺各自隨機(jī)選擇一條騎行路線，求兩人恰好選擇同一條路線的概率.

【分析】此題考查了用樹(shù)狀圖法或列表法求概率.樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適

合兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.用樹(shù)狀圖法得到所有

等可能的結(jié)果，然后找出符合條件的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式求解即可.

【詳解】解：畫(huà)樹(shù)狀圖為：

開(kāi)始

共有9種等可能的結(jié)果，其中兩人恰好選擇同一條路線的結(jié)果數(shù)為3種，

31

所以兩人恰好選擇同一條路線的概率=§=§.

18.（本題7分）某人從吉林驅(qū)車(chē)趕往長(zhǎng)春共用2小時(shí)，吉林至長(zhǎng)春全程為120km,全程分為公路和市區(qū)道

路兩部分，在公路上行駛的平均速度為80km/h,在市區(qū)道路上行駛的平均速度為40km/h.根據(jù)題意，甲、

乙兩名同學(xué)分別列出的方程組一部分如下:

x+y=12080x+40y=[]

甲：，xy乙：,

---1---=□

〔8040

(1)請(qǐng)你在方框中補(bǔ)全甲、乙兩名同學(xué)所列的方程組;

(2)求這個(gè)人在公路上驅(qū)車(chē)行駛的時(shí)間.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)這個(gè)人在公路上驅(qū)車(chē)行駛的時(shí)間為lh.

【分析】(1)甲設(shè)公路長(zhǎng)xkm,市區(qū)道路長(zhǎng)ykm,根據(jù)題意列出方程組；乙設(shè)公路行駛xh,市區(qū)道路行駛

油，根據(jù)題意列出方程組即可;

(2)設(shè)公路行駛xh,市區(qū)道路行駛舛，列出二元一次方程組，解之即可.

【詳解】(1)解：甲設(shè)公路長(zhǎng)xkm,市區(qū)道路長(zhǎng)處m,

x+y=120

根據(jù)題意得XXC

〔8040

乙設(shè)公路行駛xh,市區(qū)道路行駛跡，

80x+40j=120

根據(jù)題意得

x+y=2

(2)解：設(shè)公路行駛xh,市區(qū)道路行駛地,

80x+40y=120?

根據(jù)題意得

x+y-2②

①一②x40得40x=120-80,

解得x=l,

將x=l代入②，得1+>=2,

解得夕=1，

[x=l

"1^=1'

答：這個(gè)人在公路上驅(qū)車(chē)行駛的時(shí)間為lh.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是，讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等

量關(guān)系，列出方程組.

19.(本題7分)圖①、圖②、圖③均是5x5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，每個(gè)小正方

形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A、8均在格點(diǎn)上.只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按下列要求畫(huà)圖，所畫(huà)圖形的

頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上且不全等，不要求寫(xiě)畫(huà)法.

圖③

(1)在圖①中以線段42為邊畫(huà)一個(gè)平行四邊形.

(2)在圖②中以線段為邊畫(huà)一個(gè)正方形.

(3)在圖③中以線段48為邊畫(huà)一個(gè)菱形.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

(3)見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)畫(huà)圖即可；

(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)畫(huà)圖即可；

(3)根據(jù)菱形的性質(zhì)畫(huà)圖即可.

【詳解】(1)解：如圖①所示，平行四邊形/8CD即為所求;

(2)如圖②所示，正方形/8CZ)即為所求;

（3）如圖③所示，菱形N2CD即為所求;

圖③

【點(diǎn)睛】本題考查作圖--應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題.

20.（本題7分）某校舉辦“學(xué)生講堂”，八年級(jí)為了選出一位同學(xué)代表年級(jí)參賽，先后進(jìn)行了筆試和面試.在

筆試中，甲、乙、丙三位同學(xué)脫穎而出，他們的筆試成績(jī)（滿分100分）分別是95分，94分，88分.在

面試中，十位評(píng)委對(duì)甲、乙、丙三位同學(xué)的表現(xiàn)進(jìn)行打分，每位評(píng)委最高打10分，面試成績(jī)等于十位評(píng)委

打分之和.對(duì)甲、乙、丙三位同學(xué)的面試數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析，下面給出了部分信息.

