2022年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編專題14解直角三角形(共52題)(原卷版+解析)

/專題14解直角三角形一．選擇題1．（2022·廣西貴港）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹(shù)的高度，在點(diǎn)A處測(cè)得樹(shù)頂C的仰角為，在點(diǎn)B處測(cè)得樹(shù)頂C的仰角為，且A，B，D三點(diǎn)在同一直線上，若，則這棵樹(shù)的高度是（

）A． B． C． D．2．（2022·廣西貴港）如圖，在網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則的值是（

）A． B． C． D．3．（2022·福建）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中，，AB＝8，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動(dòng)到，點(diǎn)對(duì)應(yīng)直尺的刻度為0，則四邊形的面積是（

）A．96 B． C．192 D．4．（2022·廣西）如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長(zhǎng)為12米，AB與AC的夾角為，則高BC是（

）A．米 B．米 C．米 D．米5．（2022·貴州畢節(jié)）如圖，某地修建一座高的天橋，已知天橋斜面的坡度為，則斜坡的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．6．（2022·黑龍江牡丹江）小明去爬山，在山腳看山頂角度為30°，小明在坡比為5∶12的山坡上走1300米，此時(shí)小明看山頂?shù)慕嵌葹?0°，求山高(

)A．(600－250)米B．(600－250)米C．(350＋350)米D．500米7．（2022·湖北十堰）如圖，坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹(shù)AB，當(dāng)太陽(yáng)光線與水平線成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的樹(shù)影BC長(zhǎng)為m，則大樹(shù)AB的高為（

）A． B． C． D．8．（2022·湖北荊州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，，連接AC，過(guò)點(diǎn)O作交AC的延長(zhǎng)線于P．若，則的值是（

）A． B． C． D．39．（2022·廣西玉林）如圖，從熱氣球A看一棟樓底部C的俯角是(

)A． B． C． D．10．（2022·遼寧）如圖，在矩形中，，分別以點(diǎn)A和C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N，作直線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．11．（2022·福建）如圖所示的衣架可以近似看成一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，則高AD約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm12．（2022·湖北武漢）由4個(gè)形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，∠O=60°，則tan∠ABC=（

）A． B． C． D．二．填空題13．（2022·黑龍江綏化）定義一種運(yùn)算；，．例如：當(dāng)，時(shí)，，則的值為_(kāi)______．14．（2022·湖南）我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，用4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形，這個(gè)圖被稱為“弦圖”，它體現(xiàn)了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就．如圖，已知大正方形的面積是100，小正方形的面積是4，那么__．15．（2022·遼寧）如圖，為射線上一點(diǎn)，為射線上一點(diǎn)，．以為邊在其右側(cè)作菱形，且與射線交于點(diǎn)，得；延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，以為邊在其右側(cè)作菱形，且與射線交于點(diǎn)，得；延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，以為邊在其右側(cè)作菱形，且與射線交于點(diǎn)，得；…，按此規(guī)律進(jìn)行下去，則的面積___________．16.（2022·山東青島）如圖，已知的平分線交于點(diǎn)E，且．將沿折疊使點(diǎn)C與點(diǎn)E恰好重合．下列結(jié)論正確的有：__________（填寫(xiě)序號(hào)）①②點(diǎn)E到的距離為3③④17．（2022·廣西桂林）如圖，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由點(diǎn)O出發(fā)沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，當(dāng)觀景視角∠MPN最大時(shí)，游客P行走的距離OP是_____米．18．（2022·貴州黔東南）如圖，校園內(nèi)有一株枯死的大樹(shù)，距樹(shù)12米處有一棟教學(xué)樓，為了安全，學(xué)校決定砍伐該樹(shù)，站在樓頂處，測(cè)得點(diǎn)的仰角為45°，點(diǎn)的俯角為30°，小青計(jì)算后得到如下結(jié)論：①米；②米；③若直接從點(diǎn)處砍伐，樹(shù)干倒向教學(xué)樓方向會(huì)對(duì)教學(xué)樓有影響；④若第一次在距點(diǎn)的8米處的樹(shù)干上砍伐，不會(huì)對(duì)教學(xué)樓造成危害.其中正確的是_______．（填寫(xiě)序號(hào)，參考數(shù)值：，）三．解答題19．（2022·遼寧錦州）某數(shù)學(xué)小組要測(cè)量學(xué)校路燈的頂部到地面的距離，他們借助皮尺、測(cè)角僅進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量結(jié)果如下：測(cè)量項(xiàng)目測(cè)量數(shù)據(jù)從A處測(cè)得路燈頂部P的仰角從D處測(cè)得路燈頂部P的仰角測(cè)角儀到地面的距離兩次測(cè)量時(shí)測(cè)角儀之間的水平距離計(jì)算路燈頂部到地面的距離約為多少米?（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)；）20．（2022·山東臨沂）如圖是一座獨(dú)塔雙索結(jié)構(gòu)的斜拉索大橋，主塔采用倒“Y”字形設(shè)計(jì)，某學(xué)習(xí)小組利用課余時(shí)間測(cè)量主塔頂端到橋面的距離．勘測(cè)記錄如下表：活動(dòng)內(nèi)容測(cè)量主塔頂端到橋面的距離成員組長(zhǎng)：×××

