一致性視角下中日教材整數(shù)除法的比較研究

【摘""要】以人教版、康軒版和日教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為研究對(duì)象，針對(duì)其整數(shù)除法內(nèi)容的編排順序和運(yùn)算一致性展開比較。結(jié)果表明：在編排順序方面，人教版教材選擇“計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)換”為主線，康軒版教材和日教版教材選擇“被除數(shù)位數(shù)”為主線；只有人教版教材強(qiáng)調(diào)商0且推進(jìn)難度較大；人教版教材以三位數(shù)除以兩位數(shù)突破試商調(diào)商，康軒版教材和日教版教材則以兩位數(shù)除以兩位數(shù)來突破。在運(yùn)算一致性方面，康軒版教材達(dá)成了算理一致性，人教版教材和日教版教材欠佳；日教版教材貫徹了算法一致性，康軒版教材和人教版教材欠佳。據(jù)此提出建議：應(yīng)以計(jì)數(shù)單位為單元主線和除法算理算法的內(nèi)核，貫徹“不夠分就商0”和“一位位分，一位位轉(zhuǎn)”，并集中突破試商調(diào)商?！娟P(guān)鍵詞】整數(shù)除法；編排順序；算理；算法；一致性一、問題提出整數(shù)除法不僅是整數(shù)加、減、乘的綜合運(yùn)用，還是小數(shù)、分?jǐn)?shù)除法的遷移對(duì)象，在除法運(yùn)算學(xué)習(xí)中占據(jù)重要的位置。由于學(xué)生對(duì)除法算理的理解不夠深入，只會(huì)機(jī)械性地操作，導(dǎo)致其在運(yùn)用算法時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤［1］，這給他們之后的學(xué)習(xí)造成了阻礙。為解決這一困擾，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出了數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性［2］。整數(shù)除法雖然是小學(xué)階段最復(fù)雜的運(yùn)算，但也秉持除法運(yùn)算貫穿始終的核心概念，即一致性［3］。只有引導(dǎo)學(xué)生掌握整數(shù)除法的通性通法，才能夠建立起整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)除法的一致性體系。教材是教師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)的主要依據(jù)?，F(xiàn)有教材對(duì)整數(shù)除法內(nèi)容的編排呈現(xiàn)出多樣的思路，那么，各版教材是如何編排整數(shù)除法的？是否體現(xiàn)了運(yùn)算的一致性？下面將圍繞這一內(nèi)容展開研究。二、研究設(shè)計(jì)（一）研究對(duì)象本研究選取我國人民教育出版社、康軒文教集團(tuán)和日本教育出版株式會(huì)社發(fā)行的小學(xué)數(shù)學(xué)教材（以下分別簡稱“人教版”“康軒版”和“日教版”）作為研究對(duì)象，針對(duì)其整數(shù)除法內(nèi)容的編排順序和運(yùn)算一致性展開比較。由于表內(nèi)除法和有余數(shù)的除法的編排并無大異，而除數(shù)是一位數(shù)和兩位數(shù)的除法是學(xué)生學(xué)習(xí)整數(shù)除法最核心的內(nèi)容，因此下文僅分析后兩者。（二）分析框架1.編排順序編排順序指教材內(nèi)容安排的先后順序，包括章節(jié)內(nèi)容的宏觀安排和微觀安排［4］。在宏觀安排上，本研究以知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)的位置為分析維度；在微觀安排上，本研究依據(jù)已有研究［5-6］，選定單元主線、商0、試商調(diào)商三個(gè)分析維度。