北京市東城區(qū)2022-2023學年高二下學期期末統(tǒng)一檢測數(shù)學試題（教師版）

東城區(qū)2022-2023學年度第二學期期末統(tǒng)一檢測高二數(shù)學2023.7本試卷共6頁，滿分100分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分(選擇題共36分)一、選擇題共12小題，每小題3分，共36分.在每個小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)交集概念進行計算.【詳解】根據(jù)交集的概念得到.故選：A2.從集合中選取兩個不同的元素，組成平面直角坐標系中點的坐標，則可確定的點的個數(shù)為（）A.10 B.15 C.20 D.25【答案】C【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)的概念運算即可.【詳解】從集合中選取兩個不同的元素，組成平面直角坐標系中點的坐標，則可確定的點的個數(shù)為個.故選：C.3.已知，，，那么（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及中間值比大小.【詳解】，，，故.故選：D4.如圖，曲線在點處的切線為直線，直線經(jīng)過原點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的意義及直線的斜率公式求解即可.【詳解】由題意，，且，所以.故選：C.5.在的展開式中，的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二項式定理展開式的通項公式可求答案.【詳解】因為的通項公式為，令得，所以的系數(shù)為.故選：D.6.如圖（1）、（2）、（3）分別為不同樣本數(shù)據(jù)的散點圖，其對應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù)分別是，那么之間的關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)散點圖，結(jié)合變量間的相關(guān)關(guān)系和相關(guān)系數(shù)的定義，即可求解.【詳解】由散點圖（1）可得，變量與變量之間呈現(xiàn)正相關(guān)，所以；由散點圖（2）可得，變量與變量之間呈現(xiàn)負相關(guān)，所以；由散點圖（3）可得，變量與變量之間不相關(guān)，所以，所以故選：B.7.已知等比數(shù)列的首項和公比相等，那么數(shù)列中與一定相等的項是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)出公比，利用等比數(shù)列的性質(zhì)進行求解.【詳解】設(shè)公比為，則，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知.故選：D8.已知是函數(shù)的極小值點，那么的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求得，令，得到或，結(jié)合題意，列出不等式，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，令，即，解得或，要使得是函數(shù)的極小值點，則滿足，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A.9.在函數(shù)，，，中，導函數(shù)值不可能取到1的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分別對每一個函數(shù)進行求導，然后讓導函數(shù)值等于時，判斷是否求出對應(yīng)的的值，即可得出結(jié)果【詳解】對于A選項，，令，得，即A選項導函數(shù)值可以取到1；對于B選項，，令，得，，即B選項導函數(shù)值可以取到1；對于C選項，，令，得，由于，的值域為，且在的單調(diào)遞增，所以一定有的值使得，即C選項導函數(shù)值可以取到1；對于D選項，，令，則，沒有的值使其成立，即D選項導函數(shù)值不可能取到1，故選：D.10.已知有7件產(chǎn)品，其中4件正品，3件次品，每次從中隨機取出1件產(chǎn)品，抽出的產(chǎn)品不再放回，那么在第一次取得次品的條件下，第二次取得正品的概率為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用縮小事件空間來求解.【詳解】第一次取得次品的條件下，第二次取產(chǎn)品時，共有6件產(chǎn)品，其中4件正品，所以第二次取得正品的概率為.故選：B.11.聲壓級（）是指以對數(shù)尺衡量有效聲壓相對于一個基準值的大小，其單位為（分貝）.人類產(chǎn)生聽覺的最低聲壓為（微帕），通常以此作為聲壓的基準值.聲壓級的計算公式為：，其中是測量的有效聲壓值，聲壓的基準值，.由公式可知，當聲壓時，.若測得某住宅小區(qū)白天的值為，夜間的值為，則該小區(qū)白天與夜間的有效聲壓比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知公式，分別計算出白天和夜間的有效聲壓值，即可求得答案.【詳解】由題意可設(shè)該小區(qū)白天的有效聲壓值為,則,設(shè)該小區(qū)夜間的有效聲壓值為,則,故,故選：B12.已知函數(shù)，①當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當時，有兩個極值點；③當時，有最大值.那么上面說法正確的個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】①求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)已知求得，即可求得說法正確；②根據(jù)已知將問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)與的圖象交點問題，作出圖象，求得兩個圖象有兩個交點，從而求得有兩個極值點，則說法正確；③結(jié)合圖象，時，可求得，則單增無最大值，故說法錯誤.