組員：××××××××××××測(cè)量工具測(cè)角儀，皮尺等測(cè)量示意圖說(shuō)明：左圖為斜拉索橋的側(cè)面示意圖，點(diǎn)A、C，D，B在同一條直線上，，點(diǎn)A，C分別與點(diǎn)B，D關(guān)于直線EF對(duì)稱測(cè)量數(shù)據(jù)的大小28°AC的長(zhǎng)度84mCD的長(zhǎng)度12m請(qǐng)利用表中提供的信息，求主塔頂端E到AB的距離（參考數(shù)據(jù)：，，）．21．（2022·山東聊城）我市某轄區(qū)內(nèi)的興國(guó)寺有一座宋代仿木樓閣式空心磚塔，塔旁有一棵唐代古槐，稱為“宋塔唐槐”（如圖①）．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組利用無(wú)人機(jī)測(cè)量古槐的高度，如圖②所示，當(dāng)無(wú)人機(jī)從位于塔基B點(diǎn)與古槐底D點(diǎn)之間的地面H點(diǎn)，豎直起飛到正上方45米E點(diǎn)處時(shí)，測(cè)得塔AB的頂端A和古槐CD的頂端C的俯角分別為26.6°和76°（點(diǎn)B，H，D三點(diǎn)在同一直線上）．已知塔高為39米，塔基B與樹(shù)底D的水平距離為20米，求古槐的高度（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）22．（2022·內(nèi)蒙古通遼）某型號(hào)飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算的長(zhǎng)度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，）.23．（2022·湖南）計(jì)算：．24．（2022·湖南）閱讀下列材料：在中，、、所對(duì)的邊分別為、、，求證：．證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則：在中，CD=asinB在中，根據(jù)上面的材料解決下列問(wèn)題：(1)如圖2，在中，、、所對(duì)的邊分別為、、，求證：；(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會(huì)，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知，，米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號(hào)．參考數(shù)據(jù)：，25．（2022·黑龍江大慶）如圖，為了修建跨江大橋，需要利用數(shù)學(xué)方法測(cè)量江的寬度．飛機(jī)上的測(cè)量人員在C處測(cè)得A，B兩點(diǎn)的俯角分別為和．若飛機(jī)離地面的高度為，且點(diǎn)D，A，B在同一水平直線上，試求這條江的寬度（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）26．（2022·湖南郴州）如圖是某水庫(kù)大壩的橫截面，壩高，背水坡BC的坡度為．為了對(duì)水庫(kù)大壩進(jìn)行升級(jí)加固，降低背水坡的傾斜程度，設(shè)計(jì)人員準(zhǔn)備把背水坡的坡度改為，求背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，．結(jié)果精確到0.1m）27．（2022·海南）無(wú)人機(jī)在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛．如圖8所示，小明利用無(wú)人機(jī)測(cè)量大樓的高度，無(wú)人機(jī)在空中P處，測(cè)得樓樓頂D處的俯角為，測(cè)得樓樓頂A處的俯角為．已知樓和樓之間的距離為100米，樓的高度為10米，從樓的A處測(cè)得樓的D處的仰角為（點(diǎn)A、B、C、D、P在同一平面內(nèi)）．(1)填空：___________度，___________度；(2)求樓的高度（結(jié)果保留根號(hào)）；(3)求此時(shí)無(wú)人機(jī)距離地面的高度．28．（2022·遼寧）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準(zhǔn)備要?？康酱a頭C，貨輪航行到A處時(shí)，測(cè)得碼頭C在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，當(dāng)它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達(dá)碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結(jié)果精確到0.1海里．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．29．（2022·四川遂寧）數(shù)學(xué)興趣小組到一公園測(cè)量塔樓高度．如圖所示，塔樓剖面和臺(tái)階的剖面在同一平面，在臺(tái)階底部點(diǎn)A處測(cè)得塔樓頂端點(diǎn)E的仰角，臺(tái)階AB長(zhǎng)26米，臺(tái)階坡面AB的坡度，然后在點(diǎn)B處測(cè)得塔樓頂端點(diǎn)E的仰角，則塔頂?shù)降孛娴母叨菶F約為多少米．（參考數(shù)據(jù)：，，，）30．（2022·四川廣安）八年級(jí)二班學(xué)生到某勞動(dòng)教育實(shí)踐基地開(kāi)展實(shí)踐活動(dòng)，當(dāng)天，他們先從基地門(mén)口A處向正北方向走了450米，到達(dá)菜園B處鋤草，再?gòu)腂處沿正西方向到達(dá)果園C處采摘水果，再向南偏東37°方向走了300米，到達(dá)手工坊D處進(jìn)行手工制作，最后從D處回到門(mén)口A處，手工坊在基地門(mén)口北偏西65°方向上．求菜園與果園之間的距離．（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.7531．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特）“一去紫臺(tái)連朔漠，獨(dú)留青冢向黃昏”，美麗的昭君博物院作為著名景區(qū)現(xiàn)已成為外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地．如圖，為測(cè)量景區(qū)中一座雕像的高度，某數(shù)學(xué)興趣小組在處用測(cè)角儀測(cè)得雕像頂部的仰角為，測(cè)得底部的俯角為．已知測(cè)角儀與水平地面垂直且高度為1米，求雕像的高．（用非特殊角的三角函數(shù)及根式表示即可）32．（2022·貴州銅仁）為了測(cè)量高速公路某橋的橋墩高度，某數(shù)學(xué)興趣小組在同一水平地面C、D兩處實(shí)地測(cè)量，如圖所示．在C處測(cè)得橋墩頂部A處的仰角為和橋墩底部B處的俯角為，在D處測(cè)得橋墩頂部A處的仰角為，測(cè)得C、D兩點(diǎn)之間的距離為，直線、在同一平面內(nèi)，請(qǐng)你用以上數(shù)據(jù)，計(jì)算橋墩的高度．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）33．（2022·貴州遵義）如圖1所示是一種太陽(yáng)能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分構(gòu)成如圖2，是燈桿，是燈管支架，燈管支架與燈桿間的夾角．綜合實(shí)踐小組的同學(xué)想知道燈管支架的長(zhǎng)度，他們?cè)诘孛娴狞c(diǎn)處測(cè)得燈管支架底部的仰角為60°，在點(diǎn)處測(cè)得燈管支架頂部的仰角為30°，測(cè)得m，m（，，在同一條直線上）．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解答下列問(wèn)題：(1)求燈管支架底部距地面高度的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)求燈管支架的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：）．34．（2022·山東煙臺(tái)）如圖，某超市計(jì)劃將門(mén)前的部分樓梯改造成無(wú)障礙通道．已知樓梯共有五級(jí)均勻分布的臺(tái)階，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比為1：2，將要鋪設(shè)的通道前方有一井蓋，井蓋邊緣離樓梯底部的最短距離ED＝2.55m．為防止通道遮蓋井蓋，所鋪設(shè)通道的坡角不得小于多少度？（結(jié)果精確到1）（參考數(shù)據(jù)表）計(jì)算器按鍵順序計(jì)算結(jié)果（已精確到0.001）11.3100.00314.7440.00535．（2022·湖北恩施）如圖，湖中一古亭，湖邊一古柳，一沉靜，一飄逸、碧波蕩漾，相映成趣．某活動(dòng)小組賞湖之余，為了測(cè)量古亭與古柳間的距離，在古柳A處測(cè)得古亭B位于北偏東60°，他們向南走50m到達(dá)D點(diǎn)，測(cè)得古亭B位于北偏東45°，求古亭與古柳之間的距離AB的長(zhǎng)（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果精確到1m）．36．（2022·吉林）動(dòng)感單車是一種新型的運(yùn)動(dòng)器械．圖①是一輛動(dòng)感單車的實(shí)物圖，圖②是其側(cè)面示意圖．△BCD為主車架，AB為調(diào)節(jié)管，點(diǎn)A，B，C在同一直線上．已知BC長(zhǎng)為70cm，∠BCD的度數(shù)為58°．當(dāng)AB長(zhǎng)度調(diào)至34cm時(shí)，求點(diǎn)A到CD的距離AE的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）37．