2023~2024學(xué)年河北滄州高考數(shù)學(xué)押題試題三模帶解析

2023-2024學(xué)年河北省滄州市高考數(shù)學(xué)押題模擬試題（三模）一、單選題1．已知，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C．1 D．3【正確答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運算化簡，然后可得答案.【詳解】因為，所以，所以復(fù)數(shù)的虛部為1.故選：C2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】首先解對數(shù)不等式求出集合，再根據(jù)交集的定義計算可得.【詳解】由，可得，所以，解得，所以，又，所以.故選：B3．若雙曲線的一條漸近線與圓相交于、兩點，且，則（

）A．2 B．4 C．5 D．8【正確答案】B【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意可得，得到漸近線方程，由弦長求出圓心到直線的距離，即可得到方程，解得即可.【詳解】圓，即，圓心為，半徑，因為為雙曲線，所以，則漸近線方程為，即，因為，所以圓心到直線的距離，則，所以.故選：B4．函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【正確答案】D【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)法判斷.【詳解】解：因為函數(shù)的定義域為：，且，所以函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，，令，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得極小值，故選：D5．已知函數(shù)在時取得最值，則圖象在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)已知并利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)值，進而確定函數(shù)解析式和導(dǎo)函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程.【詳解】由，當(dāng)時定義域上單調(diào)，無最值；當(dāng)時，不合題設(shè)；所以，對于為單調(diào)函數(shù)，函數(shù)值有正有負，要使時取得最值，只需，則，所以，經(jīng)檢驗滿足題設(shè)，故，，所以，，故處的切線方程為，即.故選：B6．月牙泉，古稱沙井，俗名藥泉，自漢朝起即為“敦煌八景”之一，得名“月泉曉澈”，因其形酷似一彎新月而得名．如圖所示，某月牙泉模型的邊緣都可以看作是圓弧，兩段圓弧可以看成是的外接圓和以AB為直徑的圓的一部分，若，AB的長約為，則該月牙泉模型的面積約為（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】由正弦定理求出外接圓的半徑為，得出弓形部分所對的圓心角，求出弓形面積后由半圓面積減去弓形面積即得．【詳解】設(shè)外接圓圓心為，如圖，半徑為，則，，因此，中弓形面積為，從而陰影部分面積為．故選：A．7．甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面積分別為和，體積分別為和.若，則兩圓錐側(cè)面展開圖的圓心角之和為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積、體積列式結(jié)合，再結(jié)合圓錐的側(cè)面展開圖及扇形公式運算求解.【詳解】設(shè)甲、乙兩個圓錐的底面半徑分別為和，母線長為，則甲、乙兩個圓錐的高和，由題意可得：，解得，設(shè)甲、乙兩個圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角分別為和，則，解得，所以兩圓錐側(cè)面展開圖的圓心角之和.故選：C.8．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】依題意，，，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷、，再令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷、，即可得解.【詳解】因為，，，令，，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，則，即，即，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，則，則，即，即，所以，綜上可得.故選：D關(guān)鍵點睛：本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)式子的特征構(gòu)造函數(shù)，，，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合臨界點的函數(shù)值，從而判斷函數(shù)值的正負，達到比較大小的目的.二、多選題9．某地環(huán)保部門公布了該地兩個景區(qū)2016年至2022年各年的全年空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù).現(xiàn)根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點圖，則由該圖得出的下列結(jié)論中正確的是（

）

A．景區(qū)A這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的中位數(shù)為254B．景區(qū)這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的第80百分位數(shù)為280C．這7年景區(qū)A的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差比景區(qū)的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差大D．這7年景區(qū)A的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的平均數(shù)比景區(qū)的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的平均數(shù)大【正確答案】AC【分析】根據(jù)統(tǒng)計中的相關(guān)概念與公式逐項分析判斷.【詳解】由圖可得：景區(qū)A這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)排序得：203，217，254，254，293，301，313；景區(qū)B這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)排序得：255，262，262，266，280，283，293；對于選項A：景區(qū)A這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的中位數(shù)為254，故A正確；對于選項B：因為，則第80百分位數(shù)為第6個數(shù)，為283，故B錯誤；對于選項C：由圖可知：景區(qū)A的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù)波動比景區(qū)的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù)波動大，所以景區(qū)A的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差比景區(qū)的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差大，故C正確；對于選項D：景區(qū)A的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的平均值，景區(qū)B的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的平均值，因為，即，所以這7年景區(qū)A的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的平均數(shù)比景區(qū)的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的平均數(shù)小，故D錯誤；故選：AC.10．已知二項式的展開式中所有項的系數(shù)的和為64，則（

）A．B．展開式中的系數(shù)為C．展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為32D．展開式中二項式系數(shù)最大的項為【正確答案】ACD【分析】賦值法求得，根據(jù)二項式定理求展開式通項，結(jié)合二項式系數(shù)性質(zhì)求的系數(shù)、奇數(shù)項的二項式系數(shù)和、二項式系數(shù)最大的項.【詳解】令，則，可得，A對；，當(dāng)時，，B錯；由原二項式的二項式系數(shù)和為，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為32，C對；由上知：二項式系數(shù)最大為，即，則，D對.故選：ACD11．已知函數(shù)的最小正周期為，且滿足，，若在上有三個不同的零點，則的取值可以是（

