2025浙江中考數學專項復習：尺規(guī)作圖分類訓練（含答案詳解）

題型08尺規(guī)作圖分類訓練

題型歸納

【類型1確定圓心】...........................................................................1

【類型2作線段】.............................................................................7

【類型3作角】..............................................................................13

【類型4作三角形】..........................................................................19

【類型5作角平分線】........................................................................25

【類型6作垂線】............................................................................31

【類型7作等腰三角形】......................................................................37

【類型8畫圓】..............................................................................43

【類型9過圓外一點作圓的切線】.............................................................49

A類型1確定圓心

1.（2024?浙江杭州?二模）如圖，在6x6的正方形網格圖中，小正方形的邊長都為1,VABC的頂點都在格

點上，在該網格圖中只用無刻度的直尺作圖，保留作圖痕跡.

⑴在線段AC上畫出點。，使

⑵畫出VABC的外接圓圓心0,并連接OB,OC,求弧BC的長

【答案】⑴見解析

（2）石兀

【分析】本題考查三角形外接圓、勾股定理，求弧長，相似三角形的性質與判定，

（1）取格點。使得45=2,根據勾股定理求得兩個三角形的邊長，進而根據三邊對應成比例即可求解；

（2）找到AB,AC的垂直平分線的交點0,勾股定理的逆定理求得ABOC為直角三角形，進而根據弧長公式,

即可求解.

【詳解】（1）解：如圖所示，取格點D使得AD=2,

SAD=2,AB=2j2,BD=2s/5,

AB=2V2,AC=4,BC=2A/T0,

ADAB_BD_1

回行=就=就=正

0△ABDs^ACB

(2)解：如圖所示：點。即為所求;

連接CM,

回ABCM為直角三角形，BM=6,CM=2,

0BC=V62+22=2A/10.

又OB=A/22+42=2A/5=OC

^OB2+OC2=BC2

EZBOC=90°

回/=7TX2=y/Sjl

BC180

2.（2024?吉林長春?三模）圖①、圖②、圖③中每個小正方形的頂點稱為格點，圖中點A、B、C、D、E、

F、G分別是圓上的格點，僅用無刻度直尺，分別確定圖①、圖②、圖③中的圓心。（保留適當的作圖痕

跡）

A.D

圖①圖②圖③

【答案】見解析

【分析】本題考查了直角所對的弦是直徑，根據圓周角定理確定兩條直徑，進而即可求解.

僅用無刻度的直尺在給定的網格中完成畫圖（兩題都要保留作圖痕跡）.

（1）找出VABC的外接圓的圓心。，并求A5C的長.

⑵在圓上找點。，使得CB=CD.

【答案】⑴圖形見解析，ABC=3；

2

⑵見解析.

【分析】本題考查三角形的外接圓、弧長公式和圓的性質，

（1）根據外接圓圓心是三角形三邊垂直平分線的交點即可找到圓心。；

（2）作直線￡＞萬平行AC,交圓于點。和E,得到等腰梯形ACDE,從而得到AE=￡）C=2,再根據3c=2,

即可得到點。即所求點.

【詳解】（1）解：如圖點。就是所求作的圓心，

團半徑OA=Jl+4=占,AC=7i+9=Vw>

0AC2=OA2+OC2,

0ZAOC=9O°,

同4M90義2nx小75

回ABC=----------=7；

3602

（2）解：如圖，作直線DE平行AC,交圓于點D和E,

得到等腰梯形ACDE

可得AE=DC=2,

從而BC=￡>C=2.

4.（2024?吉林長春?三模）將邊長為2的小正方形A8CC和邊長為4的大正方形EEGH如圖擺放，使得C、

E兩點剛好重合，且8、C、H三點共線，此時經過A、F、G三點作一個圓，則該圓的半徑為.

【答案】2H

【分析】本題考查確定圓的圓心，由題意可知，AB=BC=2,CF=S=HG=4,取C”的中點。，連接（M,

OF,OG,由勾股定理可得OA=O尸=OG=26，可知點。為A、F、G三點所作圓的圓心，進而可得答案.

【詳解】解：由題意可知，AB=BC=2,CF=CH=HG=4,

取CH的中點0,則OC=O/f=2,05=4,

連接。4,OF,OG,

由勾股定理可得：OA=\IAB2+OB2=2A/5>OF=OG=2y[5,

QOA=OF=OG,

即：點。為A、F、G三點所作圓的圓心，

則該圓的半徑為26，

故答案為：2層.

5.（2024?湖北宜昌?模擬預測）如圖，在5x5的正方形網格中，點A,B,C都在小正方形的頂點上,

條圓弧經過A,B,C三點.

⑴請你確定這條圓弧所在圓的圓心。；連接。4,OC,則-4OC的度數為二

（2）設最小正方形的邊長為1,求AC的長（結果保留根號）.

【答案】（1）見解析，ZAOC=90°

⑵旦

2

【分析】本題主要考查了線段的垂直平分線的性質、勾股定理、圓心的缺點等知識，正確確定圓心是解題

的關鍵.

