2025年中考數(shù)學三輪復習之圓

2025年中考數(shù)學三輪復習之圓

選擇題（共10小題）

1.（2025?天心區(qū)校級一模）如圖，正方形邊長為a,點E是正方形ABC。內一點，滿足NAE8=90°,連

接CE.給出四個結論：①力E+CE2金a；②CEW與^a；③N2CE的度數(shù)最大值為60°；④當CE

=a時，tan/AB￡=｝上述結論中，所有正確結論的序號為（）

A.①②B.①③C.①④D.①③④

2.（2025?秦都區(qū)校級模擬）如圖，△ABC內接于O。，AB為。。的直徑，點。為。。上一點，連接OC、

BD、CD,若/OCB=58°,則/。的度數(shù)為（）

3.（2025?長沙模擬）如圖，四邊形A8CD內接于。。，過點8作8E〃C。交于點E.若NAEB=75°,

則N48C的度數(shù)為（）

4.（2025?天心區(qū)校級一模）如圖，A8為。。的直徑，弦CZ）_LAB于點若AB=10,CD=8,則。”的

長為（）

C.4D.5

5.（2025?金安區(qū)校級一模）如圖，在。。中，弦AB,相交于點P,ZA=35°,ZAPD=80°,那么

N2度數(shù)為（）

C.65°D.45°

6.（2025?長安區(qū)一模）如圖，在邊長為5的正五邊形ABCQE中，點。是對角線4c上一點，連接

OD,OE后將正五邊形分成了①、②、③、④、⑤這五個三角形，則下列能確定大小的是（）

A.①與②的面積和B.②與③的面積和

C.②與④的面積和D.④與⑤的面積和

7.（2025?長安區(qū)一模）是△ABC的外接圓，在弧BC上找一點使點M平分弧BC.對圖中的三種

作法，下列說法正確的是（）

做法一做法二做法三

A.三種作法均正確

B.只有作法一和作法二正確

C.只有作法二和作法三正確

D.只有作法二正確

8.（2025?四川模擬）如圖，A2是半徑為6的O。的直徑，2。是弦，C是弧2。的中點，AC與8。相交

于點E.若E為AC的中點，則2。的長為（）

A.4V2B.6C.8V2D.4

9.（2025?武漢模擬）如圖所示，在平面中O尸和02分別與直線相切，。尸的直徑為4,OQ的直徑為

6,做直線人與OP相切于點A且平行于直線/,直線/2與。。相切于點8且平行于直線/,若線段A8

與直線的夾角恰為30。，則兩圓心尸。的距離是（）

A.9B.4V3C.V13D.10

10.（2025?西青區(qū)校級一模）如圖，OA交于點B,AC切。。于點C,。點在。。上，若/。=26°,

則NA為（）

A.38°B.30°C.64°D.52°

填空題（共5小題）

11.（2025?浦口區(qū)校級模擬）如圖，在團ABC。中，過A,C,。三點的。。與AB相交于點E.若乙4=104°,

則/BCE=

12.（2025?肇州縣模擬）已知如圖，A8是。。的直徑，DB,OC分別切于點8,C,若NACE=26°,

13.（2025?越秀區(qū)校級一模）將圓錐的側面沿一條母線剪開后展平，所得扇形的面積為6m圓心角6為

120°,則圓錐的底面圓的半徑為.

14.（2025?永壽縣校級一模）如圖，△AOE內接于。。，A8是。。的直徑，OC〃A。交0。于點C,若/

BOC=62°,則NE的度數(shù)為°.

15.（2025?蘇州模擬）如圖，A8是。。的直徑，AC是。。的切線，切點為A,8c交。。于點。，點E

是AC的中點，若。。半徑為1,BC=4,則圖中陰影部分的面積為.

16.（2025?新鄉(xiāng)模擬）圖1是清明上河園中供人們游玩的中國古代的馬車，彰顯了古代人們的智慧.圖2

是馬車的側面示意圖,AC為過圓心O的車架，且AC與。O交于點8,地面CD與車輪。。相切于點D,

連接AD,BD.

(1)求證：ZBDC^ZA.

(2)小李測出車輪的直徑為1米，CD為展米,求8c的長度.

圖1圖2

17.(2025?碑林區(qū)校級二模)如圖，AC是。。的直徑，點B在。O上，BD平分/ABC交。。于點D,

OE是。。的切線，交8C的延長線于點E.

(1)求證：DE//AC；

求BE的長.

18.(2025?合肥一模)如圖，為。。的直徑，C為。。上一點，過點C作O。的切線CE交AB的延長

線于點E,過點B作2。，“交AC的延長線于點。，垂足為點?

