高中數(shù)學(xué)第一章集合與函數(shù)概念章末復(fù)習(xí)課一學(xué)案含解析新人教版必修1

PAGEPAGE1第一章集合與函數(shù)概念章末復(fù)習(xí)課網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建核心歸納1.集合的“三性”正確理解集合元素的三性，即確定性、互異性和無(wú)序性.在集合運(yùn)算中，常利用元素的互異性檢驗(yàn)所得的結(jié)論是否正確，因互異性易被忽視，在解決含參集合問(wèn)題時(shí)應(yīng)特別留意.2.集合與集合之間的關(guān)系集合與集合之間的關(guān)系有包含、真包含和相等.推斷集合與集合之間的關(guān)系的本質(zhì)是推斷元素與集合的關(guān)系，包含關(guān)系的傳遞性是推理的重要依據(jù).空集比較特殊，它不包含任何元素，是隨意集合的子集，是隨意非空集合的真子集.解題時(shí)，已知條件中出現(xiàn)A?B時(shí)，不要遺漏A＝?.3.集合與集合之間的運(yùn)算并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，Venn圖與數(shù)軸是集合運(yùn)算的重要工具.留意集合之間的運(yùn)算與集合間的關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化，如A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.4.函數(shù)與映射的概念(1)已知A，B是兩個(gè)非空集合，在對(duì)應(yīng)關(guān)系f的作用下，對(duì)于A中的隨意一個(gè)元素x，在B中都有唯一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)對(duì)應(yīng)叫做從A到B的映射，記作f：A→B.(2)函數(shù)是一個(gè)特殊的映射，其特殊點(diǎn)在于A，B都為非空數(shù)集.函數(shù)有三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系.兩個(gè)函數(shù)只有當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是相等函數(shù).5.函數(shù)的單調(diào)性(1)函數(shù)的單調(diào)性主要涉及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式等相關(guān)問(wèn)題.深刻理解函數(shù)單調(diào)性的定義是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵.(2)函數(shù)單調(diào)性的證明依據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義分為四個(gè)步驟證明，步驟如下：①取值：任取x1，x2∈D，且x1<x2，得x2－x1>0；②作差變形：Δy＝y(tǒng)2－y1＝f(x2)－f(x1)＝…，向有利于推斷差的符號(hào)的方向變形；③推斷符號(hào)：確定Δy的符號(hào)，當(dāng)符號(hào)不確定時(shí)，可以進(jìn)行分類探討；④下結(jié)論：依據(jù)定義得出結(jié)論.(3)證明函數(shù)單調(diào)性的等價(jià)變形：①f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)?隨意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)?eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0?[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)>0；②f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)?隨意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)?eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0?[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)<0.6.函數(shù)的奇偶性判定函數(shù)奇偶性，一是用其定義推斷，即先看函數(shù)f(x)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再檢驗(yàn)f(－x)與f(x)的關(guān)系；二是用其圖象推斷，考察函數(shù)的圖象是否關(guān)于原點(diǎn)或y軸對(duì)稱去推斷，但必需留意它是函數(shù)這一大前提.要點(diǎn)一集合的基本概念解決集合的概念問(wèn)題的兩個(gè)留意點(diǎn)(1)探討一個(gè)集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件.當(dāng)集合用描述法表示時(shí)，留意弄清元素表示的意義是什么.(2)對(duì)于含有字母的集合，在求出字母的值后，要留意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿意互異性.【例1】集合M＝{x|ax2－3x－2＝0，a∈R}中只有一個(gè)元素，求a的取值范圍.解由題意可知若集合M中只有一個(gè)元素，則方程ax2－3x－2＝0只有一個(gè)根.當(dāng)a＝0時(shí)，方程為－3x－2＝0，只有一個(gè)根x＝－eq\f(2,3)；當(dāng)a≠0時(shí)，Δ＝(－3)2－4×a×(－2)＝0，得a＝－eq\f(9,8).綜上所述，a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，－\f(9,8))).【訓(xùn)練1】已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，則m的值為_(kāi)_______.