求極限的方法

演講人：xxx20xx-07-17求極限的方法目錄CONTENTS極限概念及性質(zhì)回顧代數(shù)法求極限洛必達(dá)法則在求極限中應(yīng)用夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界原理應(yīng)用泰勒公式在求極限中拓展應(yīng)用總結(jié)回顧與拓展思考01極限概念及性質(zhì)回顧極限定義與表示方法表示方法$lim_{xtox_0}f(x)=A$或$f(x)toA(xtox_0)$。定義設(shè)函數(shù)$f(x)$在$x_0$的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)$A$，對(duì)于任意給定的正數(shù)$epsilon$（無(wú)論它多么?。偞嬖谡龜?shù)$delta$，使得當(dāng)$x$滿足$0<|x-x_0|<delta$時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值$f(x)$都滿足$|f(x)-A|<epsilon$，那么常數(shù)$A$就叫做函數(shù)$f(x)$當(dāng)$xtox_0$時(shí)的極限。存在條件函數(shù)$f(x)$在$x_0$的某一去心鄰域內(nèi)有定義，且滿足極限定義中的條件。唯一性如果極限存在，則極限值唯一。有界性如果極限存在，則函數(shù)在$x_0$的某一去心鄰域內(nèi)有界。保號(hào)性如果極限值大于（或小于）零，則函數(shù)在$x_0$的某一去心鄰域內(nèi)同號(hào)。極限存在條件與性質(zhì)如果函數(shù)$f(x)$當(dāng)$xtox_0$（或$xtoinfty$）時(shí)的極限為零，那么稱(chēng)函數(shù)$f(x)$為當(dāng)$xtox_0$（或$xtoinfty$）時(shí)的無(wú)窮小量。無(wú)窮小量如果對(duì)于任意給定的正數(shù)$M$，總存在正數(shù)$delta$（或正數(shù)$X$），使得當(dāng)$x$滿足$0<|x-x_0|<delta$（或$|x|>X$）時(shí)，函數(shù)$f(x)$的絕對(duì)值都大于$M$，那么稱(chēng)函數(shù)$f(x)$為當(dāng)$xtox_0$（或$xtoinfty$）時(shí)的無(wú)窮大量。無(wú)窮大量無(wú)窮小量與無(wú)窮大量概念極限的四則運(yùn)算法則如果兩個(gè)函數(shù)的極限都存在，則它們的和、差、積、商的極限分別等于各函數(shù)極限的和、差、積、商（除數(shù)不為零）。極限運(yùn)算法則簡(jiǎn)介極限的復(fù)合運(yùn)算法則如果函數(shù)$y=f(u)$與$u=g(x)$的極限都存在，則復(fù)合函數(shù)$y=f[g(x)]$的極限存在，且等于$lim_{utou_0}f(u)$，其中$u_0=lim_{xtox_0}g(x)$。極限的冪指對(duì)運(yùn)算法則如果函數(shù)$u=f(x)$與$v=g(x)$的極限都存在，且$lim_{xtox_0}f(x)>0$，則冪函數(shù)$u^v$、指數(shù)函數(shù)$a^u$（$a>0$且$aneq1$）、對(duì)數(shù)函數(shù)$log_au$的極限都存在，且可以通過(guò)相應(yīng)的運(yùn)算法則求得。02代數(shù)法求極限如果函數(shù)在極限點(diǎn)處的值存在，則可以直接將極限點(diǎn)的值代入函數(shù)中求極限。如果函數(shù)在極限點(diǎn)處的值不存在，則需要使用其他方法求極限。直接代入法（directsubstitution）是1995年發(fā)布的化學(xué)工程名詞。直接代入法因式分解法是一種數(shù)學(xué)定理，用于求解高次一元方程。因式分解法如果函數(shù)可以寫(xiě)成若干個(gè)因式的乘積，則可以將每個(gè)因式分別求極限，然后相乘得到最終的極限。如果函數(shù)無(wú)法寫(xiě)成若干個(gè)因式的乘積，則需要使用其他方法求極限。010203如果函數(shù)的分子和分母都包含零因子，則可以使用約去零因子法求極限。約去零因子法是指將分子和分母的零因子約去，然后求極限。如果函數(shù)的分子和分母都不包含零因子，則需要使用其他方法求極限。約去零因子法分子有理化法010203如果函數(shù)的分子是無(wú)理式，則可以使用分子有理化法求極限。分子有理化法是指將分子進(jìn)行有理化處理，然后求極限。如果函數(shù)的分子是有理式，則需要使用其他方法求極限。03洛必達(dá)法則在求極限中應(yīng)用洛必達(dá)法則主要用于求解未定型的極限問(wèn)題，即當(dāng)函數(shù)分子和分母都趨于0或無(wú)窮大時(shí)，通過(guò)對(duì)分子和分母分別求導(dǎo)，再求極限來(lái)確定原極限的值。