結構化視域下小學數(shù)學單元主題拓展課程的開發(fā)

【摘""要】基于結構化視域下小學數(shù)學單元主題拓展課程的開發(fā)，應充分分析小學數(shù)學教材，并根據(jù)學生的發(fā)展需求適度拓展，對教學內(nèi)容進行重組和優(yōu)化。教師以人教版教材的知識體系為基礎，通過全面分析課程標準、教學內(nèi)容和學情，確定每單元的拓展內(nèi)容和主題。根據(jù)小學數(shù)學的知識類型和學習方式，將結構化視域下單元主題拓展課程分為三種類型六種開發(fā)策略?！娟P鍵詞】結構化；單元主題拓展課程；開發(fā)策略《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》明確指出：數(shù)學課程內(nèi)容設計應體現(xiàn)結構化特征。對內(nèi)容進行結構化整合，逐步拓展和深化教學內(nèi)容，以適應學生的發(fā)展需求?；谶@一課程理念，在結構化視域下，教師應充分分析小學數(shù)學教材，并根據(jù)學生的發(fā)展需求適度拓展，對教學內(nèi)容進行重組和優(yōu)化。本文以人教版教材的知識體系為基礎，通過全面分析課程標準、教學內(nèi)容和學情，確定每單元的拓展內(nèi)容和主題。每個拓展主題的內(nèi)容難度略高于相應的教學內(nèi)容，在日常教學中，使得人人都能獲得適度的拓展，不同的人得到不同程度的發(fā)展。由此，筆者根據(jù)小學數(shù)學的知識類型和學習方式，將結構化視域下單元主題拓展課程分為三種類型六種開發(fā)策略。三種類型為數(shù)學知識與技能類、數(shù)學實踐與探究類、數(shù)學思想與方法類，采用加強內(nèi)容承接、提升技能水平、增加實踐應用、提高探究能力、滲透數(shù)學思想、實現(xiàn)方法融通六種開發(fā)策略。一、數(shù)學知識與技能類知識與技能是構筑數(shù)學體系的基石。數(shù)學知識包括基本原理、公式、概念等，它們反映了現(xiàn)實世界的數(shù)量關系和空間形式以及它們之間的關系和結構，是學生理解和解決實際問題的基礎，為數(shù)學技能的形成提供理論指導和方法支持。數(shù)學技能包括操作性技能和心智性技能，其形成一般包括認知階段、聯(lián)結階段和自動化階段。它是在數(shù)學經(jīng)驗的基礎上經(jīng)過反復練習而順利完成心智活動的方式，是數(shù)學知識轉(zhuǎn)化為實踐能力的橋梁。開發(fā)知識與技能類的拓展內(nèi)容，可圍繞加強內(nèi)容承接與提升技能水平展開。（一）策略一：加強內(nèi)容承接盡管現(xiàn)行小學數(shù)學教材的知識體系隨著新課改的不斷深入而日趨完善，但仍存在一些知識與知識承接上的不足。一些知識點未在教材中明確呈現(xiàn)，如軸對稱圖形的特征，對稱點到對稱軸的距離相等、對稱點的連線與對稱軸互相垂直等。有些知識之間存在斷層，如：在分數(shù)簡便計算之前未安排專門的分數(shù)四則混合運算；某些知識缺少本質(zhì)關聯(lián)，如圖形的位置和圖形的運動被分開編排，導致同一主題下的內(nèi)容缺乏關聯(lián)等。因此，教師需要在結構化視域下深度研讀每冊教材內(nèi)容，整體把握知識體系，圍繞“補全”不足，加強內(nèi)容承接找準內(nèi)容的拓展點。例如，在人教版教材四年級上冊“三位數(shù)乘兩位數(shù)”單元中，教材在例3編排了兩組題（如圖1），重點探索“一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘幾或除以幾（0除外），積也乘或除以一個相同的數(shù)”這一積的變化規(guī)律。學生學習了這一內(nèi)容后，計算120×30時，還常常不能順利解決問題。