專題11二次函數(shù)壓軸題- 中考數(shù)學母題題源解密（全國）（解析版）

專題11二次函數(shù)壓軸探究考向1線段問題【母題來源】2021年中考東營卷【母題題文】如圖，拋物線yx2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線yx+2過B、C兩點，連接AC．（1）求拋物線的解析式；（2）求證：△AOC∽△ACB；（3）點M（3，2）是拋物線上的一點，點D為拋物線上位于直線BC上方的一點，過點D作DE⊥x軸交直線BC于點E，點P為拋物線對稱軸上一動點，當線段DE的長度最大時，求PD+PM的最小值．【試題解析】解：（1）∵直線yx+2過B、C兩點，當x＝0時，代入yx+2，得y＝2，即C（0，2），當y＝0時，代入yx+2，得x＝4，即B（4，0），把B（4，0），C（0，2）分別代入yx2+bx+c，得，解得，∴拋物線的解析式為yx2x+2；（2）∵拋物線yx2x+2與x軸交于點A，∴x2x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴點A的坐標為（﹣1，0），∴AO＝1，AB＝5，在Rt△AOC中，AO＝1，OC＝2，∴AC，∴，∵，∴，又∵∠OAC＝∠CAB，∴△AOC∽△ACB；（3）設(shè)點D的坐標為（x，x2x+2），則點E的坐標為（x，x+2），∴DEx2x+2﹣（x+2）x2x+2x﹣2x2+2x（x﹣2）2+2，∵0，∴當x＝2時，線段DE的長度最大，此時，點D的坐標為（2，3），∵C（0，2），M（3，2），∴點C和點M關(guān)于對稱軸對稱，連接CD交對稱軸于點P，此時PD+PM最小，連接CM交直線DE于點F，則∠DFC＝90°，點F的坐標為（2，2），∴CD，∵PD+PM＝PC+PD＝CD，∴PD+PM的最小值為．【命題意圖】函數(shù)思想；應(yīng)用意識．【命題方向】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想、二次函數(shù)的性質(zhì)、對稱性、相似三角形的判定等，一般為壓軸題目。【得分要點】二次函數(shù)綜合題中線段問題的解題通法:(1)線段的數(shù)量關(guān)系問題:①在圖中找出對應(yīng)線段,弄清已知點和未知點,再聯(lián)系函數(shù)設(shè)出只含有一個參數(shù)的未知點的坐標,然后用參數(shù)表示出線段的長度;②結(jié)合已知條件,列出滿足線段數(shù)量關(guān)系的等式,求出參數(shù)值(注意排除不符合題意的數(shù)值).(2)線段的最值問題:①一條線段的最值問題,根據(jù)(1)①中所得的線段長度的式子,通過二次函數(shù)的性質(zhì)求最值,繼而得到線段的最值;②兩條線段和或差的最值問題,一般利用軸對稱模型解決.(3)周長的最值問題:一般利用轉(zhuǎn)化思想,將求周長的最值轉(zhuǎn)化為求不定線段和的問題.考向2面積問題【母題來源】2021年中考內(nèi)江卷【母題題文】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0）、B（6，0）兩點，與y軸交于點C．直線l與拋物線交于A、D兩點，與y軸交于點E，點D的坐標為（4，3）．（1）求拋物線的解析式與直線l的解析式；（2）若點P是拋物線上的點且在直線l上方，連接PA、PD，求當△PAD面積最大時點P的坐標及該面積的最大值；（3）若點Q是y軸上的點，且∠ADQ＝45°，求點Q的坐標．【試題解析】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0）、B（6，0）兩點，∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+2）（x﹣6），∵D（4，3）在拋物線上，∴3＝a（4+2）×（4﹣6），解得a，∴拋物線的解析式為y（x+2）（x﹣6）x2+x+3，∵直線l經(jīng)過A（﹣2，0）、D（4，3），設(shè)直線l的解析式為y＝kx+m（k≠0），則，解得，，∴直線l的解析式為yx+1；（2）如圖1中，過點P作PT∥y軸交AD于點T．設(shè)P（m，m2+m+3），則T（m，m+1）．∵S△PAD?