）A． B． C． D．3【正確答案】ABC【分析】由題設(shè)，且關(guān)于、對稱，則確定，，再將問題化為與有三個交點，數(shù)形結(jié)合求范圍，即可得答案.【詳解】由，則，由，即關(guān)于、對稱，所以，，則，則，，綜上，，則，故，由，則，，所以，，又，故，，綜上，，要使在上有三個不同的零點，即與有三個交點，而在上的圖象如下：由圖知：，滿足條件的有A、B、C.故選：ABC12．在四棱錐中，平面，直線與平面和平面所成的角分別為和，則（

）A． B．C．直線與平面所成角的余弦值為 D．若的中點為，則三棱錐的外接球的表面積為【正確答案】BD【分析】設(shè)，易得即為直線與平面所成角的平面角，即為直線與平面所成角的平面角，從而可求得，即可判斷AB；以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可判斷C；易得為等腰直角三角形，則外接圓的圓心為的中點，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為，則平面，設(shè)，再根據(jù)求得半徑，即可判斷D.【詳解】設(shè)，則，因為平面，平面，所以，則即為直線與平面所成角的平面角，所以，所以，即，，因為平面，所以平面，則即為直線與平面所成角的平面角，所以，所以，即，所以，即，故A錯誤；，則，所以，故B正確；對于C，如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，則，所以直線與平面所成角的正弦值為，余弦值為，故C錯誤；因為的中點為，所以且，又，所以四邊形為矩形，所以，所以為等腰直角三角形，，則外接圓的圓心為的中點，半徑，如圖，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為，則平面，設(shè)，則，即，解得，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為，故D正確.故選：BD.

方法點睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.三、填空題13．已知平面向量的夾角為，且.若向量在向量上的投影向量為，則的值為________.【正確答案】/0.25【分析】利用已知條件先求出，在根據(jù)投影向量求解的方法求解即可得出的值.【詳解】因為平面向量的夾角為，，所以，又，所以，即，即，所以或（舍去），所以，所以向量在向量上的投影向量為：，又向量在向量上的投影向量為，所以，故答案為.14．已知正四棱臺中，，，則其體積為________.【正確答案】【分析】作出正四棱臺的直觀圖，過點作交于點，過點作交于點，利用勾股定理求出棱臺的高，最后根據(jù)棱臺的體積公式計算可得.【詳解】如圖正四棱臺中，則，，過點作交于點，過點作交于點，則，又，所以，即正四棱臺的高，所以棱臺的體積.故15．2022年8月31日至9月5日在國家會議中心和首鋼園區(qū)舉辦了中國國際服務(wù)貿(mào)易交易會.今年服貿(mào)會的主題為“服務(wù)合作促發(fā)展，綠色創(chuàng)新迎未來”，國際化和專業(yè)化水平進一步提升.某高校甲、乙、丙、丁、戊、己六位大學(xué)生通過篩選加入志愿者.通過培訓(xùn)，擬安排這六位大學(xué)生到四個場館進行志愿服務(wù)，每名同學(xué)只能去一個場館，每個場館至少安排一名志愿者，且甲、乙不能去同一個場館，丙、丁不能去同一個場館，則不同的安排方法有________種.（用數(shù)字作答）【正確答案】1104【分析】先根據(jù)分組分配問題求總的安排方法，然后減去甲、乙去同一個場館，丙、丁去也同一個場館的安排方法數(shù)，再加上甲、乙去同一個場館，且丙、丁去也同一個場館的安排方法數(shù),即可得到答案.【詳解】將6人分成4組，共有種，再將4組分到4個場館有種，所以將6人分到4個場館共有種.若甲、乙去同一個場館，則將甲、乙看成一個元素，與其余4人一起共5個元素分成4組，再分到4個場館，共有種，同理，丙、丁去同一個場館也有種；若甲、乙去同一個場館，且丙、丁去也同一個場館，則有種.所以，甲、乙不去同一個場館，且丙、丁不去同一個場館的不同的安排方法有種.故1104.16．如圖，四邊形為橢圓的內(nèi)接矩形，其中點關(guān)于軸對稱，點滿足，直線交橢圓于點，且，則橢圓的離心率為________.

