自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

1第二章自動控制系統(tǒng)數(shù)學模型第1頁2內(nèi)容提要第一節(jié)列寫系統(tǒng)微分方程式普通方法第二節(jié)非線性數(shù)學模型線性化第三節(jié)傳遞函數(shù)第四節(jié)系統(tǒng)框圖及其等效變換第五節(jié)控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)第六節(jié)信號流圖和梅遜公式應用第2頁3

研究一個自動控制系統(tǒng)，除了對系統(tǒng)進行定性分析外，還必須進行定量分析，進而探討改進系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能詳細方法。系統(tǒng)在運動過程中各變量之間相互關系，既定性又定量地描述了整個系統(tǒng)動態(tài)過程。

所以，要分析和研究一個控制系統(tǒng)，就要經(jīng)過決定系統(tǒng)特征物理學定律（如機械﹑電氣﹑熱力﹑液壓﹑氣動等方面基本定律)列寫該系統(tǒng)運動方程式?！獢?shù)學模型引言第3頁4狀態(tài)變量描述數(shù)學模型傳遞函數(shù)頻率特征微分方程系統(tǒng)數(shù)學模型(MathematicalModels)就是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部其它變量之間關系數(shù)學表示式。三種數(shù)學模型之間有何關系？輸入輸出描述第4頁5系統(tǒng)

微分方程拉氏變換傅氏變換三種數(shù)學模型之間關系傳遞函數(shù)頻率特征S

j

第5頁6建立系統(tǒng)數(shù)學模型慣用方法有兩種﹕

機理分析法：

依據(jù)系統(tǒng)及各步驟所遵照物理規(guī)律（如力學﹑電磁學﹑運動學﹑熱學等）來列寫。

試驗辯識法：

依據(jù)試驗數(shù)據(jù)，采取適當方法進行整理列寫。

在實際工作中，這兩種方法是相輔相成，因為機理分析法是基本慣用方法，本章著重討論這種方法。怎樣建立微分方程？因為系統(tǒng)在運動過程中各變量大多都隨時間改變而改變，所以，建立方程普通為微分方程。第6頁7第一節(jié)列寫系統(tǒng)微分方程式普通方法列寫元件微分方程式步驟可歸納以下：（1）依據(jù)元件工作原理及其在控制系統(tǒng)中作用，確定其輸入量和輸出量；（2）分析元件工作中所遵照物理規(guī)律或化學規(guī)律，列寫對應微分方程；（3）消去中間變量，得到輸出量與輸入量之間關系微分方程，即數(shù)學模型。普通情況下，應將微分方程寫成標準形式，即與輸入量相關項寫在方程右端，與輸出量相關項寫在方程左端，方程兩端變量導項均按降冪形式排列。

第7頁8經(jīng)典例題分析[例2-1]列寫RLCcircuit微分方程顯然，這是一個二階線性常微分方程。

輸入量為電壓ur(t)輸出量為電壓uc(t)第8頁9[例2-2]試列寫電樞控制直流電動機微分方程ua(t)為輸入量，

m為輸出量

電動機軸上轉(zhuǎn)矩平衡方程顯然，這是也一個二階線性常微分方程。

電樞回路電壓平衡方程電磁轉(zhuǎn)矩方程第9頁10[例2-3]mass-spring-damper，試求外力F(t)與質(zhì)量塊位移y(t)之間微分方程。一樣，這也是一個二階線性常微分方程。

相同原理

看似完全不一樣系統(tǒng)，含有相同運動規(guī)律，可用相同數(shù)學模型來描述。第10頁11試列寫圖示速度控制系統(tǒng)微分方程

先將系統(tǒng)分解為若干步驟，分別寫出各步驟微分方程，消去中間變量，最終得出系統(tǒng)微分方程。第11頁12

嚴格地說，實際物理元件或系統(tǒng)都是非線性。

非線性微分方程求解很困難，沒有通用解析求解方法。

一定條件下將非線性方程近似處理為線性微分方程，能夠使系統(tǒng)動態(tài)特征分析大為簡化。第二節(jié)非線性數(shù)學模型線性化第12頁13線性化方法

