第三章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)(含解析)單元目標檢測(北師大版必修一)

第1頁共7頁第三章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)（含解析）單元目標檢測(時間：120分鐘，滿分：150分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．給定函數(shù)①，②，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在區(qū)間(0,1)上單調遞減的函數(shù)序號是()．A．①②B．②③C．③④D．①④2．若0＜x＜y＜1，則()．A．3y＜3xB．logx3＜logy3C．log4x＜log4yD．3．下列各組函數(shù)，在同一直角坐標中，f(x)與g(x)有相同圖像的一組是()．A．f(x)＝，g(x)＝B．f(x)＝，g(x)＝x－3C．f(x)＝，g(x)＝2log2xD．f(x)＝x，g(x)＝lg10x4．若xlog23＝1，則3x＋9x的值為()．A．3B．C．6D．5．若a＜0，則函數(shù)y＝(1－a)x－1的圖像必過點()．A．(0,1)B．(0,0)C．(0，－1)D．(1，－1)6．f(x)＝lg(10x＋1)＋ax是偶函數(shù)，g(x)＝是奇函數(shù)，那么a＋b的值為()．A．1B．－1C．D．7．若函數(shù)f(x)＝loga(x＋b)(其中a，b為常數(shù))的圖像如下圖所示，則函數(shù)g(x)＝ax＋b的大致圖像是()．8．已知函數(shù)f(x)＝在R上為減函數(shù)，則a的取值范圍為()．A．(0,1)B．C．D．9．設函數(shù)f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，若f(x1x2…x2010)＝8，則f(x12)＋f(x22)＋…＋f(x20102)的值等于()．A．4B．8C．16D．2log10．如果一個點是一個指數(shù)函數(shù)的圖像與一個對數(shù)函數(shù)的圖像的公共點，那么稱這個點為“好點”，在下面的五個點M(1,1)，N(1,2)，P(2,1)，Q(2,2)，G中，“好點”的個數(shù)為()．A．0B．1C．2D．3二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在題中的橫線上)11．已知函數(shù)f(x)＝若f(a)＝，則a＝________.12．若函數(shù)f(x)＝logax在區(qū)間[2，＋∞)上恒有f(x)＞1，則a的取值的集合為________．13．在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y＝g(x)的圖像與y＝ex的圖像關于直線y＝x對稱，而函數(shù)y＝f(x)的圖像與y＝g(x)的圖像關于y軸對稱，若f(m)＝－1，則m的值為________．14．已知函數(shù)f(x)＝，若f(x)為奇函數(shù)，則a＝________.15．已知定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上是單調增函數(shù)，則不等式f(2)＜f(log2x)的解集為________．三、解答題(本大題共6小題，共75分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝2x的定義域是[0,3]，設g(x)＝f(2x)－f(x＋2)．(1)求g(x)的解析式及定義域；(2)求函數(shù)g(x)的最大值和最小值．17．(本小題滿分12分)計算下列各式的值：(1)；(2).18．(本小題滿分12分)已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．(1)求b的值；(2)判斷函數(shù)f(x)的單調性；(3)若對任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒立，求k的取值范圍．19．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝，(1)若函數(shù)f(x)的值域為(－∞，－1]，求實數(shù)a的值；(2)若函數(shù)f(x)在(－∞，1]內為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．20．(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)＝log2(2x＋1)．(1)求證：函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)內單調遞增；(2)若關于x的方程log2(2x－1)＝m＋f(x)在[1,2]上有解，求m的取值范圍．21．(本小題滿分14分)有一個湖泊受污染，其湖水的容量為V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量．現(xiàn)假設降雨量和蒸發(fā)量平衡，且污染物和湖水均勻混合．用(P≥0)，表示某一時刻一立方米湖水中所含污染物的克數(shù)(我們稱其為湖水污染質量分數(shù))，g(0)表示湖水污染初始質量分數(shù)．(1)當湖水污染質量分數(shù)為常數(shù)時，求湖水污染初始質量分數(shù)；(2)分析g(0)＜時，湖水的污染程度如何．

