山東省臨沂市2025屆高三一?？荚嚁?shù)學(xué)試卷（答案版）

2025年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（模擬）

數(shù)學(xué)

2025.2

注意事項(xiàng)：

L答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號(hào)、姓名、考點(diǎn)學(xué)校、考場(chǎng)號(hào)及座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

5

1.2^i=（）

A2+iB.2-i

C.l+2iD.l-2i

【答案】A

【解析】

【分析】運(yùn)算復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.

55（2+i）5（2+i）

---=7----77----r=---7--r=2+1，

2-i（2-i）（2+i）4-（-1）

故選：A

2.已知集合4={同2尤—a<0},5={x[l<x<2}.若4口3=0,則a的取值范圍為（）

A.（-co,l）B.C.（-oo,2）D.

【答案】D

【解析】

【分析】由4口3=0,可得@41,即可得解.

2

A={x|2x-a<。}=<xx<^>,

因?yàn)?/p>

所以解得aW2,

2

所以。的取值范圍為（—8,2］.

故選：D.

3.直線2x—3y+l=0的一個(gè)方向向量是（）

A.（2,3）B.（3,2）C.（2,-3）D.(3,-2)

【答案】B

【解析】

【分析】把直線方程化為斜截式，根據(jù)直線方向公式進(jìn)行判斷即可.

2x—3y+l=0ny=|x+；,所以該直線的一個(gè)方向向量為,

因?yàn)椋?,2）=所以向量（3,2）與向量是共線向量，

其他選項(xiàng)的向量與向量［1,1］不是共線向量，

故選：B

4.圓6：/+/=1與圓6x—8y+9=0的位置關(guān)系是（

A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出圓心距即可判斷.

圓<:N+y2=1的圓心￡（0,0）,半徑.=I,

22

圓C2:x+y—6x—8y+9=0,即C2:(x—3)~+(y—4)~=16,圓心C2(3,4),半徑—4,

則|GQ|=’32+42=5=/+',所以兩圓外切.

故選：c.

5.在VABC中，點(diǎn)。是的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在上，若方=2通+,而，則4=()

3

【答案】B

【解析】

【分析】由題意在=(］一幾］回+4函，CD=-C2+-CB,根據(jù)點(diǎn)尸在CD上，即可列方程求解.

U)22

由題意點(diǎn)。是A3的中點(diǎn)，所以詼=,西+工麗，

22

又而=4麗+g/,所以工+。=2(恁+醞)+g〃，

解得萬(wàn)二『'm+/1醞,

又因?yàn)辄c(diǎn)尸在。上，

1

所以［―==,解得無(wú)='或彳=—2(舍去).

--2233

3

故選：B.

6.(l+x)i°的展開(kāi)式中的一項(xiàng)是()

A.45尤B.90x2C.120x3D.240x4

【答案】C

【解析】

【分析】由二項(xiàng)式定理展開(kāi)式通項(xiàng)即可驗(yàn)算.

10r

(1+%)的展開(kāi)式通項(xiàng)為Tr+l=C［ox,對(duì)比選項(xiàng)依次代入r=1,2,3,4得對(duì)應(yīng)項(xiàng)，

(1+%)10的展開(kāi)式中的項(xiàng)可以是10x,45爐,120x3,210x4.

故選：C.

7.已知/(x)=tanx,若對(duì)任意實(shí)數(shù)ae(—1,1)力e(—1,1),貝『七+人>0”是“/(a)+/(E)>0”的

()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】綜合利用正切函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性分析判定.

因?yàn)?(x)=tanx是(-M)內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，并且是奇函數(shù),

所以tana+tanZ?>0otana>-tan〃otana>tan(-〃)oa>oa+Z?>0,

所以“a+匕>0”是“/(a)+/0)>0”充分必要條件，

故選：C.