解析因?yàn)?∈A，則m＋2＝3或2m2＋m＝3.當(dāng)m＋2＝3，即m＝1時(shí)，m＋2＝2m2＋m，不符合題意，故舍去；當(dāng)2m2＋m＝3，即m＝1或m＝－eq\f(3,2)，m＝1不合題意，若m＝－eq\f(3,2)，m＋2≠2m2＋m，滿意題意，故m＝－eq\f(3,2).答案－eq\f(3,2)要點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系兩集合間關(guān)系的推斷(1)定義法.①推斷一個(gè)集合A中的隨意元素是否屬于另一集合B，若是，則A?B，否則A不是B的子集；②推斷另一個(gè)集合B中的隨意元素是否屬于第一個(gè)集合A，若是，則B?A，否則B不是A的子集；若既有A?B，又有B?A，則A＝B.(2)數(shù)形結(jié)合法.對(duì)于不等式表示的數(shù)集，可在數(shù)軸上標(biāo)出集合的元素，直觀地進(jìn)行推斷，但要留意端點(diǎn)值的取舍.【例2】已知集合A＝{x|2x－3≥3x＋5}，B＝{x|x≤2m－1}，若A?B，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.解析解不等式2x－3≥3x＋5得x≤－8，即A＝{x|x≤－8}，因?yàn)锳?B，所以2m－1≥－8，解得m≥－eq\f(7,2).答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|m≥－\f(7,2)))【訓(xùn)練2】已知集合A＝{x|eq\r(x)＝eq\r(x2－2)，x∈R}，B＝{1，m}，若A?B，則m的值為()A.2 B.－1C.－1或2 D.2或eq\r(2)解析由eq\r(x)＝eq\r(x2－2)，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x2－2≥0，,x＝x2－2，))解得x＝2，∴A＝{2}，又∵B＝{1，m}，A?B，∴m＝2.答案A考查方向要點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算集合基本運(yùn)算的方法及留意點(diǎn)(1)一般來(lái)講，集合中的元素若是離散的，則用Venn圖表示；集合中的元素若是連續(xù)的實(shí)數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時(shí)要留意端點(diǎn)的狀況.(2)進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)要看集合的組成，并且要對(duì)有的集合進(jìn)行化簡(jiǎn).(3)涉及含字母的集合時(shí)，要留意該集合是否可能為空集.方向1集合的運(yùn)算【例3－1】設(shè)全集U＝{x∈N*|x<6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，則?U(A∪B)等于()A.{1，4} B.{1，5}C.{2，5} D.{2，4}解析U＝{1，2，3，4，5}，A∪B＝{1，3，5}，所以?U(A∪B)＝{2，4}.答案D方向2利用集合運(yùn)算求參數(shù)【例3－2】(1)已知集合A＝{1，3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m等于()A.0或eq\r(3) B.0或3C.1或eq\r(3) D.1或3(2)設(shè)集合A＝{0，1}，集合B＝{x|x>a}，若A∩B＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a≤1 B.a≥1C.a≥0 D.a≤0解析(1)由A∪B＝A知B?A，所以m＝3或m＝eq\r(m).當(dāng)m＝3時(shí)，A＝{1，3，eq\r(3)}，B＝{1，3}，滿意A∪B＝A；若m＝eq\r(m)，即m＝1或0，當(dāng)m＝1時(shí)，eq\r(m)＝1，不合題意，舍去，當(dāng)m＝0時(shí)，A＝{1，3，0}，B＝{1，0}，滿意A∪B＝A，故選B.(2)因?yàn)锳∩B＝?，所以0?B，且1?B，所以a≥1.答案(1)B(2)B【訓(xùn)練3】(1)設(shè)集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}.若A∩B＝{1}，則B＝()A.{1，－3} B.{1，0}C.{1，3} D.{1，5}(2)設(shè)集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠?，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)_______.解析(1)由題意知1是方程x2－4x＋m＝0的解，把x＝1代入方程得m＝3，∴x2－4x＋3＝0的解為x＝1或x＝3，∴B＝{1，3}.(2)因?yàn)镹＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－eq\f(k,2)}，且M∩N≠?，所以－eq\f(k,2)≥－3?k≤6.答案(1)C(2){k|k≤6}要點(diǎn)四求函數(shù)的定義域求函數(shù)定義域的類型與方法(1)已給出函數(shù)解析式：函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合.(2)實(shí)際問(wèn)題：求函數(shù)的定義域既要考慮解析式有意義，還應(yīng)考慮使實(shí)際問(wèn)題有意義.(3)復(fù)合函數(shù)問(wèn)題：①若f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則f(g(x))的定義域應(yīng)由a≤g(x)≤b解出；②若f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在[a，b]上的值域.留意：①f(x)中的x與f(g(x))中的g(x)地位相同；②定義域所指恒久是x的范圍.【例4】(1)函數(shù)f(x)＝eq\f(2x2,\r(1－x))＋(2x－1)0的定義域?yàn)?)