【正確答案】/0.5【分析】設(shè)，根據(jù)對稱即可得出，，利用得出，然后利用表示出和，聯(lián)立得出，再結(jié)合在橢圓上，通過化簡即可得出離心率.【詳解】由題知，設(shè)，則，，，，，則，所以，：，①，因為，所以，則，：，②聯(lián)立①②得，而，，所以，則，所以，而，所以，所以，，所以，所以.故關(guān)鍵點睛：本題考查直線與圓錐曲線相位置關(guān)系，注意運用橢圓的方程和對稱性，考查化簡整理的運算求解能力，屬于中檔題.四、解答題17．已知數(shù)列的前項和為，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若，，成等比數(shù)列.從下面三個條件中選擇一個，求數(shù)列的前項和.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）①；②；③.【正確答案】(1)證明見解析(2)答案見解析【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差得到，當(dāng)時兩邊同除，即可得到為常數(shù)數(shù)列，從而求出，即可證明；（2）設(shè)的公差為，根據(jù)等比中項的性質(zhì)得到方程，求出，即可求出的通項，再根據(jù)所選條件，利用裂項相消法計算可得.【詳解】（1）因為，即，當(dāng)時，解得，當(dāng)時，所以，即，所以，當(dāng)時上述式子恒成立，當(dāng)時兩邊同除可得，即，所以為常數(shù)數(shù)列，即，所以，即，當(dāng)時上述也成立，所以，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列.（2）設(shè)的公差為，因為，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以；若選①，則，所以.若選②，則，所以.若選③，則，所以.18．已知在中，角的對邊分別為，點滿足，且.(1)求證：；(2)求的值.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）分別在和中利用正弦定理表示出，，代入已知等式化簡整理即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)，余弦定理整理得到；在中利用余弦定理得，進而得，代入求值，再求正弦值，令，則，將目標(biāo)式化簡得到關(guān)于的代數(shù)式，即可求值.【詳解】（1），則，，在中；在中；又，，即，.（2）在中，由余弦定理得：；在中，由余弦定理得：；，則，即，整理可得：；在中，由余弦定理得：，則，，故，即；.由（1）知：，則，則，令，則，，所以，，.19．新能源汽車是指除汽油、柴油發(fā)動機之外的所有其他能源汽車，被認為能減少空氣污染和緩解能源短缺的壓力.在當(dāng)今提倡全球環(huán)保的前提下，新能源汽車越來越受到消費者的青睞，新能源汽車產(chǎn)業(yè)也必將成為未來汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的導(dǎo)向與目標(biāo).某機構(gòu)從某地區(qū)抽取了500名近期購買新能源汽車的車主，調(diào)查他們的年齡情況，其中購買甲車型的有200人，統(tǒng)計得到如下的頻率分布直方圖.

(1)將年齡不低于45歲的人稱為中年，低于45歲的人稱為青年，購買其他車型的車主青年人數(shù)與中年人數(shù)之比為.完成下列列聯(lián)表，依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為購買甲車型新能源汽車與年齡有關(guān)？青年中年合計甲車型其他車型合計(2)用分層抽樣的方法從購買甲車型的樣本中抽取8人，再從中隨機抽取4人，記青年有人，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【正確答案】(1)列聯(lián)表見詳解，能認為購買甲車型新能源汽車與年齡有關(guān).(2)分布列見詳解，【分析】（1）根據(jù)分布列和已知條件求出購買甲車型和其他車型的青年、中年人數(shù)，可得列聯(lián)表，然后計算卡方，查表可作出判斷；（2）先計算各層所抽取人數(shù)，然后由超幾何分布概率公式求概率可得分布列，再根據(jù)期望公式可解.【詳解】（1）由直方圖可知，購買甲車型的青年人數(shù)為人，中年人數(shù)為人，購買其他車型的青年人數(shù)為人，中年人數(shù)為人，于是的列聯(lián)表：青年中年合計甲車型12575200其他車型22575300合計350150500因為，所以，有的把握認為購買甲車型新能源汽車與年齡有關(guān).（2）用分層抽樣的方法從購買甲車型的樣本中抽取8人，則青年有人，中年有人，所以X的可能取值為1,2,3,4.，，，，得分布列：X1234P所以.20．如圖所示.在多面體中，平面，，，，且，，分別為棱，的中點，為棱上一點，且.

(1)證明：為的中點；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）過點作，即可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出，，依題意可得，即可求出的值，從而得證；（2）利用空間向量法計算可得.【詳解】（1）因為平面，，如圖過點作，則平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令，在底面四邊形中，，所以，則，，，，，，，所以，，因為為棱上一點，設(shè)，則，因為，所以，即，解得，所以為的中點.（2）由（1）可得，又，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；設(shè)平面與平面的夾角為，則，故平面與平面夾角的余弦值為.21．已知函數(shù).(1)若不等式有解，求實數(shù)的取值范圍；(2)若有兩個不同的零點，證明.【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題設(shè)在上有解，利用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)最大值，即可得參數(shù)范圍；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究零點分布，再轉(zhuǎn)化證明結(jié)論為，分析法轉(zhuǎn)化結(jié)論，并構(gòu)造中間函數(shù)研究恒成立證明結(jié)論.【詳解】（1）由，即在上有解，所以在上有解，令，只需，由，當(dāng)，則，遞增，當(dāng)，則，遞減，所以最大值為，故.（2）由題意，有兩個零點，則有兩個解，令與有兩個交點，而，且，當(dāng)，則，故在上遞增，且值域為；當(dāng)，則，故在上遞減，且值域為；所以最大值為，故，且，圖象如下