具體如表1所示。2.運(yùn)算的一致性運(yùn)算的一致性包含了運(yùn)算算理和算法的一致性。［5］由于計(jì)數(shù)單位是個(gè)數(shù)和順序的計(jì)量單位，因此是一致性的著力點(diǎn)。［7］借助計(jì)數(shù)單位，算理和算法的一致性體現(xiàn)為計(jì)數(shù)單位的細(xì)分和轉(zhuǎn)換。步驟為“一位位分，一位位轉(zhuǎn)”，即做除法運(yùn)算要按照計(jì)數(shù)單位從高位一位位分，若有余數(shù)，要立馬轉(zhuǎn)換成用下一級(jí)計(jì)數(shù)單位表示的數(shù)，并與該計(jì)數(shù)單位上已有的數(shù)組合成該計(jì)數(shù)單位上新的數(shù)，進(jìn)行新一輪的均分。策略為“做除法想乘法，做乘法想口訣”，即做除法的實(shí)質(zhì)是在做乘法，乘法又可精簡成表內(nèi)乘法。由于圖像表征（直觀表征）、橫式表征（抽象表征）是算理的重要表示方法［8］，而算法需要從豎式表征（抽象表征）中提煉出來，因此制定了如表2所示的整數(shù)除法運(yùn)算一致性研究框架。三、研究結(jié)果（一）編排順序1.章節(jié)內(nèi)容宏觀安排三版教材章節(jié)內(nèi)容的宏觀安排如表3所示。（1）相同點(diǎn)首先，三版教材都包含了兩位數(shù)、三位數(shù)除以一位數(shù)、兩位數(shù)的內(nèi)容，且都將它們安排在三、四年級(jí)。學(xué)生在該階段的智力發(fā)育水平可以支持抽象的邏輯思考，因此能在一學(xué)年內(nèi)完成整數(shù)除法的學(xué)習(xí)。其次，三版教材在除數(shù)是一位數(shù)和兩位數(shù)的除法之后，都不再安排整數(shù)除法的學(xué)習(xí)，除數(shù)是兩位數(shù)的除法由此成為整數(shù)除法學(xué)習(xí)的最終單元。這是因?yàn)槌龜?shù)是一位數(shù)的除法規(guī)范了一位位算的法則，除數(shù)是兩位數(shù)的除法增加了試商調(diào)商，當(dāng)除數(shù)再變化時(shí)，其算理算法已不會(huì)再發(fā)生變化。（2）各自特點(diǎn)人教版教材的內(nèi)容涉及面最小，僅涉及兩位數(shù)、三位數(shù)除以一位數(shù)、兩位數(shù)的內(nèi)容，但這些內(nèi)容是多位數(shù)除法中最核心的部分，說明其注重學(xué)生對(duì)整數(shù)除法基礎(chǔ)的掌握?？弟幇娼滩膶⒃黾拥乃奈粩?shù)除以一位數(shù)的內(nèi)容放至“整數(shù)的除法”單元，作為除數(shù)是兩位數(shù)的除法的前置知識(shí)，割裂了除數(shù)是一位數(shù)的除法的學(xué)習(xí)，這也許是在為除數(shù)是兩位數(shù)的除法做準(zhǔn)備。日教版教材的編排更為緊湊，在四年級(jí)上冊(cè)設(shè)置了“筆算除法（1）”和“筆算除法（2）”兩個(gè)獨(dú)立單元，用一個(gè)學(xué)期集中突破整數(shù)除法，而增加的四位數(shù)除以兩位數(shù)的內(nèi)容則作為學(xué)生在整數(shù)除法學(xué)習(xí)中的終極考驗(yàn)。2.章節(jié)內(nèi)容微觀安排三版教材章節(jié)內(nèi)容的微觀安排如表4、表5、表6所示。（1）相同點(diǎn)首先，在單元主線上，當(dāng)除數(shù)位數(shù)相同時(shí)，三版教材都選取“計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)換”和“被除數(shù)位數(shù)”作為內(nèi)容推進(jìn)的維度。其次，在商0上，都給出了多樣的商0情況，包括首位、中間和末尾商0三種類型。