控制系統(tǒng)都有一個平衡工作狀態(tài)以及與之相對應工作點。

一個基本假設：在平衡點附近作微小改變。

在給定工作點鄰域內(nèi)將非線性函數(shù)展開為泰勒級數(shù)。當偏差范圍很小時，能夠忽略二次以上項。這種線性化方法稱為小偏差線性化方法。第13頁14這就是非線性元件線性化數(shù)學模型。

給定A(x0，y0)為平衡點，非線性函數(shù)y=f(x)在平衡點A處連續(xù)可微，則可將函數(shù)y=f(x)

在平衡點附近展開成泰勒級數(shù)忽略二次以上各項，上式能夠?qū)懗?/p>

注意：一些嚴重非線性，不能作線性化處理第14頁拉氏變換復習1.定義：設函數(shù)f(t)當t>=0時有定義，而且積分存在，則稱F(s)是f(t)拉普拉斯變換。簡稱拉氏變換。記為f(t)稱為F(s)拉氏逆變換。記為：2.幾個主要拉氏變換第三節(jié)傳遞函數(shù)第15頁3.拉氏變換基本性質(zhì)(1)線性性質(zhì)

(2)微分性質(zhì)

若，則有

f(0)為原函數(shù)f(t)在t=0時初始值。(3)終值定理注：sF(s)在s右半平面和虛軸上是解析。即sF(s)極點必須在s左半平面。第三節(jié)傳遞函數(shù)第16頁4.拉氏反變換直接按上式求原函數(shù)太復雜，普通都用查拉氏變換表方法求拉氏反變換，但F(s)必須是一個能直接查到原函數(shù)形式。若F(s)不能在表中直接找到原函數(shù)，則需要將F(s)展開成若干部分分式之和，而這些部分分式拉氏變換在表中能夠查到。定義：從象函數(shù)F(s)求原函數(shù)f(t)運算稱為拉氏反變換。記為。由F(s)可按下式求出式中C是實常數(shù)，而且大于F(s)全部極點實部。

第三節(jié)傳遞函數(shù)第17頁第三節(jié)傳遞函數(shù)

建立系統(tǒng)數(shù)學模型目標是為了對系統(tǒng)性能進行分析。在給定外作用及初始條件下，求解微分方程就能夠得到系統(tǒng)輸出響應。這種方法比較直觀，尤其是借助于計算機能夠快速而準確地求得結(jié)果。不過假如系統(tǒng)結(jié)構(gòu)改變或某個參數(shù)改變時，就要重新列寫并求解微分方程，不便于對系統(tǒng)分析和設計。

拉氏變換是求解線性微分方程簡捷方法。當采取這一方法時，微分方程求解問題化為代數(shù)方程和查表求解問題，這么就使計算大為簡便。第18頁第三節(jié)傳遞函數(shù)

更主要是，因為采取了這一方法，能把以線性微分方程式描述系統(tǒng)動態(tài)性能數(shù)學模型，轉(zhuǎn)換為在復數(shù)域代數(shù)形式數(shù)學模型——傳遞函數(shù)。

傳遞函數(shù)不但能夠表征系統(tǒng)動態(tài)性能，而且能夠用來研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)或參數(shù)改變對系統(tǒng)性能影響。經(jīng)典控制理論中廣泛應用頻率法和根軌跡法，就是以傳遞函數(shù)為基礎建立起來。

傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本和最主要概念。第19頁20一.傳遞函數(shù)（TransferFunction

）1.傳遞函數(shù)定義在零初始條件下，對微分方程進行拉氏變換得：

線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)，定義為零初始條件下，系統(tǒng)輸出量拉氏變換與輸入量拉氏變換之比。第三節(jié)傳遞函數(shù)第20頁212.傳遞函數(shù)性質(zhì)①傳遞函數(shù)普通是復變量s有理分式，全部系數(shù)均為實數(shù)，且n≥m