（xD﹣xA）?PT＝3PT，∴PT的值最大值時，△PAD的面積最大，∵PTm2+m+3m﹣1m2m+2（m﹣1）2，∵0，∴m＝1時，PT的值最大，最大值為，此時△PAD的面積的最大值為，P（1，）．（3）如圖2中，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AT，則T（﹣5，6），設(shè)DT交y軸于點Q，則∠ADQ＝45°，∵D（4，3），∴直線DT的解析式為yx，∴Q（0，），作點T關(guān)于AD的對稱點T′（1，﹣6），則直線DT′的解析式為y＝3x﹣9，設(shè)DQ′交y軸于點Q′，則∠ADQ′＝45°，∴Q′（0，﹣9），綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為（0，）或（0，﹣9）．【命題意圖】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力【命題方向】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學會構(gòu)造特殊三角形解決問題，屬于中考壓軸題．【得分要點】二次函數(shù)綜合題中面積問題的解題通法:(1)直角坐標系中圖形面積的求法,以“S三角形=×水平底×鉛直高”為基礎(chǔ)求解.(2)圖形面積的數(shù)量關(guān)系:①找出所求圖形的頂點,其中動點的坐標根據(jù)函數(shù)關(guān)系式用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出來;②結(jié)合圖形作輔助線,并將關(guān)鍵線段的長度用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出來;③利用面積公式用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出圖形的面積;④列方程求解.(3)圖形面積的最值,解題思路跟(2)中的前三步相同,然后利用函數(shù)的增減性求解.考向3等腰三角形的存在性探究【母題來源】2021年中考攀枝花卷【母題題文】（2021?攀枝花）如圖，開口向上的拋物線與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，與y軸交于點C，且AC⊥BC，其中x1，x2是方程x2+3x﹣4＝0的兩個根．（1）求點C的坐標，并求出拋物線的表達式；（2）垂直于線段BC的直線l交x軸于點D，交線段BC于點E，連接CD，求△CDE的面積的最大值及此時點D的坐標；（3）在（2）的結(jié)論下，拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△PDE是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【試題解析】解：（1）由x2+3x﹣4＝0得x1＝﹣4，x2＝1，∴A（﹣4，0），B（1，0），∴OA＝4，OB＝1，∵AC⊥BC，∴∠ACO＝90°﹣∠BCO＝∠OBC，∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∴△AOC∽△COB，∴，即，∴OC＝2，∴C（0，﹣2），設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+4）（x﹣1），將C（0，﹣2）代入得﹣2＝﹣4a，∴a，∴拋物線解析式為y（x+4）（x﹣1）x2x﹣2；（2）如圖：由A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣2）得：AB＝5，BC，AC＝2，∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥AC，∴△ABC∽△DBE，∴，設(shè)D（t，0），則BD＝1﹣t，∴，∴DE（1﹣t），BE（1﹣t），∴S△BDEDE?BE（1﹣t）2，而S△BDCBD?OC（1﹣t）×2＝1﹣t，∴S△CDE＝S△BDC﹣S△BDE＝1﹣t（1﹣t）2t2t（t）2，∵0，∴t時，S△CDE最大為，此時D（，0）；（3）存在，由yx2x﹣2知拋物線對稱軸為直線x，而D（，0），∴D在對稱軸上，由（2）得DE[1﹣（）]，當DE＝DP時，如圖：∴DP，∴P（，）或（，），當DE＝PE時，過E作EH⊥x軸于H，如圖：∵∠HDE＝∠EDB，∠DHE＝∠BED＝90°，∴△DHE∽△DEB，∴，即，∴HE＝1，DH＝2，∴E（，﹣1），∵E在DP的垂直平分線上，∴P（，﹣2），當PD＝PE時，如圖：設(shè)P（，m），則m2＝（）2+（m+1）2，解得m，∴P（，），綜上所述，P的坐標為（，）或（，）或（，﹣2）或（，）．