2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之無理數(shù)與實(shí)數(shù)

2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之無理數(shù)與實(shí)數(shù)

選擇題（共10小題）

1.（2025?新鄉(xiāng)模擬）下列實(shí)數(shù)中，比-2小的數(shù)是（）

A.-3B.一）C.0D.V2

2.（2025?肇州縣模擬）下列實(shí)數(shù)是無理數(shù)的是（）

2

A.V5B.V4C.一D.-5

3

1

3.（2025?浙江一模）實(shí)數(shù)VL0,-2中，最小的是（）

「1

A.V2B.—C.0D.-2

4.（2025?南海區(qū)一模）在-2、-V2,0、1這四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（）

A.-2B.-V2C.0D.1

5.（2025?重慶模擬）在-2,0,2,-值這四個(gè)數(shù)中，負(fù)整數(shù)是（）

A.-2B.0C.2D.-V3

6.（2025?西安二模）實(shí)數(shù)m6在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列式子一定成立的是（）

A.a<-bB.b-a<0C.a+b>0D.ab>0

7.（2025?潮陽區(qū)一模）如圖，大正方形面積為32,小正方形的面積為8,則陰影部分的面積是（）

A

A.6B.8C.12D.24

8.（2025?重慶模擬）與Wx（V21-V3）最接近的整數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

9.（2025?重慶模擬）已知四個(gè)整式分別為：x-2,x-1,x+1,x+2；若對(duì)這四個(gè)整式中的一個(gè)添加絕對(duì)

值符號(hào)或多個(gè)分別添加絕對(duì)值符號(hào)（注：絕對(duì)值里面無絕對(duì)值，即不出現(xiàn)多重絕對(duì)值）后再求和稱為一

次"防御操作"；例如：|x-2|+尤-l+x+l+無+2為一次"防御操作"，|x-2|+x-l+|x+l|+無+2為一次"防御

操作”等；則以下表述正確的個(gè)數(shù)是（）

①對(duì)于任意的實(shí)數(shù)X,存在某種“防御操作”使得化簡結(jié)果恒為0；

②對(duì)于特殊“防御操作"：k-2|+|尤-l|+|x+l|+|x+2|的最小值是6；

③共有15種不同的“防御操作”.

A.0B.1C.2D.3

10.（2025?重慶模擬）估計(jì)近*我一3的值在（）

A.3至！J4之間B.4至（J5之間C.5至I]6之間D.6至!J7之間

填空題（共5小題）

11.（2025?蘇州模擬）計(jì)算：sin30°+|-2|=.

12.（2025?湖北一模）計(jì)算（-》-1-|1-V2|=.

13.（2025?紅橋區(qū)模擬）遍1曲30。+夜s譏45。的值等于.

14.（2025?蘇州模擬）已知°、6為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，且aVVTUvb,貝！Ja+6=.

15.（2025?碑林區(qū)校級(jí)二模）比較大小：3&2V3.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?金安區(qū)校級(jí)一模）計(jì)算：2-i+房一|百一2|.

17.（2025?四川模擬）計(jì)算：|3-V12|+（-1）-2-6tan30°+（V5）2.

18.（2025?浦橋區(qū)校級(jí)四模）計(jì)算：22+sin45°+|3-V2|-V8.

19.（2025?望城區(qū)一模）計(jì)算：|x（-V2）2+（—2）3+4tan45°+|-^I-

20.（2025?歷下區(qū)一模）計(jì)算：|百一2|+（2025+兀）°+1加60°—&廣2.

2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之無理數(shù)與實(shí)數(shù)

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號(hào)12345678910

答案A.AD.AAACCCB

選擇題（共10小題）

1.（2025?新鄉(xiāng)模擬）下列實(shí)數(shù)中，比-2小的數(shù)是（）

A.-3B.C.0D.V2

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)大小比較；算術(shù)平方根.

【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力.

【答案】A.