8.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為％且S“+”4=l,貝嗨足S”〉0.99時(shí)，〃的最小值為()

A.49B.50C.99D.100

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)S",的關(guān)系求出見(jiàn),S”的表達(dá)式，進(jìn)一步解不等式即可得解.

因?yàn)镾"+"a"=l,所以

當(dāng)“22時(shí)，Sn+nan=Sn_x+(?-1)an_r=1,所以+,

a〃一]aa1a,%a?

即一^-=----,止匕時(shí)4=-^X-^"X-^?..X」X-xq

a

n-\〃+l4-14-2a“一3a2%

n-1n-2n-332111

---------X-----------X-----------X-X—X—X—X—=---------------a=1也滿足該式,

〃+lnn-15432+

1

故為=，二1-na=1—

n〃+1

若S,,=1—-—>0.99,解得〃〉99,故所求為100.

〃+1

故選：D.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.甲，乙兩個(gè)體育社團(tuán)小組成員的某次立定跳遠(yuǎn)成績(jī)(單位：厘米)如下：

甲組：244,245,245,246,248,251,251,253,254,255,257,263

乙組：239,241，243,245,245,247,248,249,251,252

則下列說(shuō)法正確的是()

A.甲組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是252

B.乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是246

7

C.從甲、乙兩組各隨機(jī)選取一個(gè)成員，兩人跳遠(yuǎn)成績(jī)均在250厘米以上的概率為一

60

D.甲組中存在這樣的成員，將他調(diào)派到乙組后，甲、乙兩組的跳遠(yuǎn)平均成績(jī)都有提高

【答案】BCD

【解析】

【分析】對(duì)于A直接利用百分位數(shù)計(jì)算公式即可；對(duì)于B根據(jù)公式計(jì)算中位數(shù)和平均數(shù)；對(duì)于C根據(jù)古典

概率公式計(jì)算即可；對(duì)于D,求出兩者平均數(shù)判斷即可.

對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)?2x60%=7.2,所以甲組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是第8個(gè)數(shù)，即253,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)?0x50%=5,所以乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第5個(gè)數(shù)與第6個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即

245+247皿丁立

-------------=246，故B正確；

2

對(duì)于選項(xiàng)C,甲組中跳遠(yuǎn)成績(jī)?cè)?50厘米以上的有7人，乙組中跳遠(yuǎn)成績(jī)?cè)?50厘米以上的有2人,

所以從甲、乙兩組各隨機(jī)選取一個(gè)成員，兩人跳遠(yuǎn)成績(jī)均在250厘米以上的概率為

727

—><—=——，故C正確；

121060

對(duì)于選項(xiàng)D,甲組的平均成績(jī)?yōu)?/p>

244+245+245+246+248+251+251+253+254+255+257+263…廣,

------------------------------------------------------------------------------------------=251厘米，

12

,口3十3~*位239+241+243+245+245+247+248+249+251+252”

乙組的平均成績(jī)?yōu)?------------------------------------------------------=246厘米,

10

所以將甲組中跳遠(yuǎn)成績(jī)?yōu)?48厘米的成員調(diào)派到乙組后，甲、乙兩組的跳遠(yuǎn)平均成績(jī)都有提高，故D正確.

故選：BCD.

io.圓柱。軸截面是正方形，a，2分別是上、下底面的圓心，是下底面圓周上兩個(gè)不同的

點(diǎn)，3C是母線，若圓柱的側(cè)面積為16兀，則（）

A.圓柱的體積是16兀

B.圓柱內(nèi)切球的表面積是8兀

C.AQBC=16

D.點(diǎn)B到直線距離的最大值為后

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)圓柱體積公式、側(cè)面積公式，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式、點(diǎn)到線距離公式逐一判斷即可.

設(shè)圓柱的底面半徑為「，所以母線為2r,

因?yàn)閳A柱。iQ的側(cè)面積為16兀，所以2兀八2廠=16兀=>r=2.