【詳解】，，對于①，因為，所以，當時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以①正確.對于②，令，得，令，，當，則，當，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當，，又當趨近于時，趨近于，，當趨近于時，趨近于，所以可作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，由圖可知，當時，直線與的圖象有兩個交點，即方程有兩個不等實根，當或時，，當時，，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點，故有兩個極值點，所以②正確.對于③，當時，，即恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)無最大值，所以③錯誤.則說法正確的個數(shù)為，故選：C第二部分(非選擇題共64分)二、填空題共6小題，每小題3分，共18分.13.已知數(shù)列的首項，且，那么_______；數(shù)列的通項公式為__________.【答案】①.4②.【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列遞推式即可求得，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可求得.【詳解】由題意數(shù)列的首項，且，那么；由此可知，故，則數(shù)列為首項是，公比為2的等比數(shù)列，故，首項也適合該式，故答案為：4；14.若函數(shù)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解即可.【詳解】因為函數(shù)的值域為R，所以有或，故答案為：15.設(shè)函數(shù)(為常數(shù))，若在單調(diào)遞增，寫出一個可能的值________.【答案】0（答案不唯一，即可）【解析】【分析】求得，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為當時，恒成立，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因為在單調(diào)遞增，即當時，恒成立，即當時，恒成立，所以，所以，即為一個可能的值.故答案為：（答案不唯一，即可）.16.幸福感是個體的一種主觀情感體驗，生活中的多種因素都會影響人的幸福感受．為研究男生與女生的幸福感是否有差異，一位老師在某大學進行了隨機抽樣調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：幸福不幸?？傆嬆猩?38128766女生37246418總計10101741184由此計算得到，已知，．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，________（填“可以”或“不能”）認為男生與女生的幸福感有差異；根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，________（填“可以”或“不能”）認為男生與女生的幸福感有差異．【答案】①.可以②.不能【解析】【分析】根據(jù)假設(shè)性檢驗中的值對比小概率值進行判斷即可.【詳解】由于，則根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以認為男生與女生的幸福感有差異由于，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，不能認為男生與女生的幸福感有差異．故答案為：可以；不能.17.盲盒，是一種新興的商品.商家將同系列不同款式的商品裝在外觀一樣的包裝盒中，使得消費者購買時不知道自己買到的是哪一款商品.現(xiàn)有一商家設(shè)計了同一系列的A、B、C三款玩偶，以盲盒形式售賣，已知A、B、C三款玩偶的生產(chǎn)數(shù)量比例為6：3：1.以頻率估計概率，計算某位消費者隨機一次性購買4個盲盒，打開后包含了所有三款玩偶的概率為_________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)古典概型概率公式和相互獨立事件的乘法概率公式計算即可.【詳解】由題意得，買到A得概率為0.4，買的B的概率為0.3，買到C的概率為0.1，.故答案為：.18.設(shè)，給出下列四個結(jié)論：①不論為何值，曲線總存在兩條互相平行的切線；②不論為何值，曲線總存在兩條互相垂直的切線；③不論為何值，總存在無窮數(shù)列，使曲線在處的切線互相平行；④不論為何值，總存在無窮數(shù)列，使曲線在處的切線為同一條直線．其中所有正確結(jié)論的序號是____．【答案】①③④【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)以及直線的平行、垂直關(guān)系逐項分析判斷.【詳解】由，則，對于①，令，則，即切點坐標為，切線斜率，所以切線方程為，令，則，即切點坐標為，切線斜率，所以切線方程為，即，所以在，處的切線平行，故①正確；對于②，假設(shè)函數(shù)在處和在處的切線垂直，則，當時，則，顯然不成立，故②錯誤；對于③，當時，則（定值），且對于，則，即在的切線不重合，所以在的切線平行，故③正確；對于④，當時，則（定值），且對于，則，所以在的切線重合，故④正確；故答案為：①③④.【點睛】關(guān)鍵點睛：對于③④，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，分別構(gòu)造和，代入檢驗.