【命題意圖】分類討論；待定系數(shù)法；函數(shù)的綜合應(yīng)用；圖形的相似；幾何直觀；應(yīng)用意識．【命題方向】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、三角形相似的判定及性質(zhì)、三角形面積、等腰三角形判定及應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是分類討論及用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點的坐標、相關(guān)線段的長度，一般為壓軸題．【得分要點】二次函數(shù)綜合題中等腰三角形存在性探究的解題思路:(1)求出三角形的三邊長(有的邊長用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示);(2)根據(jù)等腰三角形中兩條邊相等分類討論,列方程求解.考向4直角三角形的存在性探究【母題來源】2021年中考畢節(jié)卷【母題題文】如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，對稱軸為直線x＝2，頂點為D，點B的坐標為（3，0）．（1）填空：點A的坐標為，點D的坐標為，拋物線的解析式為；（2）當二次函數(shù)y＝x2+bx+c的自變量x滿足m≤x≤m+2時，函數(shù)y的最小值為，求m的值；（3）P是拋物線對稱軸上一動點，是否存在點P，使△PAC是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【試題解析】解：（1）∵對稱軸為直線x＝2，∴b＝﹣4，∴y＝x2﹣4x+c，∵點B（3，0）是拋物線與x軸的交點，∴9﹣12+c＝0，∴c＝3，∴y＝x2﹣4x+3，令y＝0，x2﹣4x+3＝0，∴x＝3或x＝1，∴A（1，0），∵D是拋物線的頂點，∴D（2，﹣1），故答案為（1，0），（2，﹣1），y＝x2﹣4x+3；（2）當m+2＜2時，即m＜0，此時當x＝m+2時，y有最小值，則（m+2）2﹣4（m+2）+3，解得m，∴m；當m＞2時，此時當x＝m時，y有最小值，則m2﹣4m+3，解得m或m，∴m；當0≤m≤2時，此時當x＝2時，y有最小值為﹣1，與題意不符；綜上所述：m的值為或；（3）存在，理由如下：A（1，0），C（0，3），∴AC，AC的中點為E（，），設(shè)P（2，t），∵△PAC是以AC為斜邊的直角三角形，∴PEAC，∴，∴t＝2或t＝1，∴P（2，2）或P（2，1），∴使△PAC是以AC為斜邊的直角三角形時，P點坐標為（2，2）或（2，1）．【命題意圖】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力；應(yīng)用意識【命題方向】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)解析式的求法，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，將直角三角形存在性問題轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，一般為壓軸．【得分要點】二次函數(shù)綜合題中直角三角形存在性探究的解題思路:(1)求出三角形的三邊長(有的邊長用含未知數(shù)的代數(shù)式表示);(2)根據(jù)直角頂點分類討論,應(yīng)用勾股定理列方程求解.考向5平行四邊形的存在性探究【母題來源】2021年中考西藏卷【母題題文】在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點．與y軸交于點C．且點A的坐標為（﹣1，0），點C的坐標為（0，5）．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖（甲）．