（2022·山西）隨著科技的發(fā)展，無(wú)人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和生活，如代替人們?cè)诟呖諟y(cè)量距離和角度．某校“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)小組的同學(xué)要測(cè)星AB，CD兩座樓之間的距離，他們借助無(wú)人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：無(wú)人機(jī)在AB，CD兩樓之間上方的點(diǎn)O處，點(diǎn)O距地面AC的高度為60m，此時(shí)觀測(cè)到樓AB底部點(diǎn)A處的俯角為70°，樓CD上點(diǎn)E處的俯角為30°，沿水平方向由點(diǎn)O飛行24到達(dá)點(diǎn)F，測(cè)得點(diǎn)E處俯角為60°，其中點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，O均在同一豎直平面內(nèi)．請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓AB與CD之間的距離AC的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：）．38．（2022·河南）開(kāi)封清明上河園是依照北宋著名畫(huà)家張擇端的《清明上河圖》建造的，拂云閣是園內(nèi)最高的建筑．某數(shù)學(xué)小組測(cè)量拂云閣DC的高度，如圖，在A處用測(cè)角儀測(cè)得拂云閣頂端D的仰角為34°，沿AC方向前進(jìn)15m到達(dá)B處，又測(cè)得拂云閣頂端D的仰角為45°．已知測(cè)角儀的高度為1.5m，測(cè)量點(diǎn)A，B與拂云閣DC的底部C在同一水平線上，求拂云閣DC的高度（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：，，）．39．（2022·四川宜賓）宜賓東樓始建于唐代，重建于宜賓建城2200周年之際的2018年，新建成的東樓（如圖1）成為長(zhǎng)江首城會(huì)客廳、旅游休閑目的地、文化地標(biāo)打卡地．某數(shù)學(xué)小組為測(cè)量東樓的高度，在梯步A處（如圖2）測(cè)得樓頂D的仰角為45°，沿坡比為7：24的斜坡AB前行25米到達(dá)平臺(tái)B處，測(cè)得樓頂D的仰角為60°，求東樓的高度DE．（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：，）40．（2022·湖南岳陽(yáng)）喜迎二十大，“龍舟故里”賽龍舟．丹丹在汩羅江國(guó)際龍舟競(jìng)渡中心廣場(chǎng)點(diǎn)處觀看200米直道競(jìng)速賽．如圖所示，賽道為東西方向，賽道起點(diǎn)位于點(diǎn)的北偏西方向上，終點(diǎn)位于點(diǎn)的北偏東方向上，米，則點(diǎn)到賽道的距離約為_(kāi)_____米（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）．41．（2022·湖北荊州）荊州城徽“金鳳騰飛”立于古城東門(mén)外．如圖，某校學(xué)生測(cè)量其高AB（含底座），先在點(diǎn)C處用測(cè)角儀測(cè)得其頂端A的仰角為32°，再由點(diǎn)C向城徽走6.6m到E處，測(cè)得頂端A的仰角為45°，已知B，E，C三點(diǎn)在同一直線上，測(cè)角儀離地面的高度CD＝EF＝1.5m，求城徽的高AB．（參考數(shù)據(jù)：，，）42．（2022·廣西賀州）如圖，在小明家附近有一座廢舊的煙囪，為了鄉(xiāng)村振興，美化環(huán)境，政府計(jì)劃把這片區(qū)域改造為公園．現(xiàn)決定用爆破的方式拆除該煙囪，為確定安全范圍，需測(cè)量煙囪的高度AB，因?yàn)椴荒苤苯拥竭_(dá)煙囪底部B處，測(cè)量人員用高為的測(cè)角器在與煙囪底部B成一直線的C，D兩處地面上，分別測(cè)得煙囪頂部A的仰角，同時(shí)量得CD為．問(wèn)煙囪AB的高度為多少米？（精確到，參考數(shù)據(jù)：）43．（2022·內(nèi)蒙古包頭）如圖，是底部B不可到達(dá)的一座建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，測(cè)角儀器的高米．某數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量建筑物的高度，先在H處用測(cè)角儀器測(cè)得建筑物頂端A處的仰角為，再向前走5米到達(dá)G處，又測(cè)得建筑物頂端A處的仰角為，已知，H，G，B三點(diǎn)在同一水平線上，求建筑物的高度．44．（2022·湖北武漢）小紅同學(xué)在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中測(cè)量旗桿的高度，如圖，己知測(cè)角儀的高度為1.58米，她在A點(diǎn)觀測(cè)桿頂E的仰角為30°，接著朝旗桿方向前進(jìn)20米到達(dá)C處，在D點(diǎn)觀測(cè)旗桿頂端E的仰角為60°，求旗桿的高度．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）（參考數(shù)據(jù)：）45．（2022·江蘇泰州）小強(qiáng)在物理課上學(xué)過(guò)平面鏡成像知識(shí)后，在老師的帶領(lǐng)下到某廠房做驗(yàn)證實(shí)驗(yàn).如圖，老師在該廠房頂部安裝一平面鏡MN，MN與墻面AB所成的角∠MNB=118°，廠房高AB=8m，房頂AM與水平地面平行，小強(qiáng)在點(diǎn)M的正下方C處從平面鏡觀察，能看到的水平地面上最遠(yuǎn)處D到他的距離CD是多少?（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）46．（2022·山東威海）小軍同學(xué)想利用所學(xué)的“銳角三角函數(shù)”知識(shí)測(cè)量一段兩岸平行的河流寬度．他先在河岸設(shè)立A，B兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，然后選定對(duì)岸河邊的一棵樹(shù)記為點(diǎn)M．測(cè)得AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°．請(qǐng)你依據(jù)所測(cè)數(shù)據(jù)求出這段河流的寬度（結(jié)果精確到0.1m）．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈．47．（2022·黑龍江綏化）如圖所示，為了測(cè)量百貨大樓頂部廣告牌的高度，在距離百貨大樓30m的A處用儀器測(cè)得；向百貨大樓的方向走10m，到達(dá)B處時(shí)，測(cè)得，儀器高度忽略不計(jì)，求廣告牌的高度．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）（參考數(shù)據(jù)：，，，）48．（2022·湖南長(zhǎng)沙）為了進(jìn)一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數(shù)．某小區(qū)物業(yè)公司決定對(duì)小區(qū)環(huán)境進(jìn)行優(yōu)化改造．如圖，AB表示該小區(qū)一段長(zhǎng)為的斜坡，坡角于點(diǎn)D．為方便通行，在不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為．(1)求該斜坡的高度BD；(2)求斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)A之間的距離．（假設(shè)圖中C，A，D三點(diǎn)共線）49．（2022·廣西梧州）今年，我國(guó)“巔峰使命”2022珠峰科考團(tuán)對(duì)珠穆朗瑪峰進(jìn)行綜合科學(xué)考察，搭建了世界最高海拔的自動(dòng)氣象站，還通過(guò)釋放氣球方式進(jìn)行了高空探測(cè)．某學(xué)校興趣小組開(kāi)展實(shí)踐活動(dòng)，通過(guò)觀測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算氣球升空的高度AB．如圖，在平面內(nèi)，點(diǎn)B，C，D在同一直線上，垂足為點(diǎn)B，，，，求AB的高度．（精確到）（參考數(shù)據(jù)：﹐﹐，）50．（2022·湖北鄂州）亞洲第一、中國(guó)唯一的航空貨運(yùn)樞紐一一鄂州花湖機(jī)場(chǎng)，于2022年3月19日完成首次全貨運(yùn)試飛，很多市民共同見(jiàn)證了這一歷史時(shí)刻．如圖，市民甲在C處看見(jiàn)飛機(jī)A的仰角為45°，同時(shí)另一市民乙在斜坡CF上的D處看見(jiàn)飛機(jī)A的仰角為30°，若斜坡CF的坡比=1：3，鉛垂高度DG=30米（點(diǎn)E、G、C、B在同一水平線上）．求：(1)兩位市民甲、乙之間的距離CD；(2)此時(shí)飛機(jī)的高度AB，（結(jié)果保留根號(hào)）51．（2022·四川廣元）如圖，計(jì)劃在山頂A的正下方沿直線CD方向開(kāi)通穿山隧道EF．在點(diǎn)E處測(cè)得山頂A的仰角為45°，在距E點(diǎn)80m的C處測(cè)得山頂A的仰角為30°，從與F點(diǎn)相距10m的D處測(cè)得山頂A的仰角為45°，點(diǎn)C、E、F、D在同一直線上，求隧道EF的長(zhǎng)度．52．（2022·四川眉山）數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)小組去測(cè)量眉山市某標(biāo)志性建筑物的高．如圖，在樓前平地處測(cè)得樓頂處的仰角為，沿方向前進(jìn)到達(dá)處，測(cè)得樓頂處的仰角為，求此建筑物的高．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，）/

