2023~2024學(xué)年山東泰安肥城高考適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題三模帶解析

2023-2024學(xué)年山東省泰安肥城市高考適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)模擬試題（三模）一、單選題1．若則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由，可得，求得，所以.故選：C.2．“”是“成立”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】化簡“成立”，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】由可得，化簡可得，所以“成立”等價(jià)于“”，“”可推出“成立”，“成立”不能推出“”所以“”是“成立”的充分不必要條件，故選：A.3．為空間中兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若∥，∥，則∥B．若為異面直線，則過空間任一點(diǎn)，存在直線與都垂直C．若，，則與相交D．若不垂直于，且，則不垂直于【正確答案】B【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，線面垂直的性質(zhì)定理等即可判斷選項(xiàng).【詳解】對于選項(xiàng)A，若∥，∥，則或∥，A錯；對于選項(xiàng)C，若，，或與相交，C錯；對于選項(xiàng)D，若不垂直于，且，可能與垂直，D錯；對于選項(xiàng)B，過空間一點(diǎn)作兩條異面直線的平行線可以確定一個平面，過空間一點(diǎn)作平面的垂線有且只有一條，B正確.故選：B4．在實(shí)驗(yàn)課上，小明和小芳利用一個不等臂的天平秤稱取藥品.實(shí)驗(yàn)一：小明將克的砝碼放在天平左盤，取出一些藥品放在右盤中使天平平衡；實(shí)驗(yàn)二：小芳將克的砝碼放在右盤，取出一些藥品放在天平左盤中使天平平衡，則在這兩個實(shí)驗(yàn)中小明和小芳共秤得的藥品（

）A．大于克 B．小于克C．大于等于克 D．小于等于克【正確答案】C【分析】設(shè)出力臂和藥品數(shù)量，根據(jù)杠桿原理得到，再根據(jù)均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)天平左、右兩邊臂長分別為，小明、小芳放入的藥品的克數(shù)分別為，，則由杠桿原理得：，于是，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故選：C.5．已知為銳角，，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】由二倍角正切公式，同角關(guān)系化簡，求，再求，再由兩角差的正切公式求.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又為銳角，，所以，解得，因?yàn)闉殇J角，所以，又所以.故選：A.6．函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【正確答案】D【分析】定義判斷函數(shù)奇偶性，對函數(shù)求導(dǎo)，再求的值，應(yīng)用排除法即可得答案.【詳解】，定義域?yàn)?，所以為奇函?shù)，排除A、B，，所以，排除C，故選：D7．腰長為的等腰的頂角為，且，將繞旋轉(zhuǎn)至的位置得到三棱錐，當(dāng)三棱錐體積最大時其外接球面積為（

）

A． B．C． D．【正確答案】A【分析】在中，求得，根據(jù)題意得到三棱錐體積最大時，平面平面，取中點(diǎn)，得到，進(jìn)而得到且，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，分別求得和的外接圓的半徑，結(jié)合，進(jìn)而求得外接球的表面積.【詳解】在中，因?yàn)椋傻茫裕?dāng)三棱錐體積最大時，平面平面，因?yàn)?，取中點(diǎn)，則，設(shè)為外接圓圓心，為三棱錐外接球心，則，再設(shè)為外接圓圓心，平面，則且，設(shè)三棱錐外接球的半徑為在直角中，可得且，因?yàn)?，可得所以外接圓半徑，所以，因?yàn)?，所以的外接圓的半徑，且，在中，可得，可得，所以，所以外接球的表面積為.故選：A.