信息一：評(píng)委給甲同學(xué)打分的條形統(tǒng)計(jì)圖：

信息二：評(píng)委給乙、丙兩位同學(xué)打分的折線統(tǒng)計(jì)圖:

個(gè)評(píng)委打分/分

°12345678910評(píng)委編號(hào)

信息三：甲、乙、丙三位同學(xué)面試情況統(tǒng)計(jì)表：

同學(xué)面試成績(jī)?cè)u(píng)委打分的中位數(shù)評(píng)委打分的眾數(shù)

甲788n

乙86910

丙87m8

根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：

(1)填空：m=分，〃=分；

(2)在面試中，如果評(píng)委給某位同學(xué)的打分的方差越小，則認(rèn)為評(píng)委對(duì)該同學(xué)面試的評(píng)價(jià)越一致.據(jù)此推斷:

甲、乙、丙三位同學(xué)中，評(píng)委對(duì)的評(píng)價(jià)更一致(填“甲”、“乙”或"丙”)；

(3)按筆試成績(jī)占40%,面試成績(jī)占60%確定甲、乙、丙三位同學(xué)的綜合成績(jī)，綜合成績(jī)最高者將代表年級(jí)

參賽，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算確定參賽同學(xué).

【答案】(1)8.5,8

⑵丙

⑶乙

【分析】本題考查折線統(tǒng)計(jì)圖，條形統(tǒng)計(jì)圖，中位數(shù)、眾數(shù)、方差以及加權(quán)平均數(shù)，理解中位數(shù)、方差的

意義和計(jì)算方法是正確解答的前提.

(1)根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義可得答案；

(2)根據(jù)方差的意義解答即可；

(3)根據(jù)加權(quán)平均數(shù)公式計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：把丙的得分從小到大排列，排在中間的兩個(gè)數(shù)分別是8,9,故中位數(shù)加=簽=8.5,

由條形統(tǒng)計(jì)圖可知甲的得分的最多的是8分，故眾數(shù)〃=8；

故答案為：8.5,8；

(2)由題意可知，甲的數(shù)據(jù)在5和10之間波動(dòng)，乙的數(shù)據(jù)在6和10之間波動(dòng)，丙的數(shù)據(jù)在8和10之間

波動(dòng)，所以評(píng)委對(duì)丙同學(xué)的評(píng)價(jià)更一致；

故答案為：丙；

（3）甲的綜合成績(jī)?yōu)椋?5x40%+78x60%=84.8（分），

乙的綜合成績(jī)?yōu)椋?4x40%+86x60%=89.2（分），

丙的綜合成績(jī)?yōu)椋?8x40%+87x60%=87.4（分），

89.2>87,4>84,8,

所以綜合成績(jī)最高的是乙.

故答案為：乙.

21.（本題8分）【問(wèn)題背景】

小明家最近購(gòu)入一輛新能源汽車(chē)，為了解汽車(chē)電池需要多久能充滿，以及充滿電量狀態(tài)下電動(dòng)汽車(chē)的最大

行駛里程，小明和爸爸媽媽做了兩組實(shí)驗(yàn).

實(shí)驗(yàn)一：探究電池充電狀態(tài)下電動(dòng)汽車(chē)儀表盤(pán)增加的電量了（%）與時(shí)間t（分鐘）的關(guān)系，數(shù)據(jù)記錄如表

實(shí)驗(yàn)二：探究充滿電量狀態(tài)下電動(dòng)汽車(chē)行駛過(guò)程中儀表盤(pán)顯示電量e（%）與行駛里程s（千米）的關(guān)系,

數(shù)據(jù)記錄如圖2：

汽車(chē)行駛過(guò)程中

e/%，、

100-

-----?

80—-4—-?

60-----------?

■???

：：

40-!???

???

：

20-??!?!

???