基本原理使用洛必達(dá)法則需要滿足一定條件，包括分子分母函數(shù)在給定點(diǎn)的極限為0或無(wú)窮大，且分子分母函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)等。適用條件洛必達(dá)法則基本原理及適用條件洛必達(dá)法則在不同類(lèi)型極限中運(yùn)用技巧0/0型極限對(duì)于此類(lèi)極限，可以直接應(yīng)用洛必達(dá)法則，對(duì)分子分母分別求導(dǎo)后，再求新的極限?！?∞型極限其他類(lèi)型極限此類(lèi)極限也可以通過(guò)洛必達(dá)法則求解，但在求導(dǎo)后需要注意新函數(shù)的極限是否存在。對(duì)于其他類(lèi)型的未定式極限，如0·∞、∞-∞、0^0、1^∞和∞^0等，需要通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q轉(zhuǎn)化為0/0或∞/∞型后，再應(yīng)用洛必達(dá)法則。注意事項(xiàng)在應(yīng)用洛必達(dá)法則時(shí)，需要注意求導(dǎo)后的新函數(shù)是否滿足洛必達(dá)法則的條件，以及新函數(shù)的極限是否存在。誤區(qū)提示避免盲目使用洛必達(dá)法則，對(duì)于不滿足條件的極限問(wèn)題，需要尋找其他求解方法。同時(shí)，也要注意洛必達(dá)法則可能無(wú)法求解所有未定式極限問(wèn)題。注意事項(xiàng)與誤區(qū)提示例題3求解極限lim(x→0)(e^x-1)/x。這是一個(gè)需要通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為0/0型后再應(yīng)用洛必達(dá)法則求解的問(wèn)題。例題1求解極限lim(x→0)sin(x)/x。這是一個(gè)典型的0/0型極限問(wèn)題，可以直接應(yīng)用洛必達(dá)法則求解。例題2求解極限lim(x→∞)(x^2+1)/(x^3+1)。這是一個(gè)∞/∞型極限問(wèn)題，在應(yīng)用洛必達(dá)法則時(shí)需要注意求導(dǎo)后的新函數(shù)極限是否存在。典型例題解析04夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界原理應(yīng)用如果一列數(shù){Xn}，{Yn}，{Zn}，滿足Yn≤Xn≤Zn，當(dāng)n→∞時(shí)，Yn、Zn的極限均為a，則數(shù)列{Xn}的極限存在，且極限值為a。夾逼準(zhǔn)則基本原理首先證明數(shù)列{Xn}的下極限不小于a，再證明數(shù)列{Xn}的上極限不大于a，由此可得數(shù)列{Xn}的極限存在且為a。證明過(guò)程夾逼準(zhǔn)則基本原理及證明過(guò)程單調(diào)有界原理表述單調(diào)有界數(shù)列必有極限。即如果數(shù)列{Xn}單調(diào)增加（或減少）且有上（下）界，則該數(shù)列必有極限。證明方法單調(diào)有界原理表述及證明方法利用確界原理證明。對(duì)于單調(diào)增加的數(shù)列{Xn}，若它有上界，則它必有上確界。由數(shù)列的單調(diào)性可知，該上確界即為數(shù)列的極限。0102兩者在求極限中結(jié)合使用技巧在求極限過(guò)程中，夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界原理可以結(jié)合使用。首先，通過(guò)夾逼準(zhǔn)則確定數(shù)列的極限范圍；然后，利用單調(diào)有界原理證明數(shù)列極限的存在性。在具體應(yīng)用中，可以通過(guò)放縮法構(gòu)造出兩個(gè)輔助數(shù)列，使得原數(shù)列被這兩個(gè)輔助數(shù)列所夾逼，進(jìn)而利用夾逼準(zhǔn)則求出原數(shù)列的極限。對(duì)于涉及夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界原理的求極限題目，首先要明確題目所給數(shù)列的性質(zhì)，如單調(diào)性、有界性等。相關(guān)題型解題思路梳理根據(jù)數(shù)列性質(zhì)選擇合適的方法進(jìn)行求解。如果數(shù)列滿足夾逼準(zhǔn)則的條件，則可以通過(guò)構(gòu)造輔助數(shù)列并利用夾逼準(zhǔn)則求解；如果數(shù)列滿足單調(diào)有界原理的條件，則可以直接利用該原理求解。在解題過(guò)程中，要注意放縮法的運(yùn)用，以及極限運(yùn)算的基本性質(zhì)和法則。同時(shí)，要注意驗(yàn)證所求極限的合理性，確保解題過(guò)程的正確性。