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))(2)已知函數(shù)y＝f(x－1)的定義域是[－1，2]，則y＝f(1－3x)的定義域?yàn)?)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，3))C.[0，1] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))解析(1)由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,2x－1≠0，))解得x<1且x≠eq\f(1,2)，即f(x)的定義域是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(2)由y＝f(x－1)的定義域是[－1，2]，則x－1∈[－2，1]，即f(x)的定義域是[－2，1]，令－2≤1－3x≤1解得0≤x≤1，即y＝f(1－3x)的定義域?yàn)閇0，1].答案(1)D(2)C【訓(xùn)練4】已知函數(shù)f(x)＝－2x＋3的值域?yàn)閇－5，5]，則它的定義域?yàn)?)A.[－5，5] B.[－7，13]C.[－1，4] D.[－4，1]解析可以畫(huà)出函數(shù)y＝－2x＋3的圖象，再依據(jù)圖象來(lái)求；還可以運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)來(lái)求，f(x)在R上單調(diào)遞減，且當(dāng)f(x)＝－5時(shí)，x＝4；當(dāng)f(x)＝5時(shí)，x＝－1，所以定義域?yàn)閇－1，4].答案C要點(diǎn)五求函數(shù)的解析式求函數(shù)解析式的題型與相應(yīng)的解法(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，運(yùn)用換元法或配湊法.(2)已知函數(shù)的類型(往往是一次函數(shù)或二次函數(shù))，運(yùn)用待定系數(shù)法.(3)含f(x)與f(－x)或f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))，運(yùn)用解方程組法.(4)已知一個(gè)區(qū)間的解析式，求另一個(gè)區(qū)間的解析式，可用奇偶性轉(zhuǎn)移法.【例5】(1)已知f(2x－3)＝2x2－3x，則f(x)＝________；(2)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，則f(x)＝________.解析(1)令2x－3＝t，得x＝eq\f(1,2)(t＋3)，則f(t)＝2×eq\f(1,4)(t＋3)2－eq\f(3,2)(t＋3)＝eq\f(1,2)t2＋eq\f(3,2)t，所以f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x.(2)因?yàn)閒(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，兩式聯(lián)立得f(x)＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2).答案(1)eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x(2)eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)【訓(xùn)練5】已知f(x)是一次函數(shù)，且滿意3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式.解設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b＋17－2ax＋2a－2b－17＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17不論x為何值都成立，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＋5a＝17，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝7，))所以f(x)＝2x＋7.要點(diǎn)六函數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性應(yīng)用的常見(jiàn)題型(1)用定義推斷或證明函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性.(2)利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求單調(diào)區(qū)間.(3)利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性比較大小，解不等式.(4)利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求參數(shù)的取值范圍.【例6】已知函數(shù)f(x)＝eq\f(mx2＋2,3x＋n)是奇函數(shù)，且f(2)＝eq\f(5,3).(1)求實(shí)數(shù)m和n的值；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，－1]上的最值.解(1)∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴eq\f(mx2＋2,－3x＋n)＝－eq\f(mx2＋2,3x＋n)＝eq\f(mx2＋2,－3x－n).比較得n＝－n，n＝0.又f(2)＝eq\f(5,3)，∴eq\f(4m＋2,6)＝eq\f(5,3)，解得m＝2.因此，實(shí)數(shù)m和n的值分別是2和0.(2)由(1)知f(x)＝eq\f(2x2＋2,3x)＝eq\f(2x,3)＋eq\f(2,3x).任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(2,3)(x1－x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x1x2)))＝eq\f(2,3)(x1－x2)·eq\f(x1x2－1,x1x2).