若點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點．當點P到直線BC的距離最大時，求點P的坐標；（3）圖（乙）中，若點M是拋物線上一點，點N是拋物線對稱軸上一點，是否存在點M使得以B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【試題解析】（1）將A的坐標（﹣1，0），點C的坐（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+4x+5；（2）過P作PD⊥x軸于D，交BC于Q，過P作PH⊥BC于H，如圖：在y＝﹣x2+4x+5中，令y＝0得﹣x2+4x+5＝0，解得x＝5或x＝﹣1，∴B（5，0），∴OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，∴∠CBO＝45°，∵PD⊥x軸，∴∠BQD＝45°＝∠PQH，∴△PHQ是等腰直角三角形，∴PH，∴當PQ最大時，PH最大，設(shè)直線BC解析式為y＝kx+5，將B（5，0）代入得0＝5k+5，∴k＝﹣1，∴直線BC解析式為y＝﹣x+5，設(shè)P（m，﹣m2+4m+5），（0＜m＜5），則Q（m，﹣m+5），∴PQ＝（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m）2，∵a＝﹣1＜0，∴當m時，PQ最大為，∴m時，PH最大，即點P到直線BC的距離最大，此時P（，）；（3）存在，理由如下：拋物線y＝﹣x2+4x+5對稱軸為直線x＝2，設(shè)M（s，﹣s2+4s+5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），①以MN、BC為對角線，則MN、BC的中點重合，如圖：∴，解得，∴M（3，8），②以MB、NC為對角線，則MB、NC的中點重合，如圖：∴，解得，∴M（﹣3，﹣16），③以MC、NB為對角線，則MC、NB中點重合，如圖：，解得，∴M（7，﹣16）；綜上所述，M的坐標為：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）．【命題意圖】數(shù)形結(jié)合；分類討論；待定系數(shù)法；函數(shù)的綜合應(yīng)用；多邊形與平行四邊形；幾何直觀；應(yīng)用意識．【命題方向】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象上點坐標的特征、等腰直角三角形、平行四邊形等知識，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點的坐標和相關(guān)線段的長度，一般為壓軸題．【得分要點】二次函數(shù)綜合題中平行四邊形存在性探究的解題思路:(1)已知三個點,順次連接這三個點,分別過這三個點作對邊的平行線,三條平行線的交點即為所求的點;如圖1,已知點A,B,C,則點P1,P2,P3即為所求的與點A,B,C組成平行四邊形的點.(2)已知兩個點,分兩種情況:①以這兩點所構(gòu)成的線段為邊時,可將該線段上下左右平移確定另兩點的位置,如圖2,已知點A,B;②以這兩點所構(gòu)成的線段為對角線時,取該線段的中點,旋轉(zhuǎn)經(jīng)過該點的直線確定另兩點的位置,如圖3,已知點A,B.圖1圖2圖31．（2021?耿馬縣二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）、B兩點，與y軸交于點C（0，3），頂點坐標為點D，連接CD、BC、BD．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）求證：△DCB∽△AOC；（3）將該拋物線向右平移2個單位長度得到新的拋物線y＝a1x2+b1x+c1，點E是平移后的拋物線與原拋物線的交點，點F是原拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點P，使得以點B、E、F、P為頂點的四邊形是矩形．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）把A（﹣1，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得，∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．