能解決問題的學生也需經(jīng)歷多次推理：“因為12×3=36，所以120×3=360；因為120×3=360所以120×30=3600”。訪談后發(fā)現(xiàn)，學生缺少對“兩個因數(shù)同時變化引起積的變化規(guī)律”的理解。因此，可開發(fā)一節(jié)以0“再探積的變化規(guī)律”為主題的拓展課，讓學生掌握“兩個因數(shù)分別乘a和乘b，積乘a×b”“兩個因數(shù)分別除以a和除以b，積除以a×b”“兩個因數(shù)分別乘a和除以b，積乘a除以b”“兩個因數(shù)分別除以a和乘b，積除以a乘b”（其中a和b均不為0）等“積的變化規(guī)律”。這節(jié)拓展課的學習，將有助于學生更好地理解如“120×30”這類題目的算理和算法，并為后續(xù)學習如“0.12×0.3”等類型奠定基礎。（二）策略二：提升技能水平一直以來，教師普遍重視培養(yǎng)學生的基本技能，但很多教師對基本技能的認識存在一些誤區(qū)。一些教師把基本技能的培養(yǎng)狹隘地理解為公式的運用要熟練、解題要盡量自動化，也有一些教師對基本技能進階的認識不夠清晰，過于追求結果，這反而導致學生的理解淺表化。如：學生在用分數(shù)、百分數(shù)解決問題時，機械地套用“一個數(shù)=單位‘1’×對應分率”這一公式；將乘法分配律與簡便計算混為一談；學習“有余數(shù)的除法”的口算時僅僅根據(jù)操作寫出結果，未能與筆算的算理保持一致性；等等。教師需要正確認識基本技能以及基本技能形成的階段性，并將有針對性和實效性的練習設計為拓展課內(nèi)容，引導學生通過拓展課的學習，進一步理解、鞏固、應用和創(chuàng)造學習內(nèi)容，促進其基本技能的提升。例如，在人教版教材二年級上冊“表內(nèi)乘法（一）”單元中，教材在乘法的初步認識和5、2、3、4的乘法口訣內(nèi)容后，安排了乘加、乘減式題。教師可結合乘加、乘減的聯(lián)系，開發(fā)一節(jié)以“再探乘法的意義”為主題的拓展課，引導學生用乘法意義的視角理解乘加、乘減式題的意義。具體過程如下：（1）呈現(xiàn)圖2中的“做一做”，引導學生鞏固對計算乘加、乘減式題的運算順序的理解。（2）引導學生說說4×3+4的意義，即求3個4加上1個4的和。（3）引導學生觀察4×3+4=12+4=16的計算過程，說一說有什么發(fā)現(xiàn)。教學實踐后的跟蹤調(diào)查顯示，加入以上拓展內(nèi)容后，多數(shù)學生計算4×4-4時，會采用4×4-4=4×3=12這樣的方法進行計算?？梢妼⒊朔ㄒ饬x應用于乘加、乘減式題運算中的拓展內(nèi)容的學習，能助力學生技能水平的提升。二、數(shù)學實踐與探究類數(shù)學實踐、數(shù)學探究是數(shù)學學習的主要方式。數(shù)學實踐主要涵蓋實際操作和知識應用，學生通過觀察、操作、實驗、推理等實踐活動，將數(shù)學知識應用于解決實際問題中，將計劃和方案轉(zhuǎn)化為具體行動解決問題，為數(shù)學探究積累豐富的活動經(jīng)驗。數(shù)學探究則是對已知和未知關系的探究，通過觀察、分析數(shù)學事實提出有意義的問題，在猜測數(shù)學結論或規(guī)律的基礎上給出解釋或證明，為數(shù)學實踐創(chuàng)造更多機會。開發(fā)數(shù)學實踐與探究類的拓展內(nèi)容，需關注增強實踐應用與提高探究能力兩個方面。（一）策略一：增強實踐應用增強實踐應用已成為當前教學研究的重要議題，但在日常教學中仍面臨諸多挑戰(zhàn)。一些教師在教學設計時，對數(shù)學知識與實踐應用的結合不夠，如：學習圖形的“高”時沒有基于“修一條最近的路”這樣的實踐活動；學習軸對稱后未能及時將其應用于解決實際問題。