【分析】利用有理數(shù)大小的比較方法：1、在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的總比左邊的數(shù)大.2、正數(shù)都

大于零，負(fù)數(shù)都小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù).3、兩個(gè)正數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)大；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，

絕對(duì)值大的數(shù)反而小.按照從小到大的順序排列找出結(jié)論即可.

【解答】解：A.V|-3|=3,|-2|=2,3>2,-3<-2,故符合題意；

1111

B.\—21=2'I-2|=2,-<2,-2>-2,故不符合題意；

C.0>-2,故不符合題意；

D.V2>-2,故不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的大小比較，掌握正數(shù)都大于零；負(fù)數(shù)都小于零；正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)正數(shù)

比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)大；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)反而小是解答本題的關(guān)鍵.

2.（2025?肇州縣模擬）下列實(shí)數(shù)是無理數(shù)的是（）

LL2

A.V5B.V4C.-D.-5

3

【考點(diǎn)】無理數(shù)；算術(shù)平方根.

【專題】實(shí)數(shù)；數(shù)感.

【答案】A

【分析】根據(jù)無理數(shù)的概念，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，即可求解.

【解答】解：時(shí)是無理數(shù)；

a=2,-5是整數(shù)，屬于有理數(shù)；

|是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無理數(shù)與算術(shù)平方根，熟練掌握無理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵：無限不循環(huán)小數(shù)叫做

無理數(shù).

1

3.（2025?浙江一模）實(shí)數(shù)/，0,-2中，最小的是（）

L1

A.V2B.-C.0D.-2

2

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)大小比較；算術(shù)平方根.

【專題】數(shù)形結(jié)合；實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力.

【答案】D.

【分析】利用實(shí)數(shù)大小的比較方法：1、在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的總比左邊的數(shù)大.2、正數(shù)都大

于零，負(fù)數(shù)都小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù).3、兩個(gè)正數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)大；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，

絕對(duì)值大的數(shù)反而小.按照從小到大的順序排列找出結(jié)論即可.

【解答】解：；-2<0〈^V魚,

最小的數(shù)是：-2.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，掌握正數(shù)都大于零，負(fù)數(shù)都小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)正數(shù)比

較大小，絕對(duì)值大的數(shù)大，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)反而小是解答本題的關(guān)鍵.

4.（2025?南海區(qū)一模）在-2、—魚、0、1這四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（）

A.-2B.-V2C.0D.1

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)大小比較.

【答案】A

【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)大小比較的方法進(jìn)行比較即可求解.

【解答】解：-2<-V2<O<1,

最小的數(shù)是-2.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)大小比較，關(guān)鍵是熟悉任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比較大小.正實(shí)數(shù)都大于0,負(fù)實(shí)

數(shù)都小于0,正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而小.

5.（2025?重慶模擬）在-2,0.2,―,這四個(gè)數(shù)中，負(fù)整數(shù)是（）

A.-2B.0C.2D.-V3

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù).

【專題】實(shí)數(shù)；數(shù)感.

【答案】A

【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：-2是負(fù)整數(shù)，則A符合題意；

0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，則B不符合題意；

2是正整數(shù)，則C不符合題意；

一8是負(fù)無理數(shù)，則。不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)，熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵.

6.（2025?西安二模）實(shí)數(shù)a,方在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列式子一定成立的是（）

A.?<-bB.b-?<0C.a+b>0D.ab>0

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)與數(shù)軸；有理數(shù)的加法；有理數(shù)的減法；有理數(shù)的乘法.

【專題】實(shí)數(shù)；符號(hào)意識(shí).

【答案】A

【分析】直接利用a,b在數(shù)軸上的位置得出a<0,b>0,且間>6,a+b<0,進(jìn)而分別得出答案.

【解答】解：由數(shù)軸可得：a<0,b>0,且間>6,a+b<0,

A、a<-b,正確；

B、b-a>0,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、a+b<0,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、ab<0,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，正確得出各式的符號(hào)是解題關(guān)鍵.

