小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)由“1”到多 由多返“1”

【摘要】針對分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)，教師提出了由“1”到多，再由多返“1”的創(chuàng)新路徑。首先錨定教學(xué)目標(biāo)，明確《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對分?jǐn)?shù)除法教學(xué)的要求，即理解算理、掌握算法并感悟運(yùn)算一致性。接著設(shè)計(jì)了一個完整的教學(xué)框架，通過任務(wù)鏈和反思鏈的結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生從最基本的“除數(shù)是1”的除法開始，逐步擴(kuò)展到復(fù)雜的分?jǐn)?shù)除法，豐富學(xué)生解決問題的策略。最后，在實(shí)施過程中，通過聯(lián)結(jié)學(xué)生既有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)算理與算法的轉(zhuǎn)化遷移，從而實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)除法教學(xué)的突破?！娟P(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù)除法；轉(zhuǎn)化思維；教學(xué)創(chuàng)新分?jǐn)?shù)除法是小學(xué)除法教學(xué)中一個既重要又復(fù)雜的內(nèi)容。盡管在實(shí)踐中已經(jīng)有許多成功的教學(xué)案例，如通過創(chuàng)設(shè)情境、設(shè)計(jì)操作活動、運(yùn)用直觀圖式等手段，幫助學(xué)生理解算理、掌握算法，但在具體的實(shí)施中仍然存在難以解決的問題：如何引導(dǎo)學(xué)生主動想到將除數(shù)轉(zhuǎn)化成“1”，真正理解“一個數(shù)除以一個分?jǐn)?shù)，等于乘上這個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”這一算法背后的原理？對此，教師通過分析教學(xué)瓶頸，創(chuàng)新性地設(shè)計(jì)了由“1”到多，再由多返“1”的教學(xué)路徑，以期能為分?jǐn)?shù)除法教學(xué)提供新的思路。一、錨定目標(biāo)：確定什么才是真正值得教的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）明確指出，數(shù)的運(yùn)算的重點(diǎn)在于理解算理、掌握算法，感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性。同時，在學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)中，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了進(jìn)行簡單的分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算，感悟運(yùn)算的一致性，以形成數(shù)感和運(yùn)算能力的重要性。對分?jǐn)?shù)除法算理的探索，本質(zhì)在于依托分?jǐn)?shù)意義進(jìn)行運(yùn)算推理，主要涵蓋兩種核心思路：一是當(dāng)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)時，可以借助分?jǐn)?shù)單位，從“平均分”的角度，將分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)運(yùn)算，通過分?jǐn)?shù)單位個數(shù)的直接分配來揭示算理；二是當(dāng)分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)時，從“包含除”的角度切入，結(jié)合實(shí)際問題情境，運(yùn)用線段圖等直觀工具來分析數(shù)量關(guān)系，同時綜合運(yùn)用分?jǐn)?shù)的意義、運(yùn)算律等數(shù)學(xué)原理，理解“一個數(shù)除以一個分?jǐn)?shù)，等于乘上這個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”背后的算理。為了實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)，需要采取一些有效的教學(xué)策略，在探索過程中突出推理的作用，讓學(xué)生理解和掌握這一算理。這也是分?jǐn)?shù)除法教學(xué)的一個關(guān)鍵難點(diǎn)。