2023~2024學(xué)年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(文)真題 試卷帶解析

2023-2024學(xué)年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(文)真題模擬試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)槿?，集合，所以，又，所以，故選：A.2.（）A. B.1 C. D.【正確答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解即可.【詳解】故選：C.3.已知向量，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標(biāo)表示分別求得，從而利用平面向量余弦的運(yùn)算公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，，所以.故選：B.4.某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用古典概率的概率公式，結(jié)合組合的知識(shí)即可得解.【詳解】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，其中這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的基本事件有，所以這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為.故選：D.5.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（）A.25 B.22 C.20 D.15【正確答案】C【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)，再根據(jù)前項(xiàng)和公式即可解出；方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差，再根據(jù)前項(xiàng)和公式的性質(zhì)即可解出．【詳解】方法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，依題意可得，，即,又，解得：，所以．故選：C.方法二：，，所以，，從而，于是，所以．故選：C.6.執(zhí)行下邊的程序框圖，則輸出的（）A.21 B.34 C.55 D.89【正確答案】B【分析】根據(jù)程序框圖模擬運(yùn)行即可解出．【詳解】當(dāng)時(shí)，判斷框條件滿足，第一次執(zhí)行循環(huán)體，，，；當(dāng)時(shí)，判斷框條件滿足，第二次執(zhí)行循環(huán)體，，，；當(dāng)時(shí)，判斷框條件滿足，第三次執(zhí)行循環(huán)體，，，；當(dāng)時(shí)，判斷框條件不滿足，跳出循環(huán)體，輸出．故選：B.7.設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（）A.1 B.2 C.4 D.5【正確答案】B【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可解出；方法二：根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理即可解出．【詳解】方法一：因?yàn)?，所以，從而，所以．故選：B.方法二：因?yàn)?，所以，由橢圓方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故選：B.8.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先由切點(diǎn)設(shè)切線方程，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，代入所設(shè)方程即可求解.【詳解】設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，因?yàn)?，所以，所以所以所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.故選：C9.已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長(zhǎng).【詳解】由，則，解得，所以雙曲線的一條漸近線不妨取，則圓心到漸近線的距離，所以弦長(zhǎng).故選：D10.在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2等邊三角形，，則該棱錐的體積為（）A.1 B. C.2 D.3【正確答案】A【分析】證明平面，分割三棱錐為共底面兩個(gè)小三棱錐，其高之和為AB得解.【詳解】取中點(diǎn)，連接，如圖，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以，故選：A11.已知函數(shù)．記，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】令，則開口向下，對(duì)稱軸為，因?yàn)?，而，所以，即由二次函?shù)性質(zhì)知，因?yàn)?，而，即，所以，綜上，，又為增函數(shù)，故，即.故選：A.12.函數(shù)的圖象由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】C【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得，再作出與的部分大致圖像，考慮特殊點(diǎn)處與的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.【詳解】因?yàn)橄蜃笃揭苽€(gè)單位所得函數(shù)為，所以，而顯然過與兩點(diǎn)，作出與的部分大致圖像如下，考慮，即處與的大小關(guān)系，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；所以由圖可知，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：C.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公比為________．【正確答案】【分析】先分析，再由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式和平方差公式化簡(jiǎn)即可求出公比.【詳解】若，則由得，則，不合題意.所以.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，即，即，即，解?故14.若為偶函數(shù)，則________．【正確答案】2【分析】根據(jù)常見函數(shù)的奇偶性直接求解即可.【詳解】，且函數(shù)為偶函數(shù)，，解得，故215.若x，y滿足約束條件，則的最大值為________．【正確答案】15【分析】由約束條件作出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃求最值即可.【詳解】作出可行域，如圖，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)，有最大值，由可得，即,所以.故1516.在正方體中，為的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球的球面有公共點(diǎn)，則球的半徑的取值范圍是________．【正確答案】【分析】當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)半徑最大，當(dāng)邊長(zhǎng)為的正方形是球的大圓的內(nèi)接正方形時(shí)半徑達(dá)到最小.【詳解】設(shè)球的半徑為.