專題14解直角三角形一．選擇題1．（2022·廣西貴港）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹(shù)的高度，在點(diǎn)A處測(cè)得樹(shù)頂C的仰角為，在點(diǎn)B處測(cè)得樹(shù)頂C的仰角為，且A，B，D三點(diǎn)在同一直線上，若，則這棵樹(shù)的高度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函數(shù)值即可求解．【詳解】設(shè)CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，∴CD=AD=x，∴BD=16-x，在Rt△BCD中，∠B=60°，∴，即：，解得，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)，根據(jù)直角三角形的邊的關(guān)系，建立三角函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣西貴港）如圖，在網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線交AB于一點(diǎn)D，如圖所示，∵每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，∴，設(shè)，則，在中，,在中，,∴，解得，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能構(gòu)造出直角三角形．3．（2022·福建）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中，，AB＝8，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動(dòng)到，點(diǎn)對(duì)應(yīng)直尺的刻度為0，則四邊形的面積是（

）A．96 B． C．192 D．【答案】B【分析】根據(jù)直尺與三角尺的夾角為60°，根據(jù)四邊形的面積為，即可求解．【詳解】解：依題意為平行四邊形，∵，，AB＝8，．∴平行四邊形的面積=故選B【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，平移的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022·廣西）如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長(zhǎng)為12米，AB與AC的夾角為，則高BC是（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定義，sinα=，代入AB值即可求解．【詳解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴sinα=，∴BC=sinαAB=12sinα（米），故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握直角三角形邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．（2022·貴州畢節(jié)）如圖，某地修建一座高的天橋，已知天橋斜面的坡度為，則斜坡的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用坡度的定義得出的長(zhǎng)，再利用勾股定理得出的長(zhǎng)．【詳解】∵，，∴，解得：，則．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形和勾股定理的實(shí)際應(yīng)用．由坡度的定義得出AC的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022·黑龍江牡丹江）小明去爬山，在山腳看山頂角度為30°，小明在坡比為5∶12的山坡上走1300米，此時(shí)小明看山頂?shù)慕嵌葹?0°，求山高(

)A．(600－250)米B．(600－250)米C．(350＋350)米D．500米【答案】B【詳解】解：如答圖，∵BE：AE=5：12，∴可設(shè)BE=5k，AE=12k，∵AB=1300米，∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2，即，解得k=100．∴AE=1200米，BE=500米．設(shè)EC=x米，∵∠DBF=60°，∴DF=x米．又∵∠DAC=30°，∴AC=CD．∴1200+x=（500+x），解得x=600﹣250．∴DF=x=600﹣750．∴CD=DF+CF=600﹣250（米）．∴山高CD為（600﹣250）米．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用（仰角俯角和坡度坡角問(wèn)題）；勾股定理；銳角三角函數(shù)定義；特殊角的三角函數(shù)值；待定系數(shù)法的應(yīng)用．7．（2022·湖北十堰）如圖，坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹(shù)AB，當(dāng)太陽(yáng)光線與水平線成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的樹(shù)影BC長(zhǎng)為m，則大樹(shù)AB的高為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應(yīng)充分利用所給的α和45°在樹(shù)的位置構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而利用三角函數(shù)求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作水平線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，則AD⊥CD，∴∠BCD=α，∠ACD=45°．在Rt△CDB中，CD=mcosα，BD=msinα，在Rt△CDA中，AD=CD×tan45°=m×cosα×tan45°=mcosα，∴AB=AD-BD=（mcosα-msinα）=m（cosα-sinα）．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的應(yīng)用．需注意構(gòu)造直角三角形是常用的輔助線方法，另外，利用三角函數(shù)時(shí)要注意各邊相對(duì)．8．（2022·湖北荊州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，，連接AC，過(guò)點(diǎn)O作交AC的延長(zhǎng)線于P．若，則的值是（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】由可知，OP與x軸的夾角為45°，又因?yàn)椋瑒t為等腰直角形，設(shè)OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他線段進(jìn)而求解．【詳解】∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），則OP與x軸正方向的夾角為45°，又∵，則∠BAO=45°，為等腰直角形，∴OA=OB，設(shè)OC=x，則OB=2OC=2x，則OB=OA=3x，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理和銳角三角函數(shù)的求解，根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)推出特殊角是解題的關(guān)鍵．9．（2022·廣西玉林）如圖，從熱氣球A看一棟樓底部C的俯角是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)俯角的定義可直接得出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)俯角的定義，朝下看時(shí)，視線與水平面的夾角為俯角，∴∠DAC為對(duì)應(yīng)的俯角，故選D．【點(diǎn)睛】題目主要考查對(duì)俯角定義的理解，深刻理解俯角的定義是解題關(guān)鍵．10．（2022·遼寧）如圖，在矩形中，，分別以點(diǎn)A和C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N，作直線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)矩形可知為直角三角形，根據(jù)勾股定理可得的長(zhǎng)度，在中得到，又由題知為的垂直平分線，于是，于是在中，利用銳角三角函數(shù)即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：設(shè)與的交點(diǎn)為，四邊形為矩形，，，，為直角三角形，，，，，又由作圖知為的垂直平分線，，，在中，，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，垂直平分線，勾股定理，掌握定理以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022·福建）如圖所示的衣架可以近似看成一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，則高AD約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及BC＝44cm，可得cm，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及，可得，在中，由，求得AD的長(zhǎng)度．【詳解】解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD為BC邊上的高，∴，∵BC＝44cm，∴cm．∵等腰三角形ABC，AB＝AC，，∴．∵AD為BC邊上的高，，∴在中，，∵，cm，∴cm．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵．12．（2022·湖北武漢）由4個(gè)形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，∠O=60°，則tan∠ABC=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】證明四邊形ADBC為菱形，求得∠ABC=30°，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【詳解】解：連接AD，如圖：∵網(wǎng)格是有一個(gè)角60°為菱形，∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等邊三角形，∴AD=BD=BC=AC，∴四邊形ADBC為菱形，且∠DBC=60°，∴∠ABD=∠ABC=30°，∴tan∠ABC=tan30°=．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，證明四邊形ADBC為菱形是解題的關(guān)鍵．