（1）線段A3、線段BC的垂直平分線的交點即為圓心。.圖中點。即為所求.易知AAEO絲AOHC,即可

推出，AOC=90。；

（2）利用弧長公式計算即可解答.

【詳解】（1）解：線段AB、線段BC的垂直平分線的交點即為圓心O.圖中點。即為所求.

0AC2=1O,AO2=5,BO2=5,

0AC2=AO2+BO2,

回△AOC是直角三角形，

回/AOC=90°.

故答案為:90°.

(2)解：在Rt^AOC中，

0OA=OC=A/5,ZAOC=90°,

0AC的弧長=9°"x>=叵兀.

1802

6.（2024?廣東深圳?模擬預測）在平面內，將一個多邊形先繞自身的頂點A旋轉一個角度。（?！悖?。＜180。），

再將旋轉后的多邊形以點A為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應線段的比為左，稱這種變

換為自旋轉位似變換.若順時針旋轉，記作7（4順6㈤；若逆時針旋轉，記作T（A,逆6㈤.

例如：如圖①，先將VABC繞點B逆時針旋轉50。，得到VABC|,再將VARG以點B為位似中心縮小到原

來的得到AABC?,這個變換記作T（民逆50。,；）.

⑴如圖②，VA5C經過T（C,順60。,2）得到44?。，用尺規(guī)作出△A'8'C.（保留作圖痕跡）

（2）如圖③，VABC經過T（民逆。就）得到△EBD,VABC經過T（C,順/7,初得到△FDC,連接AE,AF.求

證：四邊形AFDE是平行四邊形.

(3汝口圖④，在VABC中，ZA=150°,AB=2,AC=1.若VABC經過(2)中的變換得到的四邊形AFDE是

正方形，請直接寫出AE的長.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

⑶AE=^

3

【分析】(1)旋轉60。,可作等邊三角形D3C,ACE,從而得出8點和點A對應點O,E進而作出圖形；

(2)根據△￡?￡)和VABC位似，△FDC與VABC位似得出/￡BD=NABC,—,g=段，進而推

ABBCCDBC

APAB

出AEBASADBC,從而=進而得出AE=D尸，同理可得：DE=AF,從而推出四邊形AFDE是平

CDBC

行四邊形；

(3)要使口A/Z組是正方形，應使/E4F=90。，AE=AF,從而得出44￡+/砥。=270。-的。=120。，從

而得出NZ汨C+NDCB=120。，從而NBDC=60。，于是作等邊A3CG,保證ZBDC=NG=60。，作直徑BO,

保證2cD,這樣得出作法.并求出AE的長.

【詳解】(1)解：如圖1,

1.以3為圓心，BC為半徑畫弧，以C為圓心，3C為半徑畫弧，兩弧在BC的上方交于點。，分別以A,

C為圓心，以AC為半徑畫弧，兩弧交于點E,

2.延長CD至使DB'=CD,延長CE1至A,使A'E=CE,連接AE,

則△A'3'C就是求作的三角形;

(2)證明：E14EBD和VABC位似，△陽C與VABC位似,

r/en/5八BEBDDFAB

BZEBD=ZABC,—=—,—,

ABBCCDBC

SZEBA^ZDBC,

0AEBA^QBC,

AEAB

0-----------,

CDBC

^AEDF

團---=----,

CDCD

^\AE=DF,

同理可得：DE=AF,

0四邊形AFDE是平行四邊形;

（3）解：如圖2,

圖2

證明：由上知：AEB—ADBC,AFACSQBC,

AEAB2AFAC1

0NBAE=NDCB,NFAC=/DBC,

CD-BC-BC；BD-BC-BC

0ZBAE+ZFAC=NDCB+ZDBC,

要使oAMJE是正方形，應使NE4F=90。，AE=AF,

0ZBAE+AFAC+ABAC=T1Q°,BD=2CD,

SZBAE+ZFAC=270°-ABAC=270°-150°=120°,

0NDBC+ZDCB=120°,

0ZBDC=60°,

回作等邊ABCG,保證ZBDC=NG=60。，作直徑30,保證皮＞=2CD,這樣得出作法；

0ZABE=ZDBC=3O°,NEAB=NBCD=90°,AB=2,

回AE=—AB=亟.

33

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，相似三角形的判定和性質，圖形的位似，圓周角定理，確定圓的

條件，尺規(guī)作圖，平行四邊形的判定與性質，正方形的判定與性質，解直角三角形等知識，熟練掌握以上

知識點是解決問題的關鍵，需要較強的分析能力.

A類型2作線段

7.（2024?廣東?模擬預測）如圖，在等邊VA5C中，AD為BC邊上的高.

⑴實踐與操作：利用尺規(guī)，以CD為邊在CD下方作等邊ACDE,延長ED交AB于點M；（要求：尺規(guī)作圖

并保留作圖痕跡、不寫作法，標明字母)

(2)應用與證明：在(1)的條件下，證明=

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】本題考查了作線段，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質等知識.熟練掌握作線

段，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.

