江蘇省沭陽(yáng)建陵高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2024~2025學(xué)年度第二學(xué)期期中學(xué)情檢測(cè)高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1.本試卷共4頁(yè)，包含[選擇題(1~11))，共58分，填空題(第12題~第14題，共15分)、解答題(第15~19題，共77分).本次考試時(shí)間120分鐘，滿分150分、考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.2.答題前，請(qǐng)考生務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)、座位號(hào)、考試證號(hào)用0.5毫米的黑色簽字筆寫在答題卡上相應(yīng)的位置，并將考試證號(hào)用2B鉛筆正確填涂在答題卡的相應(yīng)位置.3.答題時(shí)請(qǐng)用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡指定區(qū)域作答.在試卷或草稿紙上作答一律無(wú)效.4.如有作圖需要，可用2B鉛筆作圖，并請(qǐng)加黑加粗，描寫清楚.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A.24 B.26 C.30 D.32【答案】B【解析】【分析】利用排列數(shù)公式、組合數(shù)公式計(jì)算可得答案.【詳解】.故選：B.2.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出切線斜率，再點(diǎn)斜式得出切線方程即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以在點(diǎn)處，所以在點(diǎn)處的切線方程為，所以切線方程為.故選：A.3.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本道題目先計(jì)算導(dǎo)數(shù)，然后結(jié)合題意，構(gòu)造新函數(shù)，計(jì)算最大值，即可．【詳解】，在恒成立，故得到在上恒成立，故單調(diào)遞減，.所以，故的范圍為，故選：D．4.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如表所示，則E(X)（）X123PA.有最大值，最小值B.有最大值，最小值C.有最大值，沒有最小值D.無(wú)最大值，有最小值【答案】A【解析】【分析】利用分布列的性質(zhì)及期望公式求得，再利用余弦函數(shù)性質(zhì)求解判斷.【詳解】依題意，，則，則，當(dāng)時(shí)，，，則，所以有最大值，最小值，A正確，BCD錯(cuò)誤.故選：A5.甲、乙、丙、丁4名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第4名的名次.甲和乙去向老師詢問成績(jī)，老師對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍.”對(duì)乙說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的.”從這兩個(gè)回答分析，4人的名次排列的情形有（）A.8種 B.18種 C.54種 D.64種【答案】A【解析】【分析】利用排列計(jì)數(shù)問題，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理列式求解.【詳解】分三步完成：冠軍有種可能，乙的名次有種可能，余下2人有種可能，所以4人的名次排列有（種）不同情況.故選：A6.已知函數(shù)既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，問題化為至少有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)求的極值并列不等式求參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，令，則，當(dāng)或時(shí)，，則在和上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，，且時(shí)趨向，時(shí)趨向，要使函數(shù)既有極大值又有極小值，即至少有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，所以至少有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，所以.故選：A7.人工智能領(lǐng)域讓貝葉斯公式：站在了世界中心位置，AI換臉是一項(xiàng)深度偽造技術(shù)，某視頻網(wǎng)站利用該技術(shù)摻入了一些“AI”視頻，“AI”視頻占有率為0.1.某團(tuán)隊(duì)決定用AI對(duì)抗AI，研究了深度鑒偽技術(shù)來(lái)甄別視頻的真假.該鑒偽技術(shù)的準(zhǔn)確率是0.9，即在該視頻是偽造的情況下，它有90%的可能鑒定為“AI”；它的誤報(bào)率是0.4，即在該視頻是真實(shí)的情況下，它有40%的可能鑒定為“AI”.已知某個(gè)視頻被鑒定為“AI”，則該視頻是“AI”合成的可能性為（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由貝葉斯公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】記“視頻是AI合成”為事件，記“鑒定結(jié)果為AI”為事件B，則，由貝葉斯公式得：，故選：B．8.定義方程的實(shí)數(shù)根x叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”.若函數(shù).h(x)=lnx的“新駐點(diǎn)”分別為，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出給定的各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)給定條件確定，，的值或所屬區(qū)間即可得解.【詳解】由得，解方程，即，即；由得，解方程，即，得，即；由得，解方程，即，令，顯然在單調(diào)遞增，，則存在，使得，即；所以.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，代入計(jì)算，逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確；故選：ABD10.