參考答案1．B點撥：和y＝|x－1|在區(qū)間(0,1)上單調遞減，和y＝2x＋1在區(qū)間(0,1)上單調遞增．2．C點撥：∵y＝3x在R上是增函數(shù)，且0＜x＜y＜1，∴3x＜3y，故A錯誤．∵y＝log3x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且0＜x＜y＜1，∴l(xiāng)og3x＜log3y＜log31＝0.∴，即logx3＞logy3，故B錯誤．∵y＝log4x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且0＜x＜y＜1，∴l(xiāng)og4x＜log4y，故C正確．∵在R上是減函數(shù)，且0＜x＜y＜1，∴，故D錯誤．3．D點撥：選項A中，f(x)的定義域為R，g(x)的定義域為[0，＋∞)；選項B中，f(x)的定義域為(－∞，－3)∪(－3，＋∞)，g(x)的定義域為R；選項C中，f(x)＝＝x，x∈[0，＋∞)，g(x)＝2log2x，x∈(0，＋∞)，定義域和對應關系都不同；選項D中，g(x)＝lg10x＝xlg10＝x，故選D.4．C點撥：∵x·log23＝1，∴x＝＝log32.∴3x＋9x＝3x＋(3x)2＝＝2＋22＝6.5．B點撥：根據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝ax恒過定點(0,1)知，函數(shù)y＝(1－a)x－1恒過定點(0,0)．6．D點撥：f(x)＝lg(10x＋1)＋ax是偶函數(shù)，則lg(10x＋1)＋ax＝lg(10－x＋1)－ax2ax＝lg(10－x＋1)－lg(10x＋1)＝－lg(10x＋1)，∴2ax＝＝－x(2a＋1)x＝0，∴.∵g(x)＝是奇函數(shù)，故g(0)＝＝0b＝1.于是a＋b＝.7．D點撥：由題意知∴則選D.8．B點撥：由，得0＜a＜.又f(x)在R上為減函數(shù)，需滿足，即a2－2a≤0，a(a－2)≤0.∴0≤a≤2.綜上，知0＜a＜.9．C點撥：f(x12)＋f(x22))＋…＋f(x20102)＝logax12＋logax22＋…＋logax20102＝loga(12·x22·…·x20102)＝loga(x1x2…x2010)2＝2loga(x1x2…x2010)＝2f(x1x2…x2010)＝2×8＝10．C點撥：∵指數(shù)函數(shù)過定點(0,1)，對數(shù)函數(shù)過定點(1,0)，∴指數(shù)函數(shù)不過(1,1)，(2,1)點，對數(shù)函數(shù)不過點(1,2)．∴點M，N，P一定不是好點．可驗證：過指數(shù)函數(shù)，且過對數(shù)函數(shù)y＝log4x.Q(2,2)在和的圖像上．11．或－1點撥：當a＞0時，若f(a)＝，則log2a＝，∴；當a≤0時，若f(a)＝，則2a＝，∴a＝－1.綜上可知，或a＝－1.12．{a|1＜a＜2}點撥：若函數(shù)f(x)＝logax在區(qū)間[2，＋∞)上恒有f(x)＞1，則，即.∴1＜a＜2.13．點撥：由題意知y＝g(x)應為y＝ex的反函數(shù)，即y＝g(x)＝lnx，而y＝f(x)與y＝g(x)＝lnx的圖像關于y軸對稱，故可得y＝f(x)＝ln(－x)，又f(m)＝－1，所以ln(－m)＝－1，得－m＝e－1，即.14．點撥：函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x)為奇函數(shù)，則f(0)＝0，即，∴.15．∪(4，＋∞)點撥：因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上是單調增函數(shù)，且f(2)＜f(log2x)，所以2＜log2x，解得x＞4；因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以log2x＜－2，解得0＜x＜，所以不等式f(2)＜f(log2x)的解集為∪(4，＋∞)．16．解：(1)∵f(x)＝2x，∴g(x)＝f(2x)－f(x＋2)＝22x－2x＋2.∵f(x)的定義域是[0,3]，∴解得0≤x≤1.∴g(x)的定義域是[0,1]．(2)g(x)＝(2x)2－4×2x＝(2x－2)2－4.∵x∈[0,1]，∴2x∈[1,2]．∴當2x＝1，即x＝0時，g(x)取得最大值－3；當2x＝2，即x＝1時，g(x)取得最小值－4.17．解：(1)原式＝＝＝＝.(2)原式＝log2.52.52＋lg10－2.18．解：(1)∵f(x)在定義域R上是奇函數(shù)，∴f(0)＝0，即，∴b＝1.(2)由(1)知f(x)＝，設x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝.∵函數(shù)y＝2x在R上是增函數(shù)且x1＜x2，∴.又，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)．(3)因f(x)是奇函數(shù)，從而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0，等價于f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，因f(x)為減函數(shù)，由上式推得t2－2t＞k－2t2.即對一切t∈R有3t2－2t－k＞0，從而判別式Δ＝4＋12k＜0k＜.19．解：(1)設g(x)＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2.∵f(x)的值域為(－∞，－1]，∴，即，∴g(x)≥2.由3－a2＝2，得a＝1或a＝－1.(2)要使f(x)在(－∞，1]內是增函數(shù)，需g(x)在(－∞，1]上為減函數(shù)且g(x)＞0對于x∈(－∞，1]恒成立，∴，即.∴1≤a＜2.故實數(shù)a的取值范圍是[1,2)．20．(1)證明：任取x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝＝，∵x1