~O-40801201602005/km

【建立模型】觀察表1、圖2發(fā)現(xiàn)都是一次函數(shù)模型，請(qǐng)結(jié)合表1、圖2的數(shù)據(jù)，

（1）了關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為；

（2）當(dāng)汽車(chē)充滿電的情況下，行駛180千米，此時(shí)儀表盤(pán)顯示的電量e是多少？

【解決問(wèn)題】

(3)小明家自駕新能源汽車(chē)從長(zhǎng)春出發(fā)去沈陽(yáng)的遼寧體育館觀看CBA聯(lián)賽，全程400千米，汽車(chē)在充滿電

量的狀態(tài)下出發(fā)，若電動(dòng)汽車(chē)行駛240千米后，在途中的鐵嶺服務(wù)區(qū)充電，一次性充電若干時(shí)間后繼續(xù)行

駛，且到達(dá)目的地后新能源汽車(chē)儀表盤(pán)顯示電量e=30,則新能源汽車(chē)在服務(wù)區(qū)充電分鐘.

【答案】(1)了與/的函數(shù)表達(dá)式為'=/

(2)此時(shí)儀表盤(pán)顯示的電量是55%

(3)30

【分析】此題考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，掌握待定系數(shù)法及求函數(shù)值是解題的關(guān)鍵:

(1)設(shè)＞=〃+6,利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)設(shè)6=儂+〃，利用待定系數(shù)法求出e=-45s+100,將s=180代入求出函數(shù)值即可；

(3)分別求出前后路程需消耗的電量，假設(shè)充電f分鐘，應(yīng)增加電量為4=%=/,由此列方程求解.

【詳解】解：(1)^y=kt+b,將(30,30),(10,10)代入，得

J30左+8=30

\10k+b=lQ'

??J關(guān)于/的函數(shù)表達(dá)式為y=：,

故答案為v=

(2)設(shè)e=my+〃,將(80,80),(160,60)代入,

(S0m+n=80

得/八乙八，

[160加+〃=60

1

解得J4,

n=100

€=5+100.

4

當(dāng)s=180時(shí)，e=—!-X180+100=55,

4

當(dāng)汽車(chē)充滿電的情況下，行駛180千米，此時(shí)儀表盤(pán)顯示的電量是55%；

(3)當(dāng)s=24。時(shí)，e=—x240+100=40,

4

未充電前電量顯示為40%,

假設(shè)充電f分鐘，應(yīng)增加電量為

再次出發(fā)時(shí)電量是=q+e2=40+/,

走完剩下的路程為400-240=160（km）,故=-；xl60+100=60,

???需消耗的電量為40%

/.30=%—Q=40+/—40,

解得￡=30,

故答案為30.

22.（本題9分）小明在學(xué)習(xí)《圖形的平移與旋轉(zhuǎn)》時(shí)，認(rèn)識(shí)了共頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰三角形特性，并發(fā)現(xiàn)它在

如圖1,在ZUBC中，AB=AC,/8ZC=a,點(diǎn)。在線段2c上，以點(diǎn)/為中心，將線段4D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a

得到線段4E,連接BE,DE.

【問(wèn)題分析】

（1）如圖1,小明通過(guò)審題發(fā)現(xiàn)△/BC和△皿）為共頂點(diǎn)/的等腰三角形，這是老師經(jīng)常提及的，由

/B4C=/EAD=a可得NE4B=/D4C,因?yàn)锳B=/C,AD=AE,可證明：△AEB%AADC,利用角的

等量關(guān)系進(jìn)一步推導(dǎo)出：NEBC=（用含a的式子表示）

【靈活應(yīng)用】

小明發(fā)現(xiàn)利用上述結(jié)論可將題目中分散的條件集中到某一處，從而快速找到解決問(wèn)題的線索.