7.（2025?潮陽區(qū)一模）如圖，大正方形面積為32,小正方形的面積為8,則陰影部分的面積是（）

A

A.6B.8C.12D.24

【考點(diǎn)】算術(shù)平方根；三角形的面積.

【專題】實(shí)數(shù)；三角形；運(yùn)算能力.

【答案】C

【分析】先根據(jù)正方形的面積公式和已知條件，求出48和8E,從而求出AE,然后根據(jù)陰影部分的面

積=2\4。石的面積+44成）的面積，列出算式進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：...大正方形面積為32,小正方形的面積為8,

：.AB=V32=4V2,BE=BD=m=2魚，

：.AE=AB-BE=4V2-242=2vL

，陰影部分的面積

=AAC￡的面積的面積

11

=^AE-4魚+宗4￡-2A/2

-11

=/2V2x4&+/2V2x2V2

=8+4

=12,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了算術(shù)平方根和三角形的面積，解題關(guān)鍵是熟練掌握正方形和三角形的面積公式.

8.（2025?重慶模擬）與百義（VH-V3）最接近的整數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大小.

【專題】二次根式；數(shù)感.

【答案】C

【分析】先用乘法分配律化簡原式，再估算無理數(shù)的大小即可得出答案.

【解答】解：原式=7^-3,

V49<63<64,

.?.7<V63<8,

V7.52=56.25<63,

.,-7.5<V63<8,

.\4.5<V63-3<5,

???最接近的整數(shù)是5,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無理數(shù)的估算，無理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)是解題的關(guān)鍵.

9.（2025?重慶模擬）已知四個(gè)整式分別為：x-2,x-1,x+1,x+2；若對(duì)這四個(gè)整式中的一個(gè)添加絕對(duì)

值符號(hào)或多個(gè)分別添加絕對(duì)值符號(hào)（注：絕對(duì)值里面無絕對(duì)值，即不出現(xiàn)多重絕對(duì)值）后再求和稱為一

次"防御操作"；例如：|尤-2|+x-1+無+1+尤+2為一次"防御操作"，|尤-2|+尤-l+|x+l|+x+2為一次"防御

操作”等；則以下表述正確的個(gè)數(shù)是（）

①對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,存在某種“防御操作”使得化簡結(jié)果恒為0;

②對(duì)于特殊“防御操作”：|x-2|+|x-l|+|x+l|+|x+2|的最小值是6；

③共有15種不同的“防御操作”.

A.0B.1C.2D.3

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的性質(zhì)；絕對(duì)值.

【專題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】C

【分析】①當(dāng)x>2時(shí)，四個(gè)整式中不論一個(gè)添加絕對(duì)值符號(hào)或多個(gè)分別添加絕對(duì)值符號(hào)，求和后結(jié)果

均大于0;

②利用絕對(duì)值的幾何意義求解即可；

③四個(gè)整式中的一個(gè)添加絕對(duì)值符號(hào)或多個(gè)分別添加絕對(duì)值符號(hào)，再求和即可.

【解答】解：①當(dāng)x>2時(shí)，四個(gè)整式中不論添加一個(gè)或多個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，去絕對(duì)值后再求和，結(jié)果均

為x-2+x-l+x+l+x+2=4x>0,

故①錯(cuò)誤；

②|x-2|+|x-l|+|x+l|+|x+2|｝表不數(shù)軸上表示尤的點(diǎn)到表示2,1,-1,-2的點(diǎn)的距離之和，

所以當(dāng)-1&W1時(shí),\x-2\+\x-l|+|x+l|+|x+2|的值最小，最小值為6,

故②正確；

③共有15種不同的“防御操作”，依次為：

\x-2|+x-l+x+l+x+2,x-2+|x-l|+x+l+x+2,x-2+x-l+|x+l|+x+2,x-2+x-l+x+l+|x+2|,\x-2|+|x-

l|+x+l+x+2,\x~2\+x~l+|x+l|+x+2,\x~2|+x-l+x+l+|x+2|,x-2+|x-1|+|x+1|+x+2,x~l+\x~l|+x+l+|x+2|,

x-2+x-l+|x+l|+|x+2|,x-2+|x-l|+|x+l|+|x+2|,\x-2\+x-l+|x+l|+|x+2|,\x-2|+|x-l|+x+l+|x+2|,\x-

2|+|x-l|+|x+l|+x+2,\x-2|+|x-l|+|x+l|+|x+2|,

故③正確.