(1)求證：C為AO的中點;

(2)若AB=10,AC=2Vn,求BE的長.

19.(2025?烏魯木齊一模)如圖,QO是AABC的外接圓，AB為。。的直徑，在AABC外側作/CAO=

ZCAB,過點C作于點。，交AB延長線于點P.

(1)求證：PC是。。的切線;

(2)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出/AC8所對弧的中點尸.(不寫作法，保留作圖痕跡)

(3)在(2)基礎上連接CF,交AB于點E,連接8尸，若BF=5五,tan^PCB=求線段PB的長.

DC

AP

20.(2025?官渡區(qū)校級模擬)如圖，AC為。。的直徑，NAOC的平分線交。0于點8以為。。的切線,

B4*CB=AB-AC,連接尸艮

(1)求NAC3的度數(shù)；

(2)求證：PB+BC=PC；

一DB

(3)若DB=2V2PX,求一的值.

2025年中考數(shù)學三輪復習之圓

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案CBCBDCACCA

選擇題（共10小題）

1.（2025?天心區(qū)校級一模）如圖，正方形邊長為m點E是正方形ABC。內一點，滿足NAEB=90°,連

接CE.給出四個結論：①AE+CEN/a；②CEW與ia；③NBCE的度數(shù)最大值為60°；④當CE

=a時，tan/ABE=*.上述結論中，所有正確結論的序號為（）

A.①②B.①③C.①④D.①③④

【考點】圓周角定理；解直角三角形；全等三角形的判定與性質；正方形的性質.

【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；圓的有關概念及性質；解直角三角形及其應用；幾何直觀；

運算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】①以為直徑作O。，連接AC,BD交于點、H,連接OE,OC,則點X,點E都在上，

由勾股定理得AC=&a,根據(jù)“兩點之間線段最短”得AE+CENAC,則AE+CEN&a,據(jù)此即可對結

論①進行判斷；

②由。2=。4=?！?去得OC=孚，根據(jù)“兩點之間線段最短”得CE+OENOC,則CE2與上，

據(jù)此可對結論②進行判斷；

③依題意得當CE與。。相切時，BCE的度數(shù)為最大，連接OE,證明RtAOEC和RtAOBC得CE=BC

=a,NOCE=/OCB,進而得tan/OCE=黑=5則NOCEW30°,繼而得/8CEW60°,據(jù)此可對

結論③進行判斷;

④證明OC是線段8E的垂直平分線，由此可得出NA8E=/BCO,在Rt^BCO中根據(jù)正切函數(shù)的定義

得tan/8CO=器=±,則tan/tanNBCO=會據(jù)此可對結論④進行判斷，綜上所述即可得出答

案.

【解答】解：①以A8為直徑作。。，連接AC,BO交于點H,連接OE,0C,如圖1所示：

?.?四邊形ABCD是正方形，且邊長為a,

：.AB=BC^CD=AD=a,ZABC=90°,/AHB=9Q°,

二點X在。。上，

VZAEB=90°,

.?.點E也在OO上，

在RtZXABC中，由勾股定理得：AC=y/AB2+BC2=V2a,

根據(jù)“兩點之間線段最短”得：AE+CE^AC,

即AE+CE>V2a,

當點E與點”重合時，等號成立，

故結論①正確；

②為。。，點E在。。上，

：.OB=OA=OE=^,

在RtZ\08C中，由勾股定理得：OC=7BC2+OB2=/+（多產=學,

根據(jù)“兩點之間線段最短”得：CE+OE'OC,

：.CE20C-OE=孚-；與，，

當點。，E,C在同一條直線上時，等號成立，

故結論②不正確；

③當CE與。。相切時，8CE的度數(shù)為最大，連接OE,如圖2所示：

圖2

/.ZOEC=90°,OE=OB,

在RtAOEC和RtAOBC中，

(OE=OB

IOC=OC'

ARtAOEC^RtAOBC(HL),

：.CE=BC=a,ZOCE=ZOCB,

：.OE=1I2CE,

在RtZkOEC中，tan/OCE=^=g,

Vtan30°=J3/3,

：.ZOCE^30°,

：.ZBCE^60°,

.../BCE的度數(shù)最大值不是60°,

故結論③不正確；

④當CE=a時，則CE=BC=a,如圖3所示:

點C在線段BE的垂直平分線上,

:點E在。。上，

'：OB=OE,

點O在線段BE的垂直平分線上,

/.OC是線段BE的垂直平分線，

ZABE^-ZBOC=90°,

又?.?N50C+N3co=90°,

：.NABE=/BCO,

i

在RtABCO中，OB=?BC,

???+tanz_nCC/=OB_=1a，

1

tanZABE=tanZBCO=

故結論④正確，

綜上所述：正確結論是①④.