當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)，恰好經(jīng)過正方體的每個(gè)頂點(diǎn)，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會(huì)包含正方體，導(dǎo)致球面和棱沒有交點(diǎn)，正方體的外接球直徑為體對(duì)角線長(zhǎng)，即，故；分別取側(cè)棱的中點(diǎn)，顯然四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，且為正方形的對(duì)角線交點(diǎn)，連接，則，當(dāng)球的一個(gè)大圓恰好是四邊形的外接圓，球的半徑達(dá)到最小，即的最小值為.綜上，.故三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.記內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若，求面積．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對(duì)等式恒等變換，即可解出．【小問1詳解】因?yàn)椋?，解得：．【小?詳解】由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為．18.如圖，在三棱柱中，平面．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，求四棱錐的高．【正確答案】（1）證明見解析.（2）【分析】(1)由平面得，又因?yàn)椋勺C平面，從而證得平面平面；(2)過點(diǎn)作，可證四棱錐的高為,由三角形全等可證，從而證得為中點(diǎn)，設(shè)，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求.【小問1詳解】證明：因?yàn)槠矫妫矫?所以,又因?yàn)?，即，平面?所以平面，又因?yàn)槠矫?所以平面平面.【小問2詳解】如圖，過點(diǎn)作，垂足為.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以四棱錐的高為.因?yàn)槠矫?，平?所以,,又因?yàn)?，為公共邊，所以與全等，所以.設(shè)，則，所以為中點(diǎn)，,又因?yàn)?所以,即，解得，所以，所以四棱錐的高為．19.一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）．試驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?5.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；（2）（?。┣?0只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表對(duì)照組試驗(yàn)組（ⅱ）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.635【正確答案】（1）（2）（i）；列聯(lián)表見解析，（ii）能【分析】（1）直接根據(jù)均值定義求解；（2）（i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得，從而求得列聯(lián)表；（ii）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.【小問1詳解】試驗(yàn)組樣本平均數(shù)為：【小問2詳解】（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由原數(shù)據(jù)可得第11位數(shù)據(jù)為，后續(xù)依次為，故第20位，第21位數(shù)據(jù)為，所以，故列聯(lián)表為：合計(jì)對(duì)照組61420試驗(yàn)組14620合計(jì)202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍．【正確答案】（1）在上單調(diào)遞減（2）【分析】（1）代入后，再對(duì)求導(dǎo)，同時(shí)利用三角函數(shù)平方關(guān)系化簡(jiǎn)，再利用換元法判斷得其分子與分母的正負(fù)情況，從而得解；（2）法一：構(gòu)造函數(shù)，從而得到，注意到，從而得到，進(jìn)而得到，再分類討論與兩種情況即可得解；法二：先化簡(jiǎn)并判斷得恒成立，再分類討論，與三種情況，利用零點(diǎn)存在定理與隱零點(diǎn)的知識(shí)判斷得時(shí)不滿足題意，從而得解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，則，令，由于，所以，所以，因?yàn)椋?，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】法一：構(gòu)建，則，若，且，則，解得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以，，則，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由于，顯然，所以，滿足題意；綜上所述：若，等價(jià)于，所以的取值范圍為.法二：因?yàn)?，因?yàn)椋?，，故在上恒成立，所以?dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由于，顯然，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，令，則，注意到，若，，則在上單調(diào)遞增，注意到，所以，即，不滿足題意；若，，則，所以在上最靠近處必存在零點(diǎn)，使得，此時(shí)上有，所以在上單調(diào)遞增，則在上有，即，不滿足題意；綜上.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題方法二第2小問討論這種情況的關(guān)鍵是，注意到，從而分類討論在上的正負(fù)情況，得到總存在靠近處的一個(gè)區(qū)間，使得，從而推得存在，由此得解.21.已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，．（1）求；（2）設(shè)為的焦點(diǎn)，為上兩點(diǎn)，且，求面積的最小值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長(zhǎng)即可得出；（2）設(shè)直線：，利用，找到的關(guān)系，以及的面積表達(dá)式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值．【小問1詳解】設(shè)，由可得，，所以，所以，即，因?yàn)椋獾茫海拘?詳解】因?yàn)?，顯然直線的斜率不可能為零，設(shè)直線：，，由可得，，所以，，，因?yàn)?，所以，即，亦即，將代入得，，，所以，且，解得或．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，，所以的面積，而或，所以，當(dāng)時(shí)，的面積．本題解題關(guān)鍵是根據(jù)向量的數(shù)量積為零找到的關(guān)系，一是為了減元，二是通過相互的制約關(guān)系找到各自的范圍，為得到的三角形面積公式提供定義域支持，從而求出面積的最小值.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22.已知點(diǎn)，直線（為參數(shù)），為的傾斜角，與軸正半軸、軸正半軸分別交于，且．（1）求；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求的極坐標(biāo)方程．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)的幾何意義即可解出；（2）求出直線的普通方程，再根據(jù)直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)互化公式即可解出．【小問1詳解】因?yàn)榕c軸，軸正半軸交于兩點(diǎn)