上海市實驗學(xué)校2024～2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

/上實驗2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高二年級數(shù)學(xué)期中2025.4一、填空題1．若事件與互斥，且，（B），則．2．某小組成員的年齡分布莖葉圖如圖所示，則該小組成員年齡的第25百分位數(shù)是．3．上海市實驗學(xué)校為了組織2025體育節(jié)，從高二年級挑選3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有種.4．在的展開式中，的系數(shù)是（結(jié)果用數(shù)字表示）.5．若雙曲線的一條漸近線方程為，則_________.6．已知具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量x、y之間的一組數(shù)據(jù)如下：x01234y12a57若回歸方程為，則．7．隨著工業(yè)化以及城市車輛的增加，城市的空氣污染越來越嚴(yán)重，空氣質(zhì)量指數(shù)API一直居高不下，對人體的呼吸系統(tǒng)造成了的嚴(yán)重的影響．現(xiàn)調(diào)查了某市500名居民的工作場所和呼吸系統(tǒng)健康狀況，得到列聯(lián)表如下，則．（結(jié)果精確到0.001）室外工作室內(nèi)工作總計有呼吸系統(tǒng)疾病150無呼吸系統(tǒng)疾病100總計2008．設(shè)隨機變量的分布列如下：①；②當(dāng)時，；③若為等差數(shù)列，則；9．上海市實驗學(xué)校高二理科班學(xué)習(xí)創(chuàng)新小組在一次偶然情況下發(fā)現(xiàn)：唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登上望烽火，黃昏飲馬傍交河，”其詩中隱含著一個有趣的“將軍飲馬”問題，這是一個數(shù)學(xué)問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使得總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，將軍從點A(3,0)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y?4=0，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即為回到軍營。上實高二理科班創(chuàng)新學(xué)習(xí)小組做了兩種假設(shè)：（1）若軍營所在區(qū)域為：x2+y2≤1；（2）若軍營所在區(qū)域為Ω'：10．2025上海市實驗學(xué)校舉辦盛大體育節(jié)，高二（6）班組成籃球隊參賽，為了取得優(yōu)異比賽成績，籃球隊有5名隊員做傳球訓(xùn)練.第一次由隊員甲將球傳出，每次傳球時傳球者都等可能地將球傳給另外四人中的任何一人，則第n次傳球后籃球在隊員甲手中的概率為.二、單選題11．現(xiàn)有以下兩項調(diào)查：①從40臺剛出廠的大型挖掘機中抽取4臺進(jìn)行質(zhì)量檢測；②在某校800名學(xué)生中，型、型、型和型血的學(xué)生依次有300，200，180，120人．為了研究血型與色弱的關(guān)系，需從中抽取一個容量為40的樣本．完成這兩項調(diào)查最適宜采用的抽樣方法分別是（）.A．①②都采用簡單隨機抽樣 B．①②都采用分層隨機抽樣 C．①采用簡單隨機抽樣，②采用分層隨機抽樣 D．①采用分層隨機抽樣，②采用簡單隨機抽樣12．從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（）.A．恰好有一個白球與都是紅球 B．至多有一個白球與都是紅球 C．至多有一個白球與都是白球 D．至多有一個白球與至多一個紅球13．已知的兩條漸近線與直線圍成三角形區(qū)域，那么，表示該區(qū)域的不等式組是（）.A．B．C． D．14．2025上海市實驗學(xué)校舉辦體育節(jié)，為了增加體育節(jié)的趣味性，同時提高全體師生的參與熱情，學(xué)校體育組購買了很多獎品，然后放入個盲盒，其中有個內(nèi)有獎品.若抽獎?wù)哌x定了一個盲盒但未打開時組織方（知道盲盒內(nèi)部是否有獎品）打開了一個沒有獎品的盲盒，此時抽獎?wù)咧匦逻x定另外一個盲盒后打開，記此時中獎的概率為；若抽獎?wù)哌x定了一個盲盒但未打開時有個未選的盲盒因被風(fēng)吹掉而意外打開，且抽獎?wù)甙l(fā)現(xiàn)其內(nèi)部沒有獎品，此時抽獎?wù)咧匦逻x定另外一個盲盒后打開，記此時中獎的概率為，則對任意符合題意的m，n，都有（）.A． B． C． D．無法確定與的大小關(guān)系三、解答題15．一個盒子里裝有標(biāo)號為1，2，3，4的4張標(biāo)簽，隨機地選取兩張標(biāo)簽，一次選取一張．（1）若標(biāo)簽的選取是無放回的，寫出該隨機試驗的一個等可能的樣本空間，并求兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率；（2）若標(biāo)簽的選取是有放回的，寫出該隨機試驗的一個等可能的樣本空間，并求兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率．