故選：C.

【點評】此題主要考查了圓周角定理，全等三角形的判定與性質，正方形的性質，解直角三角形，熟練

掌握圓周角定理，全等三角形的判定與性質，正方形的性質，銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的關鍵.

2.（2025?秦都區(qū)校級模擬）如圖，ZXABC內接于OO,A8為0。的直徑，點。為。。上一點，連接0C、

BD、CD,若/OC8=58°,則/。的度數(shù)為（）

A.38°B.32°C.29°D.28°

【考點】三角形的外接圓與外心；圓周角定理.

【專題】圓的有關概念及性質.

【答案】B

【分析】根據(jù)NOCB=58°,OB=OC,得到/20C,再根據(jù)同弧所對圓周角等于圓心角一半求解即可

得到答案.

【解答】解：：NOC8=58°,OB=OC,

/.ZJBOC=180°-2X58°=64°,

'：BC=BC,

：.ZD=^z.BOC=32°,

故選：B.

【點評】本題考查圓周角定理及等腰三角形內角和運用，掌握其性質是解題的關鍵.

3.（2025?長沙模擬）如圖，四邊形ABCD內接于OO,過點8作8E〃C。交于點E.若/AEB=75°,

則/ABC的度數(shù)為（）

A.95°B.100°C.105°D.110°

【考點】圓內接四邊形的性質；平行線的性質.

【專題】圓的有關概念及性質；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的性質求出/ADC,再根據(jù)圓內接四邊形的性質求出NA8C.

【解答】解：'：BE//CD,NAEB=75°,

：.ZADC=ZAEB=15°,

:四邊形ABC。內接于O。，

AZADC+ZABC=180°,

AZABC=180°-75°=105°,

故選：C.

【點評】本題考查的是圓內接四邊形的性質，熟記圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵.

4.（2025?天心區(qū)校級一模）如圖，A2為O。的直徑，弦CDLA2于點凡若A3=10,C￡>=8,則的

長為（）

A

A.2B.3C.4D.5

【考點】垂徑定理；勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關概念及性質；運算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)垂徑定理由得到CH=CD=4,再根據(jù)勾股定理計算出OH=3.

【解答】解：?..COLA8,

11

CH=DH=^CD=|x8=4,

:直徑A3=10,

：.0C=5,

在RtAOCH中，OH=VOC2-CH2=3,

故選：B.

【點評】本題考查了勾股定理，垂徑定理，熟練掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩

條弧是解題的關鍵.

5.（2025?金安區(qū)校級一模）如圖，在中，弦A3,相交于點P,NA=35°,ZAPD=80°,那么

NB度數(shù)為（）

A.55°B.60°C.65°D.45°

【考點】圓周角定理.

【專題】與圓有關的計算；運算能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù)，再由三角形外角的性質求出N3的度數(shù)即可.

【解答】解：：/A=35°,

.?.ND=NA=35°,

VZAP￡>=80°,

：.ZB=ZAPD-ZZ）=80°-35°=45°.

故選：D.

【點評】本題考查圓周角定理，熟練掌握并靈活運用圓周角定理是解題的關鍵.

6.（2025?長安區(qū)一模）如圖，在邊長為5的正五邊形中，點。是對角線AC上一點，連接02,

OD,OE后將正五邊形分成了①、②、③、④、⑤這五個三角形，則下列能確定大小的是（)

A

A.①與②的面積和B.②與③的面積和

C.②與④的面積和D,④與⑤的面積和

【考點】正多邊形和圓；全等三角形的判定.

【專題】正多邊形與圓；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)正五邊形的性質、等腰三角形的性質以及平行線的判定得到AC〃即，再根據(jù)三角形面積

公式計算即可.

【解答】解：：五邊形A8C0E是正五邊形，

/AED=/EAB=/ABC=二底。,BA=BC,

；.NEAC=108°-36°=72°,

/.ZAEZ）+Z￡AC=108°+72°=180°,

：.AC//ED,

③的面積可以確定，

②與④的面積和可以確定，

而①與②的面積和、②與③的面積和、④與⑤的面積和都會隨著點。的位置的變化而變化，其大小不

能確定，

故選：C.

【點評】本題考查的是正多邊形和圓，掌握正五邊形的內角的求法是解題的關鍵.

