湖南省益陽(yáng)市安化縣2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期7月期末自檢試題含答案

/2023-2024學(xué)年下學(xué)期期末自檢高一數(shù)學(xué)一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求出A集合，解一元一次不等式求出B集合，利用交集的定義運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：B2.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算直接化簡(jiǎn)即可.【詳解】，故選：C3.已知向量，，若與共線，則（）A. B.4 C. D.或4【答案】D【解析】【分析】利用向量平行的坐標(biāo)表示，再解方程即可.【詳解】由兩向量共線可知，即，解得或.故選：D.4.設(shè)l是直線，α，β是兩個(gè)不同平面，則下面命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】B【解析】【分析】由線面平行，線面垂直，面面平行，面面垂直的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可；【詳解】A：若，，則或相交，故A錯(cuò)誤；B：若，，由線面平行和垂直的性質(zhì)可得，故B正確；C：若，，則或，故C錯(cuò)誤；D：若，，則相交或或，故D錯(cuò)誤；故選：B.5.如圖，矩形是水平放置的一個(gè)平面圖形由斜二測(cè)畫法得到的直觀圖，其中，，則原圖形的面積是（）A.20 B.10 C. D.【答案】A【解析】分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法求解.【詳解】解：由斜二測(cè)畫法知，故選：A.6.某市6月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)變化趨勢(shì)如圖所示，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，下列說(shuō)法中不正確的是（）A.該市14天空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)為78.5B.該市14天空氣質(zhì)量指數(shù)的第30百分位數(shù)為55C.該市14天空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值大于100D.計(jì)算連續(xù)3天空氣質(zhì)量指數(shù)的方差，其中6日到8日的方差最大【答案】C【解析】【分析】由平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)和方差的概念即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，將14天的空氣質(zhì)量指數(shù)由小到大排列為：，所以該市14天空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)為：，故A正確.對(duì)于B：因?yàn)椋栽撌?4天空氣質(zhì)量指數(shù)的百分位數(shù)為，故B正確；對(duì)于C：，該市14天空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值小于100，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)檫B續(xù)3天空氣質(zhì)量指數(shù)，6日到8日的波動(dòng)最大，也即方差最大，故D正確.故選：C.7.八卦是中國(guó)文化的基本學(xué)概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2所示的正八邊形，其中.給出下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論為（）A.與的夾角為B.C.D.在上的投影向量為（其中為與同向的單位向量）【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量夾角定義可得A錯(cuò)誤；利用向量加、減法運(yùn)算法則及模長(zhǎng)關(guān)系可得B錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤；再利用投影向量定義計(jì)算可得D正確.【詳解】由八卦圖可知與的夾角為，其大小為，即與的夾角為，所以A錯(cuò)誤；由向量的平行四邊形法則可知，即B錯(cuò)誤；易知，又，所以，而，所以，即C錯(cuò)誤；易知在上的投影向量為，即D正確.故選：D8.如圖，在多面體中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，，E到平面ABCD的距離為3，，.若A，B，C，D，E，F(xiàn)在同一球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】為中點(diǎn)，為矩形中心，可得平面，外接球球心在上，由外接球球心的特征，通過(guò)構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求出外接球半徑，可求表面積.【詳解】連接，，相交于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以為矩形外接圓的圓心.分別取，，的中點(diǎn)M，P，Q，連接，則，且為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，矩形，，則有，，，，，是平面內(nèi)的兩條相交直線，平面，平面，平面平面，平面平面，等腰梯形中，分別為的中點(diǎn)，則有，所以平面，則多面體的外接球球心在上，，平面，平面，則平面，E到平面ABCD的距離為3，則，當(dāng)在線段上時(shí)，設(shè)，則，在和中，由外接球半徑，有，即，解得，外接球半徑，該球表面積.當(dāng)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得，此時(shí)無(wú)解.