2025年廣東深圳初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年深圳市初中學(xué)業(yè)水平模擬訓(xùn)練（一）數(shù)學(xué)說明：全卷共8頁．考試時(shí)間90分鐘，滿分100分．答題前，請(qǐng)將姓名、學(xué)校和準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫在答題卡指定位置，并粘貼好條形碼．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回．第一部分選擇題一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的）1．我國古代數(shù)學(xué)家利用“牟合方蓋”（如圖甲）找到了球體體積的計(jì)算方法．圖乙所示的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，它是由兩個(gè)圓柱分別從縱、橫兩個(gè)方向嵌入一個(gè)正方體時(shí)兩圓柱公共部分形成的幾何體．圖乙模型的俯視圖是（

）A． B． C． D．2．下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．3．廣東新聞2024年12月28日消息，據(jù)深圳地鐵日前通報(bào)，深圳地鐵開通20年累計(jì)運(yùn)送乘客超206億人次，線網(wǎng)建設(shè)密度、客運(yùn)強(qiáng)度、通勤便捷性、智慧出行等指標(biāo)位居中國內(nèi)地城市第一．其中“206億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．4．已知，下列尺規(guī)作圖的方法中，能確定的是（

）A． B．C． D．5．中國古代數(shù)學(xué)有著輝煌的成就，《周髀算經(jīng)》《算學(xué)啟蒙》《測圓海鏡》和《四元玉鑒》是我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)．某中學(xué)擬從這四部數(shù)學(xué)名著中選擇2部作為校本課程“數(shù)學(xué)文化”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，恰好選中《算學(xué)啟蒙》和《測圓海鏡》的概率是（

）A． B． C． D．6．平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖1，一束光線m射到平面鏡上，被平面鏡反射后的光線為n，則．如圖2，一束光線先后經(jīng)平面鏡、反射后，反射光線與平行．若，則的大小為（

）

A． B． C． D．7．《九章算術(shù)》中的算籌圖是豎排的，為看圖方便，我們把它改為橫排，如圖1，圖2圖中各行從左到右列出的算籌數(shù)分別表示未知數(shù)x，y的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)．把圖1所示的算籌圖用我們現(xiàn)在所熟悉的方程組形式表述出來，就是在圖2所示的算籌圖中有一個(gè)圖形被墨水覆蓋了，如果圖2所表示的方程組中x的值為3，則被墨水所覆蓋的圖形為（

）A． B． C． D．8．如圖1是某位游客拍攝的景區(qū)纜車實(shí)景圖，如圖2是該段索道抽象出的平面示意圖，索道的傾斜角為，米，其兩端由、兩座等高的支架架設(shè)，這一時(shí)刻索道之間如圖均勻分布著五個(gè)車廂，車廂的寬高之比（）是，若點(diǎn)，，恰好在同一直線上，米，則纜車車廂高為（