二．填空題13．（2022·黑龍江綏化）定義一種運(yùn)算；，．例如：當(dāng)，時(shí)，，則的值為_(kāi)______．【答案】【分析】根據(jù)代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：====．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了公式的變化，以及銳角三角函數(shù)值的計(jì)算，掌握公式的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．14．（2022·湖南）我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，用4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形，這個(gè)圖被稱為“弦圖”，它體現(xiàn)了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就．如圖，已知大正方形的面積是100，小正方形的面積是4，那么__．【答案】##0.75【分析】根據(jù)兩個(gè)正方形的面積可得，，設(shè)，得到，由勾股定理得，解方程可得x的值，從而解決問(wèn)題．【詳解】解：∵大正方形ABCD的面積是100，∴．∵小正方形EFGH的面積是4，∴小正方形EFGH的邊長(zhǎng)為2，∴，設(shè)，則，由勾股定理得，，解得或（負(fù)值舍去），∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)等知識(shí)，利用勾股定理列方程求出AF的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．15．（2022·遼寧）如圖，為射線上一點(diǎn)，為射線上一點(diǎn)，．以為邊在其右側(cè)作菱形，且與射線交于點(diǎn)，得；延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，以為邊在其右側(cè)作菱形，且與射線交于點(diǎn)，得；延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，以為邊在其右側(cè)作菱形，且與射線交于點(diǎn)，得；…，按此規(guī)律進(jìn)行下去，則的面積___________．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)D，連接，分別作，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)及題意可得，則有，進(jìn)而可得出規(guī)律進(jìn)行求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)D，連接，分別作，如圖所示：∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∵菱形，且，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，設(shè)，∵，∴，∴，∴，解得：，∴，∴，同理可得：，，∴，由上可得：，，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定、含30度直角三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)，熟練掌握菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定、含30度直角三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．16.（2022·山東青島）如圖，已知的平分線交于點(diǎn)E，且．將沿折疊使點(diǎn)C與點(diǎn)E恰好重合．下列結(jié)論正確的有：__________（填寫(xiě)序號(hào)）①②點(diǎn)E到的距離為3③④【答案】①④##④①【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可判斷①，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可判斷②，設(shè)，則，中，，．繼而求得，設(shè)，則，根據(jù)，進(jìn)而求得的值，根據(jù)，，可得，即可判斷④【詳解】解：∵∴，故①正確；如圖，過(guò)點(diǎn)作于，于，，平分，，是的角平分線，，，，故②不正確，.將沿折疊使點(diǎn)C與點(diǎn)E恰好重合，，設(shè)，則，中，，．，解得，故③不正確，設(shè)，則，，，，，，，解得或（舍去），，，，故④正確，故答案為：①④【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，三線合一，角平分線的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．17．（2022·廣西桂林）如圖，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由點(diǎn)O出發(fā)沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，當(dāng)觀景視角∠MPN最大時(shí)，游客P行走的距離OP是_____米．【答案】20【分析】先證OB是⊙F的切線，切點(diǎn)為E，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，觀景視角∠MPN最大，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：如圖，取MN的中點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FE⊥OB于E，以直徑MN作⊙F，∵M(jìn)N＝2OM＝40m，點(diǎn)F是MN的中點(diǎn)，∴MF＝FN＝20m，OF＝40m，∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，∴EF＝20m，OE＝EF＝20m，∴EF＝MF，又∵EF⊥OB，∴OB是⊙F的切線，切點(diǎn)為E，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，觀景視角∠MPN最大，此時(shí)OP＝20m，故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，證明OB是⊙F的切線是解題的關(guān)鍵．18．（2022·貴州黔東南）如圖，校園內(nèi)有一株枯死的大樹(shù)，距樹(shù)12米處有一棟教學(xué)樓，為了安全，學(xué)校決定砍伐該樹(shù)，站在樓頂處，測(cè)得點(diǎn)的仰角為45°，點(diǎn)的俯角為30°，小青計(jì)算后得到如下結(jié)論：①米；②米；③若直接從點(diǎn)處砍伐，樹(shù)干倒向教學(xué)樓方向會(huì)對(duì)教學(xué)樓有影響；④若第一次在距點(diǎn)的8米處的樹(shù)干上砍伐，不會(huì)對(duì)教學(xué)樓造成危害.其中正確的是_______．（填寫(xiě)序號(hào)，參考數(shù)值：，）【答案】①③④【分析】過(guò)點(diǎn)D的水平線交AB于E，先證四邊形EACD為矩形，ED=AC=12米，①利用三角函數(shù)求出AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°，②利用CD=AE=DEtan30°=4米，③利用AB=18.8米＞12米，④點(diǎn)B到砍伐點(diǎn)的距離為：18.8-8=10.8＜12，判斷即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D的水平線交AB于E，∵DE∥AC，EA∥CD，∠DCA=90°，∴四邊形EACD為矩形，∴ED=AC=12米，①AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°=12+4故①正確；②∵CD=AE=DEtan30°=4米，故②不正確；③∵AB=18.8米＞12米，∴直接從點(diǎn)A處砍伐，樹(shù)干倒向教學(xué)樓方向會(huì)對(duì)教學(xué)樓有影響；故③正確；④∵第一次在距點(diǎn)A的8米處的樹(shù)干上砍伐，∴點(diǎn)B到砍伐點(diǎn)的距離為：18.8-8=10.8＜12，∴第一次在距點(diǎn)A的8米處的樹(shù)干上砍伐，不會(huì)對(duì)教學(xué)樓造成危害.故④正確∴其中正確的是①③④．故答案為①③④．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，矩形的判斷與性質(zhì)，掌握解直角三角形方法，矩形的判斷與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三．解答題19．（2022·遼寧錦州）某數(shù)學(xué)小組要測(cè)量學(xué)校路燈的頂部到地面的距離，他們借助皮尺、測(cè)角僅進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量結(jié)果如下：測(cè)量項(xiàng)目測(cè)量數(shù)據(jù)從A處測(cè)得路燈頂部P的仰角從D處測(cè)得路燈頂部P的仰角測(cè)角儀到地面的距離兩次測(cè)量時(shí)測(cè)角儀之間的水平距離計(jì)算路燈頂部到地面的距離約為多少米?（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)；）【答案】3.5米【分析】延長(zhǎng)DA，交PE于點(diǎn)F，則DF⊥PE，先得到四邊形ABCD、CDFE是矩形，然后由解直角三角形求出AF的長(zhǎng)度，再求出PF的長(zhǎng)度，即可求出答案．【詳解】解：如圖：延長(zhǎng)DA，交PE于點(diǎn)F，則DF⊥PE，∵，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB⊥BC，∴四邊形ABCD是矩形，同理：四邊形CDFE是矩形；∴，，在直角△PDF中，有，在直角△PAF中，有，∴，即，∴，解得：；∴；∴（米）；∴路燈頂部到地面的距離約為3.5米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解直角三角形，矩形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確的作出輔助線，正確的求出PF的長(zhǎng)度．20．（2022·山東臨沂）如圖是一座獨(dú)塔雙索結(jié)構(gòu)的斜拉索大橋，主塔采用倒“Y”字形設(shè)計(jì)，某學(xué)習(xí)小組利用課余時(shí)間測(cè)量主塔頂端到橋面的距離．勘測(cè)記錄如下表：活動(dòng)內(nèi)容測(cè)量主塔頂端到橋面的距離成員組長(zhǎng)：×××

