專題橢圓直線過定點(diǎn)問題-1

專題：橢圓——直線過定點(diǎn)問題解析版一?基礎(chǔ)知識(shí)1．直線過定點(diǎn)問題（1）直線過定點(diǎn)問題的解題模型（2）求解動(dòng)直線過定點(diǎn)問題，一般可先設(shè)出直線的一般方程：，然后利用題中條件整理出的關(guān)系，若，代入得，則該直線過定點(diǎn)．2.結(jié)論如下：（1）過橢圓的左頂點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線與該橢圓交于點(diǎn)，則直線過點(diǎn)；（2）過橢圓的左頂點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線與該橢圓交于點(diǎn)，則直線過點(diǎn)；（3）設(shè)點(diǎn)是橢圓C：上一定點(diǎn)，點(diǎn)A，B是橢圓C上不同于P的兩點(diǎn)，若，則直線AB過定點(diǎn)；二?題型專練1．已知橢圓，過右焦點(diǎn)的直線交于A，兩點(diǎn)，過點(diǎn)與垂直的直線交于，兩點(diǎn)，其中，在軸上方，，分別為AB，DE的中點(diǎn).當(dāng)軸時(shí)，，橢圓的離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：直線過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)；(3)設(shè)為直線與直線的交點(diǎn)，面積的為，求直線的方程.【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)或.【詳解】（1）由題意可得，解得，，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）B，D在x軸上方，直線l斜率存在且不為0，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓，消去x得：，由韋達(dá)定理得：，，則中點(diǎn)，由，所以以代替m可得，所以，，化簡得，則過定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，取，，則過定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，取，，則過定點(diǎn)；綜上直線MN過定點(diǎn)．（3）M，N分別為AB，DE的中點(diǎn)，，由（2）知，以代替m可得，所以，，所以或解得，所以直線的方程為：或.2．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線l交該橢圓于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的上方），橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為A，B，直線AD與直線BC交于點(diǎn)Q．證明：點(diǎn)Q在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程中得，即，因，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題易知的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由，得，則，，，又，則直線AD的方程為，直線BC的方程為，聯(lián)立，方程可得，得，故點(diǎn)在定直線上．3．已知?jiǎng)訄AE與x軸相切于點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作動(dòng)圓E的異于x軸的切線，，記，的交點(diǎn)M的軌跡為曲線C.過的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，直線與C交于另一點(diǎn)D，直線與C交于另一點(diǎn)R.(1)求C的方程；(2)證明：直線過定點(diǎn)；(3)若直線，的斜率，都存在，試判斷是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)證明見解析(3)是，【詳解】（1）如圖，設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為Q，P，則，，，所以，，則，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，又圓的半徑不能為0和無窮，所以的方程為.（2）設(shè)，，，，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，因?yàn)锳，B，三點(diǎn)共線，所以，化簡得，則直線的方程為，直線的方程為.聯(lián)立，整理得，由根與系數(shù)的關(guān)系得，所以，，同理，.又直線的方程為，令，則，所以直線過定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，D，R關(guān)于x軸對(duì)稱，不妨設(shè)，可求得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，所以直線過定點(diǎn).綜上，直線過定點(diǎn).（3）是定值，證明如下：由（2）得，又，所以.4．如圖，已知橢圓的離心率為，線段，分別為的長軸與短軸，四邊形的面積為.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與分別交于，兩點(diǎn)，且總有平分.求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；【答案】(1)(2)證明見解析，【詳解】（1）由題意得，，解得，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）令，，由平分，可知直線、、傾斜角的大小關(guān)系，得到，故有，故有，化簡得到（※）設(shè)，，，聯(lián)立，有，于是有，，又，，代入※式化簡得，，則直線，即可證過定點(diǎn)5．已知橢圓的長軸長為，以橢圓的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為6．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱．在軸上是否存在定點(diǎn)，使三點(diǎn)共線？若存在，求實(shí)數(shù)的值，若不存在，說明理由．【答案】(1)，(2)存在；【詳解】（1）由題意得解得．所以橢圓的方程為，離心率．（2）直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)．由得．依據(jù)題意，．因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以點(diǎn)．若在軸上存在定點(diǎn)，使三點(diǎn)共線，則．由，得．由，得．因?yàn)?則，由于對(duì)任意恒成立，所以，解得．則在軸上存在定點(diǎn)，使三點(diǎn)共線．6．已知橢圓的上、下頂點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)是等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓C的離心率及標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)且斜率存在的動(dòng)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，問在y軸上是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得恒成立？若存在，求出定點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，；(2)存在，.【詳解】（1）由上下頂點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)是等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，所以，則，所以，且，又在橢圓上，則，所以標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）假設(shè)在軸上存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立，