∵－2≤x1＜x2≤－1，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，x1x2－1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).∴函數(shù)f(x)在[－2，－1]上為增函數(shù)，∴f(x)max＝f(－1)＝－eq\f(4,3)，f(x)min＝f(－2)＝－eq\f(5,3).【訓(xùn)練6】設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿意f(－x)＝f(x)，f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，且f(2a2＋a＋1)<f(2a2－4a＋3)，求a的取值范圍.解∵f(x)是定義在R上的函數(shù)，且f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù).又f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.又2a2＋a＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(7,8)>0，2a2－4a＋3＝2(a－1)2＋1>0，∴由f(2a2＋a＋1)<f(2a2－4a＋3)知，2a2＋a＋1>2a2－4a＋3，得5a>2，a>eq\f(2,5).∴a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|a>\f(2,5))).要點(diǎn)七函數(shù)的圖象及應(yīng)用作函數(shù)圖象的方法(1)描點(diǎn)法——求定義域；化簡(jiǎn)；列表、描點(diǎn)、連線.(2)變換法——熟知函數(shù)的圖象的平移、伸縮、對(duì)稱、翻轉(zhuǎn).①平移：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(左加右減))y＝f(x±h)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(上加下減))y＝f(x)±k.(其中h>0，k>0)②對(duì)稱：y＝f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱y＝f(－x)；y＝f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱y＝－f(x)；y＝f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱y＝－f(－x).特殊提示：要利用單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性簡(jiǎn)化作圖.【例7】已知函數(shù)f(x)＝x2－2|x|＋a，其中x∈[－3，3].(1)推斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)若a＝－1，試說(shuō)明函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并求出函數(shù)f(x)的值域.解(1)因?yàn)槎x域[－3，3]關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(－x)＝(－x)2－2|－x|＋a＝x2－2|x|＋a＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù).(2)當(dāng)0≤x≤3時(shí)，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2；當(dāng)－3≤x<0時(shí)，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，即f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－1）2－2，0≤x≤3，,（x＋1）2－2，－3≤x<0.))依據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，可得函數(shù)的圖象，如圖所示.函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為[－3，－1]，(－1，0)，[0，1]，(1，3].f(x)在區(qū)間[－3，－1]，[0，1]上為減函數(shù)，在(－1，0)，(1，3]上為增函數(shù).當(dāng)0≤x≤3時(shí)，函數(shù)f(x)＝(x－1)2－2的最小值為f(1)＝－2，最大值為f(3)＝2；當(dāng)－3≤x<0時(shí)，函數(shù)f(x)＝(x＋1)2－2的最小值為f(－1)＝－2，最大值為f(－3)＝2.故函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－2，2].【訓(xùn)練7】對(duì)于隨意x∈R，函數(shù)f(x)表示－x＋3，eq\f(3,2)x＋eq\f(1,2)，x2－4x＋3中的較大者，則f(x)的最小值是________.解析首先應(yīng)理解題意，“函數(shù)f(x)表示－x＋3，eq\f(3,2)x＋eq\f(1,2)，x2－4x＋3中的較大者”是指對(duì)某個(gè)區(qū)間而言，函數(shù)f(x)表示－x＋3，eq\f(3,2)x＋eq\f(1,2)，x2－4x＋3中最大的一個(gè).如圖，分別畫(huà)出三個(gè)函數(shù)的圖象，得到三個(gè)交點(diǎn)A(0，3)，B(1，2)，C(5，8).從圖象視察可得函數(shù)f(x)的表達(dá)式：f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3（x≤0），,－x＋3（0<x≤1），,\f(3,2)x＋\f(1,2)（1<x≤5），,x2－4x＋3（x>5）.))f(x)的圖象是圖中的實(shí)線部分，圖象的最低點(diǎn)是點(diǎn)B(1，2)，所以f(x)的最小值是2.