(1)如圖，分別以C、。為圓心，的長為半徑畫弧，交點為E,連接CE、DE,則等邊ACDE即為所作，

延長交A5于點點M即為所作；

(2)證明絲△￡￡￡)(ASA),進而可證CE=3M.

【詳解】(1)解:如圖，分別以C、。為圓心，CD的長為半徑畫弧,交點為E,連接CE、DE,則CD=CE=DE,

等邊ACDE即為所作，延長即交于點點M即為所作；

(2)證明：回VABC為等邊三角形，AD為3c邊上的高，

S1ZB=ZACB=60°,BD=CD,

國等邊ACDE,

0ZECD=60°,

0ZB=ZECD,

ZMDB=ZEDC,

回△物〃涇ACED(ASA),

BCE=BM.

8.(2024?貴州貴陽?模擬預測)如圖，在平行四邊形ABCD中，3。是對角線.

⑴實踐與操作：利用尺規(guī)作線段3。的垂直平分線，交4。于點E,交BC于點/(要求：保留作圖痕跡，不

寫作法)；

(2)猜想與證明：連接BE,DF,判斷四邊形3ED尸的形狀，并說明理由.

【答案】⑴見解析

⑵四邊形血不為菱形，理由見解析

【分析】本題考查了作圖一基本作圖、線段垂直平分線的性質，菱形的判定及性質，平行四邊形的性質、全

等三角形的判定與性質，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

(1)根據線段垂直平分線的作圖方法作圖即可.

(2)根據線段垂直平分線、平行四邊形及菱形的性質及全等三角形的判定與性質可得結論.

【詳解】(1)解：如圖，直線跖即為所求.

(2)解：四邊形BED尸是菱形，

理由：ElEF垂直平分

旦BE=DE,BO=DO,

回四邊形ABCD為平行四邊形，

SAD//BC,

忸DE〃BF,

SZODE^ZOBF,

^ZDEO^ZBFO,

0ADOE=ABOF(AAS),

S\DE=BF,

0四邊形BEDF為平行四邊形，

SDE=BE,

回平行四邊形班DP是菱形.

9.(2024?浙江?中考真題)尺規(guī)作圖問題:

FC

圖2

如圖1,點E是口ABC。邊AD上一點(不包含A,。)，連接CE.用尺規(guī)作Ab〃CE,尸是邊3C上一點.

小明：如圖2.以C為圓心，AE長為半徑作弧，交8C于點凡連接AF,則A/〃CE.

小麗：以點A為圓心，CE長為半徑作弧，交BC于點、F,連接AF,則A尸〃CE.

小明：小麗，你的作法有問題，小麗：哦……我明白了！

(1)證明A廠〃CE；

(2)指出小麗作法中存在的問題.

【答案】⑴見詳解

⑵以點A為圓心，CE長為半徑作弧，與可能有兩個交點，故存在問題

【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質，

(1)根據小明的作圖方法證明即可；

(2)以點A為圓心，CE長為半徑作弧，與可能有兩個交點，據此作答即可.

【詳解】(1)SLJABCD,

^AD//BC,

又根據作圖可知：AE=CF,

回四邊形AECE是平行四邊形,

回A尸||EC；

(2)原因：以點A為圓心，CE長為半徑作弧，與BC可能有兩個交點，

故無法確定尸的位置，

故小麗的作法存在問題.

AE

口n

Fc

10.(2024?山西?中考真題)下面是某公眾號發(fā)布的一篇數學短文，請你認真閱讀，并完成相應的任務.

用尺規(guī)實現相似圖形的面積加倍

尺規(guī)作圖是起源于古希臘的數學課題，只使用圓規(guī)和直尺，并且只準許使用有限次，以解決不同的平面幾

何作圖問題.我們可以利用尺規(guī)將一個圖形的面積加倍，并保持所得圖形與原圖形相似.

例如：如圖1,己知正方形ABCD.

1~r

----1c求作：正方形MBNG,使正方形MBNG的面積是正方形A3CD的2倍，且點/W,N分別

圖1

在邊的延長線上.

作法：

①連接BD,作射線BA3C；

②以點B為圓心，BD長為半徑畫弧，分別交射線于點M,N；

③分別以點M，N為圓心，BM長為半徑畫弧，兩弧在內部交于點G；

④連接MG,NG,則四邊形AffiNG即為所求.

事實上，以正方形ABCD的對角線為邊長的正方形都符合要求！

任務：

(1)按照材料中的作法，在圖1中作出正方形MBNG；

(2)如圖2.己知48是。。的直徑，求作：OB,使。5的面積是。。的2倍.(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖

痕跡，不寫作法)

【答案】⑴見解析

(2)見解析

【分析】題目主要考查利用尺規(guī)作圖，正方形及圓的基本性質，勾股定理解三角形，熟練掌握基本的作圖

方法是解題關鍵.

(1)根據題意直接作圖即可；

(2)根據題意先作線段的垂直平分線交圓于點C,連接BC,以點2為圓心，2c長為半徑作圓即可.

