江西省撫州市臨川第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期第一次（5月）檢測數(shù)學(xué)試題（解析）

第頁，共頁臨川一中2024年05月高二數(shù)學(xué)檢測一一、單選題1.隨機(jī)變量，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由正態(tài)分布曲線的對稱性可知，由此可計算出答案.【詳解】隨機(jī)變量，，則，則，故選：C.2.已知雙曲線C：，直線與雙曲線C的兩條漸近線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為等邊三角形，則雙曲線C的焦距為（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】求雙曲線的漸近線，由條件求出坐標(biāo)，根據(jù)條件求，再求雙曲線的焦距.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，雙曲線的半焦距為，雙曲線的漸近線為和，不妨設(shè)直線與的交點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線與的交點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，因為為等邊三角形，，所以，所以，所以雙曲線C的焦距，故選：D.3.已知為等比數(shù)列，，公比.若是數(shù)列的前項積，則取最大值時，的值為（）A.4 B.5 C.3或4 D.4或5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件得到，再利用數(shù)列的性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】由題意得，，易知數(shù)列是遞減數(shù)列，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，當(dāng)或時，取最大值，故選：D.4.已知函數(shù)，且，下面四個判斷，正確的個數(shù)為（）個.①；②若，則關(guān)于點(diǎn)對稱；③若，則對于R，；④若，則A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】對于①，求函數(shù)，代入驗證符號得出結(jié)果；對于②，根據(jù)對稱性結(jié)論驗證是否成立；對于③展開，根據(jù)二次函數(shù)最值進(jìn)行計算得出結(jié)果；對于④利用作差比較法得出結(jié)果.【詳解】由已知，對于①，，因為，所以，，故①正確；對于②，若，則，因為，所以關(guān)于點(diǎn)對稱，故②正確；對于③，將展開可得，又拋物線開口向上，故，當(dāng)時，，所以，則對于R，，故③正確；對于④，，因為由得，即，由得，所以，即，故④正確.故選：D.5.中國燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，是一種古老的傳統(tǒng)工藝品.經(jīng)過歷代燈彩藝人的繼承和發(fā)展，形成了豐富多彩的品種和高超的工藝水平，從種類上主要有宮燈、紗燈、吊燈等類型.現(xiàn)將4盞相同的宮燈、3盞不同的紗燈、2盞不同的吊燈掛成一排，要求吊燈掛兩端，同一類型的燈籠至多2盞相鄰掛，則不同掛法種數(shù)為（）A.216 B.228 C.384 D.486【答案】A【解析】【分析】先在兩端掛2盞吊燈，再在2盞吊燈之間掛3盞紗燈，求出其掛法，最后將宮燈插空掛，考慮宮燈的分組情況，結(jié)合分步以及分類計數(shù)原理，即可求得答案.【詳解】先掛2盞吊燈有種掛法，再在2盞吊燈之間掛3盞紗燈有種掛法，最后將宮燈插空掛.當(dāng)4盞宮燈分成2，2兩份插空時有種掛法；當(dāng)4盞宮燈分成1，1，2三份插空時有種掛法；當(dāng)4盞宮燈分成1，1，1，1四份插空時有1種掛法，所以共有種不同的掛法.故選：A6.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過的直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，若，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得到，取得，得到，，在中，由余弦定理化簡得到，即，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】如圖所示，直線的斜率為，可得其傾斜角為，由題意得，則，因為，所以，所以，則，在中，由余弦定理可得，即，整理得，即，又因為，解得.故選：C.7.設(shè)函數(shù)時定義在上的奇函數(shù)，記其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，恒成立，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合題意對其求導(dǎo)結(jié)合奇偶性可得在上為增函數(shù)，不等式變形可得，即可得到答案.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，又由時，，則，函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，故為奇函數(shù)，在上為增函數(shù)，不等式，即，，，即，可得，解得，即該不等式的解集為.故選：A8.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和，且滿足，．設(shè)（非零整數(shù)，），若對任意，有恒成立，則的值是（

