安徽省卓越縣中聯(lián)盟＆皖豫名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（北師大版） 含解析VIP

安徽卓越縣中聯(lián)盟皖豫名校聯(lián)盟學(xué)年高一（下）期中檢測(cè)數(shù)學(xué)考生注意：答題卡上的指定位置.橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.85分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.函數(shù)的最小正周期為（）A.B.C.1D.2【答案】D【解析】【分析】由正弦型函數(shù)的周期公式計(jì)算即得.【詳解】函數(shù)的最小正周期為.故選：D.2.的值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用余弦的二倍角公式可得答案.【詳解】.第1頁(yè)/共16頁(yè)故選：A.3.為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象（）A.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】C【解析】【分析】由三角函數(shù)的平移變化即可得出的答案.【詳解】所以把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得：，故選：C.4.已知平面向量，，滿足，，且，則與的夾角為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，兩邊平方，由向量數(shù)量積運(yùn)算得，再由夾角公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，得，設(shè)與的夾角為θ，則，因?yàn)?，所?故選：C5.若，則（）第2頁(yè)/共16頁(yè)A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知式兩邊平方，可得，將所求式進(jìn)行配方后，代入結(jié)論計(jì)算即得.，則.故選：B.6.中，，，，的長(zhǎng)為（）A1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】在中，由余弦定理得，在中，由正弦定理得.【詳解】在中，由余弦定理得：，所以在中，由正弦定理得，所以第3頁(yè)/共16頁(yè)故選：B7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，利用整體代換的方法求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，,即，故當(dāng)時(shí)，.故選：A8.已知，，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得出，再結(jié)合切化弦計(jì)算兩角和余弦值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，且，所以，，又因?yàn)?，所以，則.第4頁(yè)/共16頁(yè)故選：C.36分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】由三角形的誘導(dǎo)公式對(duì)選項(xiàng)一一化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D正確.故選：BD.10.已知向量，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.若與的夾角為銳角，則的取值范圍為D.與夾角的余弦值為第5頁(yè)/共16頁(yè)【答案】ABD【解析】AB向量共線計(jì)算判斷C；利用向量坐標(biāo)求模公式及求向量夾角公式即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，，則，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)樗怨蔅正確；對(duì)于C，，若與的夾角為銳角，則得且與，解得：且則的取值范圍為：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，，所以與夾角的余弦值為：，故D正確.故選：ABD.已知函數(shù)，則（）A.B.直線是曲線的一條對(duì)稱軸C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.存在，使得成立【答案】AC第6頁(yè)/共16頁(yè)【解析】【分析】先利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)成余弦型函數(shù)，再根據(jù)選項(xiàng)內(nèi)容逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，因在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，若則是函數(shù)的一個(gè)周期，因的最小正周期為π，所以即顯然不存在整數(shù)，使得，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.函數(shù)的最大值為_(kāi)____.【答案】【解析】【分析】利用和角公式展開(kāi)，再用輔助角公式將其化成正弦型函數(shù)即可求得最大值.詳解】由，可得.故答案為：.13.已知，是兩個(gè)互相垂直的單位向量，向量滿足，，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，第7頁(yè)/共16頁(yè)的最小值是_____.【答案】【解析】【分析】先建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件得出向量、、的坐標(biāo)，再求出的坐標(biāo)，最后根據(jù)向量模的計(jì)算公式求出的表達(dá)式，進(jìn)而求出其最小值.【詳解】因?yàn)椋莾蓚€(gè)互相垂直的單位向量，所以可建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，.設(shè)，已知，，可得：，，所以..根據(jù)向量模的計(jì)算公式：可得：因?yàn)椋?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：.14.已知點(diǎn)為的重心，分別為邊，上一點(diǎn)，為，，三點(diǎn)共線，且，則的最大值為_(kāi)____.【答案】##0.5625【解析】【分析】利用三角形重心性質(zhì)和共線向量基本定理推得，與已知式比較，得到，再運(yùn)用基本不等式求解即得.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，所以.因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在使得，第8頁(yè)/共16頁(yè)則，又則得即.由圖可知因當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知，且.（1）求；（2）若，且，求.【答案】（1）（2）【解析】1，得到關(guān)于的一元二次方程，解方程即可得出答案；（2）先由二倍角的正切公式求出，再由兩角和的正切公式計(jì)算，結(jié)合角的范圍即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】已知，且，所以，解得：或，第9頁(yè)/共16頁(yè)因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所?因?yàn)?，，，所以，所?16.已知函數(shù)的最大值為2，最小值為0，且其圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.（1）求的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】1）根據(jù)函數(shù)的最大值和最小值求出，根據(jù)相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離求出，得出解析式；（2）由第（1）問(wèn)求解出的函數(shù)解析式，根據(jù)題中給的區(qū)間范圍，先求解出滿足的范圍，然后根據(jù)已知條件列出不等關(guān)系，求解即可.第10頁(yè)/共16頁(yè)【小問(wèn)1詳解】由已知得,解得.由相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為可知周期,于是，故函數(shù)解析式為小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則在區(qū)間上有兩個(gè)根，，則，所以.17.在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，點(diǎn)滿足，，（1）求；（2）求在上的投影向量的坐標(biāo).【答案】（1）（2）【解析】1）將向量坐標(biāo)代入已知式，求解方程組即得；（2）分別求出與的坐標(biāo)，代入投影向量計(jì)算公式即可.【小問(wèn)1詳解】由，，可得，即，則有，解得，第11頁(yè)/共16頁(yè)故【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，因，則，，于是在上的投影向量為，則在上的投影向量的坐標(biāo)為，即.18.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.（1）求；（2）若，，的平分線交于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)；（3）若是銳角三角形，且，求面積取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】1圍即可求得角；（2）由三角形面積公式和等面積建立方程，求解即得；（3）方法一：作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，由題可得點(diǎn)在之間，根據(jù)圖形得，推得，即可代入三角形面積公式求得其范圍；方法二：由正弦定理可得利用正切函數(shù)的單調(diào)性求得范圍【小問(wèn)1詳解】第12頁(yè)/共16頁(yè)即因，則，故，解得.【小問(wèn)2詳解】由（1）已得由為的平分線，可得設(shè)，由可得，即解得，即.【小問(wèn)3詳解】方法一：如圖，作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在之間時(shí)，為銳角三角形∴，即，因，則得，的面積的取值范圍為.方法二：由正弦定理，可得第13頁(yè)/共16頁(yè)∵均為銳角解得故可得故又，的面積的取值范圍為19.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為的相伴向量，同時(shí)稱為向量的相伴函數(shù).（1）記的相伴函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，若，求的值；（2）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，且的相伴函數(shù)在時(shí)取得最大值，求的最小值；（3為函數(shù)中，，為的外心，求的最大值.【答案】（1）（2）（3）6【解析】【分析】（1）由“相伴函數(shù)”定義和題設(shè)求得，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式求得，再利用拆角變換與差角公式計(jì)算即可；（2）將函數(shù)化成，由題意推得，化簡(jiǎn)第14頁(yè)/共16頁(yè)可得，由代入化簡(jiǎn)得，利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性即得；（3）由題意先求出，作于點(diǎn)，利用三角形的外心性質(zhì)與向量數(shù)量積的幾何意義化簡(jiǎn)得，代入所求式，利用正弦定理將其化成，借助于三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【小問(wèn)1詳解】依題意，，由，可得，因，則