。②傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)或元件結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與輸入量形式無關，也不反應系統(tǒng)內(nèi)部任何信息。③傳遞函數(shù)只適合用于線性定常系統(tǒng)，反應零初始條件下系統(tǒng)或元件運動情況。第21頁22④傳遞函數(shù)與微分方程一一對應，有不一樣表示形式：時間常數(shù)形式，零、極點形式。分母中s最高階次n即為系統(tǒng)階次。第22頁[例2-4]列寫RLCcircuit傳遞函數(shù)輸入量為電壓ur(t)輸出量為電壓uc(t)第23頁24B點為虛地[例2-5]建立如圖所表示RC電路傳遞函數(shù)百分比微分控制器第24頁25百分比微分控制器靜態(tài)放大系數(shù)[例2-6]建立如圖所表示RC電路傳遞函數(shù)第25頁263.經(jīng)典步驟（1）百分比步驟組成自動控制系統(tǒng)元件很多，按照其傳遞函數(shù)異同，能夠歸納為幾個經(jīng)典步驟，這對于研究自動控制系統(tǒng)是很方便。特點：輸出不失真、不延遲、成百分比地復現(xiàn)輸入信號改變第26頁百分比步驟特征參數(shù)只有一個，即放大系數(shù)K。工程上如無彈性變形杠桿傳動、電子放大器檢測儀表、百分比式執(zhí)行機構(gòu)、電位器、測速發(fā)電機等都是百分比步驟一些實際例子。

27第27頁（2）慣性步驟比如：RC網(wǎng)絡、單容水槽、電加熱爐、

直流電機勵磁回路等。特點：輸出量延緩地反應輸入量改變規(guī)律微分方程28第28頁比如：運算放大器。（3）積分步驟特點：步驟輸出量與輸入量對時間積分成正比，即有

當有一個恒定輸入量作用于積分步驟，其輸出量就與時間成正比地無限增加。積分步驟含有記憶功效，在控制系統(tǒng)設計中，慣用積分步驟來改進系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能。積分步驟在單位階躍輸入下響應29第29頁（4）微分步驟特點：理想微分步驟輸出與輸入信號對時間微分成正比在階躍輸入作用下輸出響應為一理想脈沖（實際上無法實現(xiàn)），因為微分步驟能預示輸出信號改變趨勢，所以慣用來改進系統(tǒng)動態(tài)特征。

實際上可實現(xiàn)微分步驟都含有一定慣性，其傳遞函數(shù)以下：實用RC網(wǎng)絡30第30頁31（5）振蕩步驟

(0<

<1)特點：如輸入為一階躍信號，則步驟輸出卻是周期振蕩形式含有上式形式傳遞函數(shù)在控制工程中經(jīng)常會碰到，比如1）R-L-C電路傳遞函數(shù)第31頁322）彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)傳遞函數(shù)3）直流他勵電動機在改變時傳遞函數(shù)上述三個傳遞函數(shù)在化成式統(tǒng)一形式時，即使它們阻尼比

和1/T所含詳細內(nèi)容各不相同，但只要滿足0＜

＜1，則它們都是振蕩步驟。第32頁第33頁34（6）純滯后步驟

比如：液壓、氣動和機械傳動系統(tǒng)等。第34頁35第四節(jié)系統(tǒng)框圖及其等效變換控制系統(tǒng)總是由許多元件組合而成。從信息傳遞角度去看，能夠把一個系統(tǒng)劃分為若干步驟，每一個步驟都有對應輸入量、輸出量以及它們傳遞函數(shù)。為了表明每一個步驟在系統(tǒng)中功效，在控制工程中，我們經(jīng)常應用所謂“框圖”概念?？刂葡到y(tǒng)框圖(blockdiagram)是描述系統(tǒng)各元部件之間信號傳遞關系數(shù)學圖形，它表示了系統(tǒng)中各變量之間因果關系以及對各變量所進行運算，是控制理論中描述復雜系統(tǒng)一個簡便計算。第35頁36一.框圖組成和繪制方法加號常省略,負號必須標出(1)信號線