（2）證明：如圖1，連結(jié)AC，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴拋物線的頂點D的坐標為（1，4），對稱軸為直線x＝1，∵點B與點A（﹣1，0）關(guān)于直線x＝1對稱，∴A（3，0），∴CD2＝12+（4﹣3）2＝2，BC2＝32+32＝18，BD2＝（3﹣1）2+42＝20，∴CD，CB＝3，CD2+BC2＝BD2＝20，∴△DCB是直角三角形，且∠DCB＝90°，∵OA＝1，OC＝3，∴，，∵∠DCB＝∠AOC，，∴△DCB∽△AOC．（3）存在．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴將該拋物線向右平移兩個單位得到的拋物線為y＝﹣（x﹣3）2+4，即y＝﹣x2+6x﹣5，由得，∴E（2，3），設(shè)點F的坐標為（1，m），如圖2，四邊形PBEF是矩形，設(shè)PF交x軸于點K，拋物線平移后點A的對應(yīng)點為L，則L（1，0），∴L在拋物線的對稱軸直線x＝1上，過點E、P分別作直線x＝1的垂線，垂足分別為點G、T，作EH⊥x軸于點H，則G（1，3），H（2，0），∴EG＝LH＝BH＝1，EH＝3，∵∠EGL＝∠GLK＝∠EHL＝90°，∴四邊形EGLH是矩形，∴∠GEH＝∠FEB＝90°，∴∠FEG＝∠BEH＝90°﹣∠FEH，∵∠EGF＝∠EHB＝90°，∴△FEG∽△BEH，∴，∴FGBH1，∴m＝3，∵PT∥x軸，PF∥BE，∴∠FPT＝∠FKL＝∠EBH，∵∠FTP＝∠EHB＝90°，PF＝BE，∴△FPT≌△EBH（AAS），∴PT＝BH＝1，F(xiàn)T＝EH＝3，∴xP＝1+1＝2，yP＝y(tǒng)T3，∴P（2，）；如圖3，以BE的中點Q為圓心，以BE為直徑作⊙Q交直線x＝1于點F、F′，過點F作直徑為FP，作四邊形BPEF、四邊形BP′EF′，∵QP＝PF，PB＝PE，∴四邊形BPEF是平行四邊形，∵PF＝BE，∴四邊形BPEF是矩形，∵QF＝QB，∴QF2＝QB2，∵Q（，），∴（m）2+（1）2＝（）2+（3）2，解得m1＝1，m2＝2，∴F（1，1），F(xiàn)′（1，2），∵點P與點F（1，1）關(guān)于點Q（，）成中心對稱，∴P（4，1），同理可得P′（4，2）．綜上所述，點P的坐標為（2，）或（4，1）或（4，2）．2．（2021?東勝區(qū)一模）如圖，已知直線y＝2x+n與拋物線y＝ax2+bx+c相交于A，B兩點，拋物線的頂點是A（1，﹣4），點B在x軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）若點M是y軸上一點，點N是坐標平面內(nèi)一點，當以A、B、M、N為頂點的四邊形是矩形時，求點M的坐標．（3）在拋物線上是否存在點Q，使∠BAQ＝45°，若存在，請直接寫出點Q的橫坐標；若不存在，說明理由．解：（1）將點A（1，﹣4）代入直線y＝2x+n得，2+n＝﹣4，∴n＝﹣6，∴直線y＝2x﹣6，當y＝0時，代入直線得：0＝2x﹣6，解得：x＝3，∴點B坐標（3，0），設(shè)拋物線表達式為y＝a（x﹣1）2﹣4，將點B代入拋物線得，0＝4a﹣4，解得：a＝1，∴拋物線表達式y(tǒng)＝（x﹣1）2﹣4；（2）當以A、B、M、N為頂點的四邊形是矩形時，有兩種情況：①如圖，當AB為邊時，設(shè)點M（0，m），已知點A（1，﹣4），點B（3，0）∴MA2＝12+（m+4）2，AB2＝（1﹣3）2+（﹣4﹣0）2＝20，BM2＝32+m2，∴MB2＝AM2+AB2，即12+（m+4）2+20＝32+m2，解得m，即點M的坐標（0，），延長BN交y軸于點M′，作AG⊥y軸于G，BH⊥GA交GA的延長線于點H．由△BOM∽△BHA，可得，∴，∴OM′，∴M′（0，），②如圖，當AB為對角線時，取線段AB的中點P，作輔助圓⊙P，與y軸交于點M1，M2，作PG⊥y軸于點G，點P坐標（，），即（2，﹣2），由①可得線段AB2，∴⊙P半徑，在Rt△PM1G中，PM1，PG＝2，M1G1，根據(jù)垂徑定理可得，M2G＝1，∴點M1坐標（0，﹣1），點M2坐標（0，﹣3）；綜上所述，當以A、B、M、N為頂點的四邊形是矩形時，點M坐標為：（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）；（3）存在點Q的橫坐標為﹣2或，使∠BAQ＝45°．