8．某人在次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為，，其中，擊中奇數(shù)次為事件，則（

）A．若，則取最大值時B．當(dāng)時，取得最小值C．當(dāng)時，隨著的增大而增大D．當(dāng)時，隨著的增大而減小【正確答案】C【分析】對于A，根據(jù)直接寫出，然后根據(jù)取最大值列式計(jì)算即可判斷；對于B，根據(jù)，直接寫出即可判斷；對于CD，由題意把表示出來，然后利用單調(diào)性分析即可.【詳解】對于選項(xiàng)A，在次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，當(dāng)時對應(yīng)的概率，因?yàn)槿∽畲笾?，所以，即，即，解得，因?yàn)榍?，所以，即時概率最大．故A不正確；對于選項(xiàng)B，，當(dāng)時，取得最大值，故B不正確；對于選項(xiàng)C、D，，，，當(dāng)時，為正項(xiàng)且單調(diào)遞增的數(shù)列，所以隨著的增大而增大，故C正確；當(dāng)時，，為正負(fù)交替的擺動數(shù)列，所以不會隨著的增大而減小，故D不正確；故選：C.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)分布及其應(yīng)用，其中求是難點(diǎn)，關(guān)鍵是能找到其與二項(xiàng)展開式之間的聯(lián)系.二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．線性回歸方程對應(yīng)的直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)中的一個點(diǎn)B．某中學(xué)有高一學(xué)生人，高二學(xué)生人，高三學(xué)生人.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個容量為的樣本，已知從高一學(xué)生中抽取人，則為C．兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的值越接近于D．已知隨機(jī)變量，，且，若，則【正確答案】BD【分析】由線性回歸方程過樣本中心判斷A；分層抽樣等比例性質(zhì)求樣本容量判斷B；由相關(guān)系數(shù)的實(shí)際意義判斷C；利用方差性質(zhì)求新數(shù)據(jù)方差判斷D.【詳解】A：線性回歸方程一定過樣本的中心，不一定過樣本數(shù)據(jù)中的點(diǎn)，故不正確；B：由題意知，抽樣比為，所以，即，故正確；C：兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于，故不正確；D：，故正確；故選：BD10．已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點(diǎn)B．有三個零點(diǎn)C．若，則D．直線是曲線的切線【正確答案】AB【分析】對于A：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性與極值，進(jìn)而可得結(jié)果；對于B：結(jié)合函數(shù)圖象分析判斷；對于C：取特值分析判斷；對于D：結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A：函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，得或，?dāng)時，，則在和單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則在單調(diào)遞減，所以函數(shù)有兩個極值點(diǎn)和，故A正確；對于選項(xiàng)B：函數(shù)的極大值為，極小值為，結(jié)合函數(shù)圖像可知有三個零點(diǎn)，故B正確；

對于選項(xiàng)C：例如，可得，但，故C不正確；對于選項(xiàng)D：令，得或，且，可得：曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；在點(diǎn)處的切線方程為，即；綜上所述：直線不是曲線的切線，故D不正確；故選：AB.結(jié)論點(diǎn)睛：若，則三次函數(shù)的對稱中心為.11．定義為角的正矢，記作；定義為角的余矢，記作.定義：為一組數(shù)據(jù)相對于常數(shù)的“正弦方差”.若，一組數(shù)據(jù)相對于的：“正弦方差”為，則的取值可能是（

）A． B． C． D．【正確答案】BCD【分析】根據(jù)正矢和余矢的定義可得函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦方差的定義可求的范圍，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的值域，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】由正矢和余矢的定義可得：，而，因?yàn)?，故，故，故，，而，故的值域?yàn)?，因?yàn)?，函?shù)的最大值是，故函數(shù)值不可能取，而，故，故，故函數(shù)值可取BCD，故選：BCD.12．已知拋物線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作不垂直于軸的直線與交于，兩點(diǎn)．設(shè)為軸上一動點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，則（