因?yàn)閳A柱0Q的體積是兀?2?x2x2=16兀，所以選項(xiàng)A正確；

因?yàn)閳A柱QQ的底面半徑為2,所以母線為4,所以圓柱QU內(nèi)切球的半徑為2,

所以圓柱內(nèi)切球的表面積是4兀-22=16兀，因此選項(xiàng)B不正確；

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

q（0,0,4）,5（0,2,0）,C（0,2,4）,設(shè)A（2cos6,2sin。,。）,sinOwl,

~AOX=（-2cos0-2sin6>,4）,BC=（0,0,4）,

AQ-BC=（-2cos6>,-2sin6>,4）.（0,0,4）=（-2cos6>）x0+（-2sin6>）x0+4x4=16,

所以選項(xiàng)C正確；

設(shè)。=AB=（-2cos6,2-2sine,0）,

直線A。1的單位方向向量為

u=J。；=/1-----（-2cos，，-2sin，,4）=—（-cos，，-sin2）

\AO\V4cos20+4sin20+165"

所以點(diǎn)B到直線AO】距離為

-2

4cos28+4—8sin8+4sin28—^-2sin^+2sin29)

-%sine+更:—：(sin6+4『+20,

555

由題意-14sin，＜l,所以當(dāng)sin8=—1時(shí),選項(xiàng)D不正確,

故選：AC.

【小結(jié)】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求點(diǎn)B到直線AO,距離的最大值的關(guān)鍵是利用點(diǎn)到直線距離的向量公式寫(xiě)出表達(dá)式,

根據(jù)正弦函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.

H.將曲線。：丁=叵+氈經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)可得到雙曲線石：±-衛(wèi)=1,若直線丁=機(jī)與c只有一個(gè)公共

-3xa2b°

點(diǎn)，與E交于A3兩點(diǎn)，則（）

A.m=2\/2B.a-2y/3

C.b=2D.\AB\=2y/6

【答案】BC

【解析】

【分析】由雙曲線定義、對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)依次求得"力,加，進(jìn)一步只需聯(lián)立y=2拒與

E:土-乙=1即可判斷D.

124

對(duì)于BC,由題意將曲線。：丫=叵+2叵夾在中間的兩條漸近線方程為y=正X,X=0,

3x3

7171

所以這兩條漸近線所形成的那個(gè)銳角的一半為夕_5一%_兀，

u--------—

26

曲線C：y=Yi￡+2叵的兩條漸近線y=Y3x,X=0的中間那條直線為丫=6》,

3x3

聯(lián)立y=屆以及C：y=&+9，解得卜=也或卜?

3x[y=3=

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，—=tan0=,2a=2d3+9=4百，解得〃=26,Z?=2,故BC正確,

a3

對(duì)于A,若直線y=m與。：>=叵+2叵只有一個(gè)公共點(diǎn)，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得加=±2&,故A錯(cuò)

3x

誤；

22

對(duì)于D,要求卻，由雙曲線的對(duì)稱性可知，只需聯(lián)立y=20與石：巳-（=1,

x-6[x=-6..

解得1廠或1廠，gp|AB|=12,故D錯(cuò)誤.

y=2V2[y=2y/2

故選：BC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設(shè)隨機(jī)變量&?N（2,5）,若PC<m）=P（J>m—l）,則機(jī)=.

【答案】-

2

【解析】

【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)即可得解.

由題意〃=2,P（^<m）=P（^>m-l）,所以—+；—1=2,解得機(jī)=g.

故答案為：一.

2

13.2025年春晚，劉謙表演了一個(gè)現(xiàn)場(chǎng)互動(dòng)魔術(shù)，道具只有三個(gè)：勺子、筷子和杯子.劉謙讓觀眾從左到右

隨便擺放這三個(gè)道具，分為三個(gè)位置：左位、中位和右位.假若按照魔術(shù)規(guī)則只進(jìn)行前兩步：第一步，筷子

跟它左邊的東西互換位置，如果筷子已經(jīng)在最左邊，那么就不需要移動(dòng)；第二步，杯子跟它右邊的東西互

換位置，如果杯子已經(jīng)在最右邊，就不需要移動(dòng).完成這兩步后，在杯子出現(xiàn)在右位的條件下，筷子出現(xiàn)在

中位的概率是.