設(shè)樣本空間,且每個(gè)樣本點(diǎn)是等可能的,已知事件,則下列結(jié)論正確的是（）A.事件A與B為互斥事件B.事件A,B,C兩兩相互獨(dú)立.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、獨(dú)立事件的概率公式即可解答.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以事件與不互斥，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，，，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，表示，，即，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，交集為，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.連續(xù)函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)存在極小值點(diǎn)D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性判斷A；舉例說(shuō)明判斷B；利用極小值的意義，結(jié)合偶函數(shù)及單調(diào)性判斷C；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最小值，結(jié)合選項(xiàng)條件判斷D.【詳解】由定義域在上的連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，得，，對(duì)于A，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，A正確；對(duì)于B，取函數(shù)，符合題意，函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上不單調(diào)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)定義域?yàn)?，，函?shù)是偶函數(shù)，令，由函數(shù)，在上都是增函數(shù)，得在上也是增函數(shù)，由是偶函數(shù)，得在上是減函數(shù)，因此是函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，依題意，，，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，因此，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)變量，若E(X)=1，則D(X)=___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)分布的期望、方差公式列式求解.【詳解】隨機(jī)變量，由，得，解得，所以.故答案為：13.，則__________【答案】【解析】【分析】結(jié)合組合數(shù)的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】展開式中，每個(gè)括號(hào)可選，要得到項(xiàng)，需要滿足四個(gè)括號(hào)中選的項(xiàng)的的指數(shù)和為，可選一次，三次，則項(xiàng)，所以.故答案為：14.集合具有如下性質(zhì)：若某集合內(nèi)有n個(gè)元素，則該集合共有子集的個(gè)數(shù)為2n.現(xiàn)有集合M內(nèi)含有3個(gè)元素，則其共有八個(gè)子集，分別為.甲、乙兩同學(xué)依次各取一個(gè)子集分別記為，可以相同，中元素的個(gè)數(shù)為m，則的概率為______【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出試驗(yàn)含有的基本事件總數(shù)，的事件含有的基本事件數(shù)，再求出古典概率.【詳解】依題意，甲、乙兩同學(xué)依次各取一個(gè)子集的試驗(yàn)有個(gè)基本事件，設(shè)的事件為，中的元素至少2個(gè)，當(dāng)都只有2個(gè)元素時(shí)，相同，共有3個(gè)情況；當(dāng)中一個(gè)有2個(gè)、另一個(gè)有3個(gè)元素時(shí)，共有種情況；當(dāng)都有3個(gè)元素時(shí)，有1種情況，因此事件含有的基本事件數(shù)為種，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程成演算步驟.15.2025年3月23日，2025南通馬拉松在南通大劇院和美術(shù)館東側(cè)鳴槍開跑，經(jīng)過角逐，中國(guó)選手楊俊婷以1小時(shí)19分01秒獲得半程馬拉松女子組冠軍，選手張德成以2小時(shí)25分53秒獲得馬拉松男子組亞軍.為了解本地區(qū)市民對(duì)跑步運(yùn)動(dòng)的喜愛情況，隨機(jī)調(diào)查了部分市民，其中女性市民占40%，女性市民中有65%的人喜愛跑步，男性市民中有90%的人喜愛跑步.（1）在被調(diào)查的市民中任選一人，求此人喜愛跑步概率；（2）用頻率估計(jì)概率，從本地區(qū)的所有市民中隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽取的3人中喜愛跑步的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用全概率公式計(jì)算求解；（2）利用二項(xiàng)分布的概率公式求分布列以及利用二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算即可..【小問1詳解】設(shè)事件表示抽被調(diào)查的市民中任選一人為女性，事件表示抽中的此人此人喜愛跑步.可知，所以被調(diào)查的市民中任選一人，求此人喜愛跑步概率為.【小問2詳解】因，可取則，，，，故其分布列如下表所示：0123故期望.16.已知（1）若的展開式中第5項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為（i）求n的值;（ii）若，求的值；（2）若時(shí)，函數(shù)的極大值點(diǎn)為，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（i）8；（ii）1016；（2）.【解析】【分析】（1）（i）根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式系數(shù)的定義列式求出值；（ii）對(duì)給定等式兩邊求導(dǎo)，再賦值求出目標(biāo)值.