【詳解】(1)解：如圖所示：四邊形；VffiNG即為所求

(2)如圖所示：根據題意先作線段4B的垂直平分線交圓于點C,連接BC,以點8為圓心，長為半徑

作圓即可；

即為所求；

證明：連接CB,

回線段的垂直平分線交圓于點C,

0NCOB=90°,OC=OB,

團BC=MJB,

。。的面積為：7T-0B-,

08的面積為：兀?卜hOB、=2兀-OB?,

符合題意.

11.（2024?陜西西安?模擬預測）如圖，在VA3C中，AB=AC,4=36。，請利用尺規(guī)作圖法在邊8C上求

作一點P,使ZAPC=108。.（不寫作法，保留作圖痕跡，標明字母）

【答案】見解析

【分析】本題考查了作線段、等腰三角形的性質，三角形內角和定理，以3為圓心，以54為半徑畫弧交

于點尸，點尸即為所求.

【詳解】解：以B為圓心，以54為半徑畫弧交BC于點尸，點P即為所求.

證明：連接AP,

VAB=AC,ZB=36°,

ZBAC=108°,

BA=BP,

NBAP=/BPA=72。,

ZAPC=180°-72°=108°,

二點尸即為所求.

12.（2024?陜西西安?模擬預測）如圖，已知VABC,請用尺規(guī)作圖法在平面上找一點。，使得四邊形ABC。

為平行四邊形（保留作圖痕跡，不寫作法）.

【答案】圖見解析

【分析】本題考查平行四邊形的判定，尺規(guī)作線段.以點A為圓心，的長為半徑畫弧，再以點C為圓心,

48的長為半徑畫弧，兩弧的交點即為點￡>.

【詳解】解：如圖，四邊形ABC。即為所求；

A類型3作角

13.（2024?重慶?模擬預測）學習了特殊平行四邊形的相關知識后，小唯進行深入探究，計劃在已知矩形中

構造出一個菱形，她的解決思路是通過作角相等和線段相等得到想要的菱形.請根據她的思路完成以下作

圖與填空：用直尺和圓規(guī)，作入BDE與/AD3相等，E為上的點，再作班'=點歹在AD上.（只

保留作圖痕跡）

己知：如圖，四邊形ABC。是矩形，30是對角線，ZADB=ZBDE,BE=BF,求證：四邊形BED尸是菱

形.

證明：證明：回四邊形ABCZ）是矩形，

BAD//BC,

BZADB=ZDBE.

^ZADB^ZBDE,

0?，

EBE=DE.

^BE^BF,

回②.

由矩形的性質可知鉆=CD,ZA=ZC=90°,

0RtA/WF^Rt△CDE'（HL）,

0AF=CE,

回③,

回四邊形BEDF是平行四邊形.

回④，

團平行四邊形BE。尸是菱形.

【答案】ZDBE=ZBDE；DE=BF；DF=BE；BE=DE

【分析】先利用基本作圖，確定點E,F,再利用菱形的判定定理證明即可.

本題考查了基本作圖，菱形的判定，熟練掌握基本作圖和菱形的判定定理是解題的關鍵.

【詳解】解：根據基本作圖，畫圖如下：

證明：回四邊形ABC。是矩形，

^AD//BC,

BZADB=ZDBE.

SZADB=ZBDE,

@ZDBE=ZBDE,

?BE=DE.

^\BE=BF,

0DE=BF.

由矩形的性質可知他=CD,NA=NC=90。，

0RtAABF=RtACDE（HL）,

SAF=CE,

BDF=BE,

回四邊形BEDF是平行四邊形.

mBE=DE,

團平行四邊形的乃是菱形.

故答案為：ZDBE=NBDE；DE=BF；DF=BE；BE=DE.

14.（2024?陜西西安?模擬預測）如圖，A,B為直線/上兩點，點C在直線/上方，連接AC,BC.請用尺

規(guī)作圖法，在直線,上方找一點￡>（不與點C重合），使的面積等于VABC的面積.（保留作圖痕跡，

不寫作法）

【答案】見解析

【分析】本題考查作圖一復雜作圖、平行線的性質、三角形的面積，熟練掌握平行線的性質是解答本題的關

鍵.結合平行線的性質，在BC的右側作=在直線上任取以點。（不與點C重合），則

點。即為所求.

【詳解】解：如圖，在BC的右側作N3CN=NABC,在直線CM上任取以點。（不與點C重合）,

則CD〃AB,

則△ABD的面積等于V"C的面積，

15.（2024?河南?中考真題）如圖，在Rt^ABC中，CD是斜邊上的中線，鹿〃加交AC的延長線于點

E.

⑴請用無刻度的直尺和圓規(guī)作/ECW,使NECM=NA,且射線CM交8E于點/（保留作圖痕跡，不寫作

法）.

（2）證明（1）中得到的四邊形CDBB是菱形

【答案】①見解析

⑵見解析

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，菱形的判定，直角三角形斜邊中線的性質等知識，解題的關鍵是：

（1）根據作一個角等于已知角的方法作圖即可；

（2）先證明四邊形CDB尸是平行四邊形，然后利用直角三角形斜邊中線的性質得出=最后

2

根據菱形的判定即可得證.