這兩種思路與整數(shù)除法在算理上高度一致，都是基于計(jì)數(shù)單位進(jìn)行運(yùn)算操作。作為小學(xué)階段運(yùn)算教學(xué)的壓軸內(nèi)容，分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)應(yīng)深入挖掘其深層的學(xué)術(shù)價值和教學(xué)意義。具體包括以下三個方面。（1）運(yùn)算一致性的深度領(lǐng)悟：是否只能依賴分?jǐn)?shù)單位數(shù)量的運(yùn)算來感知運(yùn)算的一致性？是否存在更為深刻的認(rèn)知路徑，能引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟運(yùn)算的共通性與規(guī)律性？（2）核心算理的直觀構(gòu)建：如何有效引導(dǎo)學(xué)生借助除法的兩種意義、圖式的直觀表征，真正理解“一個數(shù)除以一個分?jǐn)?shù)，等于乘上這個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”的核心算理，實(shí)現(xiàn)知識的深度內(nèi)化與學(xué)法的靈活遷移？（3）通用策略的提煉與融合：如何幫助學(xué)生提煉解決運(yùn)算問題的通用策略，真正體會分?jǐn)?shù)除法就是整數(shù)運(yùn)算算理的擴(kuò)展、補(bǔ)充，并將這些策略與學(xué)生原有的思維經(jīng)驗(yàn)有機(jī)結(jié)合，促進(jìn)他們的自主學(xué)習(xí)與持續(xù)發(fā)展？二、設(shè)計(jì)框架：構(gòu)建學(xué)生自主探索的學(xué)習(xí)路徑為了助力學(xué)生自主達(dá)成2022年版課標(biāo)中提出的學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，教師通過整合“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”與“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)”兩個課時，創(chuàng)造性地構(gòu)建了分?jǐn)?shù)除法的學(xué)習(xí)路徑（如圖1）。此路徑不僅展現(xiàn)了顯性的教學(xué)主線——理解算理與掌握算法，還深入挖掘了隱性的思維脈絡(luò)——在掌握算理與算法的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生形成更高層次的解決問題的策略。由此，通過任務(wù)鏈和反思鏈的橫向組合與縱向銜接，學(xué)生能夠親歷算法自然形成的過程，在真正理解的基礎(chǔ)上掌握分?jǐn)?shù)除法的精髓。（一）由“1”到多，構(gòu)建顯性的教學(xué)主線此路徑的顯性教學(xué)主線是讓學(xué)生理解算理、掌握算法。與直接從“除數(shù)是2、3”的分?jǐn)?shù)除法開始的教學(xué)路徑不同，此路徑以“除數(shù)是1的除法”為計(jì)算起點(diǎn)，回歸最簡單的“任何數(shù)除以1等于它本身”的數(shù)學(xué)事實(shí)，降低了學(xué)生的認(rèn)知門檻。同時，通過層次分明的任務(wù)鏈，引導(dǎo)學(xué)生逐步擴(kuò)展運(yùn)算的邊界，將隱蔽的、不連貫的前概念集結(jié)起來，自然而然地實(shí)現(xiàn)從“想不到”到“自己能想到”的轉(zhuǎn)變，并在不同的運(yùn)算、方法以及算理之間建立深度聯(lián)結(jié)。（二）由多返“1”，貫穿隱性的思維脈絡(luò)此路徑的隱性思維脈絡(luò)是引導(dǎo)學(xué)生在掌握算理與算法的基礎(chǔ)上，形成更高層次的解決問題的策略。通過一系列反思鏈，鼓勵學(xué)生跳出具體的計(jì)算技巧，體會面對“新問題”時，可以退回“舊經(jīng)驗(yàn)”，將復(fù)雜的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為最本質(zhì)、最簡單的運(yùn)算原理和規(guī)律，從更高層面去理解和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，從而為未來解決新問題提供強(qiáng)大的思維支持。三、細(xì)化實(shí)施：師生共建任務(wù)驅(qū)動下的學(xué)習(xí)閉環(huán)在具體實(shí)施教學(xué)時，教師以轉(zhuǎn)化思維為導(dǎo)向，與學(xué)生共同構(gòu)建了由“1”到多，再由多返“1”的學(xué)習(xí)閉環(huán)，在更大的時空、課時跨度中實(shí)現(xiàn)了學(xué)法的聯(lián)結(jié)，有效突破了分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)難點(diǎn)，促進(jìn)了學(xué)生對除法運(yùn)算的深度學(xué)習(xí)。