）A．當(dāng)時，直線的斜率為B．C．D．若正三角形的三個頂點(diǎn)都在拋物線上，則的周長為【正確答案】AC【分析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及求k，可判斷A，由點(diǎn)差法及垂直關(guān)系，拋物線的定義可得判斷B，由可得平分，據(jù)此可判斷C，根據(jù)正三角及拋物線的對稱性求出DE坐標(biāo)即可判斷D.【詳解】如圖，對于選項(xiàng)A，設(shè)過焦點(diǎn)的直線的方程為，，，由，得，∴，，由可知，代入，得，，由，得，∴，則，故A正確．對于選項(xiàng)B，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，．由得，所以，則直線的斜率為．因?yàn)椋灾本€的斜率為，則直線的方程為．令，則，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．由拋物線的定義可知，，所以，故B錯誤．對于選項(xiàng)C，因?yàn)椋灾本€與直線關(guān)于軸對稱，即平分，所以，則．整理得，故C正確．對于選項(xiàng)D，設(shè)，因三角形為正三角形，則，又，則.因，則.則，則.得的周長為，故D錯誤.故選：AC方法點(diǎn)睛：處理拋物線中焦點(diǎn)弦問題，根據(jù)拋物線的定義，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)問題是常用方法之一，涉及處理中點(diǎn)弦問題，點(diǎn)差法是重要方法，恰當(dāng)使用可快速得出直線斜率與中點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，注意直線關(guān)于y軸對稱可轉(zhuǎn)化為直線傾斜角互補(bǔ)即直線斜率互為相反數(shù).三、填空題13．整數(shù)有______個不同的正因數(shù).【正確答案】【分析】先對進(jìn)行分解，找到，再根據(jù)分步相乘計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】，的正因數(shù)必為的形式，，，，所以共有個不同的正因數(shù).故答案為.14．在棱長為的正方體中，點(diǎn)分別是、、的中點(diǎn)，則過線段且平行于平面的截面圖形的周長為______.【正確答案】【分析】結(jié)合面面平行性質(zhì)定理畫出截面圖形，再求出截面圖形的邊長，即可得出答案.【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，，因?yàn)辄c(diǎn)分別是、、的中點(diǎn)，由正方體性質(zhì)可得，所以四點(diǎn)共面，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，四邊形即為?jīng)過線段且平行于平面的截面圖，正方體棱長為，所以，，，，所以截面圖形周長為.故答案為.15．已知直線過雙曲線：的左焦點(diǎn)，與雙曲線的左右兩支分別交于兩點(diǎn)，若，其中，則的取值范圍為______.【正確答案】【分析】由題意設(shè)，可得，在中，利用余弦定理和雙曲線中的關(guān)系即可得到的范圍.【詳解】如圖，，，又，則有，不妨假設(shè)，則有，可得，在中，由余弦定理可知，，，則，即.

故16．若，則實(shí)數(shù)最大值為______.【正確答案】【分析】二次求導(dǎo)，結(jié)合隱零點(diǎn)得到方程與不等式，變形后得到，從而，，代入，得到的最大值.【詳解】，定義域?yàn)椋瑒t，令，則，在上單調(diào)遞增，且時，當(dāng)時，使得即當(dāng)時，當(dāng)時，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以②，由得①，即，代入②得，，整理得，∴，∴，，故的最大值為3.故3隱零點(diǎn)的處理思路：第一步：用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，其中難點(diǎn)是通過合理賦值，敏銳捕捉零點(diǎn)存在的區(qū)間，有時還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點(diǎn)的個數(shù)；第二步：虛設(shè)零點(diǎn)并確定取范圍，抓住零點(diǎn)方程實(shí)施代換，如指數(shù)與對數(shù)互換，超越函數(shù)與簡單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.四、解答題17．在中，角所對的邊分別為，且(1)若成等比數(shù)列，求角的大?。?2)若，且，求的面積．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用數(shù)量積的定義化簡得到，再由余弦定理得到，結(jié)合，求得，即可求解；（2）由（1）知，根據(jù)題意，利用正弦定理可得，聯(lián)立方程組求得的值，結(jié)合余弦定理求得，得到，利用面積公式，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，根?jù)向量的數(shù)量積的定義，可得，由余弦定理可得，整理得，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，解得所以為等邊三角形，所以.（2）解：由（1）知，又由，根據(jù)正弦定理可得，聯(lián)立方程組，解得，因?yàn)?，所以，，由余弦定理可得，所以，所以的面積為.18．四棱錐中，底面為矩形，，，平面與平面的交線為.