組員：××××××××××××測(cè)量工具測(cè)角儀，皮尺等測(cè)量示意圖說(shuō)明：左圖為斜拉索橋的側(cè)面示意圖，點(diǎn)A、C，D，B在同一條直線上，，點(diǎn)A，C分別與點(diǎn)B，D關(guān)于直線EF對(duì)稱測(cè)量數(shù)據(jù)的大小28°AC的長(zhǎng)度84mCD的長(zhǎng)度12m請(qǐng)利用表中提供的信息，求主塔頂端E到AB的距離（參考數(shù)據(jù)：，，）．【答案】主塔頂端E到AB的距離約為47.7m【分析】延長(zhǎng)EF交AB于M，由題意可得，可得AM的長(zhǎng)度，再根據(jù)解直角三角形即可．【詳解】延長(zhǎng)EF交AB于M，，點(diǎn)A，C分別與點(diǎn)B，D關(guān)于直線EF對(duì)稱，，，，，，，答：主塔頂端E到AB的距離約為47.7m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意并熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．21．（2022·山東聊城）我市某轄區(qū)內(nèi)的興國(guó)寺有一座宋代仿木樓閣式空心磚塔，塔旁有一棵唐代古槐，稱為“宋塔唐槐”（如圖①）．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組利用無(wú)人機(jī)測(cè)量古槐的高度，如圖②所示，當(dāng)無(wú)人機(jī)從位于塔基B點(diǎn)與古槐底D點(diǎn)之間的地面H點(diǎn)，豎直起飛到正上方45米E點(diǎn)處時(shí)，測(cè)得塔AB的頂端A和古槐CD的頂端C的俯角分別為26.6°和76°（點(diǎn)B，H，D三點(diǎn)在同一直線上）．已知塔高為39米，塔基B與樹(shù)底D的水平距離為20米，求古槐的高度（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】古槐的高度約為13米【分析】過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EH于M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥EH于N，在Rt△AME中，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出AM=12米，進(jìn)而求出CN=8米，再在Rt△ENC中，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出EN=32.08米，即可求出答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EH于M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥EH于N，由題意知，AM=BH，CN=DH，AB=MH，在中，∠EAM=26.6°，∴，∴米，∴BH=AM=12米，∵BD=20，∴DH=BDBH=8米，∴CN=8米，在中，∠ECN=76°，∴，∴米，∴（米），即古槐的高度約為13米．【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問(wèn)題，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵．22．（2022·內(nèi)蒙古通遼）某型號(hào)飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算的長(zhǎng)度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，）.【答案】的長(zhǎng)度約為9.8米【分析】延長(zhǎng)交的垂線于點(diǎn)，交于點(diǎn),則四邊形是矩形，根據(jù)圖示，可得四邊形是正方形，解，即可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交的垂線于點(diǎn)，交于點(diǎn),則四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，，，中，，，中，，米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．23．（2022·湖南）計(jì)算：．【答案】【分析】先將各項(xiàng)化簡(jiǎn)，再算乘法，最后從左往右計(jì)算即可得【詳解】解：原式．【點(diǎn)晴】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，絕對(duì)值以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，解題的關(guān)鍵是掌握特殊銳角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，絕對(duì)值以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)．24．（2022·湖南）閱讀下列材料：在中，、、所對(duì)的邊分別為、、，求證：．證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則：在中，CD=asinB在中，根據(jù)上面的材料解決下列問(wèn)題：(1)如圖2，在中，、、所對(duì)的邊分別為、、，求證：；(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會(huì)，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知，，米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號(hào)．參考數(shù)據(jù)：，【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)表示AD后，即可建立關(guān)聯(lián)并求解；（2）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)分別求出AE和BC，即可求解．(1)證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，在中，，，；(2)解：如圖3，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，在中，又，即，，．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)的定義是解決問(wèn)題的前提．25．（2022·黑龍江大慶）如圖，為了修建跨江大橋，需要利用數(shù)學(xué)方法測(cè)量江的寬度．飛機(jī)上的測(cè)量人員在C處測(cè)得A，B兩點(diǎn)的俯角分別為和．若飛機(jī)離地面的高度為，且點(diǎn)D，A，B在同一水平直線上，試求這條江的寬度（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）【答案】這條江的寬度AB約為732米【分析】在和中，利用銳角三角函數(shù)，用表示出的長(zhǎng)，然后計(jì)算出AB的長(zhǎng)；【詳解】解：如圖，∵，∴，在中，∵，∴米，在中，∵，∴（米），∴（米），答：這條江的寬度AB約為732米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題．題目難度不大，解決本題的關(guān)鍵是用含表示出的長(zhǎng)．26．（2022·湖南郴州）如圖是某水庫(kù)大壩的橫截面，壩高，背水坡BC的坡度為．為了對(duì)水庫(kù)大壩進(jìn)行升級(jí)加固，降低背水坡的傾斜程度，設(shè)計(jì)人員準(zhǔn)備把背水坡的坡度改為，求背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，．結(jié)果精確到0.1m）【答案】背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B之間的距離約為14.6m【分析】通過(guò)解直角三角形和，分別求出AD和BD的長(zhǎng)，由求出AB的長(zhǎng)．【詳解】解：在中，∵背水坡BC的坡度，∴，∴．在中，∵背水坡AC的坡度，∴，∴，∴．答：背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B之間的距離約為14.6m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是理解坡度、坡比的含義，構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度．27．（2022·海南）無(wú)人機(jī)在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛．如圖8所示，小明利用無(wú)人機(jī)測(cè)量大樓的高度，無(wú)人機(jī)在空中P處，測(cè)得樓樓頂D處的俯角為，測(cè)得樓樓頂A處的俯角為．已知樓和樓之間的距離為100米，樓的高度為10米，從樓的A處測(cè)得樓的D處的仰角為（點(diǎn)A、B、C、D、P在同一平面內(nèi)）．(1)填空：___________度，___________度；(2)求樓的高度（結(jié)果保留根號(hào)）；(3)求此時(shí)無(wú)人機(jī)距離地面的高度．【答案】(1)75；60(2)米(3)110米【分析】（1）根據(jù)平角的定義求，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，再利用三角形內(nèi)角和求；（2）在中，求出DE的長(zhǎng)度再根據(jù)計(jì)算即可；（3）作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F，證明即可．(1)過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，由題意得：∴(2)由題意得：米，．在中，，∴，∴∴樓的高度為米．(3)作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F，則∵，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．∴（AAS）．∴．∴∴無(wú)人機(jī)距離地面的高度為110米．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題的知識(shí)．此題難度適中，注意能借助仰角或俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵．28．（2022·遼寧）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準(zhǔn)備要停靠到碼頭C，貨輪航行到A處時(shí)，測(cè)得碼頭C在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，當(dāng)它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達(dá)碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結(jié)果精確到0.1海里．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．【答案】貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里．【分析】過(guò)B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函數(shù)求得BD=15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：過(guò)B作BD⊥AC于D，由題意可知∠ABE=30°，∠BAC=30°，則∠C=180°-30°-30°-70°=50°，在Rt△BCD中，∠C=50°，BC=20(海里)，∴BD=BCsin50°≈20×0.766=15.32(海里)，在Rt△ABD中，∠BAD=30°，BD=15.32(海里)，∴AB=2BD=30.64≈30.6(海里)，答：貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—方向角問(wèn)題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．