三、解答題共5小題，共46分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19.某學校舉行男子乒乓球團體賽，決賽比賽規(guī)則采用積分制，兩支決賽的隊伍依次進行三場比賽，其中前兩場為男子單打比賽，第三場為男子雙打的比賽，每位出場隊員在決賽中只能參加一場比賽.某進入決賽的球隊共有五名隊員，現(xiàn)在需要提交該球隊決賽的出場陣容，即三場比賽的出場的隊員名單.（1）一共有多少種不同的出場陣容？（2）若隊員A因為技術(shù)原因不能參加男子雙打比賽，則一共有多少種不同的出場陣容？【答案】（1）60（2）36【解析】【分析】（1）根據(jù)分步計數(shù)原理，先安排前兩場比賽人員，再安排第三場的比賽人員；（2）從隊員A上場和不上場來分類，分別求解，再利用分類加法原理可得答案.【小問1詳解】出場陣容可以分兩步確定：第1步，從5名運動員中選擇2人，分別參加前兩場男單比賽，共有種；第2步，從剩下的3名運動員中選出兩人參加男雙比賽，共有種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的出場陣容種數(shù)為.【小問2詳解】隊員A不能參加男子雙打比賽，有兩類方案：第1類方案是隊員A不參加任務(wù)比賽，即除了隊員A之外的4人參加本次比賽，只需從4人中選出兩人，分別取參加前兩場單打比賽，共有種，剩余人員參加雙打比賽；第2類方案是隊員A參加單打比賽，可以分3個步驟完成：第1步，確定隊員A參加的是哪一場單打比賽，共2種；第2步，從剩下4名隊員中選擇一名參加另一場單打比賽，共4種；第3步，從剩下的3名隊員中，選出兩人參加男雙比賽，共有種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，隊員A參加單打比賽的不同的出場陣容有種；根據(jù)分類加法計數(shù)原理，隊員A不參加男子雙打比賽的不同的出場陣容種數(shù)為.20.已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，＝.（1）求在上的解析式；（2）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解，再結(jié)合對稱性得在上的解析式；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)基本初等函數(shù)單調(diào)性即可求的最值，從而得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，時，＝，所以，解得，所以時，，當時，，所以，又，即在上的解析式為；【小問2詳解】因為時，，所以可化為，整理得，令，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得是減函數(shù)，所以，所以，故實數(shù)的取值范圍是.21.近年來，為改善城市環(huán)境，實現(xiàn)節(jié)能減排，許多城市出臺政策大力提倡新能源汽車的使用.根據(jù)中國汽車流通協(xié)會的發(fā)布會報告，將2023年1月、2月新能源乘用車市場銷量排名前十的城市及其銷量統(tǒng)計如下表：表12023年1月排名城市銷量1上海123702深圳121323成都87554杭州87185鄭州86736廣州86237重慶73248西安68519天津664910蘇州6638表22023年2月排名城市銷量1上海177072杭州150013深圳138734廣州124965鄭州119346成都114117重慶87128北京87019蘇州860810西安7680（1）從1月、2月這兩個月中隨機選出一個月，再從選出這個月中新能源乘用車市場銷量排名前十的城市中隨機抽取一個城市，求該城市新能源汽車銷量大于10000的概率;（2）從表1、表2的11個城市中隨機抽取2個不同的城市，設(shè)這兩個城市中2月排名比1月上升的城市的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)全概率公式計算可得；（2）依題意可得可取，，，求出所對應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學期望.【小問1詳解】設(shè)“抽到的城市該月新能源汽車銷量大于10000”為事件，“選取表1”為事件，“選取表2”為事件，則.【小問2詳解】兩個月共有11個城市上榜，其中2月排名比1月上升的城市有杭州，廣州，北京，蘇州，故可取，，.所以，，.所以的分布列為故隨機變量的數(shù)學期望.22.已知函數(shù)，.（1）若，求在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）設(shè)，求證：恰有2個極值點；（3）若，不等式恒成立，求的最小值.【答案】（1）.（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）求得，令，可得，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合極值的概念與計算，即可求解；（2）求得，結(jié)合，得到方程有兩個不同的根，結(jié)合極值點的定義，即可求解；（3）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，不等式恒成立，設(shè)，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解.【小問1詳解】解：由函數(shù)，可得，令，可得，則的關(guān)系，如圖下表：120極大值綜上可得，函數(shù)【小問2詳解】解：由函數(shù)，可得，因為，所以方程有兩個不同的根，設(shè)為且，則有極小值極大值綜上可得，函數(shù)恰有2個極值點.【小問3詳解】解：因為，所以，不等式恒成立，設(shè)，可得，所以的關(guān)系，如圖下表：10極大值所以，所以實數(shù)的最小值為.【點睛】方法技巧：對于利用導數(shù)研究