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，絕對(duì)值，熟練掌握去絕對(duì)值及其幾何意義，讀懂“防御操作”的定義

是解題的關(guān)鍵.

10.（2025?重慶模擬）估計(jì)夕入我一3的值在（）

A.3至！J4之間B.4至（J5之間C.5至6之間D.6至I]7之間

【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大小；二次根式的混合運(yùn)算.

【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】將原式計(jì)算后進(jìn)行估算即可.

【解答】解：V7xV8-3=756-3,

V7<V56<8,

.?.4<V56-3<5,

.-.4<V7xV8-3<5,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的混合運(yùn)算及估算無理數(shù)的大小，熟練掌握估算無理數(shù)大小的方法是解題的

關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

11.（2025?蘇州模擬）計(jì)算：sin30°+|-21=2.5.

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力.

【答案】2.5.

【分析】先代入特殊角的函數(shù)值，再計(jì)算絕對(duì)值，再合并即可；

【解答】解：原式=}+2=25

故答案為：2.5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是關(guān)鍵.

12.（2025?湖北一模）計(jì)算-|1-V2|=-1-&.

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；負(fù)整數(shù)指數(shù)哥；絕對(duì)值.

【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力.

【答案】-1-V2.

【分析】利用負(fù)整數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算，絕對(duì)值的性質(zhì)，實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則來進(jìn)行計(jì)算求解.

【解答】解：原式=（―y）—（V2—1）

2

=-2-V2+1

=-1—V2.

故答案為：—1—V2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)易的運(yùn)算，絕對(duì)值的性質(zhì)，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，理解運(yùn)算法則是解答關(guān)鍵.

13.（2025?紅橋區(qū)模擬）遮tcm30°+譏45°的值等于2.

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】計(jì)算題；運(yùn)算能力.

【答案】2.

【分析】根據(jù)特殊銳角的三角函數(shù)值可得到tan30。與sin45。的值，再代入化簡求值.

【解答】解：?.,tan30°=苧，sin45°=~,

V3tan30°+V2sin45°

=百義堂+&X芋

=1+1=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊銳角的三角函數(shù)值的相關(guān)知識(shí)，熟記30°角，45°角的三角函數(shù)值是解題的

關(guān)鍵.

14.（2025?蘇州模擬）已知a、b為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，且aVVTUvb,則a+b=7.

【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大小.

【專題】計(jì)算題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】求出的范圍：3<V10<4,即可求出ab的值，代入求出即可.

[解答]解：：3<同<4,a<V10<b,

是整數(shù)，

:?〃=3,8=4,

〃+匕=3+4=7,

故答案為：7.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)無理數(shù)的大小比較的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出國的范圍.

15.（2025?碑林區(qū)校級(jí)二模）比較大?。?a>2V3.

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)大小比較；算術(shù)平方根.

【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力.

【答案】>.

【分析】將兩數(shù)平方后比較大小，可得答案.

【解答】解：：（3企）2=18,（2^）2=12,18<12,

；.3企>2技

故答案為：>.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比較無理數(shù)的大小，掌握用平方法比較無理數(shù)的大小是關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?金安區(qū)校級(jí)一模）計(jì)算：2T+VH—I遮一2|.

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力.

【答案】一9+3班.

【分析】先根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、算術(shù)平方根、絕對(duì)值的性質(zhì)化簡，再合并即可.

【解答】解：2一1+履一|四一2|

-1

=2+2y—（2—V3）

=]+—2+y/3

=-]+3^3?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

17.（2025?四川模擬）計(jì)算：|3-V12|+（-1）-2-6tan30°+（V5）2.