【詳解】⑴解：如圖，

E

SCM//AB,

0BE//DC,

回四邊形CDBF是平行四邊形，

團在RtZXABC中，CD是斜邊AB上的中線，

S\CD=BD=-AB,

2

回平行四邊形CDBb是菱形.

16.（2024?陜西漢中?二模）如圖，已知VABC,分別延長C4、CB,請利用尺規(guī)作圖法在C4的延長線上求

作一點。，使得54平分NC2Z）.（不寫作法，保留作圖痕跡）

【答案】見解析

【分析】本題主要考查尺規(guī)作圖，根據作一個角等于已知角的方法作圖即可，熟練掌握作一個角等于已知

角的尺規(guī)作圖是解題的關鍵.

【詳解】解：點。如圖所示.

如圖，①以B為圓心，任意長度為半徑畫弧，交54于點O,交BC與E；

②以。為圓心，OE長度為半徑畫弧，交弧于點M；

③連接延長交C4于點￡＞；

D

/\A

BEC

17.（2024?陜西?模擬預測）如圖，在VABC中，點。是邊A3上一點.請利用尺規(guī)作圖法在邊AC上求作一

點、E,使得DE〃BC.（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析

【分析】本題主要考查尺規(guī)作圖、平行線的判定定理.用尺規(guī)以點。為頂點作NADE=/B,與AC交于點

E即可.

【詳解】解：如圖，點E即為所求.

⑴尺規(guī)作圖：作一ABC的角平分線交A"于點。，過點D作=4c交BN于點E；（不寫作法,

保留作圖痕跡）

（2）求證：AB=CE.

【答案】①見解析

⑵見解析

【分析】本題考查了基本作圖，作角平分線，作一個角等于已知角，平行四邊形的性質與判定;

(1)根據作角平分線，作一個角等于已知角的作圖方法作圖即可求解；

(2)證明四邊形AC即是平行四邊形，根據角平分線的定義以及平行線的性質得出=即可得證.

【詳解】(1)解：如圖所示，BD,DE,即為所求；

(2)^\AM//BN

aZMDE=ZDEB,ZMAC=ZACB

^\ZMDE=ZMAC

^\AC//DE

由回

團四邊形ACED是平行四邊形，

國AD=CE

團是一ABC的角平分線，

團NABD=NDBC

^\AM//BN,

?ZADB=NDBC

^\ZABD=ZADB

團AB=AD,

^\AB=CE

A類型4作三角形

19.(2024?山西太原?三模)如圖示，已知等邊VABC,AB=4cm.請解答下列問題:

(1)尺規(guī)作圖：請將VA5C補成一個菱形ABCD(保留作圖痕跡，不寫作法);

(2)求菱形ABCD對角線8。的長.

【答案】(1)見解析

(2)4石cm

【分析】（1）分別以A,C為圓心，以AC長為半徑，畫弧，二弧交于點。，則點。即為所求;

（2）根據菱形的性質，選擇適當的三角函數解答即可.

本題考查了基本作圖，菱形性質，解直角三角形，

【詳解】（1）分別以A,C為圓心，以AC長為半徑，畫弧，二弧交于點。，如圖，

則點。即為所求.

（2）設菱形AB。的對角線AC,交于點。.

回四邊形ABCD是菱形，

SBD=2BO,BOLAC.

回VABC是等邊三角形，

EZBAO=60°.

在RtZiABO中，

Bo

團sin/BAO-,AB-4,

AB

團BO=4sin60°=4x

團BD=2BO=4J§cm.

20.（2024?陜西西安?二模）閱讀下列材料，回答問題.

任務：如圖，在湖的兩岸A、3間建一座觀賞橋，由于條件限制，無法直接度量A、3兩點間的距離，現要

測量48兩點間的距離.

、B

AC

小明利用皮尺測量，求出了43兩點間的距離.其測量及求解過程

i

7c

圖1圖2

如下：

測量過程：(i)如圖1,在湖以外選點C,測得AC=a,BC=b；

(ii)分另IJ在AC、上找至IJ點。、E,使得AD=CD=2。，BE=CE=-b,測得DE=c.

22

求解過程：由測量知，D、E分別是AC、8C的中點，

回DE是VA2C的中位線，^\DE=?_AB,

^DE=c,EIAB=2DE=(2)_.(用含。的式子表示)

⑴補全小明求解過程中①②所缺的內容；

(2)請你利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾何量，求出A、B兩點間的距離，請你在圖2中畫出你

的測量示意圖，寫出測量數據(無需寫測量過程)，并寫出求解過程.要求：測量得到的線段長度用字母

a、6、c...表示，角度用a、8、7...表示，求解結果用字母表示.

【答案】⑴①《②2c

(2)見詳解

【分析】本題主要考查了作圖一應用與設計作圖、三角形中位線的性質、等邊三角形的判定與性質等知識,

解題關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

(1)利用三角形中位線定理求解即可；

(2)構造等邊三角形，利用等邊三角形的性質解決問題.