（一）激活學(xué)生既有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)在深入探討分?jǐn)?shù)除法的算理與算法時，有效地喚醒學(xué)生過往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，是促進(jìn)他們自主探索新知、深刻理解算理的關(guān)鍵所在。這要求教師在教學(xué)中注重分?jǐn)?shù)意義與除法運(yùn)算的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，將基本的數(shù)學(xué)事實(shí)和除法運(yùn)算的兩種含義，當(dāng)作學(xué)生學(xué)習(xí)新知的支架（如圖2），讓學(xué)生通過動態(tài)回顧，聯(lián)結(jié)既有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，自然地進(jìn)行知識、方法的遷移，從而助力他們構(gòu)建起完整的知識體系。1.回顧分?jǐn)?shù)的度量意義在分?jǐn)?shù)除法的學(xué)習(xí)中，理解其基于計(jì)數(shù)單位的運(yùn)算是核心。因此，分?jǐn)?shù)的度量意義是本內(nèi)容學(xué)習(xí)不可或缺的前置知識。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回顧和利用他們已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，使這些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)成為他們自主探索算法和理解算理的有力支撐?！窘虒W(xué)片段1】分?jǐn)?shù)的度量意義師：在以前的數(shù)學(xué)課上，我們已經(jīng)學(xué)過整數(shù)除法和小數(shù)除法。這節(jié)課，我們將一起學(xué)習(xí)新的除法——分?jǐn)?shù)除法（揭示課題）。為了能更好地理解分?jǐn)?shù)除法，我們先來看這個長方形。如果把它看作單位“1”，你能在這個長方形上找出不同的分?jǐn)?shù)嗎？動態(tài)板畫形成四個分?jǐn)?shù)，幫助學(xué)生明確：1個[15]就是[15]，2個[15]就是[25]，3個[15]就是[35]，4個[15]就是[45]。師：這節(jié)課，我們就用這些分?jǐn)?shù)來研究分?jǐn)?shù)除法。通過引導(dǎo)學(xué)生動態(tài)回顧分?jǐn)?shù)的生成過程，強(qiáng)化了分?jǐn)?shù)的度量意義，使學(xué)生能夠?qū)⒎謹(jǐn)?shù)除法視為對分?jǐn)?shù)單位進(jìn)行進(jìn)一步細(xì)分或合并的過程，為后續(xù)探究分?jǐn)?shù)除法時實(shí)施分?jǐn)?shù)單位的操作運(yùn)算提供了直觀經(jīng)驗(yàn)的支撐。2.搭建基本的數(shù)學(xué)事實(shí)為了促進(jìn)學(xué)生自覺采用化歸策略，自動產(chǎn)生“將除數(shù)轉(zhuǎn)化為1”的運(yùn)算思路，教師需要搭建基本的數(shù)學(xué)事實(shí)框架，從最簡單、基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)事實(shí)出發(fā)，逐步引導(dǎo)學(xué)生深入理解并掌握復(fù)雜的分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算原理。【教學(xué)片段2】除數(shù)是1的分?jǐn)?shù)除法師：同學(xué)們，分?jǐn)?shù)除法到底難不難呢，讓我們一起來試試看。（出示[45÷1]）生：太簡單了，等于[45]呀。師：那老師改一改題目，換成其他的式子，如[37÷1]、[58÷1]、[9899÷1]……學(xué)生迅速作答。生：老師，我發(fā)現(xiàn)除以1的分?jǐn)?shù)除法都很簡單。因?yàn)槿魏螖?shù)除以1，結(jié)果還是等于原數(shù)。師：是啊，除數(shù)是1的除法是最基礎(chǔ)、最簡單的除法運(yùn)算。從最簡單的“除數(shù)是1”的分?jǐn)?shù)除法切入，讓學(xué)生充分體驗(yàn)其簡便性。當(dāng)遇到更復(fù)雜的分?jǐn)?shù)除法問題時，學(xué)生就能自然而然地想到將除數(shù)轉(zhuǎn)化為1，從而簡化問題，輕松求解，為化歸意識的萌芽做好認(rèn)知準(zhǔn)備。3.連接除法運(yùn)算的兩種含義在從簡單的分?jǐn)?shù)除法過渡到復(fù)雜的分?jǐn)?shù)除法的過程中，教師應(yīng)逐步引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用除法運(yùn)算的兩種含義——等分除和包含除，展開有層次的探究，數(shù)形結(jié)合，實(shí)現(xiàn)新舊知識的連接，從而促進(jìn)學(xué)生對分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算意義的理解和掌握?！