最后，在試商調(diào)商上，都提供了大量的例題，幫助學(xué)生充分積累兩位數(shù)除法試商調(diào)商的經(jīng)驗(yàn)。（2）各自特點(diǎn)在單元主線上，人教版教材以“計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)換”為單元主線。在同一單元中，則以“計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)換”為第一次細(xì)分依據(jù)，“被除數(shù)位數(shù)”為第二次細(xì)分依據(jù)，注重單位轉(zhuǎn)換的及時(shí)遷移。而康軒版教材和日教版教材均以“被除數(shù)位數(shù)”為單元主線。在同一單元中，都以“被除數(shù)位數(shù)”為第一次細(xì)分依據(jù)，“計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)換”為第二次細(xì)分依據(jù)，比較符合學(xué)生學(xué)習(xí)的邏輯。在商0編排上，人教版教材有兩個(gè)特點(diǎn)。其一，商0的遷移略顯困難。雖然0÷5的案例可以解決208÷2的問題，但學(xué)生無法獲得“任何數(shù)不夠除就商0”的經(jīng)驗(yàn)，以致在計(jì)算216÷2時(shí)出現(xiàn)困難。其二，商0難度的安排不夠妥當(dāng)。教材展現(xiàn)了“首位—中間—末尾”商0的路徑，任務(wù)間的梯度小，但難度安排不得當(dāng)，首位商0雖然輔以直觀模型進(jìn)行解釋（如圖1），但難度仍然較大?？弟幇娼滩纳?難度遞增，未強(qiáng)調(diào)商0。其按照“末尾—中間—首位”的順序展示商0，難度安排大致符合學(xué)生的認(rèn)知。除此之外，教材還淡化了不同位置商0帶來的差異，如對(duì)807÷8不給予過程展示，留給學(xué)生自主思考。日教版教材則直接展示商0的豎式，但未強(qiáng)調(diào)商0。教材不需要學(xué)生通過計(jì)算獲得0，而是給出完整的豎式（如圖2），要求學(xué)生根據(jù)豎式解釋0的意思，這更強(qiáng)調(diào)商0的意義而非計(jì)算中算式的類型。在試商調(diào)商上，人教版教材以三位數(shù)除以兩位數(shù)來突破試商調(diào)商。教材兩次重復(fù)了“兩位數(shù)除以兩位數(shù)—三位數(shù)除以兩位數(shù)”的路徑，第一輪除數(shù)均為整十?dāng)?shù)，到第二輪再用三位數(shù)除以非整十?dāng)?shù)來突破試商調(diào)商。康軒版教材和日教版教材則以兩位數(shù)除以兩位數(shù)來突破試商調(diào)商。在這兩版教材中，兩位數(shù)除以非整十?dāng)?shù)都是學(xué)生首次遇到需要把除數(shù)估為整十?dāng)?shù)來試商的情況，這為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)三位數(shù)除以兩位數(shù)的試商調(diào)商打好了基礎(chǔ)，因此教材在教學(xué)三位數(shù)除以兩位數(shù)時(shí)加快了進(jìn)度。（二）運(yùn)算的一致性1.算理的一致性三版教材算理的呈現(xiàn)如表7所示。（1）相同點(diǎn)在直觀表征上，三版教材都體現(xiàn)了“一位位分，一位位轉(zhuǎn)”。以計(jì)數(shù)單位不轉(zhuǎn)換的42÷2為例，先按“捆”分木棒，再按“根”分木棒，這體現(xiàn)了“一位位分”；以計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)換的148÷6為例，先分正方體的“墻”，不夠分，就把一“墻”打散分成十“列”，另有四“列”加入其中，再進(jìn)行新一輪的分，這體現(xiàn)了“一位位轉(zhuǎn)”。