理由如下：假設(shè)存在滿足條件的點Q，如圖，當四邊形ADBC為正方形，且點Q1，Q2分別在直線AD和直線AC上時，∠BAQ＝45°，設(shè)過線段AB中點P，且與線段AB垂直的直線：yb，將點P（2，﹣2）代入得：﹣2＝﹣1+b，解得b＝﹣1，∴直線為y，設(shè)點C點坐標（n，n﹣1），在Rt△ABD中，∠BAQ＝45°，AB＝2，sin45°，解得BD，∴BD，解得n1＝0，n2＝4，∴點C坐標（0，﹣1），點D坐標（4，﹣3），設(shè)直線AD表達式為：y＝qx+p，將點A（1，﹣4），點D（4，﹣3）代入得，，解得，∴直線AD的表達式為y，同理可得直線AC的表達式為y＝﹣3x﹣1，聯(lián)立直線AD與拋物線y＝（x﹣1）2﹣4可得，（x﹣1）2﹣4，解得x1＝1，x2，同理聯(lián)立直線AC與拋物線可解得x3＝1，x4＝﹣2，∴點Q的橫坐標為﹣2或．3．（2021?南充模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（4，0）、B（0，4）、C．其對稱軸l交x軸于點D，交直線AB于點F，交拋物線于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）點P為直線l上的動點，求△PBC周長的最小值；（3）點N為直線AB上的一點（點N不與點F重合），在拋物線上是否存在一點M，使以點E、F、N、M為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標，不存在，說明理由．解：（1）把點A（4，0）、B（0，4）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c中，得，，解得，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+3x+4，（2）由拋物線解析式可知，l：x，C（﹣1，0），如圖，作點B關(guān)于直線l的對稱軸B′，連接B′C交l于一點P，點P即為使△PBC周長最小的點，此時B′（3，4），直線B′C：y＝x+1，∴P（，），∵B（0，4），C（﹣1，0），B′（3，4），∴BC，CB′＝4，∴△PBC周長的最小值為：4．（3）存在，以點E、F、N、M為頂點的四邊形為平行四邊形的點M的坐標為（，），（，）或（，）．理由如下：由拋物線解析式可知，E（，），∵A（4，0）、B（0，4），∴直線AB的解析式為：y＝﹣x+4，∴F（，）．∴EF．設(shè)M（m，﹣m2+3m+4），①當EF為邊時，則EF∥MN，∴N（m，﹣m+4），∴NM＝EF，即|﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）|，解得m（舍）或或或，∴M（，）或（，），（，））．②當EF為對角線時，EF的中點為（，），∴點N的坐標為（3﹣m，m2﹣3m），∴﹣3+m+4＝m2﹣3m，解得m（舍），m，∴M3（，）．綜上，滿足以點E、F、N、M為頂點的四邊形為平行四邊形的點M的坐標為（，），（，）或（，）．4．（2021?諸城市三模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過點A（﹣2，0），點B（4，0），與y軸交于點C，過點C作直線CD∥x軸，與拋物線交于點D，作直線BC，連接AC．（1）求拋物線的函數(shù)表達式，并用配方法求拋物線的頂點坐標；（2）E是拋物線上的點，求滿足∠ECD＝∠ACO的點E的坐標；（3）點M在y軸上，且位于點C的上方，點N在直線BC上，點P為直線BC上方拋物線上一點，若以點C，M，N，P為頂點的四邊形是菱形，求菱形的邊長．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（﹣2，0），點B（4，0），∴得，∴解得，∴拋物線解析式為yx2+x+4，∵，∴拋物線的頂點坐標為；（2）如圖1，設(shè)滿足條件的點在拋物線上：①當點E位于直線CD下方時，過點E作EF⊥直線CD，垂足為F．則F（t，4），CF＝t，，根據(jù)題意，當∠ECD＝∠ACO時，tan∠ACO＝tan∠ECD，即，∴，解得t1＝0（舍去），t2＝3，∴；②當點E'位于直線CD上方時，過點E'作E'F'⊥直線CD，垂足為F'．