7.（2025?長安區(qū)一模）是△ABC的外接圓，在弧8C上找一點使點M平分弧BC.對圖中的三種

作法，下列說法正確的是（）

B.只有作法一和作法二正確

C.只有作法二和作法三正確

D.只有作法二正確

【考點】三角形的外接圓與外心.

【專題】圓的有關概念及性質；幾何直觀.

【答案】A

【分析】根據(jù)垂徑定理，圓周角定理一一判斷即可.

【解答】解：甲、由作圖可知AM平分

：.ZBAM=ZCAM,

：.BM=CM,故作法一正確.

乙、由作圖可知0M平分N80C,

：0B=0C,

：.OM±CB,

經過圓心O,

：.BM=CM,故作法二正確.

丙、由作圖可知垂直平分線段BC,0M經過圓心0,

：.BM=CM,故作法三正確.

故選：A.

【點評】本題考查作圖-復雜作圖，三角形的外接圓與外心，垂徑定理等知識，解題的關鍵是讀懂圖象

信息，靈活運用所學知識解決問題.

8.（2025?四川模擬）如圖，A8是半徑為6的。。的直徑，BD是弦,C是弧3。的中點，AC與8。相交

于點E.若E為AC的中點，則8。的長為（

D

A.4V2B.6C.8V2D.4

【考點】圓心角、弧、弦的關系；垂徑定理.

【專題】圓的有關概念及性質；推理能力.

【答案】C

【分析】先根據(jù)圓周角定理得到NAZ)5=90°,根據(jù)垂徑定理得到DF=BF,則可證明OF

為△A3。的中位線，所以AO=20R接著證明△ADE之△CbE得到A0=CR所以CF=20R則可計

算出0b=2,然后利用勾股定理計算出3R從而得到BD的長.

【解答】解：TAB是半徑為6的。。的直徑，

ZADB=90°,

???。是弧5。的中點,

???OCLBD,

:?DF=BF,

?：OA=OB,

：?0F為AABD的中位線，

：.AD=20F,

YE為AC的中點，

：.AE=CE,

在△AOE和△CbE中，

ND=/CFE

'DE=FE，

^AED=乙CEF

：.AADE^ACFE(ASA),

：.AD=CF,

：.CF=20F,

???OC=6,

BP0F+CF=6,

/.OF+2OF=6,

解得0F=2,

在RtAOBF中，BF=VOS2-OF2=V62-22=4魚，

:.BD=2BF=8位.

故選：C.

【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有

一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.也考查了垂徑定理和圓周角定理.

9.（2025?武漢模擬）如圖所示，在平面中OP和OQ分別與直線相切，O尸的直徑為4,OQ的直徑為

6,做直線/1與OP相切于點A且平行于直線/,直線/2與OQ相切于點8且平行于直線/,若線段

與直線的夾角恰為30°,則兩圓心尸。的距離是（）

A.9B.4V3C.V13D.10

【考點】切線的性質.

【專題】與圓有關的位置關系；運算能力.

【答案】C

【分析】連接AP并延長交直線/于點C,連接2。并延長交直線/于點過點A作于點E,

過點P作于點區(qū)連接尸。，則有APEE、ACDE是矩形，先根據(jù)正切的定義求出PF長，然后

利用勾股定理求出PQ長解題.

【解答】解：連接AP并延長交直線/于點C,連接8。并延長交直線/于點。，過點A作于

點、E,過點尸作于點R連接P。，

根據(jù)題意可得/B4E=/AEO=/CTD=Nf'Z)C=NPC￡)=90°,AC=4,BD=6,

：.AC=DE=4,

：.BE=BD-DE=6-4=2,

???夾角恰為30°,

RFf—

："AE=tan^BAE=

：.PF=AE=2V3,

又；PC=DF=2,DQ=3,

：.PQ=y]PF2+QF2=J（2V3）2+I2=V13,

故選：C.

【點評】本題考查切線的性質，勾股定理，解直角三角形，正確進行計算是解題關鍵.

10.（2025?西青區(qū)校級一模）如圖，。4交。。于點8,AC切。。于點C,。點在。。上，若/。=26°,

則NA為（）

A.38°B.30°C.64°D.52°

【考點】切線的性質；圓周角定理.

【專題】與圓有關的計算；推理能力.

【答案】A

【分析】先由圓周角定理得到/AOC=52°,由切線的性質得到NACO=90°,即可利用三角形內角和

定理求出NA的度數(shù).