（2）如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4（0,3）在y軸上，以。4為邊向右側(cè)作等邊△Q43,點(diǎn)。為x軸正半

軸的動(dòng)點(diǎn)，以/D為邊向右側(cè)作等邊△40E,直線班交y軸于點(diǎn)E當(dāng)點(diǎn)。在x軸的正半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)尸

的坐標(biāo)是否變化.若不變，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【拓展延伸】

（3）如圖3,在菱形/BCD中，ZA8C=60。，點(diǎn)尸在線段AD的延長(zhǎng)線上，以的為邊作等邊△川?￡（4

P、E三個(gè)頂點(diǎn)按照逆時(shí)針排列），連接8E,若AB=2陋,BE=2曬,求以/,P,E,。為頂點(diǎn)的四邊形

的面積.

【答案】（1）180°-?；（2）結(jié)論：點(diǎn)尸的坐標(biāo)不變，尸（0，-3）.理由見(jiàn)解析；（3）班.

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、

勾股定理、圖形的面積等知識(shí)點(diǎn)，正確的作出所需要的輔助線，將菱形的性質(zhì)與三角形全等的條件聯(lián)系起

來(lái)成為解題的關(guān)鍵.

（1）先證明“即空A/DC（SAS）,推出43E=/C,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可

得NABC=ZC=1（180°-?）,最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可解答；

（2）結(jié)論：點(diǎn)P的坐標(biāo)不變，F(xiàn)（0,-2）.證明即也A/OC（SAS）,推出N4BE=乙4。。=90。，再求出

AF,可得結(jié)論；

（3）如圖：連接NC交8。于點(diǎn)。，由/8CE=90。，根據(jù)勾股定理求出CE的長(zhǎng)即得到8P的長(zhǎng)，再求

AO、P0、尸。的長(zhǎng)及等邊三角形4PE的邊長(zhǎng)，可求得和A/PE的面積，進(jìn)而求得四邊形如陽(yáng)的面

積.

【詳解】解：（1）???/B4C=NEAD=a,

ZEAB=ZDAC,

在AAEB和AADC中，

'AE=AD

<AEAB=ADAC,

AB=AC

AAEB^AADC（SAS）,

；"ABE=AC,

■：AB=AC,

ZABC=ZC=1（180°-?）,

ZEBC=NEBA+ZABC=2/C=180°-a.

故答案為：180°-a.

（2）結(jié)論：點(diǎn)尸的坐標(biāo)不變，F(xiàn)（0,-3）.理由如下：

理由：???△皿都是等邊三角形，

NBAO=ZEAD=60°,

/.ZEAB=ZOAD,

在△4E3和△CM。中，

AE=AD

<ZEAB=ADAC,

AB=AO

碘也△/Z)O(SAS),

.?./ABE=ZAOD=90°,

OA=AB=3,

???/ZFB=90。-60。=30°,

/.AF=2AB=6,

.'.OF=AF-AO=6-3=3f

.?.尸(0,-3).

(3)如圖，如圖：連接/C交3。于點(diǎn)O,連接CE,作所，4P于尸,

???四邊形是菱形，

/.AC1BD,BD平分N4BC,

-ZABC=60°,AB=20

??.NABO=30。,

AO==AB=0OB=舊。=3,

2

BD=6,

由(2)知C￡，4D,

???AD//BC,

；.CELBC,

BE=2y/19,BC=AB=243,

-CE=^（2719）2-（2V3）2=8,

由（2）知AP=CE=8,

DP=2,

二0尸=5,

??.”=昌3=2近,PF=^AP=41,

V/\APE是等邊三角形，

；.EF=CPF=5,

S四邊形40PE-S&ADP+SuPE，

...S如E+尸=Jx2xVi+；x2V7x0T=85

???四邊形的面積是&/§.

23.(本題10分)如圖①，矩形地CD與RME尸G疊放在一起(點(diǎn)。，C分別與點(diǎn)G,尸重合，點(diǎn)E落在

對(duì)角線BD上)，己知48=15cm,AD=20cm,/GEF=90°.如圖②，A￡FG從圖①的位置出發(fā)，沿DB

方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為Icm/s；動(dòng)點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，沿力D方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；設(shè)它們的運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為/小)(0</<10),連接尸E.解答下列問(wèn)題:

⑴求EG的長(zhǎng);

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)。在線段PE的垂直平分線上?