一部分教師沒有重視創(chuàng)設實踐應用的情境，未能挖掘教材中可供學生實踐應用的素材，導致學生難以有效地將數(shù)學知識與現(xiàn)實世界聯(lián)系起來，無法更好地認識、理解和表達現(xiàn)實世界的本質(zhì)、關系與規(guī)律。因此，教師需要增強實踐應用的意識，多設計做一做、量一量、驗一驗、用一用等數(shù)學活動，讓學生運用所學知識解決實際問題。例如，在人教版教材四年級下冊“圖形的運動（二）”單元中，學生通過學習認識到“平移”在生活中的應用較為廣泛，而“軸對稱”的應用則相對有限。實際上，“軸對稱”可以巧妙地解決生活中的許多實際問題。如“王叔叔準備用24米的材料靠墻建一個長方形養(yǎng)雞場，如何設計才能使面積最大”這類問題，就是“軸對稱”的一個實踐應用案例。為了便于理解，可以根據(jù)題意畫示意圖，如圖3所示。如果將墻看作對稱軸，可以畫出養(yǎng)雞場關于墻的軸對稱圖形，如圖4所示。學生已知“在周長相等的長方形中，正方形的面積最大”，因此當圖4中的ABCD為正方形時的面積最大，即當養(yǎng)雞場的長是寬的2倍時面積最大，長=24÷2=12（米），寬=12÷2=6（米）。因此，本單元可以開發(fā)一節(jié)以“巧用對稱軸”為主題的拓展課，通過解決類似問題來增強學生的實踐應用能力。（二）策略二：提高探究能力數(shù)學探究改變了以往“一言堂”“滿堂灌”的課堂教學形態(tài)，但也出現(xiàn)了“虛假探究”的現(xiàn)象。有一些教師將驗證活動等同于探究，如教師引導學生運用折一折、涂一涂、比一比等方法驗證“分數(shù)的分子和分母同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變”這一性質(zhì)。有的探究活動流于形式，如在很短的時間內(nèi)形式化地探究圓的面積公式。有的探究活動僅停留在淺層。這些探究活動是教師指令性的操作活動，而非真正意義上的探究學習。因此，教師需要正確認識數(shù)學探究，設計更多探究活動，讓學生在探究過程中理解知識的發(fā)生與發(fā)展過程，體驗運用知識解決問題的過程。例如，在人教版教材五年級下冊“長方體和正方體”單元的“包裝問題”中，學生需要解決“4盒牛奶組合包裝，如何使包裝材料最省”的問題（如圖5），這實際上是求“怎么包裝表面積最小”的問題。可以先讓學生以4人小組為單位擺一擺、算一算。通過動手操作和計算可以發(fā)現(xiàn)：一共有6種不同的組合方式，當長、寬、高分別是12厘米、10厘米、8厘米時表面積最小（如圖6），最小表面積=（12×10+12×8+10×8）×2=592（平方厘米）。再讓學生觀察6種組合方式并思考為什么這種包裝方式表面積最小。學生通過觀察發(fā)現(xiàn)：這種包裝方式重疊的面積最大，也就是減少的面積最多，減少的面積為10×6×4+10×4×4=400（平方厘米）。因此，本單元可以開發(fā)一節(jié)以“包裝中的學問”為主題的拓展課，通過解決此類問題來提高學生的探究能力，同時讓學生明白：要讓包裝材料最省，只要重疊面積最多。三、數(shù)學思想與方法類數(shù)學思想與方法是數(shù)學的靈魂所在。數(shù)學思想通常指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結果，具體包括抽象、推理和模型。數(shù)學方法則是指在數(shù)學研究和解決數(shù)學問題的過程中所采用的各種手段、途徑和方式，涉及學習策略、研究方法、問題解決技巧等多個層面。數(shù)學方法是數(shù)學思想具體實現(xiàn)的路徑，也是對數(shù)學思想的檢驗和發(fā)展。（一）策略一：滲透數(shù)學思想教師已認識到抽象、推理和模型是三種數(shù)學基本思想，但普遍缺乏足夠的重視。