【解答】解：?.?/￡>=26°,

/.ZAOC=2ZD=52°,

：AC切。。于點C,

：.ZACO=9Q°,

：.ZA=180°-ZACO-ZAOC=38°,

故選：A.

【點評】本題主要考查了切線的性質，圓周角定理，三角形內角和定理，利用圓周角定理求出/AOC

=52°是解題的關鍵.

填空題（共5小題）

11.（2025?浦口區(qū)校級模擬）如圖，在團ABC。中，過A,C,。三點的與A8相交于點E.若NA=104°,

則28°.

【考點】三角形的外接圓與外心；平行四邊形的性質；圓周角定理.

【專題】多邊形與平行四邊形；圓的有關概念及性質；推理能力.

【答案】28.

【分析】由平行四邊形的性質得出/A=NBCD=104°,求出NECZ）=180°-ZA=76°,則可得出

答案.

【解答】解：???四邊形AC8。是平行四邊形，

AZA=ZBCD=104°,

,/四邊形AECD是圓內接四邊形，

AZA+ZECD=180°,

.?.ZECD=180°-ZA=76°,

AZBCE=ZBCD-ZECD=104°-76°=28°,

故答案為：28.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質、圓內接四邊形的性質；熟練掌握以上知識是解決問題的關鍵.

12.（2025?肇州縣模擬）已知如圖，是O。的直徑，DB,。。分別切。。于點3,C,若NACE=26°,

ECD

【考點】切線的性質；圓周角定理.

【專題】與圓有關的計算；幾何直觀；推理能力.

【答案】52°.

【分析】連接8C,由切線長定理證明再求得N8CD=180°-90°-26°=64°,最

后由三角形的內角和定理求得的度數(shù).

【解答】解：AB是O。的直徑，DB,OC分別切O。于點3,C,如圖，連接8C,

ECD

：.ZACB=90°,BD=DC,

:./DBC=/DCB,

VZACE=26°,

AZBCD=180°-90°-26°=64°,

：.ZDBC^ZDCB^64°,

.?.ZZ）=180°-2X64°=52°,

故答案為：52°.

【點評】本題考查了切線的性質，圓周角定理，解答本題的關鍵是熟練掌握圓周角定理.

13.（2025?越秀區(qū)校級一模）將圓錐的側面沿一條母線剪開后展平，所得扇形的面積為6m圓心角6為

120°,則圓錐的底面圓的半徑為2.

【考點】圓錐的計算；扇形面積的計算.

【專題】與圓有關的計算；運算能力.

【答案】2

【分析】圓錐的母線長為R,根據(jù)扇形面積公式列關于R的方程并求解；設圓錐的底面圓的半徑為r,

根據(jù)弧長和圓的周長公式列關于r的方程并求解即可.

120

【解答】解：設圓錐的母線長為R,則病冗爐=6e，

解得R=6或R=-6（舍去）.

設圓錐的底面圓的半徑為廠，則2m

解得r=2,

...圓錐的底面圓的半徑為2.

故答案為：2.

【點評】本題考查圓錐的計算、扇形面積的計算，掌握扇形面積計算公式、弧長和圓的周長計算公式是

解題的關鍵.

14.（2025?永壽縣校級一模）如圖，△&￡）￡內接于。。，A8是。。的直徑，。?〃4。交0。于點（7,若/

BOC=62°,則NE的度數(shù)為28°.

【考點】三角形的外接圓與外心；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理.

【專題】線段、角、相交線與平行線；圓的有關概念及性質；運算能力；推理能力.

【答案】28.

【分析】連接8。，根據(jù)圓周角定理得到乙4。8=90。，根據(jù)平行線的性質得到/5W=/8OC=62。，

根據(jù)圓周角定理得到結論.

【解答】解：連接3，

是的直徑，

ZADB=90°,

'.'OC//AD,

：.ZBAD=ZBOC^62°,

：.ZABZ）=180°-ZADB-ZZ）AB=28°,

：.ZE=ZABD=28°,

故答案為：28.

【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，平行線的性質，熟練掌握圓周角定理是解題

的關鍵.

15.（2025?蘇州模擬）如圖，是O。的直徑，AC是。。的切線，切點為A,交O。于點。，點、E

是AC的中點，若。。半徑為1,BC=4,則圖中陰影部分的面積為_g—

C

【考點】切線的性質；扇形面積的計算.

【專題】與圓有關的位置關系；與圓有關的計算；推理能力.

【答案】V3-|.

【分析】根據(jù)切線的性質得到/BAC=90°,求出AC,AE的長，得出/4。。=120°，根據(jù)扇形的面

積公式計算即可.

