2023~2024學年湖北黃岡高考數(shù)學押題試題5月帶解析

2023-2024學年湖北省黃岡市高考數(shù)學押題模擬試題（5月）一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】首先求出絕對值不等式和對數(shù)不等式的解集，得出集合，進而可求出.【詳解】由，得或，所以，由，得，所以，所以.故選：A.2．已知復數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】利用復數(shù)除法和乘法運算法則得到，然后求共軛復數(shù)即可.【詳解】由題意得，所以，.故選：D.3．在平行四邊形中，．若，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據向量對應線段的數(shù)量及位置關系，用表示出，求出參數(shù)，進而得結果.【詳解】，

所以，則.故選：D4．刻漏是中國古代用來計時的儀器，利用附有刻度的浮箭隨著受水壺的水面上升來指示時間.為了使受水壺得到均勻水流，古代的科學家們發(fā)明了一種三級漏壺，壺形都為正四棱臺，自上而下，三個漏壺的上口寬依次遞減1寸（約3.3厘米），下底寬和深度也依次遞減1寸.設三個漏壺的側面與底面所成銳二面角依次為，，，則（

）

A． B．C． D．【正確答案】D【分析】連結，過邊的中點作，垂足為，則就是漏壺的側面與底面所成銳二面角的一個平面角，記為，設漏壺上口寬為，下底寬為，高為，在中，根據等差數(shù)列即可求解．【詳解】三級漏壺，壺形都為正四棱臺，自上而下，三個漏壺的上口寬依次遞減1寸（約3.3厘米），下底寬和深度也依次遞減1寸，如圖，在正四棱臺中，為正方形的中心，是邊的中點，連結，過邊的中點作，垂足為，

則就是漏壺的側面與底面所成銳二面角的一個平面角，記為，設漏壺上口寬為，下底寬為，高為，在中，，，因為自上而下三個漏壺的上口寬成等差數(shù)列，下底寬也成等差數(shù)列，所以為定值，又因為三個漏壺的高成等差數(shù)列，所以．故選：D．5．在九位數(shù)123456789中，任意交換兩個數(shù)字的位置，則交換后任意兩個偶數(shù)不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據給定的九位數(shù)，求出任意交換兩個數(shù)字的位置的試驗含有的基本事件數(shù)，再分類求出偶數(shù)不相鄰的事件含有的基本事件數(shù)即可計算作答.【詳解】交換九位數(shù)中的任意兩個數(shù)字的試驗有個基本事件，它們等可能，由于原九位數(shù)的所有偶數(shù)字不相鄰，因此交換后任意兩個偶數(shù)不相鄰的事件有3類：交換兩個偶數(shù)字，有種，交換兩個奇數(shù)字，有種，1與2或8與9的交換，有2種，所以交換后任意兩個偶數(shù)不相鄰的概率.故選：A6．將函數(shù)的圖象上的點橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標變）得到函數(shù)的圖象，若存在，使得對任意恒成立，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據三角函數(shù)的變換規(guī)則求出的解析式，依題意可得關于點對稱，即可得到，，即可得解.【詳解】將函數(shù)的圖象上的點橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標變）得到，若存在，使得對任意恒成立，所以關于點對稱，則，，解得，，因為，所以.故選：C7．設，，，則a，b，c的大小關系正確的是（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】由、分別構造、且，利用導數(shù)研究函數(shù)值符號，即可得答案.【詳解】由，則，令且，則為減函數(shù)，所以，而，故，故在上遞增，則，即在上恒成立，所以，即，由，令且，則，所以在上遞增，則，即在上恒成立，所以，即.綜上，.故選：C關鍵點點睛：利用作差法，并構造函數(shù)，應用導數(shù)研究函數(shù)值符號判斷大小關系.8．如圖，為雙曲線的左右焦點，過的直線交雙曲線于兩點，且，為線段的中點，若對于線段上的任意點，都有成立，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】取中點，根據向量數(shù)量積的運算律和向量線性運算可將已知數(shù)量積不等式化為，由此可確定，由三角形中位線性質知；設，結合雙曲線定義可表示出，在和中，利用勾股定理可求得離心率.【詳解】取中點，連接，，，，則，恒成立，，又，，設，由得：，根據雙曲線定義可知：，，，即，，，，又，，，則離心率.故選：D.二、多選題9．如圖，在正四棱柱中，，為四邊形對角線的交點，下列結論正確的是（

）A．點到側棱的距離相等 B．正四棱柱外接球的體積為C．若，則平面 D．點到平面的距離為【正確答案】BD【分析】利用正四棱柱的體對角線等于外接球直徑，以及空間位置關系的向量方法證明和空間距離的向量方法計算方法即可求解.【詳解】對于A,到側棱的距離等于,到側棱的距離相等且等于,故A錯誤；對于B，設正四棱柱外接球的直徑為，則有,即，所以外接球的體積等于，故B正確；對于C，建立空間直角坐標系，如圖，則,因為，所以,所以，，,所以，所以與平面不垂直，故C錯誤；對于D,由以上知，設平面的法向量為，則有，,,即，令則，所以，因為,所以點到平面的距離為，故D正確.故選:BD.10．已知函數(shù)，且滿足，則實數(shù)的取值可能為（