窘虒W(xué)片段3】連接等分除的含義師：我們來換一換除數(shù)，把原來的除數(shù)換成2，[45÷2]的結(jié)果是多少呢？誰能計(jì)算出結(jié)果，并把這樣計(jì)算的道理講給大家聽？生：等于[25]，就是用分子除以2。師：誰能在黑板上的分?jǐn)?shù)圖中畫一畫，把算的過程畫出來？生（邊板畫邊解釋）：這里總共是[45]，要除以2就是取[45]的一半，也就是[45]的[12]。師：讓我們謝謝這兩個同學(xué)！他們不僅能用算式解釋，還能把算式和圖的意思結(jié)合起來。這道題其實(shí)也不難，我再改一下，改成[45÷3]，結(jié)果又是多少呢？大家也能像剛才那樣，在圖上解釋一下為什么嗎？生（邊板畫邊解釋）：除以3，就是把[45]平均分成3份。形成板書（如圖3）。師：剛才我們解決這兩道分?jǐn)?shù)除法時畫的圖大家熟悉嗎？在解決什么問題的時候用到過？生：我們學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法時，計(jì)算[45×12]、[45×13]也是用這兩個圖來解釋的。師：那再來幾道。[45÷7]、[45÷8]、[45÷9]，用手比畫一下，它們分別要平均分成幾份，該怎么計(jì)算？學(xué)生依次得到：[45÷7=45×17]、[45÷8=][45×18]、[45÷9=45×19]。師：像這樣的分?jǐn)?shù)除法，還要不要再出題研究了？生：不用了，分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，就是把這個分?jǐn)?shù)平均分成幾份，從圖上看就是它的幾分之一。計(jì)算時，只要用這個分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的倒數(shù)，將算式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法就可以了。通過變換除數(shù)，讓學(xué)生從“除數(shù)是1”的簡單情況開始，逐步過渡到“除數(shù)是2、3”等的情況，從而認(rèn)識到分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，實(shí)質(zhì)上就是將這個分?jǐn)?shù)平均分成若干份。通過引導(dǎo)學(xué)生回憶分?jǐn)?shù)乘法的圖形表征方式，使學(xué)生將已有的知識經(jīng)驗(yàn)遷移到對分?jǐn)?shù)除法算理的理解中，實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法的自然勾連?！窘虒W(xué)片段4】連接包含除的含義師：接下來，我們來嘗試一些更有挑戰(zhàn)性的分?jǐn)?shù)除法。大家覺得，難一點(diǎn)的分?jǐn)?shù)除法應(yīng)該是怎樣的呢？生：分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)。師：那我寫一道[45÷25]，難不難？生：不難，等于2。這道題我們只需要算4除以2就可以了。師（邊指圖邊說）：大家看，4個[15]里面有2個[15]，因?yàn)樗鼈兊姆帜付际?，所以只要算分子4除以2就可以了。形成板書（如圖4）。師：[45÷25]就是求[45]里面有幾個[25]。當(dāng)兩個分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位相同，也就是分母一樣時，我們只需要用分?jǐn)?shù)單位的個數(shù)，也就是分子相除，就可以得到結(jié)果，這樣的分?jǐn)?shù)除法也很——生（齊答）：簡單。從“除數(shù)是整數(shù)”的分?jǐn)?shù)除法逐步過渡到“除數(shù)是分?jǐn)?shù)”的分?jǐn)?shù)除法，并以同分母分?jǐn)?shù)相除為探究的起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生理解分?jǐn)?shù)單位相同時，只需將分子相除即可得到結(jié)果的道理，為后續(xù)的探究打好學(xué)理基礎(chǔ)。（二）促進(jìn)算理與算法的轉(zhuǎn)化遷移計(jì)算教學(xué)的最終目的，是要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，使學(xué)生能夠在不同的情境下靈活進(jìn)行算理與算法的轉(zhuǎn)化遷移，形成面對復(fù)雜問題時能夠化繁為簡的轉(zhuǎn)化思維。1.算法躍遷：從幾何直觀到數(shù)學(xué)推理為了幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從幾何直觀到數(shù)學(xué)推理的平穩(wěn)過渡，教師設(shè)計(jì)了一系列有層次的探索任務(wù)。