【詳解】(1)解：由測量知，D、E分別是AC、BC的中點，

回DE^NABC的中位線，

S\DE=-AB,

2

0DE=c,

團AB=2DE=2c.

故答案為：①*；②2c；

(2)如下圖，利用測角儀作射線AM、BN,使得NB4M=NABN=a=60。，射線40、BN交于點、C,

則VABC為等邊三角形,

測量出BC=a,

則AB=3C=a.

21.(2024?江蘇南京?模擬預測)已知"和線段/,線段/?.使用直尺和圓規(guī)作出滿足下列條件的三角形(寫

型車港，保留作圖痕跡).

(1)求作VA5C,使得ZB=N6,周長等于線段/；

(2)求作VA5C,使得ZB=N6,23—邊上的高等于線段/?,周長等于線段/.

【答案】⑴見詳解

⑵見詳解

【分析】本題考查作圖-復雜作圖，解題的關鍵是掌握作一個角等于已知角，作一條線段等于已知線段，過

己知點作已知直線的垂線等基本作圖.

(1)作=在射線上取點A,在線段4。尸)上截取DE=朋，在射線BN上截取BG=Eb,

連接AG,作AG的垂直平分線印5交線段BG于C,連接AC,VABC即為所求；

(2)作=過8作超_L8N,在旗上截取BT=/z,過T作7W_L度交射線8M于A,在線段/(。尸)

上截取DE=BA,在射線BN上截取BG=EF,連接AG,作AG的垂直平分線HP交線段3G于C,連接AC,

NABC即為所求.

【詳解】(1)解：作=在射線上取點A,在線段/(DF)上截取/)E=B4,在射線3N上截取

BG=EF,連接AG,作AG的垂直平分線HP交線段BG于C,連接AC,如圖：

?.?"P是AG的垂直平分線，

XC=CG,

:.BC+AC=BC+CG=BG,

BC+AC+BA=BG+BA=EF+DE=DF,

.”ABC的周長等于線段/,

■-ZB=Z/3,

.?.△ABC滿足條件；

（2）解：作=過8作咫'_L8N,在8R上截取87i,過T作7W_L7?S交射線8M于A,在線段

/⑷尸）上截取?！?區(qū)4,在射線BN上截取8G=EF,連接AG,作4G的垂直平分線HP交線段3G于C,

VABC即為所求.

」.A到BN的距離等于"=/?,

同（1）可知VABC的周長等于線段/,NB=N￡,

」.△ABC滿足條件.

22.（2024?福建廈門?模擬預測）活動一：某數學興趣小組在研究"黃金比例與黃金矩形"，閱讀課本時發(fā)現可

MBE

④展平紙片，按照所得到的點。折出DE,則m=______,我

BC

們將這個比值稱為黃金比，將寬與長的比等于黃金比的矩形稱為

一

NcD黃金矩形，如圖4矩形BCDE就是一個黃金矩形.

圖4

活動二：類似的，我們將底與腰的比等于黃金比的等腰三角形稱為黃金三角形.

如圖，已知線段。，請你根據以下步驟作出以2°為腰長的黃金三角形AAEC'.（要求：尺規(guī)作圖，保留作

圖痕跡，不寫作法）

a

II

步驟一：作一條線段使得的長度等于的腰長；

步驟二：作一條線段尸。，使得尸。的長度等于的底邊長;

步驟三：作黃金三角形AA'3'C'.

【答案】（1）活動一：①2；②1；（3）75-1;④叵【；

（2）見解析

【分析】活動一：利用折疊的性質和勾股定理解答即可；

活動二：利用作一條線段等于已知線段的方法，黃金分割的作法和SSS公理解答即可.

【詳解】解：活動一：

①在一張矩形紙片的一端，利用圖1的方法折出一個正方形，然后把紙片展平，則NC=MN=2cm；

②如圖2,把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平，則AC=MV=：NC=lcm；

③折出內側矩形的對角線AB,并把AB折到圖3中所示的處，則

AD^AB^y]AC2+BC2=A/12+22=A/5CIII；

④展平紙片，按照所得到的點。折出OE,DE=BC=2cm,CD=AD-AC=（45-l）cm,則界=與1；

活動二：

步驟一：作一條線段G”,使得GH的長度為2a,

G/\H

步驟二：1.過點〃作ELLGH于點H,

2.在上截取=連接GE,

3.在EG上截取EK=a,

4.以點G為圓心，以GK為半徑畫弧交GH于點M,則點M為G8的黃金分割點，GM的長度等于避二■GH,

2

則GM的長度等于AAB'C底邊的長度，即GM=PQ,如圖:

步驟三：作AAB'C,作線段？C'=GM,分別以",C'為圓心，以GM為半徑畫弧，兩弧交于點A,連接

A'B',A'C,如圖，

A

【點睛】本題主要考查了折疊的性質，黃金分割的性質，矩形的性質，直角三角形的性質，勾股定理，基

本作圖，本題是操作性題目，熟練掌握基本作圖的知識和折疊的性質是解題的關鍵.