16.已知橢圓（）的長軸長為，離心率為．直線與橢圓有兩個不同的交點．（1）求橢圓的方程；（2）若直線的方程為：，橢圓上點關(guān)于直線的對稱點（與不重合）在橢圓上，求的值；17．上海市實驗學(xué)校為了舉辦好2025體育節(jié)，在全校推行志愿者選拔面試工作，現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績并分成五組：第一組，，第二組，，第三組，，第四組，，第五組，，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．（1）求、的值，并估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)；（2）在第四、五兩組志愿者中，按比例分層抽樣抽取5人，然后再從這5人中選出2人，求選出的兩個來自同一組概率．18.2025上海市實驗學(xué)校體育節(jié)開展飛鏢趣味運動比賽，其中、兩個班級進(jìn)入飛鏢趣味運動比賽的關(guān)鍵階段，該比賽采取累計得分制，規(guī)則如下：每局比賽不存在平局，獲勝者得分，失敗者不得分，其中累計得分領(lǐng)先對方分即可贏得最終勝利，或者局比賽結(jié)束積分領(lǐng)先贏得最終勝利．假設(shè)每局比賽中班獲勝的概率均為，且各局比賽的結(jié)果相互獨立．(1)求飛鏢趣味比賽班以比贏得最終勝利的概率；(2)此次飛鏢趣味比賽中記比賽停止時已比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布及數(shù)學(xué)期望．四、附加題19．馬爾可夫鏈?zhǔn)且蚨韲鴶?shù)學(xué)家安德烈·馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，為了避免就餐聚集和減少排隊時間，某校開學(xué)后，食堂從開學(xué)第一天起，每餐只推出即點即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞停阎惩瑢W(xué)每天中午會在食堂提供的兩種套餐中選擇，已知他第一天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿椋耙惶爝x擇了米飯?zhí)撞秃笠惶炖^續(xù)選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?，前一天選擇面食套餐后繼續(xù)選擇面食套餐的概率為，如此往復(fù)．(1)求該同學(xué)第二天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕剩?2)記該同學(xué)第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?；①證明：為等比數(shù)列；②當(dāng)時，恒成立，求取值范圍．20.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線．對平面內(nèi)不在上的任意一點，記為過點且與有兩個交點的直線的全體．對任意直線，記為與的兩個交點，定義．若存在一條直線滿足：與的兩個交點位于軸異側(cè)，且對任意直線，，均有，則稱為“好點”．求所有好點所構(gòu)成的區(qū)域的面積．上實驗2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高二年級數(shù)學(xué)期中2025.4一、填空題1．若事件與互斥，且，（B），則．【答案】【解析】由于事件與互斥，且，所以（A）（B），故（A），所以．故答案為：．2．某小組成員的年齡分布莖葉圖如圖所示，則該小組成員年齡的第25百分位數(shù)是．【答案】32.5【解析】因為，所以該小組成員年齡的第25百分位數(shù)是．故答案為：32.5．3．上海市實驗學(xué)校為了組織2025體育節(jié)，從高二年級挑選3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有種.【答案】36【解析】=364．在的展開式中，的系數(shù)是（結(jié)果用數(shù)字表示）.【答案】207【解析】-=2075．若雙曲線的一條漸近線方程為，則_________.【答案】26．已知具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量x、y之間的一組數(shù)據(jù)如下：x01234y12a57若回歸方程為，則.【答案】2【解析】，，因為回歸方程為，所以，解得.故答案為:27．隨著工業(yè)化以及城市車輛的增加，城市的空氣污染越來越嚴(yán)重，空氣質(zhì)量指數(shù)API一直居高不下，對人體的呼吸系統(tǒng)造成了的嚴(yán)重的影響．現(xiàn)調(diào)查了某市500名居民的工作場所和呼吸系統(tǒng)健康狀況，得到列聯(lián)表如下，則．（結(jié)果精確到0.001）室外工作室內(nèi)工作總計有呼吸系統(tǒng)疾病150無呼吸系統(tǒng)疾病100總計200【答案】3.968【解析】補全列聯(lián)表室外工作室內(nèi)工作總計有呼吸系統(tǒng)疾病150200350無呼吸系統(tǒng)疾病50100150總計200300500.