29．（2022·四川遂寧）數(shù)學(xué)興趣小組到一公園測(cè)量塔樓高度．如圖所示，塔樓剖面和臺(tái)階的剖面在同一平面，在臺(tái)階底部點(diǎn)A處測(cè)得塔樓頂端點(diǎn)E的仰角，臺(tái)階AB長(zhǎng)26米，臺(tái)階坡面AB的坡度，然后在點(diǎn)B處測(cè)得塔樓頂端點(diǎn)E的仰角，則塔頂?shù)降孛娴母叨菶F約為多少米．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】塔頂?shù)降孛娴母叨菶F約為47米【分析】延長(zhǎng)EF交AG于點(diǎn)H，則，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)P，則四邊形BFHP為矩形，設(shè)，則，根據(jù)解直角三角形建立方程求解即可．【詳解】如圖，延長(zhǎng)EF交AG于點(diǎn)H，則，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)P，則四邊形BFHP為矩形，∴，．由，可設(shè)，則，由可得，解得或（舍去），∴，，設(shè)米，米，在中，即，則①在中，，即②由①②得，．答：塔頂?shù)降孛娴母叨菶F約為47米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．30．（2022·四川廣安）八年級(jí)二班學(xué)生到某勞動(dòng)教育實(shí)踐基地開(kāi)展實(shí)踐活動(dòng)，當(dāng)天，他們先從基地門(mén)口A處向正北方向走了450米，到達(dá)菜園B處鋤草，再?gòu)腂處沿正西方向到達(dá)果園C處采摘水果，再向南偏東37°方向走了300米，到達(dá)手工坊D處進(jìn)行手工制作，最后從D處回到門(mén)口A處，手工坊在基地門(mén)口北偏西65°方向上．求菜園與果園之間的距離．（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75【答案】菜園與果園之間的距離為630米【分析】過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則，四邊形是矩形，在中，求得，CF=240，進(jìn)而求得AE=210，在中，利用正切進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則，∵∠B=90°，四邊形是矩形，，BC=EF，在中，，∴BE=240，∴AE=AB-BE=210，在中，，，米．∴BC=EF=DF+DE=180+450=630答：菜園與果園之間的距離630米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．31．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特）“一去紫臺(tái)連朔漠，獨(dú)留青冢向黃昏”，美麗的昭君博物院作為著名景區(qū)現(xiàn)已成為外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地．如圖，為測(cè)量景區(qū)中一座雕像的高度，某數(shù)學(xué)興趣小組在處用測(cè)角儀測(cè)得雕像頂部的仰角為，測(cè)得底部的俯角為．已知測(cè)角儀與水平地面垂直且高度為1米，求雕像的高．（用非特殊角的三角函數(shù)及根式表示即可）【答案】米【分析】過(guò)點(diǎn)作于，則四邊形是矩形，則，在與中，分別表示出，根據(jù)即可求解．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作于，則四邊形是矩形，，中，，，中，，，米答：雕像的高為米【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．32．（2022·貴州銅仁）為了測(cè)量高速公路某橋的橋墩高度，某數(shù)學(xué)興趣小組在同一水平地面C、D兩處實(shí)地測(cè)量，如圖所示．在C處測(cè)得橋墩頂部A處的仰角為和橋墩底部B處的俯角為，在D處測(cè)得橋墩頂部A處的仰角為，測(cè)得C、D兩點(diǎn)之間的距離為，直線、在同一平面內(nèi)，請(qǐng)你用以上數(shù)據(jù)，計(jì)算橋墩的高度．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）【答案】103米【分析】延長(zhǎng)DC交AB于點(diǎn)E，設(shè)CE=x米，由題意可得AB⊥DE，解Rt△AEC求得AE，解Rt△BEC求得BE，解Rt△AED求得DE，根據(jù)CD=DE-CE列方程求得x即可；【詳解】解：延長(zhǎng)DC交AB于點(diǎn)E，設(shè)CE=x米，∵AB、CD在同一平面內(nèi)，AB⊥水平地面，點(diǎn)C、D在同一水平地面，∴AB⊥DE，Rt△AEC中，∠ACE=60°，EC=x米，則AE=EC?tan∠ACE=米，Rt△BEC中，∠BCE=40°，EC=x米，則BE=EC?tan∠BEC=0.84x米，Rt△AED中，∠D=30°，AE=米，則DE=AE÷tan∠D=3x米，∵CD=DE-CE=3x-x=80米，∴x=40米，∴AB=AE+BE=米，∴橋墩的高度為103米；【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，掌握正切三角函數(shù)的相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．33．（2022·貴州遵義）如圖1所示是一種太陽(yáng)能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分構(gòu)成如圖2，是燈桿，是燈管支架，燈管支架與燈桿間的夾角．綜合實(shí)踐小組的同學(xué)想知道燈管支架的長(zhǎng)度，他們?cè)诘孛娴狞c(diǎn)處測(cè)得燈管支架底部的仰角為60°，在點(diǎn)處測(cè)得燈管支架頂部的仰角為30°，測(cè)得m，m（，，在同一條直線上）．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解答下列問(wèn)題：(1)求燈管支架底部距地面高度的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)求燈管支架的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：）．【答案】(1)(2)【分析】（1）解即可求解；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，證明是等邊三角形，解，根據(jù)即可求解．(1)在中，(2)如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，中，是等邊三角形答：燈管支架的長(zhǎng)度約為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．34．（2022·山東煙臺(tái)）如圖，某超市計(jì)劃將門(mén)前的部分樓梯改造成無(wú)障礙通道．已知樓梯共有五級(jí)均勻分布的臺(tái)階，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比為1：2，將要鋪設(shè)的通道前方有一井蓋，井蓋邊緣離樓梯底部的最短距離ED＝2.55m．為防止通道遮蓋井蓋，所鋪設(shè)通道的坡角不得小于多少度？（結(jié)果精確到1）（參考數(shù)據(jù)表）計(jì)算器按鍵順序計(jì)算結(jié)果（已精確到0.001）11.3100.00314.7440.005【答案】不得小于11度【分析】根據(jù)題意可得DF＝AB＝0.15米，然后根據(jù)斜坡AC的坡比為1：2，可求出BC，CD的長(zhǎng)，從而求出EB的長(zhǎng)，最后在Rt△AEB中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：如圖：由題意得：DF＝AB＝0.15（米），∵斜坡AC的坡比為1：2，∴＝，＝，∴BC＝2AB＝1.5（米），CD＝2DF＝0.3（米），∵ED＝2.55米，∴EB＝ED+BC﹣CD＝2.55+1.5﹣0.3＝3.75（米），在Rt△AEB中，tan∠AEB＝＝＝，查表可得，∠AEB≈11.310°≈11°，∴為防止通道遮蓋井蓋，所鋪設(shè)通道的坡角不得小于11度．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，熟練掌握坡比是解題的關(guān)鍵．35．（2022·湖北恩施）如圖，湖中一古亭，湖邊一古柳，一沉靜，一飄逸、碧波蕩漾，相映成趣．某活動(dòng)小組賞湖之余，為了測(cè)量古亭與古柳間的距離，在古柳A處測(cè)得古亭B位于北偏東60°，他們向南走50m到達(dá)D點(diǎn)，測(cè)得古亭B位于北偏東45°，求古亭與古柳之間的距離AB的長(zhǎng)（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果精確到1m）．【答案】古亭與古柳之間的距離的長(zhǎng)約為【分析】過(guò)點(diǎn)作的垂直，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)，則，分別在和中，解直角三角形求出的長(zhǎng)，再建立方程，解方程可得的值，由此即可得出答案．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作的垂直，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由題意得：，設(shè)，則，在中，，在中，，，則，解得，則，答：古亭與古柳之間的距離的長(zhǎng)約為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．36．（2022·吉林）動(dòng)感單車是一種新型的運(yùn)動(dòng)器械．圖①是一輛動(dòng)感單車的實(shí)物圖，圖②是其側(cè)面示意圖．△BCD為主車架，AB為調(diào)節(jié)管，點(diǎn)A，B，C在同一直線上．已知BC長(zhǎng)為70cm，∠BCD的度數(shù)為58°．當(dāng)AB長(zhǎng)度調(diào)至34cm時(shí)，求點(diǎn)A到CD的距離AE的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）【答案】點(diǎn)A到CD的距離AE的長(zhǎng)度約為88cm．【分析】根據(jù)正弦的概念即可求解．【詳解】解：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=58°，AC=AB+BC=34+70=104(cm)，∵sin∠ACE=，即sin58°=，∴AE=104×0.85=88.4≈88(cm)，∴點(diǎn)A到CD的距離AE的長(zhǎng)度約為88cm．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的知識(shí)，掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．37．（2022·山西）隨著科技的發(fā)展，無(wú)人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和生活，如代替人們?cè)诟呖諟y(cè)量距離和角度．