數(shù)列求和方法

板塊六數(shù)列

微專題35

數(shù)列求和的常用方法考點(diǎn)要求目標(biāo)要求考題統(tǒng)計(jì)數(shù)列求和理解數(shù)列求和方法，能準(zhǔn)確計(jì)算數(shù)列和2020年新課標(biāo)Ⅲ卷：解答題第17題考查錯(cuò)位相減法求和2021年：新課標(biāo)Ⅰ卷：解答題第17題考查裂項(xiàng)相消法求和。新課標(biāo)Ⅱ卷：填空題考查等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式2022年：新課標(biāo)Ⅰ卷：解答題第17題考查分組求和新課標(biāo)Ⅱ卷：選擇題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用2023年：新課標(biāo)Ⅰ卷：解答題第18題考查錯(cuò)位相減法新課標(biāo)Ⅱ卷：填空題考查裂項(xiàng)相消求和?？疾焯攸c(diǎn)總結(jié)與建議備考方向1.高頻方法：錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消、分組求和是三大重點(diǎn)，占考查次數(shù)的70%以上。2.創(chuàng)新趨勢：數(shù)列求和與函數(shù)、不等式、數(shù)學(xué)文化等結(jié)合，凸顯綜合應(yīng)用能力（如2023年新課標(biāo)Ⅰ卷）。3.難度分布：全國卷解答題多位于第17題（中檔題），獨(dú)立命題省份可能提高難度（如浙江卷）。1.熟練掌握五大求和方法（公式法、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減、分組求和、倒序相加）。2.關(guān)注數(shù)列與其他知識的交叉應(yīng)用（如放縮法證明不等式）。3.研究地方卷特色題型（如北京卷的開放性問題）。

核心精講·題型突破1、使用分組求和法的的策略數(shù)列{an}的特征求前n項(xiàng)和的方法數(shù)列{an}可以看作其他兩個(gè)(或更多個(gè))數(shù)列之和,即an=bn+cn分別求數(shù)列{bn},{cn}的前n項(xiàng)和,相加得解把奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)看作兩個(gè)數(shù)列,分別求和,相加得解,往往需要分n為奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行討論數(shù)列通項(xiàng)中含絕對值或通項(xiàng)中含有(－1)n先不考慮絕對值,求解數(shù)列從哪一項(xiàng)開始變號,把正數(shù)項(xiàng)和非正數(shù)項(xiàng)分開看作兩個(gè)數(shù)列,分別求和(此時(shí)需考慮絕對值),相加得解

2.裂項(xiàng)相消法求和的策略一般地,數(shù)列的通項(xiàng)公式為分式,且分子結(jié)構(gòu)簡單、分母為兩個(gè)“結(jié)構(gòu)相同”的式子相乘,求和時(shí)可以運(yùn)用裂項(xiàng)相消法,其實(shí)質(zhì)是把分式變形成兩個(gè)式子之差的形式,累加可以消掉中間的項(xiàng),達(dá)到求和的目的.常見的裂項(xiàng)形式

3.錯(cuò)位相減法求和的策略一般地,如果數(shù)列{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列,{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列,求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn時(shí),可采用錯(cuò)位相減法,即錯(cuò)位相減法常用來求解通項(xiàng)公式為“等差×等比”形式的數(shù)列的前n項(xiàng)和,具體步驟如下:(1)寫出前n項(xiàng)和的計(jì)算式Sn=a1b1+a2b2+…+anbn

①;(2)等式兩邊同乘q,得qSn=a1b2+a2b3+…+anbn+1

②;(3)①-②得,(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+…+bn)-anbn+1,化簡;(4)將上式兩邊同時(shí)除以(1-q)(這一步非常容易遺漏,尤其是(1-q)為負(fù)數(shù)的情況),得解獨(dú)

立

內(nèi)

化

小

組

討

論

師

生

對

話熱點(diǎn)一分組求和已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝2，a2＝4，且Sn＋2－2Sn＋1＋Sn＝2.(1)證明：數(shù)列{an}是等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；練1由Sn＋2－2Sn＋1＋Sn＝2得Sn＋2－Sn＋1－(Sn＋1－Sn)＝2，∴an＋2－an＋1＝2，又a2－a1＝4－2＝2，∴數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴an＝2n.(2)若等比數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2＋b3＝0，求數(shù)列{an·bn}的前2n項(xiàng)和T2n.設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，q≠0，

(2024·西安二模)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a6＝7，S6＝27.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；練2設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2＋(n－1)×1＝n＋1.熱點(diǎn)二裂項(xiàng)相消法求和∵an＝n＋1，則an＋1＝n＋2，熱點(diǎn)三錯(cuò)位相減法求和練3當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，滿足上式.∴an＝n(2n－1)＝2n2－n，根據(jù)等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1＝1，公比為2，可知bn＝2n－1.∴Tn＝1·20＋3·21＋…＋(2n－1)·2n－1，2Tn＝

1·21＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n.=1＋4(2n－1－1)－(2n－1)·2n=2·2n－(2n－1)·2n－3＝(3－2n)·2n－3.∴