則F'（s，4），CF'＝s，E'F's2+s+4﹣4s2+s，根據(jù)題意，當∠ECD＝∠ACO時，tan∠ACO＝tan∠ECD，即，∴，解得s1＝0（舍去），s2＝1．∴，所以，點E的坐標為或；（3）①CM為菱形的邊，如圖2，在第一象限內(nèi)取點P′，過點P′作P′N′∥y軸，交BC于N′，過點P′作P′M′∥BC，交y軸于M′，∴四邊形CM′P′N′是平行四邊形，∵四邊形CM′P′N′是菱形，∴P′M′＝P′N′，過點P′作P′Q′⊥y軸，垂足為Q′，∵OC＝OB，∠BOC＝90°，∴∠OCB＝45°，∴∠P′M′C＝45°，設(shè)點P′（m，m2+m+4），在Rt△P′M′Q′中，P′Q′＝m，P′M′m，∵B（4，0），C（0，4），∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4，∵P′N′∥y軸，∴N′（m，﹣m+4），∴P′N′m2+m+4﹣（﹣m+4）m2+2m，∴mm2+2m，∴m＝0（舍）或m＝4﹣2，菱形CM′P′N′的邊長為（4﹣2）＝44．②CM為菱形的對角線，如圖3，在第一象限內(nèi)拋物線上取點P，過點P作PM∥BC，交y軸于點M，連接CP，過點M作MN∥CP，交BC于N，∴四邊形CPMN是平行四邊形，連接PN交CM于點Q，∵四邊形CPMN是菱形，∴PQ⊥CM，∠PCQ＝∠NCQ，∵∠OCB＝45°，∴∠NCQ＝45°，∴∠PCQ＝45°，∴∠CPQ＝∠PCQ＝45°，∴PQ＝CQ，設(shè)點P（n，n2+n+4），∴CQ＝n，OQ＝n+4，∴n+4n2+n+4，∴n＝0（舍），∴此種情況不存在．綜上，菱形的邊長為44．10．（2021?達拉特旗三模）如圖，拋物線交x軸于A（﹣2，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），連接AC，BC．M為線段OB上的一個動點，過點M作PM⊥x軸，交拋物線于點P，交BC于點Q．（1）求拋物線的表達式；（2）過點P作PN⊥BC，垂足為點N．設(shè)M點的坐標為M（m，0），請用含m的代數(shù)式表示線段PN的長，并求出當m為何值時PN有最大值，最大值是多少？（3）試探究點M在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）設(shè)拋物線的表達式為：y＝a（x+2）?（x﹣3），∴a?2×（﹣3）＝3，∴a，∴拋物線的關(guān)系式是y（x+2）?（x﹣3）x23；（2）∵B（3，0），C（0，3），∴直線BC的表達式是y＝﹣x+3，∴Q（m，﹣m+3），∴QM＝﹣m+3，∵P（m，），∴PM，∴PQ＝PM﹣QM，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵QM∥OC，∴∠PQN＝∠OCB＝45°，∴PN＝PQ?sin∠PQN（）（m）2，∴當m時，PN最大；（3）設(shè)Q（m，﹣m+3），AC2＝22+32＝13，AQ2＝（m+2）2+（﹣m+3）2＝2m2﹣2m+13，CQ2＝m2+m2＝2m2，當AQ＝AC時，2m2﹣2m+13＝13，∴m1＝0（舍去），m2＝1，∴Q1（1，2），當AC＝CQ時，2m2＝13，∴m3，m4（舍去），∴Q2（，3），當AQ＝CQ時，2m2﹣2m+13＝2m2，∴m3，故舍去，綜上所述，Q（1，2）或（，3）．6．（2021?洛江區(qū)模擬）如圖1，拋物線yx2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）和B點，與y軸交于點C（0，2）．（1）求這個拋物線的解析式；（2）若點P在拋物線上，且滿足∠PAB＝∠ACO，求點P的坐標；（3）如圖2，若點D是在直線BC上方的拋物線的一點，作DE⊥BC于點E，求線段DE的最大值．