17.2 勾股定理的逆定理 人教版八年級數(shù)學下冊教學課件

17.2勾股定理的逆定理第十七章勾股定理第1課時勾股定理的逆定理人教版數(shù)學八年級下冊前面我們學習了勾股定理，同學們能說出它的題設和結(jié)論嗎？新課導入勾股定理

如果直角三角形的兩條直角邊長分別為

a，b，斜邊為

c，那么

a2+b2=c2.形結(jié)論：a2+b2=c2.題設(條件)：直角三角形的兩條直角邊長分別為

a，b，斜邊為

c.數(shù)ACBabc

反過來，如果一個三角形的三邊長

a，b，

c，

滿足

a2+b2=c2.那么這個三角形的題設和結(jié)論是怎樣的？結(jié)論：這個三角形是直角三角形.題設(條件)：三角形的三邊長

a，b，

c，

滿足

a2+b2=c2.結(jié)論能成立嗎？

據(jù)說，古埃及人用如圖的方法畫直角：把一根長繩打上等等距的

13個結(jié)，然后以

3個結(jié)間距，4個結(jié)間距，5個結(jié)間距的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角.這種做法真能得到一個直角三角形嗎？知識點1：勾股定理的逆定理探究新知345這個三角形三邊有什么關系嗎？32+42=52

畫一畫(1)下列各組數(shù)中兩個數(shù)的平方和等于第三個數(shù)的平方，分別以這些數(shù)為邊長(單位：cm)畫三角形：

①2.5，6，6.5；

②4，7.5，8.5.(2)量一量：用量角器分別測量上述各三角形的度數(shù).2.566.547.58.5(3)想一想：判斷這些三角形的形狀，提出猜想.這些三角形是直角三角形！命題2如果三角形的三邊長

a，b，c滿足

a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.猜想△ABC≌△A′B′C′

∠C是直角△ABC是直角三角形A

B

C

abc構(gòu)造兩直角邊分別為a，b的Rt△A′B′C′證一證：已知：如圖，△ABC的三邊長

a，b，c，滿足a2+b2=c2．求證：△ABC是直角三角形．證明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).∴∠C=

∠C′=90°，

即△ABC是直角三角形.ACaBbc在△ABC和△A′B′C′中則

A′B′2

=B′C′2+A′C′2=a2+b2.∵a2+b2=c2，∴A′B′2=c2

.∴A′B′

=c

.

如果三角形的三邊長

a、b、c滿足

a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.ACBabc勾股定理的逆定理這是判定直角三角形的一個依據(jù).形數(shù)思維軸1找2算3判最長邊算出兩短邊的平方和與最長邊的平方判斷等量關系最長邊為斜邊，其所對應的角為直角利用邊的關系判斷直角三角形例1判斷由線段

a，b，c組成的三角形是不是

直角三角形：典例精析(1)a=

15，b=8，c=17；(2)a=13，b=14，c=15.

分析：根據(jù)勾股定理及其逆定理，判斷一個三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方.

答案：(1)是直角三角形.(2)不是直角三角形.練一練1.下列各組線段中，能構(gòu)成直角三角形的是()A．2，3，4B．3，4，6C．5，12，13D．4，6，7C2.一個三角形的三邊的長分別是

3，4，5，則這個三角形最長邊上的高是()A．4B．3C．2.5D．2.4D知識點2：勾股數(shù)

如果三角形的三邊長

a，b，c滿足

a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.滿足

a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).常見勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股數(shù)拓展性質(zhì)：

一組勾股數(shù)，都擴大相同倍數(shù)

k(k為正整數(shù))，得到一組新數(shù)，這組數(shù)同樣是勾股數(shù).如：3，4，56，8，10擴大

2

倍

知識點3：互逆命題與互逆定理命題1

如果直角三角形的兩條直角邊長分別為

a，b，斜邊為

c，那么

a2+b2=c2.

命題2

如果三角形的三邊長

a、b、c滿足

a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.前面我們學習了兩個命題，分別為：觀察兩個命題的題設和結(jié)論，它們有何聯(lián)系？它們是題設和結(jié)論正好相反的兩個命題.