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小繁給出的遠(yuǎn)項(xiàng)中，有多項(xiàng)待合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列命題正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.直線與平面所成角的大小不變C.直線與直線垂直D.二面角的大小不變【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)錐體的體積公式可判斷A；點(diǎn)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與平面所成的角和直線與平面所成的角不相等可判斷B；根據(jù)線面垂直的判定定理可證得⊥平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可判斷C，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面,即二面角的大小不受影響，可判斷D.【詳解】對(duì)A，連接，設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因此點(diǎn)到平面的距離相等，故，故A正確；對(duì)B，點(diǎn)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與平面所成的角和直線與平面所成的角不相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，設(shè)，則，又平面，平面所以，又，平面所以⊥平面又平面，所以，故C正確；對(duì)D，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面,即二面角即大小不受影響，故D正確.故選：ACD10.一只不透明的口袋內(nèi)裝有9張卡片，上面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，…，9.從袋中任意抽取1張卡片，記“抽出的卡片號(hào)為1，4，7”為事件A，“抽出的卡片號(hào)小于7”為事件，“抽出的卡片號(hào)大于7”記為事件.下列說(shuō)法正確的是（）A.事件A與事件是互斥事件 B.事件A與事件是互斥事件C.事件A與事件相互獨(dú)立 D.事件與事件是對(duì)立事件【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意利用列舉法求和，結(jié)合互斥事件、獨(dú)立事件和對(duì)立事件的定義逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可知：樣本空間，則，可得，對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以事件A與事件是互斥事件，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋允录嗀與事件不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：由選項(xiàng)B可知，則，可知，所以事件A與事件相互獨(dú)立，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以事件與事件不是對(duì)立事件，故D錯(cuò)誤；故選：AC.11.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則．B.若，，則三角形有一解．C.若，則一定為等腰直角三角形．D.若面積為，，則．【答案】ABD【解析】【分析】利用正弦定理判斷A、B，利用正弦定理將邊化角，再由二倍角公式即可判斷C，由面積公式及余弦定理判斷D.【詳解】對(duì)于A，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，則，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，由正弦定理得，則，因?yàn)?，所以，則，所以只有一解，則三角形只有一解，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，即，又，所以，所以或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槊娣e為，，又，所以，所以，顯然，則，因?yàn)椋?，故D正確．故選：ABD．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，則在上的投影向量的坐標(biāo)是__________．【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)投影向量的坐標(biāo)公式計(jì)算即可.【詳解】在方向上的投影向量為.故答案為：13.若（為虛數(shù)單位）為方程（）的一個(gè)根，則______.【答案】5【解析】【分析】將代入方程，即可求解.【詳解】由題意可知，，所以，所以，所以.故答案為：514.在圓臺(tái)中，圓的半徑是2，母線，圓是的外接圓，，，則三棱錐體積最大值為______．【答案】##【解析】【分析】先求出圓的半徑，再求圓臺(tái)的高，列出三棱錐體積表示式，由余弦定理和基本不等式推出，即得體積最大值.【詳解】如圖，設(shè)圓，半徑分別為，，則由正弦定理，，解得，設(shè)圓臺(tái)的高為，則，在中，取，由余弦定理，，即得，即得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).因三棱錐的體積為，即時(shí)，三棱錐的體積的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查與圓臺(tái)有關(guān)的三棱錐的體積最值問(wèn)題，屬于難題.解題關(guān)鍵在于，弄清圓臺(tái)與三棱錐的關(guān)系，分析三棱錐的體積關(guān)系式中，哪些為定值，需要選設(shè)怎樣的變量表示，考慮運(yùn)用二次函數(shù)，還是基本不等式，雙勾函數(shù)還是求導(dǎo)方法求得體積最值.四?解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16，17題15分，第18，19題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知，，．