）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)條件求出，，再根據(jù)探索數(shù)列an的通項公式，代入，根據(jù)，分為奇數(shù)、偶數(shù)討論的取值范圍，最后根據(jù)為非零整數(shù)確定它的值.【詳解】由，，又，所以，，又，所以，由得（），相減得，，，所以，所以，再相減得，則，而，所以數(shù)列an是等差數(shù)列，首項和公差均為1，所以，，對任意，有恒成立，則恒成立，，即，是奇數(shù)時，，，∴，為偶數(shù)時，，，∴，綜上，．又是非零整數(shù)，所以．故選：D．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：數(shù)列問題中已知項與和的關(guān)系時，一般利用得出數(shù)列的遞推關(guān)系，從而再求解；在含有的不等式參數(shù)問題中，需要利用的奇偶進(jìn)行分類討論化簡不等式得參數(shù)范圍．二、多選題9.已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示.ξ－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|ξ|＝1)的值與公差d的取值范圍分別是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得，即可求出.【詳解】因為a，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以，所以，又，，根據(jù)分布列的性質(zhì)，得，，所以.故選：AC.10.已知拋物線：的準(zhǔn)線為：，焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.以為直徑的圓與軸相交C.最小值為16D.過點(diǎn)與拋物線有且僅有一個公共點(diǎn)的直線有2條.【答案】AC【解析】【分析】利用拋物線性質(zhì)計算A正確，舉反例得到B錯誤，確定根與系數(shù)的關(guān)系，代入數(shù)據(jù)利用均值不等式計算C正確，直線至少有3條，D錯誤，得到答案.【詳解】拋物線：的準(zhǔn)線為：，則，，拋物線：，，設(shè)直線為，則，故，，，對選項A：，正確；對選項B：取，則，半徑，中點(diǎn)坐標(biāo)為圓心，即圓心到軸的距離等于半徑，相切，錯誤；對選項C：，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，或，時等號成立.正確；對選項D：設(shè)直線，，則，，解得，即與拋物線相切，有一個交點(diǎn)，又與與拋物線只有一個交點(diǎn)，至少有3條，錯誤；故選：AC.11.關(guān)于曲線和的公切線，下列說法正確的有（）A.無論a取何值，兩曲線都有公切線B.若兩曲線恰有兩條公切線，則C.若，則兩曲線只有一條公切線D.若，則兩曲線有三條公切線【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)曲線和的公切線分別與兩曲線相切于，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，化簡可得，結(jié)合對數(shù)的定義可判斷A選項；構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，進(jìn)而分析方程解的情況，進(jìn)而求解.【詳解】設(shè)曲線和的公切線分別與兩曲線相切于，，因為，，所以，，所以公切線的方程為，即，也可以為，即，所以，即化簡得，即，若，，則上述式子無意義，此時兩曲線沒有公切線，故A錯誤；①令，則，所以，令，則；令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.當(dāng)，即時，有兩解，即方程在時有兩解.當(dāng)，即時，只有一解，即方程在時只有一解.當(dāng)，即時，無解，即方程在時無解.②令，則，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，而當(dāng)時，，，則，當(dāng)時，，，則，所以函數(shù)在上一定存在使得，即方程在時只有一解.綜上所述，當(dāng)時，有兩條公切線，故B正確；當(dāng)時，有一條公切線，而，所以時，只有一條公切線，故C正確；當(dāng)時，有三條公切線，而，所以時，有三條公切線，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求兩曲線的公切線及其相關(guān)問題時，常常結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出公切線方程，列出方程組分析求解.三、填空題12.甲?乙兩袋裝有除顏色外其余均相同的白球和黑球若干個，其中甲袋裝有2個白球，2個黑球；乙袋裝有一個白球，3個黑球；現(xiàn)從甲?乙兩袋中各抽取2個球，記取到白球的個數(shù)為，則___________，___________.【答案】①.②.【解析】【分析】用古典概型求概率分布，再求數(shù)學(xué)期望.【詳解】由題可知，，則，，數(shù)學(xué)期望故答案為:；.13.已知拋物線：的焦點(diǎn)關(guān)于直線：的對稱點(diǎn)恰在的準(zhǔn)線上，則______.【答案】#或2【解析】分析】先分與討論，結(jié)合點(diǎn)關(guān)于直線對稱即可求解.【詳解】依題得，拋物線：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為當(dāng)時，直線：，則焦點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，不在準(zhǔn)線上，則，，設(shè)，則線段的中點(diǎn)為.