故答案為：3.968.8．設(shè)隨機變量的分布列如下：①；②當(dāng)時，；③若為等差數(shù)列，則；【答案】①②③．【解析】對于①，，，，故①正確；對于②，當(dāng)時，，故②正確；對于③，若為等差數(shù)列，則，，故③正確；對于④，當(dāng)?shù)耐椆綖闀r，，故④錯誤．故答案為：①②③．9．上海市實驗學(xué)校高二理科班學(xué)習(xí)創(chuàng)新小組在一次偶然情況下發(fā)現(xiàn)：唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登上望烽火，黃昏飲馬傍交河，”其詩中隱含著一個有趣的“將軍飲馬”問題，這是一個數(shù)學(xué)問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使得總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，將軍從點A(3,0)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y?4=0，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即為回到軍營。上實高二理科班創(chuàng)新學(xué)習(xí)小組做了兩種假設(shè)：（1）若軍營所在區(qū)域為：x2+y2≤1；（2）若軍營所在區(qū)域為Ω'【答案】【解析】（1)若軍營所在區(qū)域為，圓：的圓心為原點，半徑為1，作圖1如下：設(shè)將軍飲馬點為，到達(dá)營區(qū)點為，設(shè)為關(guān)于直線的對稱點，因為，所以線段的中點為，則，又，聯(lián)立解得：，即.所以總路程，要使得總路程最短，只需要最短，即點到圓上的點的最短距離，即為.（2）軍營所在區(qū)域為，對于，在，時為令，得，令，則，圖形為連接點和的線段，根據(jù)對稱性得到的圖形為圖2中所示的菱形，容易知道：為這個菱形的內(nèi)部(包括邊界).由圖2可知，最短路徑為線段，連接交直線于點，則飲馬最佳點為點Q，所以點到區(qū)域最短距離．即“將軍飲馬”最短總路程為.綜上：兩種不同區(qū)域下，“將軍飲馬”的最短總路程相差值為10．2025上海市實驗學(xué)校舉辦盛大體育節(jié)，高二（6）班組成籃球隊參賽，為了取得優(yōu)異比賽成績，籃球隊有5名隊員做傳球訓(xùn)練.第一次由隊員甲將球傳出，每次傳球時傳球者都等可能地將球傳給另外四人中的任何一人，則第n次傳球后籃球在隊員甲手中的概率為.【答案】【解析】設(shè)表示經(jīng)過第n次傳球后球在甲手中，n次傳球后球在甲手中的概率為，，2，3，?，則有，，所以，即，所以，又，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，即，二、單選題11．現(xiàn)有以下兩項調(diào)查：①從40臺剛出廠的大型挖掘機中抽取4臺進(jìn)行質(zhì)量檢測；②在某校800名學(xué)生中，型、型、型和型血的學(xué)生依次有300，200，180，120人．為了研究血型與色弱的關(guān)系，需從中抽取一個容量為40的樣本．完成這兩項調(diào)查最適宜采用的抽樣方法分別是（）.A．①②都采用簡單隨機抽樣 B．①②都采用分層隨機抽樣 C．①采用簡單隨機抽樣，②采用分層隨機抽樣 D．①采用分層隨機抽樣，②采用簡單隨機抽樣【答案】C【解析】由題意對于①，40臺剛出廠的大型挖掘機被抽取的可能性一樣，故為簡單隨機抽樣，對于②，為了研究血型與色弱的關(guān)系，說明某校800名學(xué)生被抽取的可能性要按照血型比例分層抽取，故為分層隨機抽樣．故選：．12．從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（）.A．恰好有一個白球與都是紅球 B．至多有一個白球與都是紅球 C．至多有一個白球與都是白球 D．至多有一個白球與至多一個紅球【答案】A【解析】從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內(nèi)任取兩個球，表示的事件分別為（紅，白），（紅，紅），（白，白）三種情況，故選項互斥不對立，正確，選項：至多有一個白球表示的是（紅，白），（紅，紅），與都是紅球不互斥，故錯誤，選項：由選項的分析可知互斥且對立，故錯誤，選項：至多有一個紅球表示的是（紅，白），（白，白），所以兩個事件不互斥，故錯誤，故選：．13．已知的兩條漸近線與直線圍成三角形區(qū)域，那么，表示該區(qū)域的不等式組是（）.A．B．C． D．【答案】A14．2025上海市實驗學(xué)校舉辦體育節(jié)，為了增加體育節(jié)的趣味性，同時提高全體師生的參與熱情，學(xué)校體育組購買了很多獎品，然后放入個盲盒，其中有個內(nèi)有獎品.若抽獎?wù)哌x定了一個盲盒但未打開時組織方（知道盲盒內(nèi)部是否有獎品）打開了一個沒有獎品的盲盒，此時抽獎?wù)咧匦逻x定另外一個盲盒后打開，記此時中獎的概率為；若抽獎?wù)哌x定了一個盲盒但未打開時有個未選的盲盒因被風(fēng)吹掉而意外打開，且抽獎?wù)甙l(fā)現(xiàn)其內(nèi)部沒有獎品，此時抽獎?wù)咧匦逻x定另外一個盲盒后打開，記此時中獎的概率為，則對任意符合題意的m，n，都有（）.A． B． C． D．