【答案】|

【解析】

【分析】由條件概率知識(shí)即可求解.

我們不妨把勺子、筷子和杯子的第一個(gè)字的拼音的第一個(gè)小寫(xiě)英文字母來(lái)代替這三個(gè)東西，

例如s妨代表勺子在左位置，筷子在中位，杯子在右位，

一開(kāi)始狀態(tài)有S幼,她女力依，加匕依伍姑S六種情況，我們用T■表示一次調(diào)換,

那么根據(jù)題意有，第一種初始狀態(tài)下的變換過(guò)程為：skbfksb,

第二種初始狀態(tài)下的變換過(guò)程為：sbkfskb,

第三種初始狀態(tài)下的變換過(guò)程為：bksrkbsrksb,

第四種初始狀態(tài)下的變換過(guò)程為：bskrbksrkbs,

第五種初始狀態(tài)下的變換過(guò)程為：ksbfksb,（本質(zhì)上沒(méi)有調(diào)換），

第六種初始狀態(tài)下的變換過(guò)程為：kbs^ksb,

從以上可以看出來(lái)，末狀態(tài)杯子在右邊對(duì)應(yīng)的初始狀態(tài)有：第一、二、三、五、六種初始狀態(tài)共5種情

況，

在杯子出現(xiàn)在右位的條件下，筷子出現(xiàn)在中位的末狀態(tài)只能是s妨（對(duì)應(yīng)的初始狀態(tài)是第二種初始狀態(tài)），

故所求概率為3.

故答案為：—.

14.點(diǎn)在直線y=nx+〃（“eN*）上，點(diǎn)"（馬，加）在拋物線=4x上，記監(jiān)N兩點(diǎn)間的最小

丁.2?

距離為d“（v,N）,若口Clj—?〃八，則口力（M,N）=

z=ln=2

1013

【答案】

2025

【分析】本題可先求出/、N兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而得出IMNI的表達(dá)式，然后求出最

2025

后根據(jù)4（M,N）的表達(dá)式計(jì)算N）的值.

n=2

已知點(diǎn)”（項(xiàng),附在直線y=nx+n（neN*）上，

則將點(diǎn)〃代入直線方程可得加=〃玉+〃①.

點(diǎn)Nix"在拋物線/=4%上，則將點(diǎn)N代入拋物線方程可得加2=4X2②.

因?yàn)镸、N兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，所以|ACV|=|x2-%I.

r,nm一nH小與/曰m2n.i???2m—n,m2m-

由①可得玉二-----,由②可得%2=—，貝11MzV|=|--------------1t=|-----------1-11.

n44n4n

令/=一,貝」+1],將其轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式：

2n

,…l2it,2itfiYfiY,,71丫?i,

|MN|=|t~------F11=|------1-———+11=|t—+1——|f

nnyn)\n)\n)n

111

因?yàn)椤?20,所以當(dāng)％二—時(shí)，|MN|取得最小值，|MN1=11—下I.

nnnmhi

(〃―1)5+1)

因?yàn)椤ā闚"，所以1----2〉°，則d(M,N)=|MN1in=1----T—",1

nnmnn

2025

1~T//A/2、1x32x43x52024x2026

X-

20252

可以發(fā)現(xiàn)上式中相鄰兩項(xiàng)的分子分母可以約分，約分后可得:

少2:120261013

口4,(”,N)__x____

n=2220252025

1013

故答案為:

2025

【小結(jié)】方法點(diǎn)睛:

對(duì)于求平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離最值的問(wèn)題，先根據(jù)點(diǎn)所在的曲線方程得到坐標(biāo)之間的關(guān)系，再將距

離表示為關(guān)于某一變量的函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)（如二次函數(shù)的頂點(diǎn)式）來(lái)求解最值.在處理連乘形式的式

子時(shí)，要善于觀察式子中各項(xiàng)的規(guī)律，通過(guò)約分等方法簡(jiǎn)化計(jì)算.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知a,",c分別為VABC三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且JGacosC+csinA-=0.