（2）各自特點(diǎn)人教版教材未規(guī)范體現(xiàn)“一位位分，一位位轉(zhuǎn)”。以計(jì)數(shù)單位不轉(zhuǎn)換的66÷3為例，通過“66可以看作6個(gè)十和6個(gè)一”的語言，教材將作為整體的整數(shù)變成了“不同計(jì)數(shù)單位的數(shù)的累加”的形式。雖然數(shù)的分解暗含了計(jì)數(shù)單位細(xì)分的思想，但直觀解讀60÷3=20，其仍然以“一”為計(jì)數(shù)單位，跳過了較大計(jì)數(shù)單位“十”，并沒有轉(zhuǎn)化成本質(zhì)為乘法口訣的除法運(yùn)算，即6（十）÷3=2（十）。這樣的不規(guī)范表達(dá)使得學(xué)生在表達(dá)單位轉(zhuǎn)換的例題時(shí)會(huì)遇到障礙（日教版教材同理），這也很好地解釋了為什么人教版教材沒有展示計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)換時(shí)的橫式?？弟幇娼滩捏w現(xiàn)了“一位位分，一位位轉(zhuǎn)”。教材利用解釋框表達(dá)橫式，如：“6個(gè)百除以3，2×3=6”，即使沒有加任何的計(jì)數(shù)單位，算式也被賦予了“2（百）×3=6（百）”的意義；“1個(gè)千和8個(gè)百合起來是18個(gè)百，每箱分到4個(gè)百，剩下2個(gè)百”，通過數(shù)位也能將計(jì)數(shù)單位的轉(zhuǎn)換過程表述清楚。不過，康軒版教材的橫式仍然依附豎式和文字，未形成系統(tǒng)的純數(shù)學(xué)語言。日教版教材同樣未規(guī)范體現(xiàn)“一位位分，一位位轉(zhuǎn)”。作為計(jì)數(shù)單位不轉(zhuǎn)換代表的96÷3，日教版教材的呈現(xiàn)思路與人教版教材相同。而作為計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)換代表的72÷3，日教版教材在呈現(xiàn)時(shí)，先思考將72分解為70+2，發(fā)現(xiàn)除不盡后，重新對(duì)數(shù)進(jìn)行分解，將其分解為60+12，這有悖于“一位位分”；其橫式按照lt;F：＼2025年教學(xué)月刊小學(xué)版＼小學(xué)數(shù)學(xué)＼小學(xué)數(shù)學(xué)2025-1-2＼教學(xué)月刊-小學(xué)數(shù)學(xué)20251-2期內(nèi)芯＼Image＼image14_1.pnggt;的方式，以大踏步的思維進(jìn)行記錄，這有悖于“一位位轉(zhuǎn)”的常規(guī)路徑。2.算法的一致性三版教材對(duì)運(yùn)算步驟、運(yùn)算策略的呈現(xiàn)如表8、表9所示。（1）相同點(diǎn)首先，三版教材都貫徹了“一位位分，一位位轉(zhuǎn)”的步驟，這與上述算理是緊密相關(guān)的。其次，三者還都貫徹了“做除法想乘法”的策略，即指向乘法計(jì)算。（2）各自特點(diǎn)在運(yùn)算步驟上，人教版教材“一位位分，一位位轉(zhuǎn)”的步驟較為常規(guī)。教材中的豎式每一步都蘊(yùn)含著單位細(xì)分的思想，每兩個(gè)分隔線（——）間代表的是同一單位間的分?？弟幇娼滩摹耙晃晃环郑晃晃晦D(zhuǎn)”的步驟更直觀。教材在展示分隔線的基礎(chǔ)上，還展示了被除數(shù)的數(shù)位。學(xué)生可以根據(jù)分隔線和數(shù)位意識(shí)到正在分的是哪一位，若是轉(zhuǎn)換計(jì)數(shù)單位，合并成的下一級(jí)運(yùn)算又是哪一位。日教版教材“一位位分，一位位轉(zhuǎn)”的步驟則更加潛移默化。