無法確定與的大小關(guān)系【答案】C【解析】設(shè)事件為“最終中獎”，事件為“一開始選中的有獎”，則，在組織方打開無獎的盲盒后，若一開始選中的有獎，則剩余個盲盒中有個獎品，更換后，若一開始選中的無獎，則剩余個盲盒中有個獎品，則更換后，故，由于風(fēng)吹掉為隨機吹掉，故所有個盲盒中有個獎品，且所有盲盒中有獎品的概率相等，，因此，故.故選：C三、解答題15．一個盒子里裝有標(biāo)號為1，2，3，4的4張標(biāo)簽，隨機地選取兩張標(biāo)簽，一次選取一張．（1）若標(biāo)簽的選取是無放回的，寫出該隨機試驗的一個等可能的樣本空間，并求兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率；（2）若標(biāo)簽的選取是有放回的，寫出該隨機試驗的一個等可能的樣本空間，并求兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率．【答案】（1）（2）【解析】（1）標(biāo)簽的選取是無放回的，則樣本空間，，，，，，，，，，，，其中兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的有，，，，，共6個基本事件，所以兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率．（2）標(biāo)簽的選取是有放回的，則樣本空間，，，，，，，，，，，，，，，，其中兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的有，，，，，共6個基本事件，所以兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率．16.已知橢圓（）的長軸長為，離心率為．直線與橢圓有兩個不同的交點．（1）求橢圓的方程；（2）若直線的方程為：，橢圓上點關(guān)于直線的對稱點（與不重合）在橢圓上，求的值；【答案】（1）（2）【解析】（1）由題意得，所以，又因為，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意得關(guān)于直線：的對稱點，代入橢圓方程，得：，化簡得：，所以或，當(dāng)時，與點M重合，舍.所以.17．上海市實驗學(xué)校為了舉辦好2025體育節(jié)，在全校推行志愿者選拔面試工作，現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績并分成五組：第一組，，第二組，，第三組，，第四組，，第五組，，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．（1）求、的值，并估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)；（2）在第四、五兩組志愿者中，按比例分層抽樣抽取5人，然后再從這5人中選出2人，求選出的兩個來自同一組概率．【答案】（1），，（2）【解析】（1）因為第三、四、五組的頻率之和為0.7，所以，解得，所以前兩組的頻率之和為，即，所以；平均數(shù)為，（2）第四、第五兩組志愿者分別有20人，5人，故按照分層抽樣抽得的第四組志愿者人數(shù)為4，分別設(shè)為，，，，第五組志愿者人數(shù)為1，設(shè)為，這5人中選出2人，所有情況有10種情況，分別為：，，，，，．，，，，其中選出的兩人來自同一組的有：，，，，，，共6種情況，故選出的兩人來自同一組的概率為．18.2025上海市實驗學(xué)校體育節(jié)開展飛鏢趣味運動比賽，其中、兩個班級進(jìn)入飛鏢趣味運動比賽的關(guān)鍵階段，該比賽采取累計得分制，規(guī)則如下：每局比賽不存在平局，獲勝者得分，失敗者不得分，其中累計得分領(lǐng)先對方分即可贏得最終勝利，或者局比賽結(jié)束積分領(lǐng)先贏得最終勝利．假設(shè)每局比賽中班獲勝的概率均為，且各局比賽的結(jié)果相互獨立．(1)求飛鏢趣味比賽班以比贏得最終勝利的概率；(2)此次飛鏢趣味比賽中記比賽停止時已比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）的分布見解析，【解析】（1）記班以比贏得最終勝利，為事件，則第一局和第二局、兩個班級各勝一局，第三局，第四局班獲勝時，此時班以比1贏得最終勝利，因此.（2）的可能取值為，當(dāng)時，即班前兩局獲勝，或者班前兩局獲勝，則，當(dāng)時，則第一局和第二局、兩個班級各勝一局，第三局，第四局班獲勝，或者第一局和第二局、兩個班級各勝一局，第三局，第四局班獲勝，則，當(dāng)時，則第一局和第二局、兩個班級各勝一局，第三局，第四局、兩個班級各勝一局，則，所以的分布為：所以數(shù)學(xué)期望.四、附加題19．馬爾可夫鏈?zhǔn)且蚨韲鴶?shù)學(xué)家安德烈·馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，為了避免就餐聚集和減少排隊時間，某校開學(xué)后，食堂從開學(xué)第一天起，每餐只推出即點