（1）求A；

（2）若c=3,asiiiB=2豆，求a.

JT

【答案】（1）A=—

3

（2）屈

【解析】

【分析】（1）由正弦定理、兩角和的正弦公式可得tanA=也，由此即可得解;

（2）由正弦定理得〃=4,再由余弦定理即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

由正弦定理邊化角可得百sinAcosC+sinCsinA—百sin5=0，

即>/3sinAcosC+sinCsinA=\/3sinB=^3sin(A+C)=^3sinAcosC+43cosAsinC,

sm

所以sinCsinA=6cosAsinC，因?yàn)閟inC〉0,cosA=—^〉0,

所以tanA=g，又Ae(O,7i),解得A=］；

【小問(wèn)2詳解】

若c=3,asin3=2g\則asinB=2RsinAsin3=》sinA=且人=2石，這里R是三角形ABC外接圓

2

的半徑，

解得匕=4,

由余弦定理可得a=y/b2+c2-2bccosA=^42+32-2x4x3x1=713.

16.已知函數(shù)/(x)=(2x+l)e”.

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)-爪在(-8,0)上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求左的取值范圍.

【答案】(1)3x-y+l=0

⑵|因

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；

(2)分離參數(shù)可得(=°"+1)文，構(gòu)造函數(shù)五(力=(2x+l)e：xe(—oo,0)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)

XJC

區(qū)間，作出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

由/(x)=(2x+1)e",得r(x)=(2x+3)e\

則/■(())="⑼=3,

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(0"(0))處的切線方程為y—1=3%,即3x—y+l=0；

小問(wèn)2詳解】

令g(x)=/(x)—丘=0,則左=ZH=(2x+l)1，

令Mx)=°x+l)ex”(—00,0),

則%）=（2/+1）匚（21）卜1戶

,xe(-oo,0)>

令〃（X）＞0,則九＜一1,令〃（尤）＜0,則一1＜%＜0,

所以函數(shù)妝%）在（-咫-1）上單調(diào)遞增，在（T0）上單調(diào)遞減,

所以/2（X）max=/：（-1）=-,

e

丸⑴=（2x+l）e=21+幺,當(dāng)x-—8時(shí)，力（九）一*0,

XX

當(dāng)XfO時(shí)，TO,

因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=/（x）-Ax在（TO,0）上恰有兩個(gè)零點(diǎn),

所以函數(shù)丁=Ky=/z（x）的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn),

所以上的取值范圍為

17.《教育強(qiáng)國(guó)建設(shè)規(guī)劃綱要（2024-2035年）》中指出深入實(shí)施素質(zhì)教育，健全德智體美勞全面培養(yǎng)體

系，加快補(bǔ)齊體育、美育、勞動(dòng)教育短板，某中學(xué)為了解學(xué)生每天參加綜合體育活動(dòng)的情況，隨機(jī)調(diào)查了

100名男生和100名女生，統(tǒng)計(jì)他們周一到周五在校期間的運(yùn)動(dòng)步數(shù)，數(shù)據(jù)如下表所示:

運(yùn)動(dòng)步

合

數(shù)（萬(wàn)（2,3）[3,4)[4,5)[5,6)[6,7)[7,8)

計(jì)

步）

人數(shù)

12qa2。394100

（男）

人數(shù)

144瓦72100

（女）

表中數(shù)據(jù)%,出，。3,9成等差數(shù)列；4力2,仇成公比為正整數(shù)的等比數(shù)列.