某校“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)小組的同學(xué)要測(cè)星AB，CD兩座樓之間的距離，他們借助無(wú)人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：無(wú)人機(jī)在AB，CD兩樓之間上方的點(diǎn)O處，點(diǎn)O距地面AC的高度為60m，此時(shí)觀測(cè)到樓AB底部點(diǎn)A處的俯角為70°，樓CD上點(diǎn)E處的俯角為30°，沿水平方向由點(diǎn)O飛行24到達(dá)點(diǎn)F，測(cè)得點(diǎn)E處俯角為60°，其中點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，O均在同一豎直平面內(nèi)．請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓AB與CD之間的距離AC的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：）．【答案】58m【分析】延長(zhǎng)AB和CD分別與直線OF交于點(diǎn)G和點(diǎn)H，則，再根據(jù)圖形應(yīng)用三角函數(shù)即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)AB和CD分別與直線OF交于點(diǎn)G和點(diǎn)H，則．又∵，∴四邊形ACHG是矩形．∴．由題意，得．在中，，∴﹒∵是的外角，∴．∴．∴．在中，∴．∴．答：樓AB與CD之間的距離AC的長(zhǎng)約為58m．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確構(gòu)造直角三角形并應(yīng)用三角函數(shù)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．38．（2022·河南）開(kāi)封清明上河園是依照北宋著名畫(huà)家張擇端的《清明上河圖》建造的，拂云閣是園內(nèi)最高的建筑．某數(shù)學(xué)小組測(cè)量拂云閣DC的高度，如圖，在A處用測(cè)角儀測(cè)得拂云閣頂端D的仰角為34°，沿AC方向前進(jìn)15m到達(dá)B處，又測(cè)得拂云閣頂端D的仰角為45°．已知測(cè)角儀的高度為1.5m，測(cè)量點(diǎn)A，B與拂云閣DC的底部C在同一水平線上，求拂云閣DC的高度（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：，，）．【答案】拂云閣DC的高度約為32m【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則四邊形是矩形，則，，在，中，分別表示出，根據(jù)，建立方程，解方程求解可得，根據(jù)即可求解．【詳解】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則四邊形是矩形，則，，在中，，在中，，，即，解得，(m)．拂云閣DC的高度約為32m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．39．（2022·四川宜賓）宜賓東樓始建于唐代，重建于宜賓建城2200周年之際的2018年，新建成的東樓（如圖1）成為長(zhǎng)江首城會(huì)客廳、旅游休閑目的地、文化地標(biāo)打卡地．某數(shù)學(xué)小組為測(cè)量東樓的高度，在梯步A處（如圖2）測(cè)得樓頂D的仰角為45°，沿坡比為7：24的斜坡AB前行25米到達(dá)平臺(tái)B處，測(cè)得樓頂D的仰角為60°，求東樓的高度DE．（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：，）【答案】【分析】根據(jù)，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求得，又設(shè)，則，，求出DE，根據(jù)列出方程，解方程進(jìn)而根據(jù)即可求解．【詳解】解：在中，，，設(shè)，則，由，得，解得：，∴，又設(shè)，則，在中，，則，∴，在中，，則，∴，∴，解得：，∴．∴東樓的高度約為40m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，掌握三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．40．（2022·湖南岳陽(yáng)）喜迎二十大，“龍舟故里”賽龍舟．丹丹在汩羅江國(guó)際龍舟競(jìng)渡中心廣場(chǎng)點(diǎn)處觀看200米直道競(jìng)速賽．如圖所示，賽道為東西方向，賽道起點(diǎn)位于點(diǎn)的北偏西方向上，終點(diǎn)位于點(diǎn)的北偏東方向上，米，則點(diǎn)到賽道的距離約為_(kāi)_____米（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）．【答案】87【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，設(shè)米，然后分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出，的長(zhǎng)，再根據(jù)米，列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，設(shè)米，在中，，∴（米），在中，，∴（米），∵米，∴，∴，∴，∴米，∴點(diǎn)到賽道的距離約為87米，故答案為：87．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—方向角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．41．（2022·湖北荊州）荊州城徽“金鳳騰飛”立于古城東門(mén)外．如圖，某校學(xué)生測(cè)量其高AB（含底座），先在點(diǎn)C處用測(cè)角儀測(cè)得其頂端A的仰角為32°，再由點(diǎn)C向城徽走6.6m到E處，測(cè)得頂端A的仰角為45°，已知B，E，C三點(diǎn)在同一直線上，測(cè)角儀離地面的高度CD＝EF＝1.5m，求城徽的高AB．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】城徽的高AB約為米．【分析】如圖，延長(zhǎng)DF交AB于M，由題意可得：所以四邊形BMFE，四邊形EFCD，四邊形BMDC都為矩形；設(shè)再表示再利用銳角的正切建立方程，解方程即可．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)DF交AB于M，由題意可得：所以四邊形BMFE，四邊形EFCD，四邊形BMDC都為矩形；設(shè)而由解得：經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以答：城徽的高AB約為米．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．42．（2022·廣西賀州）如圖，在小明家附近有一座廢舊的煙囪，為了鄉(xiāng)村振興，美化環(huán)境，政府計(jì)劃把這片區(qū)域改造為公園．現(xiàn)決定用爆破的方式拆除該煙囪，為確定安全范圍，需測(cè)量煙囪的高度AB，因?yàn)椴荒苤苯拥竭_(dá)煙囪底部B處，測(cè)量人員用高為的測(cè)角器在與煙囪底部B成一直線的C，D兩處地面上，分別測(cè)得煙囪頂部A的仰角，同時(shí)量得CD為．問(wèn)煙囪AB的高度為多少米？（精確到，參考數(shù)據(jù)：）【答案】53.2【分析】設(shè)，得，，得方程，解出x，即求出AB的長(zhǎng)．【詳解】設(shè)，在中，，得．在中，，得．．解方程，得．．答：煙囪AB的高度為53.2米【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，構(gòu)造仰角所在的直角三角形，利用兩個(gè)直角三角形的公共邊求解是常用的解直角三角形的方法．43．（2022·內(nèi)蒙古包頭）如圖，是底部B不可到達(dá)的一座建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，測(cè)角儀器的高米．某數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量建筑物的高度，先在H處用測(cè)角儀器測(cè)得建筑物頂端A處的仰角為，再向前走5米到達(dá)G處，又測(cè)得建筑物頂端A處的仰角為，已知，H，G，B三點(diǎn)在同一水平線上，求建筑物的高度．【答案】19米【分析】設(shè)米．在中，得到．在中，得到，．根據(jù)，列方程．【詳解】解：如圖．根據(jù)題意，，．設(shè)米．在中，∵，∴．在中，∵，∴．∵，∴，∴，∴，即．∵，∴（米）．答：建筑物的高度為19米．【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形的應(yīng)用問(wèn)題，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出直角三角形，熟練利用正切函數(shù)的定理求解．44．（2022·湖北武漢）小紅同學(xué)在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中測(cè)量旗桿的高度，如圖，己知測(cè)角儀的高度為1.58米，她在A點(diǎn)觀測(cè)桿頂E的仰角為30°，接著朝旗桿方向前進(jìn)20米到達(dá)C處，在D點(diǎn)觀測(cè)旗桿頂端E的仰角為60°，求旗桿的高度．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】旗桿的高度約為18.9米．【分析】過(guò)點(diǎn)D作DG⊥EF于點(diǎn)G，設(shè)EG=x，則EF=1.58+x．分別在Rt△AEG和Rt△DEG中，利用三角函數(shù)解直角三角形可得AG、DG，利用AD=20列出方程，進(jìn)而得到EF的長(zhǎng)度．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥EF于點(diǎn)G，設(shè)EG=x，由題意可知：∠EAG=30°，∠EDG=60°，AD=20米，GF=1.58米．在Rt△AEG中，tan∠EAG=，∴AG=x，在Rt△DEG中，tan∠EDG=，∴DG=x，∴x-x=20，解得：x≈17.3，∵EF=1.58+x=18.9(米)．答：旗桿的高度約為18.9米．【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角的三角函數(shù)概念是解題關(guān)鍵．45．（2022·江蘇泰州）小強(qiáng)在物理課上學(xué)過(guò)平面鏡成像知識(shí)后，在老師的帶領(lǐng)下到某廠房做驗(yàn)證實(shí)驗(yàn).如圖，老師在該廠房頂部安裝一平面鏡MN，MN與墻面AB所成的角∠MNB=118°，廠房高AB=8m，房頂AM與水平地面平行，小強(qiáng)在點(diǎn)M的正下方C處從平面鏡觀察，能看到的水平地面上最遠(yuǎn)處D到他的距離CD是多少?（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）【答案】【分析】過(guò)M點(diǎn)作ME⊥MN交CD于E點(diǎn)，證明四邊形ABCM為矩形得到CM=AB=8，∠NMC=180°-∠BNM=62°，利用物理學(xué)入射光線與反射光線之間的關(guān)系得到∠EMD=∠EMC，且∠CME=90°-∠CMN=28°，進(jìn)而求出∠CMD=56°，最后在Rt△CMD中由tan∠CMD即可求解．【詳解】解：過(guò)M點(diǎn)作ME⊥MN交CD于E點(diǎn)，如下圖所示：∵C點(diǎn)在M點(diǎn)正下方，∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，∵房頂AM與水平地面平行，AB為墻面，∴四邊形AMCB為矩形，∴MC=AB=8，AB∥CM，∴∠NMC=180°-∠BNM=180°-118°=62°，∵地面上的點(diǎn)D經(jīng)過(guò)平面鏡MN反射后落在點(diǎn)C，結(jié)合物理學(xué)知識(shí)可知：∴∠NME=90°，∴∠EMD=∠EMC=90°-∠NMC=90°-62°=28°，∴∠CMD=56°，在Rt△CMD中，，代入數(shù)據(jù)：，∴，即水平地