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；負(fù)整數(shù)指數(shù)暴；特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力.

【答案】6.

【分析】原式利用負(fù)整數(shù)指數(shù)幕法則，絕對(duì)值的代數(shù)意義，二次根式的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)

算即可求出值.

【解答】解：|3-V12|+(-分V_6ttm30°+(V5)2

=2百-3+4-6x^+5

=273-3+4-273+5

=6.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

18.(2025?浦橋區(qū)校級(jí)四模)計(jì)算：22+s譏45。+|3—企|—遮.

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力.

【答案】5—孝.

【分析】利用有理數(shù)的乘方法則，特殊銳角三角函數(shù)值，絕對(duì)值的性質(zhì)，立方根的定義計(jì)算即可.

【解答】解：原式=4+5+3——2

=5—孝.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，特殊銳角三角函數(shù)值，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

19.(2025?望城區(qū)一模)計(jì)算：|x(-V2)2+(—2)3+4tan45°+|-11.

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力.

【答案】-去

【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)、有理數(shù)的乘方、特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算，再根據(jù)有

理數(shù)加減法則計(jì)算即可.

【解答】解：|x(-V2)2+(—2)3+4tan45°+|-||

=jx2+(-8)+4x1+1

=1+(-8)+4+J

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

20.（2025?歷下區(qū)一模）計(jì)算：|舊—2|+（2025+兀）°+位7?60°—（》-2.

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題；運(yùn)算能力.

【答案】7.

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，零指數(shù)塞，特殊銳角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的相關(guān)知識(shí)化簡，再利

用實(shí)數(shù)的加減混合運(yùn)算法則算出答案.

【解答】解：原式=2-百+1+百一4

=-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算的相關(guān)知識(shí)，先正確化簡，再利用實(shí)數(shù)的加減混合運(yùn)算法則運(yùn)算是解題

的關(guān)鍵.

考點(diǎn)卡片

1.絕對(duì)值

(1)概念：數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值.

①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值相等；

②絕對(duì)值等于一個(gè)正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，絕對(duì)值等于0的數(shù)有一個(gè)，沒有絕對(duì)值等于負(fù)數(shù)的數(shù).

③有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù).

(2)如果用字母。表示有理數(shù)，則數(shù)。絕對(duì)值要由字母。本身的取值來確定：

①當(dāng)a是正有理數(shù)時(shí)，a的絕對(duì)值是它本身。；

②當(dāng)。是負(fù)有理數(shù)時(shí)，。的絕對(duì)值是它的相反數(shù)-a；

③當(dāng)。是零時(shí)，。的絕對(duì)值是零.

即|a|={a(a>0)0(a=0)-a(a<0)

2.有理數(shù)的加法

(1)有理數(shù)加法法則：

①同號(hào)相加，取相同符號(hào)，并把絕對(duì)值相加.

②絕對(duì)值不等的異號(hào)加減，取絕對(duì)值較大的加數(shù)符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值.互為相反數(shù)

的兩個(gè)數(shù)相加得0.

③一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù).

(在進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算時(shí)，首先判斷兩個(gè)加數(shù)的符號(hào)：是同號(hào)還是異號(hào)，是否有0.從而確定用那一條

法則.在應(yīng)用過程中，要牢記“先符號(hào)，后絕對(duì)值”.)

(2)相關(guān)運(yùn)算律

交換律：a+b=b+a；結(jié)合律(a+b)+c=a+(Z?+c).

3.有理數(shù)的減法

(1)有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).即：a-b=a+(-b)

(2)方法指引：

①在進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí)，首先弄清減數(shù)的符號(hào)；

②將有理數(shù)轉(zhuǎn)化為加法時(shí)，要同時(shí)改變兩個(gè)符號(hào)：一是運(yùn)算符號(hào)(減號(hào)變加號(hào))；二是減數(shù)的性質(zhì)符號(hào)(減

數(shù)變相反數(shù))；

【注意工在有理數(shù)減法運(yùn)算時(shí)，被減數(shù)與減數(shù)的位置不能隨意交換；因?yàn)闇p法沒有交換律.