）A． B． C．1 D．2【正確答案】AD【分析】令，則.討論的奇偶性和單調性，由得，由的單調性得，解出實數(shù)的取值范圍即可得到答案.【詳解】令，則，因為，所以為奇函數(shù).又因為，所以根據單調性的性質可得為增函數(shù).因為，所以，等價于，即，所以，即，解得或，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：AD11．已知拋物線C：的焦點為F，P，Q為C上兩點，則下列說法正確的是（

）A．若，則的最小值為4B．若，記，則C．過點與C只有一個公共點的直線有且僅有兩條D．以PQ為直徑的圓與C的準線相切，則直線PQ過F【正確答案】ABD【分析】對于A，由拋物線的定義即可判定；對于BC，利用直線與拋物線的位置關系即可判定；對于D，由拋物線的性質即可判定.【詳解】

如圖所示，設PQ的中點為B，過P、Q、B分別作的垂線，垂足為D、E、A，對于A，由題意可知，拋物線C：的焦點為，準線為.在拋物線上方，，即最小值為M到準線的距離4，當M，P，A三點共線時等號成立，故A正確；對于B，由，設過N與拋物線相切的直線與拋物線切于點，則，此時切線斜率為，即拋物線上任一點P，都有，故，所以B正確；對于C,由于點在C的下方，設過與拋物線相切的直線切于點，由上可得或，又知當時該直線與拋物線只一個交點，故過點與C只有一個公共點的直線有三條，所以C不正確；對于D，由梯形中位線性質及拋物線定義知，所以直線PQ過F，故D正確.故選：ABD.12．若為函數(shù)的導函數(shù)，數(shù)列滿足，則稱為“牛頓數(shù)列”.已知函數(shù)，數(shù)列為“牛頓數(shù)列”，其中，則（

）A．B．數(shù)列是單調遞減數(shù)列C．D．關于的不等式的解有無限個【正確答案】BCD【分析】對函數(shù)求導，得出數(shù)列遞推關系，構造等比數(shù)列，求出通項，根據數(shù)列的函數(shù)性質及不等式證明逐一判斷各選項.【詳解】對于A，由得，所以，故A錯誤；對于B，由得，，所以，數(shù)列是單調遞減數(shù)列，故B正確；對于C，，，由，得，所以，所以，令，則，所以數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，又，，所以，即，所以，，即.對于C，，下面用數(shù)學歸納法證明.當時，，命題成立；假設當時，命題成立，即；當時，即，，命題成立；所以命題成立；綜上成立.對于D，，因為，所以，即，，所以不等式的解有無限個,故D正確.故選：BCD.關鍵點點睛：本題關鍵是由和，構造等比數(shù)列，考查了運算求解能力和邏輯推理能力,屬于偏難題目.三、填空題13．的展開式中項的系數(shù)為______.（用數(shù)字作答）【正確答案】【分析】化簡得到，求展開式的通項公式，結合題意分別求得的值，代入求解即可.【詳解】，展開式的通項為，.令得，令得，對于，的系數(shù)為，對于，的系數(shù)為，所以的展開式中的系數(shù)為.故答案為.14．已知直線l：被圓C：所截得的弦長為整數(shù)，則滿足條件的直線l有______條.【正確答案】9【分析】根據題意可知直線l恒過定點，分別求得直線被圓截得弦長的最大值和最小值，利用對稱性即可求得滿足條件的直線l共有9條.【詳解】將直線l的方程整理可得，易知直線恒過定點；圓心，半徑；所以當直線過圓心時弦長取最大值，此時弦長為直徑；易知，當圓心與的連線與直線l垂直時，弦長最小，如下圖所示；