∵，關(guān)于直線：對稱，∴點(diǎn)在直線上，即，解得①，又，∴，即②，由①②可得.故答案為：14.已知函數(shù)的兩個極值點(diǎn)為，，記，．點(diǎn)B，D在的圖象上，滿足，均垂直于y軸．若四邊形為菱形，則__________．【答案】【解析】【分析】令得，四邊形為菱形，由得，又，得，由，代入函數(shù)解析式求的值.【詳解】函數(shù)，，若，f'x≥0恒成立，上單調(diào)遞增，不合題意，時，，得，則，，四邊形為菱形，則，，故，，，則，，由，化簡得，令，則，即，解得，故，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)是用好四邊形為菱形，由對角線互相垂直利用直線斜率得，利用對角線互相平分有，求出，由求的值.四、解答題15.已知函數(shù).（1）求曲線y=fx（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先求切點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率，可得切線方程；（2）先把不等式，x>0轉(zhuǎn)化為，設(shè)，，在上，求的最小值大于的最大值即可.【小問1詳解】，則，因為，所以曲線y=fx在點(diǎn)1,f即.【小問2詳解】證明：的定義域為0,+∞，要證明，只需證.設(shè)函數(shù)，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以.設(shè)函數(shù)，則，所以恒成立，從而，故16.若.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）令代入等式求出結(jié)果；（2）令代入等式，再結(jié)合第一問等式組成方程組求出結(jié)果；（3）先變形，再求含項的系數(shù)即可.【小問1詳解】令，則，①【小問2詳解】令，則，②令，則，，；小問3詳解】，即為含項的系數(shù)，為，則.17.已知橢圓的一個焦點(diǎn)為，且離心率為.（1）求的方程；（2）過作直線與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1））由離心率和焦點(diǎn)坐標(biāo)即可求得的方程.（2）設(shè)出直線方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)求出直線的方程.【小問1詳解】由已知得，離心率，得，則方程為.【小問2詳解】由題可知，若面積存在，則斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為顯然存在，，聯(lián)立消去得，因為直線過點(diǎn)，所以顯然成立，且，因為.，化簡得，解得或（舍），所以直線的方程為或.18.據(jù)調(diào)查，目前對于已經(jīng)近視的小學(xué)生，有兩種配戴眼鏡的選擇，一種是佩戴傳統(tǒng)的框架眼鏡；另一種是佩戴角膜塑形鏡，這種眼鏡是晚上睡覺時佩戴的一種特殊的隱形眼鏡（因其在一定程度上可以減緩近視的發(fā)展速度，所以越來越多的小學(xué)生家長選擇角膜塑形鏡控制孩子的近視發(fā)展），A市從該地區(qū)小學(xué)生中隨機(jī)抽取容量為100的樣本，其中因近視佩戴眼鏡的有24人（其中佩戴角膜塑形鏡的有8人，其中2名是男生，6名是女生）（1）若從樣本中選一位學(xué)生，已知這位小學(xué)生戴眼鏡，那么，他戴的是角膜塑形鏡的概率懸多大?（2）從這8名跟角膜塑形鏡的學(xué)生中，選出3個人，求其中男生人數(shù)的期望與方差；（3）若將樣本的頻率當(dāng)做估計總體的概率，請問，從市的小學(xué)生中，隨機(jī)選出20位小學(xué)生，記其中佩戴角膜塑形鏡的人數(shù)為Y，求恰好時的概率（不用化簡）及Y的方差.【答案】（1）（2），（3），【解析】【分析】（1）由條件概率公式計算即可得解；（2）由題意可得的所有可能取值分別為：0，1，2，分別求出對應(yīng)的概率，即可得分布列，從而求出期望與方差；（3）由已知可得，由二項分布的概率和方差公式計算即可得解．【小問1詳解】解：設(shè)“這位小學(xué)生佩戴眼鏡”為事件，“這位小學(xué)生佩戴的眼鏡是角膜塑形鏡”為事件，所以，所以若從樣本中選一位學(xué)生，已知這位小學(xué)生戴眼鏡，則他戴的是角膜塑形鏡的概率是．【小問2詳解】解：依題意可知：其中男生人數(shù)的所有可能取值分別為：0，1，2，其中：；；，所以男生人數(shù)的分布列為：012所以，【小問3詳解】解：由已知可得：，則：，，19.4月19日是中國傳統(tǒng)二十四節(jié)氣之一的“谷雨”，聯(lián)合國將這天定為“聯(lián)合國中文日”，以紀(jì)念“中華文字始祖”倉頡[jié]造字的貢獻(xiàn)，旨在慶祝多種語言以及文化多樣性，促進(jìn)聯(lián)合國六種官方語言平等使用．某大學(xué)面向在校留學(xué)生舉辦中文知識競賽，每位留學(xué)生隨機(jī)抽取問題并依次作答，其中每個問題的回答相互獨(dú)立．若答對一題記2分，答錯一題記1分，已知甲留學(xué)生答對每個問題的概率為，答錯的概率為．（1）甲留學(xué)生隨機(jī)抽取題，記總得分為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）（?。┤艏琢魧W(xué)生隨機(jī)抽取道題，記總得分恰為分的概率為，求數(shù)列的前項和；（ⅱ）記甲留學(xué)生已答過的題累計得分恰為分的概率為，求數(shù)列的通項公式．【答案】（