(3)相加點(比較點)(2)引出點(分支點)(4)方框1.框圖組成第36頁372.框圖繪制方法[例2-7]

繪制RC網(wǎng)絡框圖解（1）列寫該網(wǎng)絡運動方程式（2）畫出上述兩式對應框圖（3）各單元框圖按信號流向依次連接第37頁38[例2-8]繪制雙T網(wǎng)絡框圖解（1）列寫該網(wǎng)絡運動方程式（2）畫出上述方程對應框圖（3）各單元框圖按信號流向依次連接雙T網(wǎng)絡可不能夠看成兩個RC網(wǎng)絡串聯(lián)？隔離放大器k第38頁393.框圖繪制普通步驟（1）列寫系統(tǒng)中每個部件運動方程式(注意負載效應)；（2）寫出對應傳遞函數(shù)，并畫出對應框圖；（3）將各單元框圖按信號流向依次連接起來，輸入量位于框圖最左端，輸出量位于框圖最右端；一個復雜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，其方框間連接必定是錯綜復雜，為了便于分析和計算，需要將結(jié)構(gòu)圖中一些方框基于“等效”概念進行重新排列和整理，使復雜結(jié)構(gòu)圖得以簡化。

第39頁40二、框圖等效變換在控制工程中，任何復雜系統(tǒng)，其框圖主要串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種基本形式連接而成?？驁D等效變換必須恪守一個基本標準，即變換前后各變量關系保持不變標準。1.串聯(lián)連接seriesN個步驟串聯(lián)后，等效傳遞函數(shù)為這N個步驟傳遞函數(shù)之積。

慣用框圖等效變換方法有二：一是步驟合并，二是信號分支點或相加點移動。第40頁412.并聯(lián)連接parallelN個步驟并聯(lián)后，等效傳遞函數(shù)為這N個步驟傳遞函數(shù)之代數(shù)和第41頁423.反饋連接feedback當H(s)=1時，稱為單位反饋反饋連接時，等效傳遞函數(shù)分子為前向通路傳遞函數(shù)分母為1

回路傳遞函數(shù)＋第42頁43[例2-9]試求多回路系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)

該框圖中有沒有經(jīng)典連接？該框圖中包含三種經(jīng)典連接：串聯(lián)，并聯(lián)和反饋

第43頁44第44頁45該框圖中包含哪種經(jīng)典連接？怎么辦？移動相加點或引出點位置！第45頁464.比較點和引出點移動(1)相加點后移(2)相加點前移第46頁47(3)引出點后移(4)引出點前移(5)相鄰相加點移動第47頁48(7)相鄰相加點與引出點移動(6)相鄰引出點移動麻煩，最好不要用！第48頁49第四節(jié)系統(tǒng)框圖及其等效變換第49頁50[例2-10]設系統(tǒng)如圖所表示，試對其閉環(huán)傳遞函數(shù)。A關鍵是“點”移動往哪移？第50頁51第51頁52

三種經(jīng)典結(jié)構(gòu)可直接用公式

相鄰相加點可交換位置相鄰引出點可交換位置不是經(jīng)典結(jié)構(gòu)不可直接用公式引出點相加點相鄰，不可交換位置總結(jié)注意事項第52頁53一.開環(huán)傳遞函數(shù)與前向通道傳遞函數(shù)

將反饋步驟H(s)輸出端斷開，則前向通道傳遞函數(shù)G1(s)G2(s)與反饋通道傳遞函數(shù)H(s)乘積G1(s)G2(s)H(s)稱為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù),相當于B(s)/E(s)。

第五節(jié)控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)