【解答】解：是。。的直徑，AC是。。的切線，

AZBAC=90°,

半徑為1,

：.AB=2f

VZBAC=90°,BC=4,

AZC=30°,AC=VBC2-AB2=V42-22=2A/3,

???NB=60°,

AZAOD=2ZB=120°,

又二點E是AC的中點，

：.AE=1AC=V3,

2

圖中陰影部分的面積=2SMOE-S扇形AOD=2X/X遍xl-博察-=WY，

乙。UVz

故答案為：V3—金

【點評】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑.若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半

徑，也考查了圓周角定理和扇形的面積公式.熟練掌握切線的判定與性質是解題的關鍵.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?新鄉(xiāng)模擬）圖1是清明上河園中供人們游玩的中國古代的馬車，彰顯了古代人們的智慧.圖2

是馬車的側面示意圖,AC為過圓心O的車架，且AC與0O交于點8,地面CD與車輪。。相切于點D,

連接A。，BD.

（1）求證：ZBDC=ZA.

(2)小李測出車輪的直徑為1米，CD為展米,求8c的長度.

圖1圖2

【考點】切線的性質；圓周角定理.

【專題】與圓有關的位置關系；圖形的相似；運算能力；推理能力.

【答案】(1)證明見解答過程;

(2)2米.

【分析】(1)如圖，連接0D,根據(jù)切線的性質得到NOOC=90°,即根據(jù)圓周

角定理得到NAD8=90°,即/A+/ORD=90°根據(jù)等腰三角形的性質得到NOBD,求得/

BDC=/A；

(2)由(1)知根據(jù)相似三角形的判定和性質定理即可得到結論.

【解答】(1)證明：如圖，連接。。，

：與。。相切于點。，

圖2

：.ZODC=9Q°,即/O￡)B+N8Z)C=90°,

,：AB為O。的直徑，

/.ZADB=90°,

即NA+NOM=90°,

?/OB=OD,

；./OBD=/ODB,

；.NBDC=NA；

(2)解：由(1)知

又：/C=NC,

：.ACBD^/\CDA,

：.CD2^CA'CB.

：O。的直徑AB=1,CA^CB+l,CZ)2=6,

(CB+1)?C8=6,

解得CB=2,CB=-3（舍去）.

答：BC的長度為2米.

【點評】本題考查了切線的性質，相似三角形的判定和性質，解答本題的關鍵是證明

求出AC的長，從而求出A3、OA的長.

17.（2025?碑林區(qū)校級二模）如圖，AC是。。的直徑，點B在。O上，BD平分/ABC交。。于點D,

DE是。。的切線，交的延長線于點E.

（1）求證：DE//AC-,

1,,

（2）右tcmA=之，CE=5,求BE的長.

DE

【考點】切線的性質；解直角三角形；平行線的判定；圓周角定理.

【專題】與圓有關的位置關系；解直角三角形及其應用；運算能力；推理能力.

【答案】（1）證明過程見解答；

（2）9.

【分析】（1）連接OD根據(jù)AC是O。的直徑，可得NABC=90°,由2。平分/ABC,可得Nl=45°

根據(jù)圓周角定理可得/OOC=2NCBD=90°,再由。E是O。的切線，可得NODE=90°,進而可以

解決問題；

⑵根據(jù)圓周角定理得到NA8C=90°,得到tanA=器=/,如圖，過點C作CHOE于F,設EF

=k,CF=2k,根據(jù)勾股定理得到CE=*%=5,求得CP=2有，求得AC=2OC=4有，根據(jù)三角函數(shù)

的定義得到結論.

【解答】（1）證明：如圖，連接。

：AC是。。的直徑,

ZABC=90°,

???5O平分NABC,

：.ZCBD=45°,

ZDOC=2ZCBD=90°,

??,DE是。。的切線，

：.ZODE=90°,

：.ZODE=ZDOC=90°,

：.DE//AC；

(2)解：??,AC是。。的直徑,

ZABC=90°,

.’ABC1

??tanA=麗=中

如圖，過點。作CfU。后于凡

'：AC//DEf

/ABC=NE,

:./ECF=/BAC,

FF1

tanA=tanNECF=市=工,

:.設EF=k,CF=2k,

：.CE=?=5,

k—V5,

：.CF=2y/5,

■:/COD=/ODF=/CFD=90°,

四邊形OOFC是矩形，

,：OC^OD,

四邊形OOFC是正方形，

：.OC=CF=2瓜

：.AC=2OC=4>/5,

,BC1

?tanA=45=2,

.BCV5

??—,

AC5

：.BC=4,

：.BE=BC+CE=4+5=9.