減法法則不能與加法法則類比，。加任何數(shù)都不變，。減任何數(shù)應(yīng)依法則進(jìn)行計(jì)算.

4.有理數(shù)的乘法

(1)有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘.

(2)任何數(shù)同零相乘，都得0.

(3)多個(gè)有理數(shù)相乘的法則：①幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇

數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正.②幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0,積就為0.

(4)方法指引：

①運(yùn)用乘法法則，先確定符號(hào)，再把絕對(duì)值相乘.

②多個(gè)因數(shù)相乘，看0因數(shù)和積的符號(hào)當(dāng)先，這樣做使運(yùn)算既準(zhǔn)確又簡單.

5.算術(shù)平方根

(1)算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于°,即/=a,那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算

術(shù)平方根.記為a

(2)非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根。有雙重非負(fù)性：①被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)；②算術(shù)平方根。本身是非負(fù)數(shù).

(3)求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根與求一個(gè)數(shù)的平方互為逆運(yùn)算，在求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)，可以

借助乘方運(yùn)算來尋找.

6.無理數(shù)

(1)、定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).

說明：無理數(shù)是實(shí)數(shù)中不能精確地表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù).如圓周率、2的平方根

等.

(2)、無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：

①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時(shí)，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，

1

比如4=4.0,§=0.33333…而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如魚=1.414213562.

②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比；而無理數(shù)不能.

(3)學(xué)習(xí)要求：會(huì)判斷無理數(shù)，了解它的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有TT

71

的數(shù)，如分?jǐn)?shù)y是無理數(shù)，因?yàn)門T是無理數(shù).

無理數(shù)常見的三種類型

(1)開不盡的方根，如或，V3,遮等.

(2)特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)，

如0.303003000300003…(兩個(gè)3之間依次多一個(gè)0).

(3)含有TT的絕大部分?jǐn)?shù)，如27t.

注意：判斷一個(gè)數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結(jié)果.如何是有理數(shù)，而不是無理數(shù).

7.實(shí)數(shù)

(1)實(shí)數(shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù).

(2)實(shí)數(shù)的分類：

'(正有理數(shù)

有理數(shù)-0(正實(shí)數(shù)

實(shí)數(shù)：(I負(fù)有理數(shù)或?qū)崝?shù)：0'

手鈿然正無理數(shù)1負(fù)實(shí)數(shù)

無理數(shù)\?一，，

I1負(fù)無理數(shù)

8.實(shí)數(shù)的性質(zhì)

(1)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)絕對(duì)值的概念與在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣.實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值就是在數(shù)軸上這個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

與原點(diǎn)的距離.

(2)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值：正實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值是它本身，負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0.

(3)實(shí)數(shù)。的絕對(duì)值可表示為|a|={a(a20)-a(a<0),就是說實(shí)數(shù)。的絕對(duì)值一定是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即

并且有若|x|=a(aNO),則x=±a.

實(shí)數(shù)的倒數(shù)

乘積為1的兩個(gè)實(shí)數(shù)互為倒數(shù)，即若。與b互為倒數(shù)，則ab=l；反之，若ab=l,則a與b互為倒數(shù)，

這里應(yīng)特別注意的是0沒有倒數(shù).

9.實(shí)數(shù)與數(shù)軸

(1)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

任意一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；反之，數(shù)軸上的任意一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù).數(shù)軸上的任一點(diǎn)表

示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù).

(2)在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)在原點(diǎn)的兩旁，并且兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值就是

在數(shù)軸上這個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.

(3)利用數(shù)軸可以比較任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個(gè)實(shí)數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原

點(diǎn)左側(cè)，絕對(duì)值大的反而小.

10.實(shí)數(shù)大小比較

實(shí)數(shù)大小比較

(1)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比較大小.正實(shí)