三種數(shù)學基本思想從某種意義上對應了核心素養(yǎng)的“三會”，只有在課堂中滲透這些數(shù)學基本思想，才能將核心素養(yǎng)落到實處。然而，有一些教師對滲透策略缺乏深入研究，如在教學平均數(shù)時，沒有經(jīng)歷初建模型、解釋模型、完善模型和應用模型的過程。也有部分教師在教學設計中沒有將數(shù)學基本思想納入教學目標并體現(xiàn)在教學活動中，導致學生的知識學習缺乏深度，知識結構和思維水平停留在一般水平。因此，教師需要將數(shù)學基本思想有機滲透在基礎知識、基本技能的教學中，明確教學目標、貫穿教學過程，使學生在概念理解、事實發(fā)現(xiàn)、結論推導和知識應用中逐步體驗、感悟、運用數(shù)學思想。例如，在人教版教材六年級上冊“圓”單元中，學生要計算一個圓的面積，通常要先知道半徑多長，或通過其他條件求出半徑，再應用圓的面積公式S=πr2進行計算。當已知r2時，許多學生反而感到困惑，究其主要原因，是他們的推理思想相對較弱。因此，在這一內(nèi)容的教學中要加強推理思想的滲透。如圖7所示，點O為圓心，正方形OABC的面積是10cm2，求圓的面積。從圖7可知r=a，但r和a都是未知的，解決這個問題需要打破“求圓面積應已知半徑”這種慣性思維。題目中已知a2=10cm2，那么r2=a2=10cm2，S=πr2=3.14×10=31.4（cm2）。在未知r的前提下通過推理，利用已知a2=10cm2和圖中r2=a2的隱含條件可以巧妙地解決問題。本單元可以開發(fā)一節(jié)以“巧求圓的面積”為主題的拓展課，解決“如圖8所示，已知三角形OAC的面積是3cm2，如圖9所示，已知正方形ABCD的面積是8cm2，求圓的面積”這類問題，讓學生更好地感悟推理思想。（二）策略二：實現(xiàn)方法融通現(xiàn)行教材很好地體現(xiàn)了方法的多樣性，但在方法的一致性上有待加強。有一些教師過于重視方法多樣，而忽視方法融通，如計算9.5×3時只介紹了三種方法，忽視了這三種方法的一致性聯(lián)系。有一些教師重視解決問題而忽視本質(zhì)理解，如解決“雞兔同籠”問題時只介紹可以用畫圖法、列表法和假設法，忽視了這三種方法的本質(zhì)都是假設法。這樣容易導致學生的認知缺乏結構化，在需要應用時很難被及時激活與調(diào)用。因此，教師需要深入理解每種方法的本質(zhì)并加強彼此之間的聯(lián)系，重點關注每種方法的階段性和發(fā)展性、不同方法的差異性和一致性，打通解決“形異質(zhì)同”問題時方法之間的壁壘。例如，在人教版教材五年級下冊“分數(shù)的基本性質(zhì)”單元中，教師習慣將分數(shù)、除法和比進行關聯(lián)，這是從運算的視角進行融通的表現(xiàn)。同時，可以從商不變性質(zhì)、分數(shù)基本性質(zhì)和比的基本性質(zhì)三者在本質(zhì)上的一致性進行融通。另外，分數(shù)是一個數(shù)，小數(shù)是十進制分數(shù)的另外一種表示形式，也可以從數(shù)的視角對兩者進行融通，讓學生認識到小數(shù)的性質(zhì)與分數(shù)的基本性質(zhì)在本質(zhì)上存在一致性。因此，本單元可以開發(fā)一節(jié)以“再探分數(shù)的基本性質(zhì)”為主題的拓展課。首先，讓學生舉一個小數(shù)性質(zhì)的例子，如0.20=0.2=0.200，并要求將這些小數(shù)改寫成分數(shù)的形式，即[20/100]=[2/10]=[200/1000]。接著，引導學生觀察0.20=0.2和[20/100]=[2/10]，他們會發(fā)現(xiàn)小數(shù)的末尾去掉1個0其實就是分數(shù)的分子和分母同時除以10。最后，進一步引導學生觀察0.2=0.200和[210]=[200