23.(2024?福建福州?模擬預測)已知，在VABC中，AB=AC,BC=6.將VABC繞點C旋轉使點8落在直

線AB上的點。處，點A落在點E處，直線OE與直線相交于點射線AC與射線OE相交于點尸，連

接AE.

(1)當AB<6時，用直尺和圓規(guī)作出圖形，并求證：①AD〃CE；②PE?=PDPF;

⑵當點。與點A的距離為5時，求CP的長.

【答案】(1)見解析

Q1

⑵。尸二百或CP=16

【分析】(1)根據題意，意點C為圓心，2C的長為半徑畫弧交弦延長線與點再分別以點C,點。，

為圓心，AC的長為半徑，畫弧，交于點E,連接。E并延長，連接CE,AE,延長8GAe分別交￡)E延長

線于點R點尸即可，①根據旋轉性質，得CD=CB,/ACB=/ECD,進而得到NCBD=NCDB,再根據

AB=AC,推出NBCD=NBAC=Z￡G4,即可證明結論；②由AD〃CE,易證△ADPs/\CEP,再根據

AB=CE,AB//CE,證明四邊形ABCE是平行四邊形.進而證明△"￡64()>尸，由相似的性質即可得出結

論；

(2)分AB<6和AB>6兩種情況討論，利用三角形相似的性質，建立方程求解即可.

【詳解】（1）解：如圖，為所求

證明：①由旋轉性質，得CD=CB/ACB=NECD,

:.ZCBD=ZCDB.

\'AB=AC,

:.ZABC=ZACB.

:.NBCD=NBAC=NECA.

:.AD//CE.

@-.-AD//CE,

:./\ADP^/\CEP,

.PD_AP

'~PE~~PC'

??-AB=AC=CE,AB||CE,

???四邊形ABCE是平行四邊形.

:.AE//BC,

.?△APESQF

PEAP

,PF-PCy

PD_PE

"PE~PF

:.PE2=PDPF;

(2)解：①當AB<6時，點。在邊B4的延長線上.

?.?ZABC=/ACB=NCDB,

:ACBD^AABC,

BDBC

*BC-BA,

BC?=BDBA

\-BC=6,AD=5,

:.BD（BD-5）=36,解得5。=9（負根舍去）

,\AB=AC=CE=4.

?.-AD//CE,

:△PCES/\PAD

ACP—即CP4

CP+45

解得CP=16.

②當AB>6時，點。在邊A5上.

同理可得BD=4.

:.AB=AC=CE=DE=9

?：AD//CE,

:△APD^ACPE

ACP,即CP9

9-CP5

Q1

解得。=彳

Q1

綜上所述，"F或CE6.

【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質，旋轉的性質，平行四邊形的判定與性質，相似三角形的判定與

性質，一元二次方程的解法，掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵.

24.（2024?湖南?模擬預測）如圖，四邊形ABCD.

（1）尺規(guī)作圖：作—A的平分線；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）若=CB=CD,證明：點C在—A的平分線上.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的判定，三線合一定理:

（1）根據角平分線的尺規(guī)作圖方法作圖即可；

（2）可證明AC垂直平分由三線合一定理可知AC平分4W,即點C在的平分線上.

【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）證明：如圖所示，連接30,

團AB=AD,CB=CD,

回AC垂直平分，

回由三線合一定理可知AC平分N54D,

團點C在NB4D的平分線上.

A類型5作角平分線

25.（2024?北京?模擬預測）在邊長為1的正三角形內放入〃個半徑相同、彼此相切的圓，使得它們的半徑

為「最大.

（1）當〃=1,r-_

⑵當〃=6,選擇作圖工具，作出一種符合情況的圖形（保留痕跡）

（3）當〃=5050,求廠的長度.（可畫示意圖說明）

【答案】⑴4

（2）見解析

⑶廠的長度為史二立

19596

【分析】（1）根據等邊三角形的內切圓半徑「最大，利用面積法求解「即可得答案；

（2）如圖，根據等邊三角形的性質、內切圓的定義、角平分線的性質作圖即可；

（3）先求出共有100層，最后一層有100個圓，利用梯形和三角形面積公式，列方程求出廠值即可.

【詳解】（1）解：如圖，為等邊三角形ABC內切圓圓心，切點為。、E、F,

A

BDC

QOD=OE=OF=r,ADJ.BC,BD=-BC=-,

22

^\AD=yjAB2-BD2=—,

2

SS^ABC=^BC-AD=^x(AB+BC+AC)r,

0r=—;

6

故答案為：

6

(2)解：如圖，作NBAC、NACB、—ABC的平分線4)、CE、BF,作N&IZ)的角平分線交CE于。j,

以。I為圓心，。也為半徑畫圓，得。。1；同理可得。。2，。。3，以。2為圓心。1。2為半徑畫弧，交CE、BF

于。5、04,以。5、04,為圓心，。了為半徑畫圓，得eQ，0。4，同理可得。。6，即為所求.