（1）若周一到周五在校期間的運(yùn)動(dòng)步數(shù)達(dá)到5萬(wàn)步視為體育鍛煉達(dá)標(biāo)，估計(jì)該中學(xué)男生體育鍛煉的達(dá)標(biāo)

率；

（2）為進(jìn)一步了解女生每天參加綜合體育活動(dòng)情況，在步數(shù)位于（2,5）,［5,8）兩組內(nèi)的女生中，采用等

比例分層抽樣的方法抽取10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，記步數(shù)在［5,8）內(nèi)的人數(shù)為X,

求X的分布列和期望.

【答案】⑴30%

3

（2）分布列見(jiàn)解析，E（X）=-

【解析】

【分析】（1）需要根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出男生運(yùn)動(dòng)步數(shù)達(dá)到5萬(wàn)步的人數(shù)，進(jìn)而計(jì)算達(dá)標(biāo)率；（2）先根

據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)求出相關(guān)人數(shù)，再利用分層抽樣確定抽取人數(shù)，最后通過(guò)古典概型求出隨機(jī)變量X的分布

列和期望.

【小問(wèn)1詳解】

已知01M2,%，9成等差數(shù)列,設(shè)公差為d,則%+3d=9.

又因12+q+%+“3+9+4=100,即q+a?+q=75.

由等差數(shù)列性質(zhì)4+4+%=34=75,可得為=25.

a.+d=25

聯(lián)立方程組〈c,c，解得d=—8,4=33,%=25+（—8）=17.

+3a=9

男生運(yùn)動(dòng)步數(shù)達(dá)到5萬(wàn)步（即［5,6）、［6,7）、［7,8）這三組）的人數(shù)為17+9+4=30人.

30

所以男生體育鍛煉的達(dá)標(biāo)率為一x100%=30%.

100

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)?，仇,偽成公比為正整數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)公比為4（qeN+）,

且14+4+b2+b]+7+2=100,即4+%+4=77.

所以4+b^q+b^q1=77,即々(l+q+q2)=77.

因?yàn)閝￡N+,&GN+,

77

當(dāng)q=l，4=1",舍去；當(dāng)q=2,4=11/2=22,4=44滿足題意；

7711

當(dāng)q=3,4=曾，舍去.當(dāng)q=4,4=],舍去.

7777

當(dāng)4=5也=不，舍去.當(dāng)q=6,4=w，舍去.

7777

當(dāng)4=7,4=L,舍去.當(dāng)4=8,4=—，舍去.當(dāng)q=9,4<l,舍去.

5773

步數(shù)位于(2,5)內(nèi)的女生人數(shù)為14+44+22=80人，步數(shù)位于［5,8)內(nèi)的女生人數(shù)為11+7+2=20人.

on

采用等比例分層抽樣抽取10人，則從步數(shù)位于(2,5)內(nèi)抽取10x益=8人，從步數(shù)位于［5,8)內(nèi)抽取

10—8=2人.

隨機(jī)變量X表示步數(shù)在［5,8)內(nèi)的人數(shù)，X的可能取值為0，1，2.

32

P(X=O)=WC=7'；P(X=1)=CE2cl^，7；P(X=2)=C當(dāng)*CJ1

，15C：°15C：°15

所以X的分布列為:

X012

771

P

151515

77193

期望E(X)=0x—+lx——+2x—=—

151515155

18.在△NBC中，NB=90°,ADHBC,NA=CD=2AB=2,如圖將VN4O沿AD翻折至△PAD.

(1)證明：平面P8C1.平面MB；

(2)若二面角P—AD—5大小為120°.