互逆命題：如果兩個命題的題設和結(jié)論正好相反，那么這兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.歸納總結(jié)

互為逆定理：如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么它也是一個定理，我們稱這兩個定理互為逆定理.如：勾股定理與勾股定理的逆定理為互逆定理.注意(1)命題有真有假，而定理都是真命題；(2)每個命題都有逆命題，但不是所有的定理都有逆定理；(3)原命題的真假與其逆命題的真假沒有關系.原命題逆命題定理逆定理歸納總結(jié)推出推出證明4.說出下列命題的逆命題，這些逆命題成立嗎？(1)兩條直線平行，內(nèi)錯角相等；(2)如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值相等；內(nèi)錯角相等，兩條直線平行.如果兩個實數(shù)的絕對值相等，那么它們相等.

成立不成立練一練當堂小結(jié)A

B

C

abc勾股定理：在Rt△ABC中，若∠C=90°，則___________勾股定理的逆定理：回顧所學，并完成下列框圖.互逆定理a2

+b2=c2在

△ABC中，若

a2

+b2=c2，則△ABC為直角三角形且∠C=90°.17.2勾股定理的逆定理第2課時勾股定理的逆定理的應用第十七章勾股定理人教版數(shù)學八年級下冊知識回顧A

B

C

abc勾股定理：在Rt△ABC中，若∠C=90°，則___________勾股定理的逆定理：回顧所學，并完成下列框圖.互逆定理a2

+b2=c2在

△ABC中，若

a2

+b2=c2，則△ABC為直角三角形且∠C=90°.

在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而常需要使用一些數(shù)學知識和方法，其中勾股定理的逆定理經(jīng)常會被用到，這節(jié)課讓我們一起來學習吧.探究新知知識點1：勾股定理的逆定理的應用12

例1

如圖，某港口

P位于東西方向的海岸線上.“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16nmile，“海天”號每小時航行12nmile.它們離開港口一個半小時后分別位于點

Q，R處，且相距30nmile.如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？NEP

QR12NEP

QR實際問題：“海天”號沿哪個方向航行？16×1.5=2412×1.5=1830241830“遠航”號沿東北方向∠1=45°抽象成數(shù)學問題解決實際問題12NEP

QR幾何問題：知______________，求______________PQ,PR,QR的長∠2的度數(shù)利用勾股定理逆定理求度數(shù)解：根據(jù)題意，PQ

=

16×1.5

=

24，PR

=

12×1.5

=

18，QR

=

30.因為

242

+

182

=

302，即

PQ2

+

PR2

=

QR2，所以∠QPR

=

90°.由“遠航”號沿東北方向航行可知，∠1

=

45°.

因此∠2

=

45°，即“海天”號沿西北方向航行.練一練

1.A、B、C三地的兩兩距離如圖所示，A地在

B地的正東方向，C在

B地的什么方向？解：∵BC2+AB2=52+122=169，AC2=132=169，∴BC2+AB2=AC2.即△ABC是直角三角形，∠B=90°.答：C在

B地的正北方向．ABC5cm12cm13cm2.如圖是一農(nóng)民建房時挖地基的平面圖，按標準應為長方形，他在挖完后測量了一下，發(fā)現(xiàn)AB＝DC＝8m，AD＝

BC＝6m，AC＝9m，請你運用所學知識幫他檢驗一下挖的是否合格？解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2.∴∠ABC≠90°，∴該農(nóng)民挖的不合格．ADBC341312知識點2：勾股定理及其逆定理的綜合應用例2如圖，四邊形

ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四邊形

ABCD的面積.分析：AB＝3，BC＝4，∠B＝90°連接

AC

AC=5

CD＝12，AD＝13Rt△ACDS四邊形

ABCD=SRt△ACD+SRt△ABD解：連接

AC.在

Rt△ABC

中，在△ACD

中，AC2

+

CD2

=

52

+

122

=

169=AD2，∴△ACD

是直角三角形，且∠ACD

=

90°.∴S四邊形ABCD

=

SRt△ABC

+

SRt△ACD

=

6

+

30

=

36.

四邊形問題對角線是常用的輔助線，它把四邊形問題轉(zhuǎn)化成兩個三角形的問題.在使用勾股定理的逆定理解決問題時，它與勾股定理是“黃金搭擋”，經(jīng)常配套使用.總結(jié)3.如圖，在△ABC

中，AB

=

17，BC

=

16，BC

邊上

的中線

AD

=

15，試說明：AB=AC.解：∵

BC

=

16，AD

是

BC

邊上的中線，∴

BD

=

CD

=

BC

=

8.∵

在△ABD中，AD2+BD2=15