A

(3)解：如圖所示：設共有加層,

0n=5O5O,

回1+2+3+…+m=5050,

團=-----=5050,

2

整理得：田+“2-10100=0，

解得：叫=100,7%=-101(舍去),

團共有100層，在后一層為100個圓，

0DE=2x(lOO-l)r=198r,

回5?叱=3x；(198r+l)r+gxfx(198r『=1xlx^,

整理得：(198r+1)[(6+198A/3)F-=0,

解得：?;=———,r=(舍去)，

119596一2198

回r的長度為99一".

19596

【點睛】本題考查作角平分線、內切圓的性質、等邊三角形的性質、角平分線的性質、解一元二次方程及

分母有理化，熟練掌握相關性質及運算方法是解題關鍵.

26.（2024?陜西西安?模擬預測）如圖，AB、BC為。。的兩條弦，連接。4,請用尺規(guī)作圖法在劣弧AC上

求作一點。，連接OD,使得NAOD=NABC.（保留作圖痕跡，不寫作法）

A

7C

B

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了圓周角定理，角平分線的尺規(guī)作圖，作一AOC的角平分線與交于。，點。即

為所求.

【詳解】解：如圖所示，作—4OC的角平分線與。。交于。，點。即為所求；

由圓周角定理可得ZAOC=2ZABC,則ZAOC=2ZAOD.

27.(2024?廣西?模擬預測)如圖：在Rt/XABC中，ZACB=90°.

⑴在邊AC上找一個。點，使得D點到邊A3的距離等于。C(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)在(1)的條件下，若BC=6,AC=8,求線段AD的長.

【答案】⑴見解析

(2)5

【分析】本題考查了作圖-角平分線，角平分線的性質，全等三角形的性質和判定，勾股定理，熟練掌握知

識點并靈活運用是解題的關鍵.

(1)作，ABC的角平分線即可；

(2)由勾股定理求得AB,根據角平分線的性質得3E=BC,即可求得AE,設Z>C=DE=x,則AD=8-x,

根據勾股定理建立方程，解方程即可.

【詳解】(1)解：如圖，點。即為所求.

（2）解：在RtZXABC中，AB=^AC2+BC2=

如圖，過點。作垂足為E,

由（1）可得：DE=DC,

BD=BD,DC=DE,ZC=ZDEB=90°,

Rt^CDB=RtAEDB(HL),

團BE=BC=6,

^AE=AB-BE=10-6=4f

^DC=DE=x,貝?。軦D=8—九，

在中，X2+42=(8-X)2,

解得：x=3,

0AD=8—3=5.

28.（2024?廣東?中考真題）如圖，在VABC中，ZC=90°.

⑴實踐與操作：用尺規(guī)作圖法作-A的平分線AO交BC于點Q；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）應用與證明：在（1）的條件下，以點。為圓心，0c長為半徑作。。.求證：A3與。。相切.

【答案】（1）見解析

（2）證明見解析

【分析】本題考查了尺規(guī)作角平分線，角平分線的性質定理，切線的判定等知識.熟練上述知識是解題的

關鍵.

（1）利用尺規(guī)作角平分線的方法解答即可；

（2）如圖2,作于E,由角平分線的性質定理可得￡>E=DC,由DE是半徑，DEJ.AB,可證

與。。相切.

【詳解】（1）解：如圖1,即為所作；

（2）證明：如圖2,作。E工于E,

圖2

回A￡）是/CAD的平分線，DC±AC,DEJ.AB,

0DE=DC,

回DE是半徑，DE-LAB,

12AB與。。相切.

29.（2024?浙江?模擬預測）尺規(guī)作圖：如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZABC=60°,AC=3,用無刻

度的直尺和圓規(guī)作NMC的平分線8￡）,交邊AC于點D.（保留作圖痕跡，不要求寫作法）并寫出AO的

長.

【答案】見解析，AO=2

【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖一作角平分線、角平分線的性質定理、含30度角的直角三角形的性質等

知識，熟練掌握相關知識是解題關鍵.首先作-ABC的平分線8。，交邊AC于點O,過點。作DE工鉆于

點E,由角平分線的性質定理可得DE=8,再根據題意確定/A=30。，易知在RLADE中，DE=-AD,

2

進而可得CD=gAD,然后計算AD的長即可.

【詳解】解：如圖，80即為所求；

過點。作。于點E,

I3BD為-4BC的平分線，ZC=90°,

0DE=CD,

團NABC=60。，

團ZA=90。一ZABC=30。，

團在RtAAD￡中，DE=—AD,

2

^\CD=DE=-AD,

2

13

^\AC=AD-}-CD=AD+-AD=-AD=3

229

團AD=2.

30.（2024?陜西?模擬預測）如圖，在VA5c中，ZC=90°,N3=30。.請用尺規(guī)作圖法，在邊BC上求作

一點、M,使得SOBM=2S"CM.（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見詳解

【分析】本題主要查了尺規(guī)作圖法作角平分線的性質，掌握基本的尺規(guī)作圖成為解答本題的關鍵.如圖,

用尺規(guī)作—4的角平分線，交BC于點、M,M即為所求.

【詳解】