）A．米 B．米 C．米 D．米第二部分非選擇題二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）9．分解因式：．10．若關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是．11．如圖，以點(diǎn)O為中心的量角器與直角三角板按如圖方式擺放，量角器的直徑與直角三角板的斜邊重合，如果點(diǎn)D在量角器上對(duì)應(yīng)的刻度為，連接．那么．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊在x軸上，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，坐標(biāo)原點(diǎn)O在邊上，點(diǎn)E在邊上，且，交y軸于點(diǎn)F，若的面積為10，則k的值為.13．如圖，在中，，于D，點(diǎn)E在的延長線上，，若，，則．三、解答題（本大題共7小題，共61分）14．計(jì)算：．15．先化簡，再求值：，下面是甲、乙兩同學(xué)的部分運(yùn)算過程：甲同學(xué)解：原式解：原式乙同學(xué)(1)甲同學(xué)解法的依據(jù)是_______，乙同學(xué)解法的依據(jù)是_________；（填序號(hào)）①等式的基本性質(zhì)；②分式的基本性質(zhì)；③乘法分配律；④乘法交換律．(2)請(qǐng)選擇一種解法，寫出完整的解答過程．16．2024年秋學(xué)期開始，深圳市義務(wù)教育階段3年級(jí)至5年級(jí)踐行了“每周半天不上課計(jì)劃”，減少小學(xué)生的上課時(shí)間，按單雙周安排輪流設(shè)置半天的校外課程與閱讀課程，某校為了了解師生對(duì)這兩類課程的喜愛程度，現(xiàn)抽取部分師生分別對(duì)這兩類課程進(jìn)行打分（分?jǐn)?shù)為整數(shù)，滿分為5分）．信息一：20名學(xué)生打分情況的折線統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，信息二：學(xué)生打分的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如下表所示軟件平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)校外課程3.54a閱讀課程3.4b3抽取的10位教師對(duì)“校外課程”和“閱讀課程”這兩類課程打分的平均分分別為3．8分和4分．請(qǐng)根據(jù)以上信息解答下列問題：(1)填空：________，________．(2)學(xué)生對(duì)這兩類課程評(píng)價(jià)較高的是哪一類課程？請(qǐng)說明理由．(3)如果該校將根據(jù)綜合平均分的高低來判斷師生對(duì)這兩類課程的喜愛程度，其中綜合平均分中教師打分占，學(xué)生打分占，那么請(qǐng)你通過計(jì)算分析該校師生更喜歡哪類課程？17．綜合與實(shí)踐項(xiàng)目任務(wù)：設(shè)計(jì)由10根彈簧構(gòu)成且成本不超過40元的彈簧拉力計(jì)．素材1：彈簧并聯(lián)時(shí)，拉力計(jì)拉力等于每根彈簧拉力之和，如圖1，．彈簧A拉力與長度之間有關(guān)系式；測得彈簧B拉力與長度的數(shù)據(jù)如下表：彈簧長度10152025拉力5101520素材2：在彈性限度內(nèi)，彈簧A，B伸長后最大長度均為．彈簧A每根6元，彈簧B每根3元．(1)任務(wù)1：在圖2中描出以彈簧B測得數(shù)據(jù)的各對(duì)x與的對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的各點(diǎn)，并判斷這些點(diǎn)是否在同一直線上．(2)任務(wù)2：求關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求出彈簧B在彈性限度內(nèi)的最大拉力．(3)任務(wù)3：如何購買A，B兩種彈簧，使并聯(lián)后的彈簧拉力計(jì)拉力最大（在彈性限度內(nèi)）？并求出彈簧拉力計(jì)的最大拉力．18．如圖，在中，點(diǎn)B在邊上，且，．(1)尺規(guī)作圖：作的外接圓．（不要求寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）所作的圖形中，若的直徑為，①求的長；②若所在直線是的切線，求的長．19．“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問題：如圖1，在中，，，，求的長．【數(shù)學(xué)思考】①如圖2，小嘉同學(xué)延長至點(diǎn)D，使得，連接，通過可求的長；②如圖3，小琪同學(xué)作的平分線，交于點(diǎn)D，可得，通過可求的長．（1）請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫出解答過程．【類比分析】老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，將倍角關(guān)系轉(zhuǎn)化為等角關(guān)系，為了幫助學(xué)生更好地感悟轉(zhuǎn)化思想，老師提出了下面的問題，請(qǐng)你解答．（2）如圖4，在中，，，點(diǎn)D，E分別在，上，，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【學(xué)以致用】（3）如圖5，與交于點(diǎn)C，，點(diǎn)E在上，．，，求的長．20．若，，那么我們把點(diǎn)B叫做點(diǎn)A的“倍增點(diǎn)”．例：，它的“倍增點(diǎn)”是．經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的直線叫做點(diǎn)A的“倍增線”．(1)若點(diǎn)A在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B是點(diǎn)A的“倍增點(diǎn)”，且點(diǎn)B也在函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)A的“倍增線”是(2)若點(diǎn)在直線上，點(diǎn)A的“倍增線”為．①若隨x的增大而減小，求點(diǎn)A的“倍增線”與直線的交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，拋物線經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，求m的取值范圍．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．D【分析】本題主要考查幾何體的三視圖，掌握俯視圖是從幾何體的正上方看到的平面圖形是解題的關(guān)鍵．從該幾何體上方觀察幾何體，得到的平面圖形就是俯視圖．【詳解】解：從幾何體的上方觀察，我們可以看到左邊平躺的圓柱的俯視圖為正方形，右邊的部分為正方形里面套著圓．故選：D．2．A【分析】本題考查了同底數(shù)冪乘除法、積的乘方以及冪的乘方，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)同底數(shù)冪乘法、同底數(shù)冪除法、積的乘方、冪的乘方逐項(xiàng)計(jì)算即可．【詳解】解：A、，原計(jì)算正確，符合題意；B、，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；C、，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；D、，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．3．A【分析】本題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示大數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握科學(xué)記數(shù)法的形式．利用科學(xué)記數(shù)法的定義進(jìn)行表示即可，注意小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)．【詳解】解：206億，故選：A．4．B【分析】本題考查作圖-基本作圖，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線，角平分線，垂線的尺規(guī)作圖方法．觀察各選項(xiàng)作圖痕跡，根據(jù)垂直平分線、角平分線、垂線的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、圖中是垂直平分線的作圖，不能確定；B、圖中是垂直平分線的作圖，可得，能確定；C、圖中是垂線或高線的作圖，不能確定；D、圖中是角平分線的作圖，不能確定．故選：B．5．D【分析】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．畫樹狀圖表示出所有等可能得情況和恰好選中《算學(xué)啟蒙》和《測圓海鏡》的情況，然后利用概率公式求解即可．【詳解】將四部名著《周髀算經(jīng)》，