這些任務(wù)以直觀、連貫的思維路徑為基礎(chǔ)，以防學(xué)生在認(rèn)知上產(chǎn)生困惑?！窘虒W(xué)片段5】探究整數(shù)除以分?jǐn)?shù)師：我們已經(jīng)研究了很多簡單的分?jǐn)?shù)除法問題，現(xiàn)在讓我們來挑戰(zhàn)幾道更難的問題，比如[4÷25]。大家能不能想辦法把這道難一點(diǎn)的除法，變成我們剛才研究過的簡單一點(diǎn)的除法呢？請把想到的方法都記錄下來。學(xué)生嘗試解決后，教師呈現(xiàn)典型方法（如圖5）。師：現(xiàn)在，讓我們一起來看看同學(xué)們是如何把這道難題變簡單的。這里有這么多種方法，其中有沒有你看不懂的？如果有，你可以大膽地向老師和同學(xué)提問。生：我看不懂方法②和方法③。生：方法②是先畫4個圓形來表示被除數(shù)，然后研究4里面有幾個[25]。通過數(shù)數(shù)，可以得出結(jié)果為10。方法③是用畫正方形來表示，意思和方法②是一樣的。師：是的，這兩種方法都是在研究4里面包含了幾個[25]。這類用畫圖解決問題的方法，和方法①之間有聯(lián)系嗎？生：[205÷25]也是在研究同樣的問題，都是把算式轉(zhuǎn)化成我們前面解決過的分母相同的簡單算式。師：老師也來補(bǔ)充一種方法，大家看看能不能看懂？同時思考老師想把它變成哪種簡單的問題。（出示方法④，如圖6所示）生：我看懂了。老師想把除數(shù)變成1，這樣問題就變成我們一開始解決的最簡單的除法了。師：那我是怎么把除數(shù)變成1的？生：用了商不變的規(guī)律，把分子、分母同時乘了一個數(shù)。師：有這么多數(shù)可以乘，為什么老師要選擇同時乘[52]呢？生：因?yàn)閇25]的倒數(shù)是[52]，乘上它之后，除數(shù)就變成1了。師：應(yīng)用商不變的規(guī)律，分子和分母同時乘除數(shù)的倒數(shù)，就能把除數(shù)變成1，從而將這道題轉(zhuǎn)化成前面研究過的簡單題。這一過程不僅啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用已有的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)解決新問題，還針對他們不易想到“應(yīng)用商不變的規(guī)律，將除數(shù)轉(zhuǎn)化為1”的解法空白點(diǎn)進(jìn)行了有效補(bǔ)充，引導(dǎo)學(xué)生遷移基本的數(shù)學(xué)事實(shí)，從而實(shí)現(xiàn)從幾何直觀到數(shù)學(xué)推理的有效轉(zhuǎn)化。2.整體貫通：從算法多樣到算法收斂通過反饋，以整體貫通的策略，讓學(xué)生從多角度、多路徑的方法探索出發(fā)，逐步收斂到相對“一致”的算法，能夠?qū)崿F(xiàn)算法的開放性和收斂性的平衡。【教學(xué)片段6】探究分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)師：我們再加強(qiáng)一下難度好不好？你們能不能試著挑戰(zhàn)一下[710÷25]？這次老師要提高下要求，你們能不能比前一道題多想幾種方法？學(xué)生嘗試解題，教師巡視指導(dǎo)，挑選并呈現(xiàn)典型作品（如圖7）。師：你看懂了哪些方法？這些同學(xué)是怎么把復(fù)雜的題目變簡單的？生：①號作品是把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)來計(jì)算的。生：②號作品是把兩個不同的分母轉(zhuǎn)化成相同的來計(jì)算的。生：③號和④號作品都應(yīng)用商不變的規(guī)律，把除以分?jǐn)?shù)變成了除以整數(shù)。師：非常感謝同學(xué)們分享了這么多好的方法?？磥?，無論分?jǐn)?shù)除法的題目有多難，只要我們嘗試把它轉(zhuǎn)化成之前已經(jīng)研究過、學(xué)習(xí)過的題目，問題就能變得簡單許多。那么，大家回顧一下，這么多把題目變簡單的方法中，哪一種方法最為簡便呢？生：我認(rèn)為“把除數(shù)變成1”這種方法最簡單，因?yàn)槿魏螖?shù)除以1，結(jié)果都是它本身，這樣計(jì)算起來就非常方便了。生：確實(shí)，“把除數(shù)變成1”這種方法很實(shí)用。我們只需要把被除數(shù)和除數(shù)都乘上除數(shù)的倒數(shù)，就能把除數(shù)變成1，這樣計(jì)算就變得簡單多了。通過逐步增加難度的挑戰(zhàn)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)值轉(zhuǎn)換、分?jǐn)?shù)等價變換和商不變的規(guī)律等多種方法背后的原理——化繁為簡，并運(yùn)用這些方法將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的簡單問題來解決，從