（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求出，再根據(jù)及數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得；（2）依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，，所以，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，即，即，解?16.已知向量，，設(shè).（1）求的最小正周期；（2）若，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，然后將其化為基本型，即可求出周期；（2）由題意可得，由，求出的范圍，再由三角函數(shù)的平方關(guān)系求出，則，由兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的最小正周期；【小問(wèn)2詳解】，，，故.17.“數(shù)學(xué)好玩”是國(guó)際著名數(shù)學(xué)家陳省身贈(zèng)送給少年數(shù)學(xué)愛(ài)好者們的一句話.某校為了更好地培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，激發(fā)學(xué)生鉆研數(shù)學(xué)的興趣和熱情，特舉辦數(shù)學(xué)節(jié)活動(dòng).在活動(dòng)中，共有20道數(shù)學(xué)問(wèn)題，滿分100分在所有的答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(jī)分成六段：，，……，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計(jì)該校全體學(xué)生這次數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)；（2）活動(dòng)中，甲、乙、丙三位同學(xué)獨(dú)立參加競(jìng)賽，已知甲同學(xué)答對(duì)了12道，乙同學(xué)答對(duì)了8道，丙同學(xué)答對(duì)了n道，假設(shè)每道數(shù)學(xué)問(wèn)題難度相當(dāng)，被答對(duì)的可能性都相同.（i）任選一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，求甲、乙兩位同學(xué)恰有一人答對(duì)的概率；（ii）任選一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，若甲、乙、丙三個(gè)人中至少有一個(gè)人答對(duì)的概率為，求n的值.【答案】（1），75（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為即可求出，根據(jù)頻率分布直方圖中中位數(shù)的求法求中位數(shù)即可；（2）（i）根據(jù)古典概型結(jié)合相互獨(dú)立事件的乘法公式求解即可；（ii）根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式及對(duì)立事件的概率公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖有，解得，因?yàn)?，，所以中位?shù)在區(qū)間內(nèi)，設(shè)為x，則有，得，所以估計(jì)該校全體學(xué)生這次數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為75；【小問(wèn)2詳解】設(shè)“任選一道題，甲答對(duì)”，“任選一道題，乙答對(duì)”，“任選一道題，丙答對(duì)”，則由古典概型概率計(jì)算公式得：，，，所以有，，，（i）記“甲、乙兩位同學(xué)恰有一人答對(duì)”，則有，且有與互斥，因?yàn)槊课煌瑢W(xué)獨(dú)立作答，所以A，B互相獨(dú)立，則A與，與B，與均相互獨(dú)立，所以，所以任選一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，求甲、乙兩位同學(xué)恰有一人答對(duì)的概率；（ii）記“甲、乙、丙三個(gè)人中至少有一個(gè)人答對(duì)”，則，所以，解得：.18.如圖，在正三棱柱中，，分別為棱，的中點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）若三棱錐的體積為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，可得且，即為平行四邊形，從而得到，即可得證；（2）首先根據(jù)錐體的體積公式求出，取的四等分點(diǎn)（靠近），連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到為二面角的平面角，再利用銳角三角函數(shù)計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)椋謩e為棱，的中點(diǎn)，且三棱柱為正三棱柱，所以且，且，所以且，所以為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；【小?wèn)2詳解】因?yàn)椋裕裕衷谡庵衅矫?，所以，所以，取的四等分點(diǎn)（靠近），連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以且，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，，又，平面，所以平面，所以為二面角的平面角，在平面中連接交于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，又，所以，又為的四等分點(diǎn)，所以為的四等分點(diǎn)，所以，所以，所以，所以二面角的余弦值為.19.在銳角中，角，，的對(duì)邊為，，，若，.（1）求角的大??；（2）若為的中點(diǎn)，且，求的面積；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)在所在平面內(nèi)作，且滿足.求線段的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先由正弦定理將原式中的角化為邊，再結(jié)合余弦定理即可得出；（2）由已知可得，兩邊平方，結(jié)合余弦定理可得，則面積可求；（3）令，利用正弦定理將表示為含的表達(dá)式，再利用兩角和差的正弦公式結(jié)