設(shè)，，直線，由，可得，顯然，則，，由，而，所以，即，則，所以，即，則，所以，則不論為何值，恒成立，所以，即，使得恒成立.7．已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作軸的垂線段，垂足為，點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)經(jīng)過圓與軸的交點(diǎn)時(shí)，規(guī)定點(diǎn)與點(diǎn)重合.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.(2)設(shè)分別是方程表示的曲線的上、下頂點(diǎn)，、是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn).①若直線AC的斜率與直線BD的斜率滿足，求證：直線CD過定點(diǎn).②當(dāng)變化時(shí)、試探究（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)①證明見解析；②存在，最大值為【詳解】（1）設(shè)，則，由，得，即，所以，所以，則，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以，整理得，當(dāng)點(diǎn)經(jīng)過圓與軸的交點(diǎn)時(shí)，同樣成立，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為；（2）設(shè)，聯(lián)立，消得，則，①由（1）得，則，因?yàn)?，所以，即，又，所以，即，即，整理得，將代入化簡得，解得或，?dāng)時(shí)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，與題意不符，故舍去，所以，所以直線的方程為，所以直線過定點(diǎn)；②易知，所以，，點(diǎn)到直線的距離，則，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的面積存在最大值，最大值為.8．已知橢圓的焦距為4，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)為，且為橢圓上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)（均不與重合）.(1)求橢圓的方程；(2)若為的垂心，求直線的方程；(3)若是的角平分線，問：直線是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，說明理由；【答案】(1)(2)(3)過定點(diǎn)，【詳解】（1）由題：，故又，故，從而因此橢圓方程為：（2）由（1）知：由題：為的垂心，所以且，則必有，設(shè)直線方程為：聯(lián)立直線與橢圓：得：令，解得：，由韋達(dá)定理：則，故，即：整理得：，將代入化簡得：，解得或當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，不符合題意，舍去當(dāng)時(shí)，滿足，符合題意.故直線方程為：（3）設(shè)則因?yàn)橹本€的斜率必存在，所以直線，即：設(shè)到直線與的距離均是，從而平方得：，又由于，故，整理得：即點(diǎn)在直線同理：點(diǎn)也在直線上故直線的方程為將其按照參數(shù)進(jìn)行整理：令，解得，從而定點(diǎn)坐標(biāo)為.9．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率.過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過且與垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，其中在軸上方，分別為的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)證明：直線過定點(diǎn)；(3)求面積的最大值.【答案】(1)(2)證明見解析(3)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，故橢圓的方程為：，點(diǎn).設(shè)點(diǎn)，，則，由已知在軸上方，所以直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線，代入橢圓方程，整理得.則，∴由得，代入①，得即，所以點(diǎn)的軌跡方程為.（2）由（1）可設(shè)垂線方程為，代入橢圓方程得中點(diǎn).因?yàn)樗灾本€的斜率為.直線的方程為：①令得：

②令得：③聯(lián)立②③得交點(diǎn)，代入①式，該式恒成立，當(dāng)時(shí)，直線方程為，也過點(diǎn).所以直線過定點(diǎn).（3）由(1)(2)得直線過定點(diǎn)，且所以，令，則，則令，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，有最大值.面積的最大值為.10．已知橢圓的離心率為，E的左頂點(diǎn)N到點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過點(diǎn)M作斜率和為2的直線，，直線，分別與E交于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)．（i）若（點(diǎn)B在點(diǎn)A的下方）的面積為，求直線的方程；（ii）設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為P，Q，證明：直線PQ過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見解析【詳解】（1）由題意知橢圓E的左頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，又，，解得，，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）（i）易知直線MN的方程為，即，，由的面積為，得點(diǎn)B到直線的距離為，設(shè)與直線平行且距離為的直線方程為，由，解得或．當(dāng)時(shí)，由，得，顯然，此時(shí)該直線與橢圓無交點(diǎn)；當(dāng)