答案2基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1.若集合A＝{0，1，2，3}，B＝{1，2，4}，則集合A∪B＝()A.{0，1，2，3，4} B.{1，2，3，4}C.{1，2} D.{0}解析集合A有4個(gè)元素，集合B有3個(gè)元素，它們都含有元素1和2，因此，A∪B共含有5個(gè)元素.故選A.答案A2.集合P＝{x|y＝eq\r(x＋1)}，集合Q＝{y|y＝eq\r(x－1)}，則P與Q的關(guān)系是()A.P＝Q B.PQC.PQ D.P∩Q＝?解析∵P＝{x|y＝eq\r(x＋1)}＝[－1，＋∞)，Q＝{y|y＝eq\r(x－1)}＝[0，＋∞)，所以QP.答案B3.若函數(shù)f(eq\r(2x)＋1)＝x2－2x，則f(3)＝()A.0 B.1C.2 D.3解析在f(eq\r(2x)＋1)＝x2－2x中，令x＝2，得f(3)＝22－2×2＝0.答案A4.函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(2x－1),x2＋x＋1)＋eq\f(1,\r(1－x))的定義域是________.解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0，,1－x>0，))得eq\f(1,2)≤x<1，故f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))5.已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>a}，假如A∪B＝R，那么a的取值范圍是________.解析如圖所示，若要A∪B＝R，需a≤2，即a的取值范圍是(－∞，2].答案(－∞，2]6.已知集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2<x<9}.(1)分別求?R(A∩B)，(?RB)∪A；(2)已知C＝{x|a<x<a＋1}，若C?B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)∵A∩B＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2<x<9}，∴?R(A∩B)＝{x|x<3或x≥6}，?RB＝{x|x≤2或x≥9}.又A＝{x|3≤x<6}，∴(?RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x<6或x≥9}.(2)∵C?B，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥2，,a＋1≤9，))解得2≤a≤8.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|2≤a≤8}.7.對(duì)于函數(shù)f(x)＝x2－2|x|.(1)推斷其奇偶性，并指出圖象的對(duì)稱性；(2)畫(huà)此函數(shù)的圖象，并指出單調(diào)區(qū)間和最小值.解(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|，則f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù).圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.(2)f(x)＝x2－2|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x＝（x－1）2－1（x≥0），,x2＋2x＝（x＋1）2－1（x＜0）.))畫(huà)出圖象如圖所示，依據(jù)圖象知，函數(shù)f(x)的最小值是－1.單調(diào)增區(qū)間是[－1，0]，[1，＋∞)；單調(diào)減區(qū)間是(－∞，－1]，[0，1].實(shí)力提升8.設(shè)A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}.若A∩B＝?，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A.t<－3 B.t≤－3C.t>3 D.t≥3解析∵－x2≤0，∴y＝－x2＋t≤t，即B＝{y|y≤t}，若A∩B＝?，則t<－3.答案A9.若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，x>0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，P＝f(－π)，Q＝f(3.14)，R＝(eq\r(2))，則P，Q，R的大小為()A.R>Q>P B.Q>R>PC.P>R>Q D.P>Q>R解析因?yàn)閒(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且π>3.14>eq\r(2)，故f(π)>f(3.14)>f(eq\r(2))，又f(x)是偶函數(shù)，所以f(－π)＝f(π)，故f(－π)>f(3.14)>f(eq\r(2))，即P>Q>R.答案D10.已知集合A＝{(x，y)|y＝2x－1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，若m∈A，m∈B，則m為_(kāi)_______.解析由m∈A，m∈B知m∈(A∩B)，又由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,y＝x＋3，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝7，))即m為(4，7).答案(4，7)11.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,a)－eq\f(1,x)(a>0，x>0)，若f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，則a＝________.