自動控制系統(tǒng)在工作過程中，經(jīng)常會受到兩類輸入信號作用，一類是給定有用輸入信號r(t)，另一類則是妨礙系統(tǒng)進行正常工作擾動信號d(t)。第53頁54二.閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)1.R(s)作用時閉環(huán)傳遞函數(shù)(D(s)=0)第54頁552.D(s)作用時閉環(huán)傳遞函數(shù)(R(s)=0)E(s)=R(s)-B(s)不會因為輸入信號位置改變而改變！反饋通道中負號怎樣處理？-1第55頁563.系統(tǒng)總輸出疊加原理4.系統(tǒng)總誤差不論輸入輸出怎樣改變，閉環(huán)傳遞函數(shù)分母不變！

1+G1(s)G2(s)H(s)=0

系統(tǒng)特征方程式用于判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，只與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)相關。第56頁57上式稱為閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式。上式稱為閉環(huán)系統(tǒng)特征方程。

特征方程根稱為閉環(huán)系統(tǒng)根或閉環(huán)系統(tǒng)極點。

第57頁第六節(jié)信號流圖和梅遜公式應用控制系統(tǒng)信號流圖(Signal-FlowGraph)與框圖一樣都是描述系統(tǒng)各元部件之間信號傳遞關系數(shù)學圖形。對于結(jié)構(gòu)比較復雜系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)圖變換和化簡過程往往顯得繁瑣而費時。與結(jié)構(gòu)圖相比，信號流圖符號簡單，更便于繪制和應用，而且能夠利用梅遜公式直接求出任意兩個變量之間傳遞函數(shù)。不過，信號流圖只適合用于線性系統(tǒng)，而結(jié)構(gòu)圖不但適合用于線性系統(tǒng)，還可用于非線性系統(tǒng)。信號流圖起源于梅遜利用圖示法來描述一個或一組線性代數(shù)方程式，它是由節(jié)點和支路組成一個信號傳遞網(wǎng)絡。

58第58頁一、信號流圖基本組成單元1.節(jié)點：表示系統(tǒng)中變量，圖中用"

"表示。2.支路：連接節(jié)點有向線段，圖中用"→"表示。比如：描述系統(tǒng)方程組為59第59頁二、信號流圖慣用術語1.節(jié)點輸入節(jié)點、輸出節(jié)點、混合節(jié)點2.前向通路從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點，并與任何一個節(jié)點相交

不多于一次通路，叫前向通路。3.回路起點和終點在同一節(jié)點，且與其它節(jié)點相交不多于一次閉合通路叫單獨回路。60第60頁5.前向通路增益在前向通路中，各支路增益

乘積叫做前向通路增益。6.回路增益

回路中各支路增益

乘積叫做回路增益。4.不接觸回路相互間沒有公共節(jié)點回路稱為不接觸回路。61第61頁三、梅遜增益公式梅遜公式給出了系統(tǒng)信號流圖中，任意輸入節(jié)點與輸出節(jié)點之間增益，即傳遞函數(shù)。其公式為：

N

--為從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點前向通路總條數(shù)Pk

--為第k條前向通路增益(傳遞函數(shù))

Mason’ssignal-flowgainformula62第62頁Δk--為第k條前向通路特征式余子式，即在Δ中，除去與第k條前向通路接觸回路（包含有公共節(jié)點部分）后值剩下部分。Δ--為系統(tǒng)特征式

Δ=1-（全部單獨回路增益之和）+（全部每兩個互不接觸回路增益乘積之和）-（全部三個互不接觸回路增益乘積之和）+……63第63頁[例2-11]試計算下列圖所表示系統(tǒng)傳遞函數(shù)X5(s)/X1(s)N=2，

P1=aceh

,

P2=dh有三個不一樣回路，即L1=cb，L2=cehg，L3=fP1特征余子式Δ1=1；P2特征余子式Δ2=1-L1=1-cb64第64頁

在結(jié)構(gòu)圖上能夠直接使用梅遜公式。

在使用時需要正確識別框圖中相對應前向通道、回路、接觸與不接觸、增益等，不要發(fā)生遺漏。[例2-12]

試求右圖所表示系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)

注意：65第65頁5個回路，分別為L1=

-

G1G2H1，L2=

-

G2G3H2，

L3=

-

G1G2G3，L4=

-

G1G4，L5=

-

G4H2