《算學(xué)啟蒙》，

《測圓海鏡》，《四元玉鑒》分別記為，，，，根據(jù)題意可以畫出如下的樹狀圖：由樹狀圖可以看出，所有可能的結(jié)果有種，并且這種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，其中恰好選中《算學(xué)啟蒙》和《測圓海鏡》的情況有種，∴恰好選中《算學(xué)啟蒙》和《測圓海鏡》的概率是，故選：D．6．D【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，平面鏡反射光線的規(guī)律，熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．由題意得，，根據(jù)平角的定義可求出的度數(shù)，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出的度數(shù)，從而求出的度數(shù)．【詳解】解：由題意，得，，∴，∵，∴，∴，．故選：D．7．A【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組以及數(shù)學(xué)常識(shí)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．由題意將代入，求出，進(jìn)而可得出圖2所表示方程組的解，設(shè)被墨水所覆蓋的圖形表示的數(shù)為,代入方程組的解，求出的值，再對(duì)照題意，即可得出結(jié)論．【詳解】解：將代入得：，解得：，圖2所表示方程組的解為，設(shè)被墨水所覆蓋的圖形表示的數(shù)為，將代入得：，解得：．故選：A．8．B【分析】過點(diǎn)作交于，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，構(gòu)造兩個(gè)含的直角三角形，由題意可得，在中，根據(jù)含的直角三角形的性質(zhì)得出（米），進(jìn)而得出米．再根據(jù)題意索道之間如圖均勻分布著五個(gè)車廂，米，由此得出米，在中，根據(jù)角的直角三角形的性質(zhì)得出（米），再根據(jù)勾股定理得出的長度，由角直角三角形的性質(zhì)得出，即的長度，再根據(jù)車廂的寬高之比（）是，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：如圖，點(diǎn)作交于，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵索道的傾斜角為，∴，∵，，，∴，在中，，∴，∵這一時(shí)刻索道之間如圖均勻分布著五個(gè)車廂，，∴，∴，在中，，∴，∴，即，∵車廂的寬高之比（）是，∴（米），即纜車車廂高為米．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，含度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．9．【分析】此題主要考查了提公因式法分解因式．直接提取公因式分解因式得出答案．【詳解】解：故答案為：．10．【分析】本題考查了一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)列式計(jì)算即可求解，掌握一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，故答案為：．11．55【分析】本題主要考查圓周角定理，先確定點(diǎn)D在該量角器所在的圓上，再根據(jù)量角器得到，然后根據(jù)圓周角定理得到即可求解．【詳解】解：連接，則，∵量角器的直徑與直角三角板的斜邊重合，，∴點(diǎn)D在該量角器所在的圓上，∴，故答案為：55．12．30【分析】本題為反比例函數(shù)與幾何綜合題，考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形等知識(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到是解題關(guān)鍵．先根據(jù)的面積為10，求出，再證明，得到，根據(jù)，得到，即可求出．【詳解】解：∵的面積為10，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)C，∴．故答案為：30．13．【分析】延長到點(diǎn)G，使，連接，延長交于點(diǎn)F，首先證明出，得到，，證明出，得到，然后推出，然后證明出，得到，代入求出，得到，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】延長到點(diǎn)G，使，連接，延長交于點(diǎn)F，∵，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵∴∴∴∴，∴，∵，∴，∴又∵∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三線合一等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．14．【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，二次根式的化簡，乘方以及零指數(shù)冪和絕對(duì)值的性質(zhì)，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．利用二次根式的化簡，乘方以及零指數(shù)冪的性質(zhì)和絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：原式．15．(1)②；③(2)見解析【分析】本題考查了分式的化簡，異分母分式的加減法，分式的乘法，乘法分配律，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)分式的基本性質(zhì)和乘法分配律作出判斷即可；（2）選擇甲，先利用異分母分式加減法法則計(jì)算括號(hào)里，再與括號(hào)外的分式相乘，即可解答；若選擇乙同學(xué)的解法，利用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算，括號(hào)里面的每個(gè)分式都乘以括號(hào)外面的分式即可解答．【詳解】（1）解：②；③，理由如下：甲同學(xué)把括號(hào)里面的分式進(jìn)行通分，變成同分母的分式，那么應(yīng)用的是分式的基本性質(zhì)，乙同學(xué)把括號(hào)里面的每個(gè)分式都乘以括號(hào)外面的分式，那么可知乙同學(xué)應(yīng)用的是乘法分配律．故答案為：②；③；（2）解：若選擇甲同學(xué)的解法：；若選擇乙同學(xué)的解法：．16．(1)4，5(2)學(xué)生對(duì)這兩類課程評(píng)價(jià)較高的是校外課程，理由見解析(3)該校師生更喜歡閱讀課程【分析】本題主要考查了折線統(tǒng)計(jì)圖，中位數(shù)，眾數(shù)和加權(quán)平均數(shù)，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)學(xué)生對(duì)校外課程打分的中位數(shù)和平均數(shù)都比對(duì)閱讀課程打分的中位數(shù)和平均數(shù)高即可得到答案；（3）分別計(jì)算出兩類課程的得分即可得到答案．【詳解】（1）解：將校外課程的打分按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，位于最中間的兩個(gè)得分都是4分，∴中位數(shù)，由圖可知，閱讀課程的打分出現(xiàn)次數(shù)最多的是5分．∴眾數(shù)，故答案：4；5；（2）解：學(xué)生對(duì)這兩類課程評(píng)價(jià)較高的是校外課程，理由如下：∵學(xué)生對(duì)校外課程打分的中位數(shù)和平均數(shù)都比對(duì)閱讀課程打分的中位數(shù)和平均數(shù)高，∴學(xué)生對(duì)這兩類課程評(píng)價(jià)較高的是校外課程；（3）解：該校師生更喜歡閱讀課程，