解析易知f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上是增函數(shù)，又f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,a)－2＝eq\f(1,2)，f(2)＝eq\f(1,a)－eq\f(1,2)＝2，解得a＝eq\f(2,5).答案eq\f(2,5)12.函數(shù)f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在區(qū)間[0，2]上有最小值3，求a的值.解f(x)＝4(x－eq\f(a,2))2－2a＋2，①當(dāng)eq\f(a,2)≤0，即a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在[0，2]上是增函數(shù).∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2.由a2－2a＋2＝3，得a＝1±eq\r(2).∵a≤0，∴a＝1－eq\r(2).②當(dāng)0<eq\f(a,2)<2，即0<a<4時(shí)，f(x)min＝f(eq\f(a,2))＝－2a＋2.由－2a＋2＝3，得a＝－eq\f(1,2)?(0，4)，舍去.③當(dāng)eq\f(a,2)≥2，即a≥4時(shí)，函數(shù)f(x)在[0，2]上是減函數(shù)，f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18.由a2－10a＋18＝3，得a＝5±eq\r(10).∵a≥4，∴a＝5＋eq\r(10).綜上所述，a＝1－eq\r(2)或a＝5＋eq\r(10).13.(選做題)若f(x)是定義在(0，＋∞)上的增函數(shù)，且對(duì)一切x，y>0，滿意f(eq\f(x,y))＝f(x)－f(y).(1)求f(1)的值；(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f(eq\f(1,3))<2.解(1)在f(eq\f(x,y))＝f(x)－f(y)中，令x＝y(tǒng)＝1，則有f(1)＝f(1)－f(1)，∴f(1)＝0.(2)∵f(6)＝1，∴f(x＋3)－f(eq\f(1,3))<2＝f(6)＋f(6)，∴f(3x＋9)－f(6)<f(6)，即f(eq\f(x＋3,2))<f(6).∵f(x)是(0，＋∞)上的增函數(shù)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)>0，,\f(x＋3,2)<6，))解得－3<x<9，即不等式的解集為(－3，9).章末檢測(cè)(一)(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分)1.設(shè)集合A＝{x|(x－1)(x－2)2＝0}，則集合A中元素的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2C.3 D.4解析由(x－1)(x－2)2＝0，可得x＝1或x＝2.則集合A中元素的個(gè)數(shù)為2.故選B.答案B2.已知集合M＝{x∈N*|－3<x≤5}，N＝{x|x≤－5或x≥5}，則M∩(?RN)等于()A.{1，2，3，4，5} B.{x|－3<x<5}C.{x|－5<x≤5} D.{1，2，3，4}解析M＝{x∈N*|－3<x≤5}＝{1，2，3，4，5}，N＝{x|x≤－5或x≥5}，?RN＝{x|－5<x<5}，則M∩(?RN)＝{1，2，3，4}，故選D.答案D3.集合A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|0≤x≤2}，則A∩(?RB)＝()A.{x|x<2} B.{x|x<－1或x≥2}C.{x|x≥2} D.{x|x<－1或x>2}解析∵B＝{x|0≤x≤2}，∴?RB＝{x|x<0或x>2}.∵A＝{x|x<－1或x>2}，∴A∩(?RB)＝{x|x<－1或x>2}.答案D4.下列四組函數(shù)，表示相等函數(shù)的是()A.f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝xB.f(x)＝x，g(x)＝eq\f(x2,x)C.f(x)＝eq\r(x2－4)，g(x)＝eq\r(x＋2)eq\r(x－2)D.f(x)＝|x＋1|，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥－1，,－x－1，x<－1))解析A選項(xiàng)兩者的定義域相同，但是f(x)＝|x|，對(duì)應(yīng)法則不同；B選項(xiàng)兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，f(x)的定義域是R，g(x)的定義域是{x|x≠0}；C選項(xiàng)兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，f(x)的定義域是(－∞，－2)∪(2，＋∞)，g(x)的定義域是(2，＋∞)；D選項(xiàng)依據(jù)肯定值的意義，把函數(shù)f(x)整理成g(x)，兩個(gè)函數(shù)的三個(gè)要素都相同，故選D.答案D5.F(x)＝(x3－2x)f(x)(x≠0)是奇函數(shù)，且f(x)不恒等于零，則f(x)為()A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.奇函數(shù)或偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù)解析F(x)＝(x3－2x)f(x)(x≠0)是奇函數(shù)，且f(x)不恒等于零，可得F(－x)＝(－x3＋2x)f(－x)＝－F(x)＝－(x3－2x)f(x)，可得f(－x)＝f(x)，即有f(x)為偶函數(shù).故選B.答案B6.若函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋6，則f(x)在[－3，0)上的值域?yàn)?)A.[2，6] B.[2，6)C.[2，3] D.