(i)求上4與平面P6C所成角的正弦值;

(ii)在線段P￡>上是否存在點(diǎn)E,使得平面ABE與平面PDC所成角的余弦值為g?若存在，確定點(diǎn)E

的位置；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

M11A

(2)(i)(ii)存在點(diǎn)E,當(dāng)?！?—。尸或?！?。尸時(shí)滿足題意

1425

【解析】

【分析】(1)只需證明平面/^45，注意到AO/ABC,故只需證明平面已鉆，由

AD±AP,AD±AB即可證明AD，AP,AD，AB；

(2)(i)由題意得即二面角P—AD—5的平面角，結(jié)合解三角形知識(shí)求解即可；(ii)建立適當(dāng)?shù)?/p>

空間直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)之詼=2麗,Xe(O,l),將平面與平面PDC的法向量表示出來(lái)，結(jié)合平

面ABE與平面PDC所成角的余弦值為1列出關(guān)于2的方程，判斷該方程的解的情況即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)镹B=90°,A。//3C,所以ADJ_AP,ADLAB,

因?yàn)锽4cAB=AB4,ABu平面MB，所以AD,平面MB,

所以平面E43,又BCu平面P6C,所以平面PBC,平面R45；

【小問(wèn)2詳解】

(i)在四棱錐P—ABCO中，由(1)知445即二面角P—A￡>—5的平面角，

故NPA3=120。，因?yàn)镸L=CD=2A3=2,所以NC=6,NB=3,

從而B(niǎo)C=36,ZDCB=30°,

過(guò)點(diǎn)A作A尸，PB,交PB于點(diǎn)F,又因?yàn)榭傻肁PJ_平面P3C,/N與平面P3C所成

角即為NAP產(chǎn).

在△K4B中，由余弦定理可得：PB=V/^42+AB2-2B4--cos1200=A/7-

-PA-ABsin1200阮人口不

由等面積法，Ab=2——-------------=^—,sinZAPF=—=L,

LpB7AP14

2

所以上4與平面PBC所成角的正弦值為叵；

14

(ii)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,0,0),網(wǎng)-1,0,6),5(1,0,0),。(0,2后0),。(1,3點(diǎn)0卜

DP=(-1,-2A/3,A/3),

設(shè)瓦=XDP,2e(O,l),可得E(-2,(1-2),6孫

AE=(-2,2V3(1-2),^2),AB=(1,0,0),DC=(1,A/3,0),

設(shè)平面ABE的法向量為沆=(x,y,z),平面PDC的法向量為為=(a,b,c),

m-AB=0x=0

一，即《

?

m-AE=0-Ax+2y/3(l-2)y+y/32z=0

令y=X,可得沅=(0,42(幾一1)),

n-DP=0—ci—2^/3Z?+y/3c-0

即VL

n-DC=O〃+A/3/?=0

令a=6,可得為=(Q,—1,—1卜

|32-2|1

設(shè)平面ABE與平面尸DC的夾角為6,cos0=

V5-A/522-82+45

14

解得X=—或一,

25

14

所以存在點(diǎn)E，當(dāng)DE=—DP或DE=—DP時(shí)滿足題意.

25

【小結(jié)】結(jié)論點(diǎn)睛：若直線/,機(jī)的方向向量分別為￡出，平面外夕的法向量分別為則

(兀、\a-b

①兩異面直線/,加所成的角為。0＜。＜彳，cos^=L^.

【2j\a\\b

\a-u\

②直線/與平面a所成的角為。0＜，＜、，sin8=

雨

③二面角。一/一，的大小為。(04。4兀),|cos6>|=tJ.

22

19.已知橢圓E：二+二=l(a〉0,6〉0)的離心率為4,6是E的左、右焦點(diǎn)，且山閭=4夜,

a2b2

直線k過(guò)點(diǎn)片與E交于AB兩點(diǎn).

(1)求E的方程;

(2)若|AB|=2石，求)的方程;

(3)若直線過(guò)點(diǎn)尸2與E交于兩點(diǎn)，且/1，/2的斜率乘積為-；,",^^分別是線段45,。。的中點(diǎn),

求zjW面積的最大值.

22

【答案】(1)