教材一共提供了兩種方法：第一種是用長豎線的方式嚴(yán)格區(qū)分?jǐn)?shù)位，以此完成計(jì)數(shù)單位的細(xì)分，要求從左往右計(jì)算，在某長豎線數(shù)位的除法運(yùn)算完畢后，再計(jì)算下一條長豎線數(shù)位的除法；第二種則是使用紫色透明卡，用“遮一遮”的方式露出每一步需要操作的計(jì)數(shù)單位，當(dāng)不夠除時(shí)，再展示出下一個(gè)數(shù)位。在運(yùn)算策略上，對(duì)于除數(shù)是一位數(shù)的除法，人教版教材和日教版教材能夠貫徹“做乘法想口訣”的策略。具體而言，人教版教材借助計(jì)數(shù)單位將除法還原為表內(nèi)乘法，即（2×2）個(gè)十（如圖3）；日教版教材同樣虛寫了20的“0”，將重心放在表內(nèi)乘法2×3上（如圖4）。而康軒版教材在想乘法時(shí)想的是20×3（如圖5），使用的是“做除法想乘法”的方式，相較而言，缺少進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為表內(nèi)乘法的思考。對(duì)于除數(shù)是兩位數(shù)的除法，康軒版教材和日教版教材也能夠貫徹“做乘法想口訣”的策略。具體而言，在常規(guī)的四舍、五入試商法外，人教版教材針對(duì)不同特點(diǎn)的算式，還呈現(xiàn)了“湊五試商”“同頭無除試商8、9”“除數(shù)折半估商5”等多種策略，算法多而雜，試商調(diào)商缺乏一致性的算法；而康軒版教材和日教版教材雖然也另外呈現(xiàn)了五舍試商法，但由于“五舍”可獲得新的整十?dāng)?shù)，如此又能回歸“做除法想乘法，做乘法想口訣”的策略，所以在運(yùn)算策略上擁有一致性。四、結(jié)論與建議（一）結(jié)論1.編排順序在章節(jié)內(nèi)容的宏觀安排上，各版教材在知識(shí)點(diǎn)上略有取舍和安排。人教版教材的內(nèi)容涉及面最小卻最核心；康軒版教材將除數(shù)是一位數(shù)的除法的學(xué)習(xí)分割開來，安排在兩個(gè)學(xué)期；日教版教材的內(nèi)容安排緊密，所有內(nèi)容均集中在一個(gè)學(xué)期。在章節(jié)內(nèi)容的微觀安排上，首先，人教版教材以“計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)換”為單元主線，康軒版教材和日教版教材則以“被除數(shù)位數(shù)”為單元主線。其次，人教版教材商0的難度安排不當(dāng)，而康軒版教材和日教版教材對(duì)商0難度的安排是逐步遞增的，但并不強(qiáng)調(diào)商0。最后，人教版教材選擇在學(xué)習(xí)三位數(shù)除以兩位數(shù)時(shí)突破試商調(diào)商，康軒版教材和日教版教材則選擇在兩位數(shù)除以兩位數(shù)的學(xué)習(xí)中突破試商調(diào)商，以降低學(xué)生試商調(diào)商的計(jì)算難度。2.運(yùn)算的一致性在算理的一致性上，各版教材都能較好地利用圖像、橫式表征來解釋“一位位分，一位位轉(zhuǎn)”，但人教版教材和日教版教材的橫式在規(guī)范性上還有欠缺。在算法的一致性上，各版教材都能體現(xiàn)出“一位位分，一位位轉(zhuǎn)”，其中，康軒版教材和日教版教材更直觀、更潛移默化。此外，還都較好地貫徹了“做除法想乘法，做乘法想口訣”的算法，但康軒版教材和人教版教材在“做乘法想口訣”上還有欠缺。（二）建議1.關(guān)注整體安排：貫徹計(jì)數(shù)單位主線任務(wù)安排要清晰明了，有層次地推進(jìn)，不要走三步退兩步，人為割裂有遷移作用的知識(shí)內(nèi)容。應(yīng)以“計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)換”為單元主線，有效避免涉及不同知識(shí)點(diǎn)時(shí)任務(wù)進(jìn)程的倒退。2.淡化0的存在：一位位分，0是技巧0是一位位分的技巧所在。在“一位位分”理念的統(tǒng)領(lǐng)下，教材可以給出“不夠除