[3，6]解析∵函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋6，∴當(dāng)x∈[－3，0)時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－3，－2]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[－2，0)上單調(diào)遞增.∵f(－2)＝2，f(－3)＝3，f(0)＝6，∴2≤f(x)<6.故選B.答案B7.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，若f(－1)＝0，則不等式f(2x－1)>0的解集為()A.(－∞，0)∪(1，＋∞) B.(－6，0)∪(1，3)C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(－1)＝0且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(1)＝0且f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，∴由f(2x－1)＞0得2x－1>1或2x－1<－1，即x>1或x<0，則不等式的解集為(－∞，0)∪(1，＋∞)，故選A.答案A8.a，b為實(shí)數(shù)，集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)，1))，N＝{a，0}，f：x→2x表示把集合M中的元素x映射到集合N中為2x，則a＋b＝()A.－2 B.0C.2 D.±2解析由條件知M中元素eq\f(b,a)只能對(duì)應(yīng)0，1只能對(duì)應(yīng)a，所以eq\f(2b,a)＝0，a＝2，所以b＝0，a＝2，因此a＋b＝2.答案C9.設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3，x>10，,f（f（x＋5）），x≤10，))則f(5)的值是()A.24 B.21C.18 D.16解析f(5)＝f(f(10))＝f(f(f(15)))＝f(f(18))＝f(21)＝24.答案A10.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，x≥0時(shí)，f(x)＝x2－2x，則函數(shù)f(x)在R上的解析式是()A.f(x)＝－x(x－2)B.f(x)＝x(|x|－2)C.f(x)＝|x|(x－2)D.f(x)＝|x|(|x|－2)解析∵f(x)在R上是偶函數(shù)，且x≥0時(shí)，f(x)＝x2－2x，∴當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋2x＝x2＋2x，則f(x)＝f(－x)＝x2＋2x＝－x(－x－2).又當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－2x＝x(x－2)，因此f(x)＝|x|(|x|－2).答案D11.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－ax－5（x≤1），,\f(a,x)（x>1）))是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是()A.－3≤a<0 B.－3≤a≤－2C.a≤－2 D.a<0解析由條件可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)≥1，,a<0，,－a－6≤a，))解得－3≤a≤－2.答案B12.若集合A具有以下性質(zhì)：(1)0∈A，1∈A；(2)若x∈A，y∈A，則x－y∈A，且x≠0時(shí)，eq\f(1,x)∈A，則稱集合A是“好集”，下列命題正確的個(gè)數(shù)是()①集合B＝{－1，0，1}是“好集”；②有理數(shù)集Q是“好集”；③設(shè)集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，則x＋y∈A.A.0 B.1C.2 D.3解析①中，∵集合B＝{－1，0，1}，當(dāng)x＝－1，y＝1時(shí)，x－y?B，故B不是“好集”，即①錯(cuò)誤；②中，∵0∈Q，1∈Q，對(duì)隨意的x，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0時(shí)，eq\f(1,x)∈Q，所以有理數(shù)集Q是“好集”，故②正確；③中，∵集合A是“好集”，所以0∈A.若x，y∈A，則0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A，故③正確.故選C.答案C二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分)13.已知集合A＝{－1，a}，B＝{3a，b}，若A∪B＝{－1，0，1}，則a＝________.解析由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,3a＝1，,b＝0，))∴a＝0.答案014.函數(shù)f(x)在R上為偶函數(shù)，且x>0時(shí)，f(x)＝eq\r(x)＋1，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝________.解析∵f(x)為偶函數(shù)，x>0時(shí)，f(x)＝eq\r(x)＋1，∴當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，f(x)＝f(－x)＝eq\r(－x)＋1，即x<0時(shí)，f(x)＝eq\r(－x)＋1.答案eq\r(－x)＋115.已知函數(shù)f(x)＝eq\r(\f(x,2－x))，則函數(shù)g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))的定義域是________.解析由eq\f(x,2－x)≥0，解得0≤x<2，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x＋\f(1,2)<2，,0≤x－\f(1,2)<2，))解得eq\f(1,2)≤x<eq\f(3,2)，故函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2))).