校外課程的得分為（分），閱讀課程的得分為（分），∵，∴該校師生更喜歡閱讀課程．17．(1)見解析，這些點(diǎn)在同一直線上(2)，彈簧B的最大拉力為(3)購置3根彈簧A，7根彈簧B時(shí)，彈簧拉力計(jì)最大拉力為【分析】本題考查了畫函數(shù)圖象、一次函數(shù)的應(yīng)用，正確求出一次函數(shù)解析式是解此題的關(guān)鍵．（1）先描點(diǎn)、再連線，即可得出函數(shù)圖象；（2）利用待定系數(shù)法計(jì)算即可得出答案；（3）設(shè)彈簧A為m根，則彈簧B為根，根據(jù)最大拉力得到函數(shù)解析式，根據(jù)增減性解題即可．【詳解】（1）解：如圖所示，是在同一直線上：（2）解：設(shè)，把和代入，得：，解得，，，隨x增大而增大，當(dāng)時(shí)，，彈簧B的最大拉力為；（3）解：設(shè)彈簧A為m根，則彈簧B為根，則，解得，記最大拉力為y，因當(dāng)時(shí)彈簧A最大拉力為，彈簧B最大拉力為，則.且m為整數(shù)，y隨m增大而增大，當(dāng)時(shí)，，購置3根彈簧A，7根彈簧B時(shí)，彈簧拉力計(jì)最大拉力為．18．(1)見解析(2)①；②【分析】本題主要考查了三角形外接圓的作法，圓周角定理，直徑定理，銳角三角函數(shù)，切線的性質(zhì)定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)，并靈活應(yīng)用．（1）利用線段垂直平分線的交點(diǎn)確定圓心，交點(diǎn)到三角形頂點(diǎn)的長度為半徑畫圓即可；（2）①連接并延長交于點(diǎn)，連接，利用圓周角定理得出，利用直徑定理得出直角三角形，利用銳角三角函數(shù)求解即可；②連接，利用切線的性質(zhì)和等邊對(duì)等角判定出，得出，根據(jù)給出邊的長度代入求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：①如圖，連接并延長交于點(diǎn)，連接，∴是的直徑，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得．

②如圖，連接，∵所在直線是的切線，∴，∴，∴，∵，∴．∵，∴．又∵，∴，∴，即，∴，即，解得．19．（1）見解析；（2），證明見解析；（3）【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）小嘉同學(xué)思路：延長至點(diǎn)D，使得，連接，可證，，繼而可得，得，即可解答；小琪同學(xué)思路：作的平分線，交于點(diǎn)D，由，，，進(jìn)而得，即可解答；（2）延長至點(diǎn)M，使，連接，先證明，得，，則，由，繼而可得，即可得結(jié)論；（3）過點(diǎn)D作，且，連接，，設(shè)交于點(diǎn)H．先證，可得，，進(jìn)而可得，設(shè)，則，得，則，同