05泰勒公式在求極限中拓展應(yīng)用泰勒公式是用函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式，可將一個(gè)復(fù)雜函數(shù)表示為一個(gè)無(wú)限級(jí)數(shù)。泰勒公式定義泰勒公式以函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)作為系數(shù)，構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似原函數(shù)。泰勒公式的展開(kāi)方式函數(shù)需要滿足一定的光滑性條件，即在某點(diǎn)附近存在任意階導(dǎo)數(shù)。泰勒公式的條件泰勒公式簡(jiǎn)介及展開(kāi)方式根據(jù)需要求解的精度，截取泰勒級(jí)數(shù)的前幾項(xiàng)進(jìn)行近似計(jì)算。截取適當(dāng)項(xiàng)數(shù)進(jìn)行近似利用近似多項(xiàng)式替代原函數(shù)，簡(jiǎn)化極限求解過(guò)程。求解極限根據(jù)泰勒公式，將函數(shù)在特定點(diǎn)附近展開(kāi)為級(jí)數(shù)形式。將復(fù)雜函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)利用泰勒公式求解復(fù)雜函數(shù)極限問(wèn)題余項(xiàng)估計(jì)泰勒公式的誤差主要來(lái)源于被忽略的高階無(wú)窮小項(xiàng)，可通過(guò)余項(xiàng)進(jìn)行誤差估計(jì)。誤差界確定根據(jù)函數(shù)的具體形式和展開(kāi)點(diǎn)的選擇，可以確定誤差的上界。提高精度的方法通過(guò)增加展開(kāi)的項(xiàng)數(shù)或選擇合適的展開(kāi)點(diǎn)，可以提高泰勒公式的近似精度。030201泰勒公式誤差估計(jì)方法例題一求解某個(gè)復(fù)雜函數(shù)在特定點(diǎn)的極限值。解答過(guò)程首先利用泰勒公式將函數(shù)在特定點(diǎn)展開(kāi)，然后截取適當(dāng)項(xiàng)數(shù)進(jìn)行近似計(jì)算，最后求解極限。例題二分析泰勒公式的誤差并給出誤差界。解答過(guò)程根據(jù)函數(shù)形式和展開(kāi)點(diǎn)的選擇，分析余項(xiàng)并得到誤差界，進(jìn)而評(píng)估泰勒公式的近似效果。例題三利用泰勒公式求解某個(gè)實(shí)際問(wèn)題的極限。解答過(guò)程將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，利用泰勒公式求解極限，并給出相應(yīng)的物理或?qū)嶋H意義。典型例題分析與解答過(guò)程06總結(jié)回顧與拓展思考對(duì)于連續(xù)函數(shù)，在求極限點(diǎn)處直接代入自變量值進(jìn)行計(jì)算。直接代入法當(dāng)函數(shù)在求極限點(diǎn)附近可導(dǎo)時(shí)，可通過(guò)求導(dǎo)簡(jiǎn)化表達(dá)式并求極限。洛必達(dá)法則通過(guò)因式分解簡(jiǎn)化表達(dá)式，消去不能直接代入的因子，再求極限。因式分解法通過(guò)放縮技巧，找到原函數(shù)的上下界函數(shù)，利用這兩個(gè)函數(shù)的極限來(lái)夾逼原函數(shù)的極限。夾逼準(zhǔn)則求極限方法總結(jié)回顧直接代入法洛必達(dá)法則因式分解法夾逼準(zhǔn)則簡(jiǎn)單易行，但僅適用于連續(xù)函數(shù)，且有時(shí)無(wú)法直接代入。適用于多種情況，但需要函數(shù)在求極限點(diǎn)附近可導(dǎo)，且計(jì)算過(guò)程可能較為復(fù)雜。能夠簡(jiǎn)化復(fù)雜表達(dá)式，但需要一定的代數(shù)技巧，且不一定適用于所有情況。在某些情況下非常有效，但需要找到合適的上下界函數(shù)，這通常需要一定的數(shù)學(xué)直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)。各類(lèi)方法優(yōu)缺點(diǎn)比較分析在實(shí)際應(yīng)用中，可能需要結(jié)合多種方法求解。因此，熟練掌握各種方法并靈活運(yùn)用是非常重要的。根據(jù)函數(shù)類(lèi)型和特點(diǎn)選擇合適的方法。例如，對(duì)于多項(xiàng)式函數(shù)，直接代入法通常是最簡(jiǎn)單的方法；對(duì)于分式函數(shù)，因式分解法或洛必達(dá)法則可能更為適用。根據(jù)求極限點(diǎn)的特性選擇合適的方法。例如，在求極限點(diǎn)附近函數(shù)值變化劇烈的情況下，夾逼準(zhǔn)則可能是一個(gè)更好的選擇。拓展思考：如何選擇