答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))16.假如函數(shù)g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3，x>0，,f（x），x<0))是奇函數(shù)，則f(x)＝________.解析設(shè)x<0，則－x>0，g(－x)＝－2x－3.∵g(x)為奇函數(shù)，∴f(x)＝g(x)＝－g(－x)＝2x＋3.答案2x＋3三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分)17.(10分)已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x≤1或x≥4}.(1)當(dāng)a＝3時(shí)，求A∩B；(2)若A∩B＝?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)當(dāng)a＝3時(shí)，A＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|x≤1或x≥4}，∴A∩B＝{x|－1≤x≤1或4≤x≤5}.(2)①若A＝?，此時(shí)2－a＞2＋a，∴a＜0，滿意A∩B＝?.②當(dāng)a≥0時(shí)，A＝{x|2－a≤x≤2＋a}≠?，∵A∩B＝?，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－a＞1，,2＋a＜4，))∴0≤a＜1.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1).18.(12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ax2＋2,x＋b)是奇函數(shù)，且f(2)＝5.(1)確定函數(shù)f(x)的解析式；(2)推斷f(x)在(0，1)上的單調(diào)性.解(1)依據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝eq\f(ax2＋2,x＋b)是奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)，即有eq\f(a（－x）2＋2,（－x）＋b)＝－eq\f(ax2＋2,x＋b)，即b＝0，又由f(2)＝5，則有eq\f(4a＋2,2)＝5，可解得a＝2，故f(x)＝eq\f(2x2＋2,x).(2)依據(jù)題意，設(shè)隨意的實(shí)數(shù)x1，x2，且0<x1<x2<1，則f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)－\f(1,x2)))＝2(x1－x2)－eq\f(2（x1－x2）,x1x2)＝2(x1－x2)·eq\f(x1x2－1,x1x2)，又由0<x1<x2<1，則x1－x2<0，x1·x2<1，x1x2＞0，故f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)·eq\f(x1x2－1,x1x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(0，1)上是減函數(shù).19.(12分)已知二次函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0，4)，對(duì)隨意x滿意f(2－x)＝f(x)，且有最小值為1.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在區(qū)間[3a，a＋1]上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)∵對(duì)隨意x，f(x)滿意f(2－x)＝f(x)，則有：對(duì)稱軸x＝eq\f(2－x＋x,2)＝1，又∵最小值為1，∴設(shè)二次函數(shù)解析式為f(x)＝a(x－1)2＋1(a≠0).∵f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0，4)，∴a(0－1)2＋1＝4，∴a＝3，∴f(x)的解析式為f(x)＝3x2－6x＋4.(2)由(1)可知f(x)＝3x2－6x＋4，對(duì)稱軸x＝1，開(kāi)口向上.若f(x)在區(qū)間[3a，a＋1]上不單調(diào)，則有：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1>1，,3a<1，,3a<a＋1，))解得0<a<eq\f(1,3)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))).20.(12分)已知函數(shù)f(x)＝x2－4x－4.(1)若x∈[0，5]，求f(x)的值域；(2)若x∈[t，t＋1](t∈R)，求函數(shù)f(x)的最小值g(t)的解析式.解(1)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8，對(duì)稱軸x＝2，開(kāi)口向上，∴f(x)在[0，2)上遞減，在(2，5]上遞增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－8，f(x)的最大值是f(5)＝1，故f(x)的值域?yàn)閇－8，1].(2)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8，即拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x＝2，最小值為－8，過(guò)點(diǎn)(0，－4)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知：當(dāng)t＋1<2，即t<1時(shí)，f(x)＝x2－4x－4，x∈[t，t＋1](t∈R)，在x＝t＋1處取最小值f(t＋1)＝t2－2t－7；當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＋