【點評】本題考查了切線的性質，圓周角定理，解直角三角形，解決本題的關鍵是熟練掌握切線的性質.

18.(2025?合肥一模)如圖，為。。的直徑，C為。。上一點，過點C作。。的切線CE交4B的延長

線于點E,過點2作BOLCE交AC的延長線于點垂足為點?

(1)求證：C為AD的中點；

(2)若A8=10,AC=2Vn,求BE的長.

【考點】圓的綜合題.

【專題】幾何綜合題；運算能力；推理能力.

【答案】(1)見解析；

(2)BE=瑞.

04AC

【分析】(1)連接BC,OC.根據(jù)切線的性質得到OCLCE,由。C〃8。，得到二得到AC=

CD,即C為A。的中點；

(2)方法一：根據(jù)圓周角定理得到NACB=90°,根據(jù)勾股定理得到BC=7AB2—=

[1。2_(2&1)2=4,求得NBCE=NA,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BF=?s譏NBCE由⑴

知0C〃8。，根據(jù)相似三角形的性質得到BE=患；

解法2：根據(jù)圓周角定理得到NACB=/8C￡)=90°.根據(jù)勾股定理得至UBC=AMB?—AC?=

J102-(2V21)2=4,根據(jù)相似三角形的判定和性質定理即可得到結論.

【解答】(1)證明：連接BC,OC.

是O。的切線，

J.OCLCE,

:BDLCE,

：.OC//BD,

.OAAC

，9OB~CD'

*：OA=OB,

：.AC=CD,

即。為A。的中點；

(2)解：方法一：TAB為。。的直徑，

ZACB=90°,

在Rt^ABC中，BC=VAB2-AC2=J102-(2VH)2=4,

ZA+ZOBC=ZOCB+ZBCE=90°,

OB=OC,

；?NOBC=NOCB,

：.ZBCE=NA,

:?sin/BCE=sinA=器=5，

：.BF=BC-sinZBCE=

由(1)知0C〃8D,

△BEFs/\OEC,

tBFBEBE

??OC-OE—OB+BE9

8

,gBE

??5-5+BE'

解得BE=患；

解法2：TAB為OO的直徑，

ZACB=ZBCD=90°.

在Rt^ABC中，BC=yJAB2-AC2=J102-(2VM)2=4,

IC為AD的中點,

：.BD=AB=10,

'：BD±CE,

：.ZBFC=90°,

△BCDs^BFC,

.BCBD

??—,

BFBC

由（1）知OC//BD,

:.△BEFS^OEC,

.BFBEBE

"OC~0E~OB+BE'

8

.gBE

,?5-5+BE'

【點評】本題是圓的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，圓周角定理，切線的性質，勾股定理,

三角函數(shù)的定義，正確地作出輔助線是解題的關鍵.

19.(2025?烏魯木齊一模)如圖，是△ABC的外接圓，A8為。。的直徑，在△ABC外側作/CAD=

ACAB,過點C作于點。，交AB延長線于點P.

(1)求證：PC是。。的切線；

(2)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出/AC8所對弧的中點尸.(不寫作法，保留作圖痕跡)

(3)在(2)基礎上連接CF,交AB于點、E,連接8尸，若BF=5五,tan^PCB=求線段的長.

【專題】幾何綜合題；應用意識.

10

【答案】(1)(2)見解析；(3)y..

【分析】(1)直接證尸即可；

(2)過點0作OfUAB交0。于點F；

(3)90°的圓周角被平分出現(xiàn)45。，繼而推出等腰直角三角形，可求出半徑，然后通過相似三角形的

性質列方程求解即可.

【解答】(1)證明：連接OC,

U：OA=OC,

：.ZOCA=ZCAB,

9：ZCAD=ZCAB,

：.ZCAD=ZOCAf

J.AD//OC,

VCD±A￡),

???OCLDP,

?/oc是圓半徑，

???PC是OO的切線;

(2)解：如圖，點方即為所求；

(3)解：VZACB=90°,。方平分NAC8,

：.ZBCF=45°,

：.ZBOF=90°,

VOF=OB,BF=5五,

BF

???在/中，OB=7T=5,

,/NACO+/OCB=/PCB+/OCB,

：./ACO=/PCB,

：.ZCAO=/PCB=/CAD,

1

VtanZPBC=^,

/11

tanNCAO=立,tanNCAD=),

?*22V52V5

??tan/CAO=——g-,cosz_CAD=-g—,

VAB=10,

：.AC=AB*cosZCAO=lOx等=4^5,AO=AC?cosNCAO=4愿x等=8,

9：AD//0C,

：.AOCP^AADPf

.O￡OP_

??J—,

ADAP

設5尸=羽則OP=5+x,AP=10+x,

55+x

解得X=號,

810+x

10

：.BP=

T-

【點評】此題屬于圓的綜合題，考查了切線的判定和性質，解直角三角形，解題關鍵是找出特殊角求邊

長，靈活使用勾股定理和相似三角形.