7

(3)是否存在某一時(shí)刻/,使得AOPE的面積是矩形/BCD面積的玄？若存在，求出，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由;

(4)如圖③，點(diǎn)片是點(diǎn)尸關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)，連接片尸，GP,當(dāng)，為何值時(shí)，片尸+PG的值最??？

【答案】(1)EG=9；

11

(2)1s；

(3)t=5s；

70

(“亍

【分析】(1)可證得ABCDSAFEG,從而得出￡=4?，進(jìn)而得出EG=9；

(2)根據(jù)點(diǎn)。在線段PE的垂直平分線上得出=從而20-2t=9+f,從而求得結(jié)果；

(3)過(guò)E作E7/_L4D于〃，可得出AEDHSABD4,從而得出黑=等，求得￡￡=卓史，根據(jù)ADPE

7

的面積是矩形438面積的左列方程求解，得出結(jié)果；

(4)連接尸G,可推出當(dāng)G,P,片共線時(shí)，GP+PG的值最小，連接4F；,CF,設(shè)助交4。于。，作

于。，作CK_L8O于K,可推出//40=90。，AFX=EH=BD-DK-EK-BH=25-9-9-t=1-t,從而

得出A"GSADPG.利用相似三角形的性質(zhì)即可得解.

【詳解】（1）解：???四邊形WCD是矩形，

CD=AB=15cm,BC=AD=20cm,ZBCD=90°

BD=yjBC2+CD2=25（cm），

???ZGEF=/BCD=90°,ZCDB=ZEGF

???ABCDS^FEG,

GFEG

,?茄一而‘

15EG

,,一，

2515

EG=9；

（2）解：??,點(diǎn)少在線段收的垂直平分線上，

DP=DE,

AD=20cm,AP=2/cm,

DP=（20-2z）cm,

-DE=（9+%）cm,

???20—2/=9+￡，

解得x=T，

故當(dāng)t為，S時(shí)，點(diǎn)。在線段尸E的垂直平分線上；

7

(3)解：存在％的值，使得△OPE的面積是矩形"CD面積的n,理由如下:

如圖1,過(guò)E作于H,

???/BAD=NEHD=90。，

??.EH//AB,

???AEDHS^BDA.

EHDE

"AB-BD

EH_9+t

.m2

5

7

???2PE的面積是矩形48co面積的—,

17

;.一PDEH=——xABAD,

250

1/__\27+3/7

一（20—2%）------——x15x20,

2'7550

解得/=5(負(fù)值舍去)，

一一7

.?.當(dāng)/=5s時(shí)，△。尸E的面積是矩形/BCD面積的二,

(4)解：如圖2-1,連接/G,

,?,點(diǎn)F是點(diǎn)居關(guān)于80的對(duì)稱點(diǎn),

.-.^0=GF=15,

?:PF\+PGNGF\,

???當(dāng)G,P,片共線時(shí)，耳尸+PG的值最小,

如圖2-2,連接//，CF,設(shè)W交2D于。，作于。，作CK18O于K,

由⑴知，DK=EF=9,DK±EF,

同理可得，AH=9,

???點(diǎn)F是點(diǎn)與關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn),

EF=EK=9,

EFi=AH,

EFJ/AH,

二四邊形/呻是平行四邊形

???ZAHE=90°

二四邊形//孫是矩形，

ZAFfi=90°,AF[=EH=BD-DK-EK-BH=25-9-9-t=7-t,AR〃EH

.MAPF'SADPG,

AFX_AP

,?而一而‘

7T2t

''^T~2Q-2t"

70

t=—.

17

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，解

決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線表示出關(guān)鍵的數(shù)量.

24.(本題12分)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線了=苫2-2光-3與x軸交于點(diǎn)4,2(點(diǎn)/在點(diǎn)8的左側(cè))，

與y軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)尸(％”)拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求△/BC