（2）把代入化簡(jiǎn)函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，利用給定的極值點(diǎn)分類討論求解.【小問1詳解】（i）由展開式的第5項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為，得，整理得，而，所以.（ii）由（i）知，，則，兩邊求導(dǎo)得，取，得.【小問2詳解】由時(shí)，函數(shù)，求導(dǎo)得，由函數(shù)的極大值點(diǎn)為，得，當(dāng)時(shí)，由，得或，由，得，則是的極小值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由，得或，由，得，則是極大值點(diǎn)，符合題意，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.17.已知函數(shù)（1）若在處的瞬時(shí)變化率為，求實(shí)數(shù)的值；（2）在（1）的條件下，求在區(qū)間上的最值;（3）若，對(duì)于曲線的任意一條切線，都存在曲線的某條切線和它垂直，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.【答案】（1）1（2）最小值為；最大值；（3）【解析】【分析】（1）求出，利用瞬時(shí)變化率定義列式計(jì)算即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求解；（3）分別求出，及其取值范圍，由題意得出，由集合的包含關(guān)系列式即可求.【小問1詳解】由得，因?yàn)樵谔幍乃矔r(shí)變化率為，所以即，所以.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，所以，又，所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值；當(dāng)時(shí)，取到最小值.【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，即，因?yàn)榍€的任意一條切線，都存在曲線的某條切線和它垂直，所以，所以，解得或，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍.18.為了能不斷地傳承與弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校高二年級(jí)各班在周班會(huì)課上進(jìn)行了“中國(guó)傳統(tǒng)文化”知識(shí)競(jìng)賽.各班競(jìng)賽形式多樣，其中高二(1)(2)兩班競(jìng)賽規(guī)則最具代表性，請(qǐng)完成以下兩題：（1）高二(1)班班委會(huì)設(shè)置如下競(jìng)賽規(guī)則：從6道題中任選2題作答，2題均答對(duì)就獲得“傳統(tǒng)文化小達(dá)人”的稱號(hào).已知6道題中同學(xué)甲能答對(duì)其中的4道題，求甲在已經(jīng)答對(duì)一題的前提下沒有獲得“傳統(tǒng)文化小達(dá)人”稱號(hào)的概率；（2）高二(2)班班委會(huì)采取的競(jìng)賽規(guī)則：共設(shè)置n道題，參加比賽的同學(xué)從第1題開始答題，答對(duì)就進(jìn)入下一題，答錯(cuò)則終止答題，若n道題全部答對(duì)，就獲得一個(gè)小禮品.已知同學(xué)乙答對(duì)每道題的概率為（i）當(dāng)時(shí)，設(shè)乙答題結(jié)束時(shí)，答題的個(gè)數(shù)為X，隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（ii）設(shè)乙答題結(jié)束時(shí)，答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為Y，求使得成立的n的最小值.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）（2）（i）答案見解析；（ii）【解析】【分析】（1）由條件概率公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）（i）由條件可得的可能取值，然后分別求得其對(duì)應(yīng)概率，即可得到分布列以及期望；（ii）由期望的定義列出式子，結(jié)合錯(cuò)位相減法代入計(jì)算，即可得到，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)事件表示甲已經(jīng)答對(duì)一題，事件表示甲獲得“傳統(tǒng)文化小達(dá)人”稱號(hào)，則，，則.【小問2詳解】（i）的可能取值為，則，，，分布列為：則.（ii）的可能取值為，，，，由期望的公式可得，設(shè)，則，兩式相減可得，所以，則，由可得3?3?34n>2.4即，其中，，則，所以的最小值為.19.函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，函數(shù)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若有三個(gè)不同的極值點(diǎn)，證明：【答案】（1）遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為（2）（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)探討的單調(diào)性及零點(diǎn)即可.（2）變形給定方程，利用同構(gòu)方法構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)求解.（3）利用導(dǎo)數(shù)探討范圍及的取值區(qū)間，證明，把不等式轉(zhuǎn)化為證明成立即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，求?dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，方程，則當(dāng)時(shí)，，令函數(shù)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而，于是，，依題意，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，令，則直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最大值，而，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線與