解：（1）∵拋物線yx2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、C（0，2），∴，解得，∴拋物線解析式為yx2x+2；（2）過P作PM⊥x軸于M，如圖：設(shè)P（m，m2m+2），則PM＝|m2m+2|，AM＝m+1，∵∠PAB＝∠ACO，∴tan∠PAB＝tan∠ACO，即，∴，當P在x軸上方時，，解得m＝3或m＝﹣1（與A重合，舍去），∴P（3，2），當P在x軸下方時，，解得m＝5或m＝﹣1（舍去），∴P（5，﹣3），綜上所述，點P的坐標為（3，2）或（5，﹣3）；（3）作D作DN⊥x軸于N交BC于F，如圖：在yx2x+2中，令y＝0得x2x+2＝0，解得x＝4或x＝﹣1，∴B（4，0），設(shè)直線BC為y＝kx+2，∴0＝4k+2，解得k，∴直線BC為yx+2，在Rt△BOC中，BC2，∴cos∠CBO，∵DE⊥BC，∠DFE＝∠BFN，∴∠EDF＝∠NBF，∴DE＝DF?cos∠EDF＝DF?cos∠CBODF，∴DF最大時，DE最大，設(shè)D（n，n2n+2），則F（n，n+2），∴DF＝（n2n+2）﹣（n+2）（n﹣2）2+2，∴n＝2時，DF最大為2，∴DE的最大值為2．7．（2021?陜西模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點A（﹣1，0），點B（3，0），拋物線的頂點為C．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）連接AC、BC．問：是否存在這樣的點P，以P為位似中心，將△ABC放大為原來的2倍后得到△DEF（即點A、B、C的對應(yīng)點分別是點D、E、F），使得點D、E恰好在拋物線上且點F在拋物線的對稱軸上？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得到，，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．（2）存在．由題意點A（﹣1，0），B（3，0），則AB＝3﹣（﹣1）＝4，∵△EDF∽△ABC，相似比為2，∴DE＝2×4＝8，∵二次函數(shù)為y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4的對稱軸為直線x＝1，∴點D的橫坐標為5或﹣3，①當點D在點E的右邊時，點D的橫坐標為5，點E的橫坐標為﹣3，所以，y＝﹣52+2×5+3＝﹣12，此時，點D（5，﹣12），E（﹣3，﹣12），設(shè)直線AE的解析式為y＝kx+b，直線BD的解析式為y＝ex+f，則，，解得，所以直線AE的解析式為y＝6x+6，直線BD的解析式為y＝﹣6x+18，聯(lián)立，解得，所以，點P的坐標為（1，12），②點D在點E的左邊時，點E的橫坐標為5，點D的橫坐標為﹣3，所以，y＝﹣52+2×5+3＝﹣12，此時，點E（5，﹣12），D（﹣3，﹣12），設(shè)直線AE的解析式為y＝kx+b，直線BD的解析式為y＝ex+f，則，，解得，所以，直線AE的解析式為y＝﹣2x﹣2，直線BD的解析式為y＝2x﹣6，聯(lián)立，解得，所以點P的坐標為（1，﹣4）．綜上所述，存在位似中心點P（1，12）或（1，﹣4）．8．（2021?西寧一模）如圖1，以點M（1，4）為頂點的拋物線與直線y＝﹣x交于A，B兩點，且點A坐標為（4，），點B在y軸上．（1）求拋物線解析式；（2）若點D是拋物線上位于直線AB上方的一點（如圖2），過點D作DE⊥x軸于點E，交直線AB于點F，求線段DF長度的最大值；（3）在拋物線的對稱軸l上是否存在點P，使以點A，M，P為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣1）2+4，∴a（4﹣1）2+4，∴a，∴y（x﹣1）2+4；（2）如圖1，設(shè)D（m，），∴F（m，﹣m），∴DF＝（）﹣（﹣m）（m﹣2）2+2，∴當m＝2時，DF有最大值是2；（3）如圖2，當∠APM＝90°時，∵A（4，），∴P（1，），如圖3，當∠PAM＝90°時，∴∠APM+∠AMP＝90°，作AQ⊥PM于Q，∴∠AQM＝∠AQP＝90°，∴∠APM+∠QAP＝90°，∴∠AMP＝∠QAP，∴△AQP∽△MQA，∴，∵QM＝4﹣（），AQ＝4﹣1＝3，∴，∴PQ＝2，∴PH＝HQ+PQ，∴P（1，），綜上所述：P的坐標是（1，）或（1，）．9．（2021?包頭一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．（1）求此拋物線的解析式及對稱軸；（2）D是拋物線的對稱軸上一點，且位于x軸的下方若S△ACD＝6，求點D的坐標；（3）取點E（0，2），連接AE，在第四象限內(nèi)的拋物線上是否存在