(1)求證：直線平行于平面；(2)求二面角的余弦值.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意證得平面，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理證得直線，再由線面平行的判定定理，即可證得平面；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，取的方向向量，根據(jù)，，利用向量的夾角公式，求得，進(jìn)而求得平面和平面的一個法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌媸蔷匦?，可得，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫移矫嫫矫?，所以直線，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）解：以點(diǎn)為原點(diǎn)，，垂直于平面的直線分別為軸、軸和軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)，取的方向向量，因?yàn)?，，可得，又因?yàn)椋傻?，即，解得，即，設(shè)平面法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取取，可得，所以，所以，由圖象可得，二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.

19．已知為等差數(shù)列，是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，(1)求和的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)滿足，記的前項(xiàng)和為，求.【正確答案】(1)，(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由條件結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等比數(shù)列通項(xiàng)公式列方程求，再由通項(xiàng)公式求解；（2）根據(jù)分組求和法求和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，且，由題意得:解得:

，；（2）由題意知，當(dāng)時，當(dāng)時，+1令則，

20．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，和交點(diǎn)為.(1)求點(diǎn)的軌跡；(2)直線和曲線交與兩點(diǎn)，試判斷是否存在定點(diǎn)使？如果存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，不存在請說明理由.【正確答案】(1)(2)存在定點(diǎn)坐標(biāo)為或【分析】（1）利用已知條件表示出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示出直線，的方程，聯(lián)立即可得出點(diǎn)軌跡方程.（2）假設(shè)存在定點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，聯(lián)立方程組，得出，，由整理得出，對恒成立，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，，，即，點(diǎn)坐標(biāo)為，，即，點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)可得，直線方程為：，直線方程為：，兩式移項(xiàng)相乘得：，整理得，點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，即其方程為.（2）假設(shè)存在定點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，聯(lián)立方程組消得，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，即，，，，，，整理得：，，對恒成立，，得，，所以存在定點(diǎn)坐標(biāo)為或.21．某工廠有甲、乙兩條流水線加工同種產(chǎn)品，加工出來的產(chǎn)品全部為合格品.產(chǎn)品可分為一級品、二級品兩個級別.產(chǎn)品貼上等級標(biāo)識后，每件產(chǎn)品裝一箱.根據(jù)以往的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，甲流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品，每箱中含有件、件、件二級品的概率為，乙流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品，每箱中含有件、件、件二級品的概率為.若箱中產(chǎn)品全部為一級品，則可稱該箱產(chǎn)品為“星級產(chǎn)品”.(1)從甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各任取箱，以產(chǎn)品是否為“星級產(chǎn)品”為標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)以往的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，完成下面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析產(chǎn)品為“星級產(chǎn)品”與生產(chǎn)線是否有關(guān)？流水線產(chǎn)品級別合計(jì)星級產(chǎn)品非星級產(chǎn)品甲流水線乙流水線合計(jì)附：(2)任取甲流水線生產(chǎn)的箱產(chǎn)品，設(shè)二級產(chǎn)品的件數(shù)為，求的分布列及期望;(3)從乙流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任選一箱.若箱中產(chǎn)品分成三層放置，層與層隔開，每層件.首先打開第一層，求該層件產(chǎn)品都為一級品的概率.【正確答案】(1)列聯(lián)表見解析，產(chǎn)品為“星級產(chǎn)品”與生產(chǎn)線無關(guān)(2)分布列見解析，(3)【分析】（1）結(jié)合統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分別求出樣本中甲流水線和乙流水線的“星級產(chǎn)品”數(shù)量，并由此填寫列聯(lián)表，提出零假設(shè)，計(jì)算的值，比較其與臨界值的大小，由此確定結(jié)論；（2）確定的所有可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望，（3）根據(jù)全概率公式求事件該層件產(chǎn)品都為一級品的概率值.【詳解】（1）因?yàn)榧琢魉€生產(chǎn)的產(chǎn)品，每箱中含有件二級品的概率為，所以甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的箱產(chǎn)品中有件“星級產(chǎn)品”，因?yàn)橐伊魉€生產(chǎn)的產(chǎn)品，每箱中含有件二級品的概率為，所以甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的箱