此時弦長為，所以截得的弦長為整數(shù)可??；由對稱性可知，當弦長為時，各對應兩條，共8條，當弦長為8時，只有直徑1條，所以滿足條件的直線l共有9條.故915．若曲線與曲線存在公切線，則a的取值范圍為__________．【正確答案】【分析】曲線與曲線存在公切線等價于導函數(shù)相等有解，求導后列出方程求解即可.【詳解】由，則，設切點為，切線斜率為，所以，切線為，即，由，則，設切點為，切線斜率為，所以，切線為，即，根據題設，若它們切線為公切線，則有，即，又，即且，即，由上關系式并消去并整理得在上有解，令，則，當，則，即，此時遞增；當，則或，即或，此時遞減；又，，所以，即.故答案為.關鍵點點睛：設切點并寫出兩曲線對應的切線方程，根據公切線列方程組，注意切點橫坐標及參數(shù)a范圍，進而轉化為方程在某區(qū)內有解問題.16．如圖，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.在圓錐內放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側切.橢圓截面與兩球相切于橢圓的兩個焦點，.過橢圓上一點作圓錐的母線，分別與兩個球相切于點.由球和圓的幾何性質可知，，.已知兩球半徑分為別和，橢圓的離心率為，則兩球的球心距離為_______________.【正確答案】【分析】設兩球的球心距離為，通過圓錐的軸截面進行分析，根據兩球半徑可求得；利用三角形相似可求得，進而得到；利用橢圓離心率可構造方程求得結果.【詳解】作出圓錐的軸截面如圖所示，圓錐面與兩球相切于兩點，則，，過作，垂足為，連接，，設與交于點，設兩球的球心距離為，在中，，，；，，，，解得：，，；由已知條件，知：，即軸截面中，又，，解得：，即兩球的球心距離為.故答案為.關鍵點點睛：本題以圓錐為載體，考查了橢圓的定義和幾何性質，解題關鍵是能夠通過作出圓錐的軸截面，利用軸截面中的線段垂直關系、長度關系，根據橢圓離心率構造出關于球心距離的方程.四、解答題17．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求的值；(2)設為邊上的高，，求的最大值．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據余弦定理化邊為角，并通過三角恒等變換化簡可得，由此可求，（2）根據三角形面積關系得，再根據余弦定理得范圍，由此可求的最大值.【詳解】（1）因為，所以，所以，∴，又，故，所以故，所以，．（2）∵，又，，所以．又由（1）知．由余弦定理得，∴（當且僅當b=c時等號成立），即．∴AO的最大值為．18．設正項數(shù)列滿足，，．數(shù)列滿足，其中，．已知如下結論：當時，．(1)求的通項公式．(2)證明：．【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據正切的二倍角公式可推出，可知是公比為的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式即可求解；（2）由于，可證，化簡，由已知可得，再利用等比數(shù)列的求和公式可證，得證.【詳解】（1）由于，則，由于，所以，即，又由可知，從而是首項為，公比為的等比數(shù)列，因此.（2）一方面，由于，因此．另一方面，由（1）中，可得．由于，則，即，因此，，綜上，.19．如圖，在四棱柱中，(1)求證：平面平面；(2)設為棱的中點，線段交于點平面，且，求平面與平面的夾角的余弦值.【正確答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據給定條件，利用線面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.（2）由（1）的信息，以為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量求解作答.【詳解】（1）設交于點，連接，如圖，因為，則點在線段的垂直平分線上，即有為的中點，又因為，則，又平面，因此平面，而平面，所以平面平面.（2）由（1）知，平面，而平面，則平面平面，在平面內過作，又平面平面，因此平面，射線兩兩垂直，以為原點，射線的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系，因為為棱的中點，則點是正的重心，又，平面，且，則，所以，設平面的法向量為，則，令，得，設平面的法向量為，則，令，得，設平面與平面的夾角為，則，即平面與平面的夾角的余弦值為.20．甲、乙兩人組團參加答題挑戰(zhàn)賽，規(guī)定：每一輪甲、乙各答一道題，若兩人都答對，該團隊得1分；只有一人答對，該團隊得0分；兩人都答錯，該團隊得－1分．假設甲、乙兩人答對任何一道題的概率分別為，．(1)記X表示該團隊一輪答題的得分，求X的分布列及數(shù)學期望；(2)假設該團隊連續(xù)答題n輪，各輪答題相互獨立．記表示“沒有出現(xiàn)連續(xù)三輪每輪得1分”的概率，，求a，b，c；并證明：答題輪數(shù)越多（輪數(shù)不少于3），出現(xiàn)“連續(xù)三輪每輪得1分”的概率越大．【正確答案】(1)分布列見解析，；(2)，證明見解析.【分析】（1）根據題意，求得的取值，再求對應的概率即可求得分布列；再根據分布列求即可；（2）求得，再分析第輪得分情況和第輪得分情況，從而求得遞推關系，通過的正負，即可判斷和證明.【詳解】（1）由題可知是，的取值為，；；

故的分布列如下：則.（2）由題可知，；經分析可得：若第輪沒有得分，則；若第輪得分，且第輪沒有得分，則；若第輪得分，且第輪得分，第輪沒有得分，則；故，故；因為，故，故；故，且，則，所以答題輪數(shù)越多（輪數(shù)不少于3），出現(xiàn)“連續(xù)三輪每輪得1分”的概率越大.關鍵點點睛：本題考察離散型隨機變量分布列、數(shù)學期望的求解；第二問處理的關鍵是能夠合理分析第輪的得分對概率的影響，從而求得遞推關系；屬綜合困難題.21．已知橢圓經過點，過原點的直線與橢圓交于，兩點，點在橢圓上（異于，），且．(1)求橢圓的標準方程；(2)若點為直線上的動點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，，求的最大值．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意利用點差法可得，結合，運算求解即可；（2）根據直線與橢圓相切利用韋達定理可得，結合夾角公式分析運算即可.【詳解】（1）設，則，可得，因為點在橢圓上，則，兩式相減得，整理得，即，可得，又因為點在橢圓上，則，由，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）由題意可知：切線的斜率存在，設為，設點，過點的直線為，聯(lián)立方程，消去y得，則，整理得，則，即過直線上任一點均可作橢圓的兩條切線，且，可得，因為，因為，當且僅當時，等號成立則，可得，所以，故當時，取到最大值.方法點睛：解決圓錐曲線中范圍問題的方法：一般題目中沒有給出明確的不等關系，首先需要根據已知條件進