20.(2025?官渡區(qū)校級模擬)如圖，AC為。。的直徑，/ADC的平分線交。。于點3,融為。。的切線,

PA'CB^AB'AC,連接尸B.

(1)求/ACB的度數(shù)；

(2)求證：PB+BC=PC；

「DB

(3)若DB=2V2DA,求一的值.

【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運算能力；推理能力.

【答案】(1)ZACB=45°；

(2)見解析；

2V2

(3)-----.

3

【分析】(1)根據(jù)直徑所對的角為直角可得N">C=90°,再利用角平分線的定義可得乙位圖=/2。。

=45°,然后根據(jù)同弧所對的圓周角相等即可求得答案；

(2)先證明結合可得△B4BsA4CB,進而證明NPB4=/A8C=90°,

即可得出尸、2、C三點在同一直線上，即可證明結論；

(3)過點A作AE_L5O交5。于點在RtZkADE中，DE=AD-cosZADE=再證明

DCEB

ss,可得一=一，繼而求出。。=2ZM,由此即可解題.

DAEA

【解答】(1)解：:AC是。0的直徑，

ZADC=ZABC=90°,

1

???ZADB=NBDC=^/.ADC=45°,

'：AB=AB

：.ZACB=ZADB=45°,

(2)證明：???AC為。。的直徑，以為OO的切線，

AAPAC=ZR\B+ZBAC=90°,ZACB+ZBAC=90°,

：.APAB=AACB,

胃PAAB

VB4*CB=AB-AC,即：一=—,

ACCB

???ARABS△ACS,

：.ZPBA=ZABC=9Q°,

???尸、B、。三點在同一直線上，

：.PB+BC=PC；

(3)解：如圖，過點A作垂足為E,

P

VZABD=45°,

在RtZXAOE中，DE=AD-cosZADE=AD-cos450=*AD,

:?DE=EA=：AD,

又?：DB=2五DA,

：.BE=BD-ED=242DA-^DA=竽D4

VAS=AB,

???/ABD=NACD,

又,.?NAM=NADC=90°,ZAEB=ZADC=90°,

△ABEs△AC。,

DCEB

DA~EA

DC乎DA

布二靠,即DC=3DA,

2

DB2y[2DA2V2

DC3DA3

【點評】本題屬于圓的綜合題，主要考查的是切線的性質、相似三角形的判定和性質、圓周角定理，掌

握圓的切線垂直于經過切點的半徑是解題的關鍵.

考點卡片

1.平行線的判定

(1)定理1:兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：同位角相等，

兩直線平行.

(2)定理2：兩條直線被第三條所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：內錯角相等，

兩直線平行.

(3)定理3：兩條直線被第三條所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行.簡單說成：同旁內角

互補，兩直線平行.

(4)定理4：兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行.

(5)定理5：在同一平面內，如果兩條直線同時垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行.

2.平行線的性質

1、平行線性質定理

定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角相等.

定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補.簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補.

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等.簡單說成：兩直線平行，內錯角相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

3.全等三角形的判定

(I)判定定理I：SSS--三條邊分別對應相等的兩個三角形全等.

(2)判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等.

(3)判定定理3：A&4--兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等.

(4)判定定理4：A4S--兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等.

(5)判定定理5：乩--斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應

相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾

邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊.

4.全等三角形的判定與性質

(1)全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，

關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.

(2)在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角

形.

5.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為C,那么/+廿=02.

(2)勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中.

22

(3)勾股定理公式/+廬=C2的變形有：a—Vc—b,b—7c2—必及c—7a2+爐.

(4)由于/+廬=C2>/，所以c>a,同理c>"即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角

邊.

6.平行四邊形的性質

(1)平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

(2)平行四邊形的性質：

①邊：平行四邊形的對邊相等.

②角：平行四邊形的對角相等.

③對角線：平行四邊形的對角線互相平分.

(3)平行線間的距離處處相等.

(4)平行四邊形的面積：

①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積.

②同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等.

7.正方形的性質

(1)正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.